Пространство элементарных исходов как найти

События и операции над ними

Пространство элементарных исходов. Основным понятием теории вероятностей является множество всех возможных результатов
данного случайного эксперимента.

Определение 1. Пространством элементарных исходов
называется множество Omega, содержащее все возможные взаимоисключающие
результаты данного случайного эксперимента.
Элементы множества Omega называются элементарными исходами
и обозначаются буквой omega.

Отметим сразу, что любое непустое множество Omega можно считать пространством
элементарных исходов какого-то случайного эксперимента.

Определение 2.
Событиями называются подмножества множества Omega.
Говорят, что произошло событие A ,
если эксперимент завершился одним из элементарных исходов,
входящих в множество A.

Замечание.
Вообще говоря, можно называть событиями не любые
подмножества множества Omega, а лишь элементы
некоторого набора подмножеств.
О смысле такого ограничения мы поговорим позднее.

Итак, элементарный исход — это мельчайший неделимый результат эксперимента,
а событие может состоять из одного или нескольких исходов.

Напомним, что конечные и счетные множества удобно задавать перечислением
их элементов. Например, Omega={1,,2,ldots,100} — множество, состоящее из первых
ста натуральных чисел. Несчетные множества
обычно задают указанием свойства, которым обладают все элементы
множества. Так, Omega={omegainbbb{R} |omega^2 < 9}
множество действительных чисел из интервала (-3,,3).

Пример 1.
Один раз подбрасывают игральную кость.
Рассмотрим пространство элементарных исходов Omega = {1,2,3,4,5,6}={,,,,,,,,,,}
Элементарные исходы здесь
соответствуют числу выпавших очков.

Событие A={1,,2}={,,} произойдет, если выпадет
одно или два очка; событие B={1,,3,,5}={,,,,}
означает, что выпадет нечетное число очков. Событие C={6}={}
состоит из одного элементарного исхода и означает появление шести очков.

Пример 2.
Подбрасываются две игральные кости. Будем считать их различимыми и назовем одну
из них первой, другую — второй.
Пространством элементарных исходов является множество пар чисел (i,,j){text,} где i — число очков, выпавших на первой
кости, j — на второй. Omega = {(i,,j), text{ где } 1le i,j le 6}.
В этом множестве 6times 6=36 элементарных исходов:

begin{equation}
begin{matrix}  
(1,1) & (1,2) & cdots & (1,6) \ 
(2,1) & (2,2) & cdots & (2,6)  \
hdotsfor[1.5]{4} \ 
(6,1) & (6,2) & cdots &(6,6) 
end{matrix}
end{equation} (
1.1)

Заметим, что для симметричных костей
все эти 36 исходов равновозможны:
ни одна из этих комбинаций не имеет больше шансов выпасть, чем другая.
Действительно, на первой кости с равными шансами выпадает любая грань.
Это означает, что результат бросания двух костей имеет столько же шансов оказаться
в первой строке матрицы ( 1 ), что и во второй, в третьей и т. д.
Но на второй кости снова с одинаковыми шансами
выпадает любая грань, поэтому и каждое место в строке равновозможно.

Событие «на первой кости выпадет одно очко» можно записать так: A={(1,1),,(1,2),,(1,3),,(1,4),,(1,5),,(1,6)} ; событие «на второй кости выпадет одно очко» запишется так: B={(1,1),,(2,1),,(3,1),  (4,1),,(5,1),,(6,1)} ; событие C={(2,2),,(3,1),,(1,3)} означает, что
сумма выпавших очков равна четырем; событие D={(1,1),,(2,2),,(3,3), (4,4),,(5,5),,(6,6)}
— на костях выпадет одинаковое число очков.

Пример 3. Подбрасываются две неразличимые игральные кости.
Элементарными исходами будем считать пары чисел (i,,j){text,} где ileq j. Например, элементарный исход (1,2)
случается, если на одной из костей выпадает одно очко, на другой —
два очка. В множестве Omega двадцать один исход:

begin{matrix}
(1,1) & (1,2) & cdots & (1,6) \
      & (2,2) & cdots & (2,6) \
       &        hdotsfor[1.5]{2}       \
 &       &        & (6,6) 
end{matrix}

Для симметричных костей эти исходы равновозможными уже не будут: например,
исход (1,2) имеет вдвое больше шансов появиться, чем исход (1,1).
Мы просто перестали различать исходы из примера 2,
симметричные друг другу относительно главной диагонали матрицы (1).

Теперь событие «сумма выпавших очков равна четырем»
состоит из двух элементарных исходов (2,2) и (1,3).
Событие «на костях выпадет одинаковое число очков» по-прежнему включает
шесть исходов.
Слова «на первой кости выпадет одно очко»
никакого события уже не описывают, а
событие A={(1,1),,(1,2),,(1,3),,(1,4),,(1,5),,(1,6)} означает,
что хотя бы на одной из костей выпало одно очко (ср. с примером 2).

Пример 4.
На поверхность стола бросается монета. Результатом эксперимента
можно считать положение центра монеты.
Пространство элементарных исходов такого
эксперимента — множество всех точек стола.
Оно бесконечно и несчетно.
Событием можно назвать, например, попадание центра монеты на
лист бумаги, лежащий на столе, в левую или правую половину стола.

Пример 5.
Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет вверх гербом.
Пространство элементарных исходов является бесконечным, но счетным множеством: Omega ={textit{ г, рг, ррг, рррг, ррррг, рррррг, }  ldots  },
где р означает выпадение решки, а г — выпадение герба
при одном подбрасывании.
Событие «герб выпал при броске с четным номером» выглядит так:

A={textit{ рг, рррг, рррррг, }  ldots   }.

Пример 6.
В коробке лежат один черный и два белых шара. Из коробки достают
наугад один шар.

Можно определить два разных пространства элементарных исходов. Первое из
них состоит из двух исходов Omega_1={{textit б},,{textit ч}}
мог появиться белый шар или черный. Эти исходы, очевидно, не будут равновозможными:
появление белого шара вдвое вероятнее, чем появление черного.

Если мы хотим иметь дело с равновозможными элементарными исходами,
шары следует занумеровать (или различать как-нибудь иначе). Тогда множество Omega_2={{textit б}_1,,{textit б}_2,,{textit ч}}
будет состоять из трех равновозможных элементарных исходов.

Пример 7.
В коробке лежат один черный и два белых шара. Из коробки достают наугад два шара.
Порядок следования шаров нам безразличен.
Занумеруем шары, чтобы элементарные исходы были равновозможными
(это может оказаться удобным).
Пространство элементарных исходов состоит из трех элементов:

Omega={({textit б}_1,{textit б}_2),,
({textit б}_1,{textit ч}),,
({textit б}_2,{textit ч})}.

Событие «вынуты два белых шара» включает один исход omega_1=({textit б}_1,{textit б}_2){text,}
а событие «вынуты разноцветные шары» состоит из двух исходов: omega_2=({textit б}_1,{textit ч}){text,} omega_3=({textit б}_2,{textit ч}).

Можно, как в примере 6,
рассмотреть пространство элементарных исходов, состоящее из двух
элементов: Omega_1={({textit б},{textit б}),,({textit б},{textit ч})}
вынуты два белых шара или шары разных цветов.
Но в таком пространстве второй исход имеет вдвое больше шансов случиться, чем
первый.

Пространство элементарных событий. Определение вероятности

  1. Опыт (испытание) и событие (исход)
  2. Пространство элементарных событий
  3. Классическое определение вероятности
  4. Геометрическое определение вероятности
  5. Статистическое определение вероятности
  6. Примеры

п.1. Опыт(испытание) и событие (исход)

Опыт – некоторый набор условий, который можно воспроизвести, чтобы наблюдать то или иное явление.
Событие – любое явление, которое наблюдается в результате опыта.

Например:

Опыт (испытание)

Событие (исход)

Подбрасывание монеты

Выпадение орла или решки

Выстрел

Попадание в 10 или в 9,… на мишени, или в молоко, или выстрел мимо мишени

Подбрасывание игрального кубика

Выпадение 6 или 5,… или 1

Выбор карты из колоды

Выбор пикового туза или любой другой из 54 карт

Ставка при игре в рулетку

Выигрыш на «7 красное» или любой другой из ставок

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдёт в условиях данного опыта.
Событие называется возможным (случайным), если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться.
Событие называется невозможным, если оно не может произойти в условиях данного опыта.
Например:
1) При бросании кубика выпадение 2 – это возможное событие, а выпадение 8 – невозможное. Достоверное событие «1 или 2 или 3 или 4 или 5 или 6».
2) При бросании монеты выпадение орла – это возможное событие, а зависание монеты в воздухе – невозможное. Достоверное событие «орёл или решка».

События называют несовместными, если они не могут произойти одновременно в результате одного опыта.
Например:
1) Нельзя одновременно A=«попасть в 10» и B=«промахнуться» при стрельбе. События A и B – несовместны.
2) Нельзя одновременно C=«достать белый шарик» и D=«достать черный шарик» из коробки. События C и D – несовместны.

События называют равновозможными, если по условиям опыта ни одно из событий не имеет преимуществ перед другими при появлении.

п.2. Пространство элементарных событий

Пространство элементарных событий Ω – это множество, содержащее все возможные результаты опыта, которые взаимно исключают друг друга. Элементами этого множества являются элементарные события, каждое из которых – и только одно – происходит в результате опыта.
Элементарные события обладают свойствами несовместности и равновозможности.
Пространство элементарных событий обладает свойством полноты.

Например:
1) Пространство элементарных событий при бросании кубика Ω={1;2;3;4;5;6}
2) Пространство элементарных событий при бросании двух монет $$Omega=left{ begin{array}{ l l} mathrm{00} & mathrm{01}\ mathrm{10} & mathrm{11} end{array}right} $$ где на первом месте – результат бросания 1-й монеты, на втором – 2-й монеты.
«0» – выпадение решки; «1» – выпадение орла.

Событие A – это подмножество пространства элементарных событий A⊆Ω.
Событие A произошло, если в опыте произошло одно из элементарных событий, входящих в множество A.

Например:
Пусть при бросании кубика A={1;3;5} – выпадение нечётного числа. Событие A будет происходить каждый раз при наблюдении элементарных событий 1 или 3 или 5.

п.3. Классическое определение вероятности

Данное определение сформулировано Лапласом в 1795 г. в курсе лекций «Опыт философии теории вероятностей».
Рассмотрим пространство элементарных событий, которое состоит из конечного числа элементарных исходов:

Ω={ω1, ω2, …, ωn},    |Ω|=n

Событие A является его подмножеством A⊆Ω: $$ mathrm{ A={widetilde{omega_1}, widetilde{omega_2}, …, widetilde{omega_k}}, widetilde{omega_i}=omega_j, |A|=k, kleq n } $$

Вероятностью события A называется отношение числа элементарных исходов, способствующих появлению события A, к общему числу исходов: $$ mathrm{ P(A)=frac{k}{n} } $$

Например:
Пространство элементарных событий при бросании кубика Ω={1;2;3;4;5;6}
Пусть при бросании кубика A={1;3;5} – выпадение нечётного числа. $$ mathrm{ n=6, k=3, P(A)=frac{3}{6}=0,5 } $$ Вероятность выпадение нечётного числа равна 0,5.

п.4. Геометрическое определение вероятности

Недостатком классического определения вероятности является требование конечности множества событий.
Но нам известны удачные модели бесконечных множеств, которые используются даже в элементарной математике: числовые прямые, системы координат на плоскости и в пространстве. Попробуем их использовать.
Например, рассмотрим опыт со стрельбой в мишень радиуса R=1. Пусть стрелок всегда попадает в мишень. Пространство элементарных событий ограничено кругом x2 + y2 ≤1. Круг содержит в себе бесконечное множество точек и все возможные исходы (свойство полноты). Случайное попадание в эту область равновероятно для любой точки (свойство равновозможности). Одновременно попасть в две разные точки области невозможно (свойство несовместности).
Пусть событие A, которое нас интересует, описывается другим ограничением: попаданием в круг (mathrm{ left(x-frac12right)^2+y^2leq frac14. })
Тогда:

Вероятностью события A называется отношение площади (меры) области, соответствующей событию A, к общей площади (мере) области всех исходов: $$ mathrm{ P(A)=frac{S_A}{S_{Omega}} } $$

Геометрическое определение вероятности begin{gather*} mathrm{ Omega: x^2+y^2leq 1, left(x-frac12right)^2+y^2leq frac14. }\ mathrm{ S_A=frac{pi r^2}{2}=frac{pi}{2}cdot frac14=frac{pi}{8} }\ mathrm{ S_{Omega}=frac{pi r^2}{2}=frac{pi}{2}cdot 1=frac{pi}{2} }\ mathrm{ P(A)=frac{pi}{8}:frac{pi}{2}= frac14 } end{gather*}

Геометрическое определение вероятности можно использовать при моделировании бесконечных множеств любой размерности: от одномерных (прямая, на которой определена длина) до многомерных (N-мерные пространства, на которых определены свои меры) (см. также §38 данного справочника).

п.5. Статистическое определение вероятности

Многочисленные опыты с подбрасыванием монеты показывают, что число выпадений «орла» приближается к 1/2, может быть немного больше или меньше, но никогда не равно половине в точности.

Экспериментатор

К-во бросков монеты

Частота выпадения орла

Огастес Де Морган

4092

0,5005

Уильям Джевонс

20480

0,5068

Вс. Романовский

80640

0,4923

Уильям Феллер

10000

0,4979

В принципе, чем больше будет проведено опытов, тем ближе будет экспериментальная величина к теоретической. Поэтому, с точки зрения статистики:

Вероятностью события A называется предел отношения числа наблюдений этого события к общему числу опытов (однородных независимых испытаний): $$ mathrm{ P(A)=lim_{Nrightarrowinfty}frac{n}{N} } $$ где N – общее количество испытаний, n – количество наблюдений события A.

Такое понимание вероятности очень продуктивно, т.к. позволяет вывести важные теоремы, которые широко используются в статистике и других областях прикладной математики.

В современной математике вероятность определяется аксиоматически, в рамках аксиоматики Колмогорова. Если ваша будущая профессия будет связана с математикой, вам обязательно об этом расскажут.

п.6. Примеры

Пример 1. Из хорошо тасованной колоды в 32 карты выбирается наугад одна карта. Какова вероятность того, что это:
1) туз;
2) карта бубновой масти;
3) либо король, либо дама, либо валет;
4)* какова вероятность, что в данной колоде сверху – пиковая дама?

1) Всего карт n = 32, тузов k = 4
Вероятность выбрать туз: (mathrm{ P=frac{k}{n}=frac{4}{32}=frac{1}{8}=0,125 })
2) Всего карт n = 32, бубновой масти k = 8
Вероятность выбрать карту бубновой масти: (mathrm{ P=frac{k}{n}=frac{8}{32}=frac{1}{4}=0,25 })
3) Всего карт n = 32, королей, дам и валетов k = 12
Вероятность выбрать короля, даму или валета: (mathrm{ P=frac{k}{n}=frac{12}{32}=frac{3}{8}=0,375 })

4) Каждое тасование колоды – это перестановка без повторений (см.§34 данного справочника)
Общее количество возможных перестановок: P32=32!
Если зафиксировать первую карту – пиковую даму, то общее количество возможных перестановок оставшихся карт P31=31! – количество вариантов колод с пиковой дамой наверху.
n = 32!, k = 31!
Искомая вероятность:(mathrm{ P=frac{k}{n}=frac{31!}{32!}=frac{1}{32}=0,03125 })
Ответ: 1) 0,125; 2) 0,25; 3) 0,375; 4) 0,03125.

Пример 2. В слове «КОРОНАВИРУС» наугад выбирается одна буква.
Какова вероятность, что это буква:
1) гласная;
2) согласная;
3) буква «Р»;
4) буква «Ц».

1) Всего букв n = 11, гласных букв k = 5
Вероятность выбрать гласную букву: (mathrm{ P=frac{k}{n}=frac{5}{11} })
2) Всего букв n = 11, согласных букв k = 6
Вероятность выбрать согласную букву: (mathrm{ P=frac{k}{n}=frac{6}{11} })
3) Всего букв n = 11, букв «Р» k = 2
Вероятность выбрать букву «Р»: (mathrm{ P=frac{k}{n}=frac{2}{11} })
4) Всего букв n = 11, букв «Ц» k = 0
Вероятность выбрать букву «Ц»: (mathrm{ P=frac{k}{n}=0 }) – невозможное событие.
Ответ: (mathrm{ 1) frac{5}{11}; 2) frac{6}{11}; 3) frac{2}{11}; 4) 0. })

Пример 3. В семье четверо детей, близнецов нет.
1) Какова вероятность, что мальчиков и девочек поровну?
2) Какова вероятность, что старший ребенок – девочка, и младший — мальчик?

Дети в семье появляются по очереди, т.е. выборка является упорядоченной. Рассматриваем размещение с повторениями (см.§35 данного справочника)
n = 2, k = 4 $$ mathrm{ overline{A}_2^4=2^4=16 } $$ Пространство элементарных событий состоит из N = 16 вариантов:
Пример 3
1) Мальчиков и девочек поровну в 6 случаях из 16: (mathrm{ P=frac{6}{16}=frac{3}{8}=0,375 })
2) Старший ребенок – девочка, и младший – мальчик в 4 случаях из 16:
(mathrm{ P=frac{4}{16}=frac{1}{4}=0,25 })
Ответ: 1) 0,375; 2) 0,25.

Пример 4. Деревянный куб покрасили и распилили на 1000 кубиков.
Какова вероятность, что случайно выбранный кубик имеет:
1) три окрашенных грани;
2) две окрашенных грани;
3) одну окрашенную грань;
4) ни одной окрашенной грани?
Пример 4
1) Три окрашенных грани будут иметь кубики на вершинах куба.
Вершин у куба 8, значит k = 8. Вероятность (mathrm{ P=frac{8}{1000}=0,008})
2) Две окрашенных грани будут иметь кубики на ребрах куба, кроме вершин.
Всего ребёр у куба 12, на каждом ребре по 8 кубиков без вершин, k = 12 · 8 = 96.
Вероятность (mathrm{ P=frac{96}{1000}=0,096})
3) Одну окрашенную грань будут иметь кубики на гранях куба, кроме ребер и вершин.
Всего граней у куба 6, на каждой грани по 8 · 8 = 64 внутренних кубика, k = 6 · 64 = 384. Вероятность (mathrm{ P=frac{384}{1000}=0,384})
4) Неокрашенными будут k = 8 · 8 · 8 = 512 кубиков.
Вероятность (mathrm{ P=frac{512}{1000}=0,512})
Ответ: 1) 0,008; 2) 0,096; 3) 0,384; 4) 0,512.

Взяв практически любую статью по теории вероятностей, мы увидим, что либо она начинается словами: «Пусть Вероятностное пространствовероятностное пространство», либо в одной из первых же фраз написано: «где Вероятностное пространство — вероятностное пространство». Иногда добавляется: Вероятностное пространство — пространство элементарных исходов, Вероятностное пространствоВероятностное пространство-алгебра (сигма-алгебра) событий, Вероятностное пространство — вероятностная мера (или вероятность)». Естественно, у неискушенного читателя пропадает всякое желание читать эту статью дальше. Однако понятие вероятностного пространства является весьма естественным математическим обобщением хорошо известных физических понятий: исход опыта, случайное событие, вероятность события. В настоящей главе мы попытаемся, насколько это возможно, дать читателю, знакомому только с основами высшей математики, разъяснение этого основополагающего для теории вероятностей понятия.

Пространство элементарных исходов

Рассмотрим простейший вариант случайного испытания — подбрасывание монеты. Если отвлечься от чисто гипотетических возможностей — падения монеты на ребро или вообще исчезновения монеты, то возможны только два исхода: выпадение «герба» и выпадение «цифры». Эти два исхода в рамках данного опыта уже нельзя разбить на более мелкие составляющие, т.е. они являются в некотором роде «элементарными». При бросании игральной кости такими неделимыми исходами являются: выпадение одного очка, выпадение двух очков, …, выпадение шести очков. Значит, мы имеем уже 6 элементарных исходов. Более сложный пример получим, если рассмотрим падение идеальной (т. е. не имеющей размера) частицы на плоскость. Тогда результат испытания представляет собой попадание частицы в определенную точку плоскости и его можно отождествить с двумерным вектором в некоторой системе координат на плоскости.

Аналогично, если проанализировать любое испытание со случайным исходом, можно заметить, что его результат представляет собой один из множества допустимых исходов. Поскольку в математике принято абстрагироваться от несущественных деталей, то всегда можно рассматривать все возможные в данном опыте исходы как некоторое множество Вероятностное пространство которое и носит название пространства элементарных исходов или пространства элементарных событий. Сами элементарные исходы будем обозначать строчной буквой Вероятностное пространствоснабжая ее при необходимости индексами.

Пример:

При подбрасывании монеты пространство элементарных исходов Вероятностное пространство состоит всего из 2 исходов: Вероятностное пространство— выпадение «герба» и Вероятностное пространство— выпадение «цифры».

Пример:

При бросании игральной кости возможны 6 элементарных исходов: Вероятностное пространство— выпадение одного очка, Вероятностное пространство — выпадение 2 очков…..Вероятностное пространство — выпадение 6 очков.

Пример:

При подбрасывании двух монет пространство элементарных исходов Вероятностное пространство содержит уже 4 исхода. Перечислим их: Вероятностное пространство — пара «герб»-«герб», Вероятностное пространство — «герб»-«цифра», Вероятностное пространство — «цифра»-«герб», Вероятностное пространство— «цифра»-«цифра». При подбрасывании трех монет возможны 8 элементарных исходов типа «герб»-«цифра»-«герб» и т.д.

Пример:

При определении времени жизни элементарной частицы пространство элементарных исходов Вероятностное пространство представляет собой полупрямую Вероятностное пространство

Следует отметить, что в практических исследованиях существует определенный произвол в описании пространства элементарных исходов Вероятностное пространство Так, однократное подбрасывание монеты (пример 1) можно рассматривать как часть более сложного опыта, заключающегося в подбрасывании двух или более монет (пример 3). При определении времени жизни частицы (пример 4) можно также рассматривать типы получившихся после распада частиц и т. д. Очевидно, при решении практических задач разумно выбирать всегда наиболее простой вариант пространства элементарных исходов, необходимый для решения стоящей перед исследователем задачи.

События, действия над ними

Понятие «событие» лингвистически отличается от понятия «элементарное событие» только отсутствием прилагательного «элементарное». Естественно поэтому определить событие так же, как исход испытания, но только не обязательно неделимый.

Пример:

При бросании игральной кости (см. пример 2) событиями являются: выпадение четного числа очков (это событие происходит тогда и только тогда, когда появляется один из элементарных исходов Вероятностное пространство выпадение нечетного числа очков (элементарные исходы Вероятностное пространство выпадение не менее двух очков (элементарные исходы Вероятностное пространство и т. д.

Пример:

При подбрасывании двух монет примерами событий будут: падение обеих монет на одну и ту же сторону (появлению этого события благоприятствуют элементарные исходы Вероятностное пространство из примера 3); падение монет на разные стороны (элементарные исходы Вероятностное пространство выпадение, по крайней мере, одного «герба» (элементарные исходы Вероятностное пространство и т. п.

Пример:

При определении времени безотказной работы электрической лампочки можно привести следующие примеры событий: безотказная работа лампочки до момента Т; отказ лампочки до момента Т; отказ лампочки между моментами Вероятностное пространство и т. д. Здесь так же, как и в примере 4, пространство элементарных исходов Вероятностное пространство представляет собой полупрямую Вероятностное пространство Тогда первому событию соответствует множество точек на полупрямой Вероятностное пространство второму — на интервале Вероятностное пространство третьему — на интервале Вероятностное пространство

Вспоминая, что в результате опыта может произойти один и только один элементарный исход Вероятностное пространство из пространства элементарных исходов Вероятностное пространство мы приходим к теоретико-множественному определению события как произвольного набора элементарных исходов или, иными словами, произвольного подмножества множества элементарных исходов Вероятностное пространство События будем обозначать прописными латинскими буквами, снабженными при необходимости индексами: Вероятностное пространство и т.д.

Заметим, что приведенное выше определение события не всегда позволяет построить логически безупречную аксиоматику теории вероятностей. Поэтому в следующем параграфе мы уточним понятие «событие». Сейчас же наша цель состоит в описании теоретико-множественных операций над событиями, и нам удобно отказаться от несущественных пока деталей.

Часто бывает полезным наглядное представление событий в виде так называемой диаграммы Эйлера-Венна. Будем изображать все пространство элементарных исходов прямоугольником (рис.1). Тогда каждый элементарный исход Вероятностное пространство соответствует точке внутри прямоугольника, а каждое событие А отождествимо с некоторой областью.

Само пространство элементарных исходов Вероятностное пространство представляет собой событие, состоящее из всех возможных исходов, т. е. происходящее всегда (при любом элементарном исходе Вероятностное пространство), и носит название достоверного события. Таким образом, пространство элементарных исходов выступает в двух качествах: в качестве собственно множества всех элементарных исходов и в качестве достоверного события.

Для дальнейшего нам удобно ввести еще одно событие Вероятностное пространство называемое невозможным. Невозможное событие не происходит никогда, т.е. не содержит ни одного элементарного исхода.

Пример:

При бросании игральной кости событие «выпадение не менее одного очка» является достоверным Вероятностное пространство событие «выпадение более 6 очков» — невозможным Вероятностное пространство

Над событиями как над подмножествами фиксированного множества можно производить действия, которые мы сейчас опишем.

Пересечением (произведением) двух событий А и В называется событие С, происходящее тогда и только тогда, когда наступают одновременно оба события А и В, или, иными словами, состоящее из тех элементарных исходов, которые принадлежат и А, и В (рис. 2).

Вероятностное пространство

Пересечение событий А и В записывается следующим образом:

Вероятностное пространство

или

Вероятностное пространство

Аналогично определяется пересечение трех и более событий.

Пример:

Событие А — при подбрасывании двух монет падение их одной стороной, событие В — выпадение хотя бы одного «герба». Пересечением событий А и В является событие С, состоящее в выпадении двух «гербов».

Пример:

Событие А — выпадение четного числа очков при бросании игральной кости, событие В — выпадение не менее 3 очков. Пересечение А ий — событие С, состоящее в выпадении 4 или 6 очков. □

События А и В называются непересекающимися или несовместными, если их пересечение является невозможным событием, т.е. Вероятностное пространство (рис.3).

Для трех и более событий понятие несовместности можно определить разными способами. Мы будем, в основном, пользоваться следующим понятием несовместности n событий, которое также называется попарной несовместностью событий: события Вероятностное пространство называются (попарно) несовместными, или (попарно) непересекающимися, если Вероятностное пространство для любых Вероятностное пространство при Вероятностное пространство

Пример:

Событие А — выпадение четного числа очков при бросании игральной кости, событие В — выпадение нечетного числа очков. События А и В несовместны.

Нетрудно видеть, что справедливы следующие простейшие формулы для пересечения двух событий, одно из которых достоверно или невозможно:

Вероятностное пространство

Объединением (суммой) двух событий А и В называется событие С, происходящее тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий А или В, т. е. состоящее из тех элементарных исходов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В (рис.4).

Вероятностное пространство

Для объединения событий А и В применяется запись

Вероятностное пространство

Пример:

Событие А — выпадение 1 или 3 очков при бросании игральной кости, событие В — выпадение 3 или 5 очков. Объединением событий А и В является событие С, состоящее в выпадении нечетного числа очков.

Для объединения двух событий, одно из которых достоверно или невозможно, имеют место следующие формулы:

Вероятностное пространство

В том случае, когда события А и В несовместны, наряду со знаком Вероятностное пространстводля их объединения употребляют знак «+». Обычно знак «+» применяют тогда, когда заведомо известно, что А и В несовместны, и это особо хотят подчеркнуть. В частности, поскольку невозможное событие несовместно с любым событием А, то

Вероятностное пространство

Аналогично определяется объединение трех и более событий. При этом знак «+» используется в случае попарной несовместности входящих в объединение событий.

Разностью двух событий А и В называется событие С, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит событие В, т. е. состоящее из тех элементарных исходов, которые принадлежат ,4, но не принадлежат В (рис.5).

Вероятностное пространство

Разность событий А и В записывается в виде

Вероятностное пространство

Пример:

Событие А — выпадение хотя бы одного «герба» при подбрасывании двух монет, событие В — падение обеих монет одной стороной. Разность С событий А к В представляет собой событие, заключающееся в выпадении ровно одного «герба».

Справедливы следующие формулы для разности двух событий, одно из которых достоверно или невозможно:

Вероятностное пространство

Кроме того, если А и В несовместны Вероятностное пространство

Симметрической разностью двух событий А и В (обозначается знаком Вероятностное пространство или Вероятностное пространство называется событие С, представляющее собой объединение событий Вероятностное пространство

Вероятностное пространство

Поскольку события Вероятностное пространство несовместны (рис. 6), симметрическую разность можно записать также в виде

Вероятностное пространство

Нетрудно заметить, что симметрическая разность есть объединение событий а и в без их общей части:

Вероятностное пространство

Пример:

Событие А — выпадение не менее 2 очков при бросании игральной кости, событие в — выпадение не более 4 очков. Симметрической разностью событий а и в является событие С, заключающееся в выпадении 1, 5 или 6 очков.

Вероятностное пространство

Если А и В несовместны, то

Вероятностное пространство

Дополнением события А (обычно обозначается Вероятностное пространство называется событие, происходящее тогда и только тогда, когда не происходит событие А (рис. 7), или, иными словами,

Вероятностное пространство

Пример:

Событие А — выпадение четного числа очков при бросании игральной кости. Дополнительное событие Вероятностное пространство — выпадение нечетного числа очков.

Справедливы формулы:

Вероятностное пространство

Если некоторое событие записано в виде нескольких действий над различными событиями, то сначала вычисляются дополнения, затем выполняются умножения и, наконец, сложения и вычитания событий. Так, формула

Вероятностное пространство

эквивалентна формуле

Вероятностное пространство

Пользуясь диаграммой Эйлера-Венна, нетрудно показать справедливость следующих формул (формулы де Моргана):

Вероятностное пространство

Формулы де Моргана элементарно переносятся на произвольное число событий. В частности, для n событий Вероятностное пространство они имеют вид:

Вероятностное пространство

Следует отметить, что все действия над событиями можно получить с помощью только двух действий — объединения и дополнения (или пересечения и дополнения). Основанием для этого утверждения служат формулы де Моргана, а также соотношение

Вероятностное пространство

Кроме вышеперечисленных действий над событиями нам в дальнейшем понадобится понятие включения. Событие А принадлежит (содержится в, включается в) событию В (записывается Вероятностное пространство если появление события А обязательно влечет за собой наступление события В (рис.8) или, иными словами, каждый элементарный исход Вероятностное пространство принадлежащий А, обязательно принадлежит и В. Ясно, что включение Вероятностное пространство эквивалентно выполнению равенства Вероятностное пространство

Используют и обратное понятие: событие В содержит (включает) событие Вероятностное пространство если Вероятностное пространство

Пример:

Событие А — выпадение четного числа очков при бросании игральной кости, событие В — выпадение не менее 2 очков. Событие А принадлежит событию В, поскольку если выпало четное число очков (2, 4 или 6), то обязательно выпало не менее 2 очков.

Следующие включения очевидны:

Вероятностное пространство

Кроме того, если Вероятностное пространство то

Вероятностное пространство

Алгебра событий

Вероятностное пространство-алгебра событий

Итак, мы назвали событием произвольное подмножество пространства элементарных исходов Вероятностное пространство Такое определение прекрасно работает, когда Вероятностное пространство конечно или даже счетно (т.е. его можно пересчитать с помощью чисел натурального ряда). Однако если Вероятностное пространство более чем счетно,

то, вообще говоря, мы уже не сможем построить логически непротиворечивую теорию, называя событием произвольное подмножество Вероятностное пространство Причина этого заключается в существовании так называемых неизмеримых множеств, что в свою очередь кроется в топологической структуре классических рассматриваемых пространств (прямой, плоскости, трехмерного пространства и т.д.). Поэтому приходится отказаться от, казалось бы, естественного желания назвать событием любое подмножество пространства элементарных исходов Вероятностное пространство и выделить среди всех подмножеств некоторый класс подмножеств Вероятностное пространство Именно только подмножества из выделенного класса Вероятностное пространство и будут называться событиями. Интуитивно ясно, что описанные в предыдущем пункте теоретико-множественные операции над событиями не должны приводить к подмножествам, не являющимся событиями.

С точки зрения повседневной практики подмножества пространства элементарных исходов Вероятностное пространство не являющиеся событиями, представляют собой чистую математическую абстракцию и в реальной жизни никогда не встречаются. Даже само доказательство их существования представляет весьма сложную задачу. Поэтому читателю, не желающему вдаваться в математические тонкости, мы рекомендуем пропустить параграф, посвященный Вероятностное пространство-алгебре событий, и в дальнейшем под событием понимать произвольное подмножество элементарных исходов Вероятностное пространство а под Вероятностное пространство-алгеброй — систему всех этих подмножеств. Любознательному читателю мы предоставляем возможность познакомиться со строгим определением последнего понятия, излагаемым ниже.

Алгеброй событий Вероятностное пространство назовем непустую систему подмножеств Вероятностное пространствоудовлетворяющую следующим аксиомам:

Вероятностное пространство Если подмножество А принадлежит Вероятностное пространство (является событием), то дополнение Вероятностное пространство также принадлежит Вероятностное пространство (является событием).

Вероятностное пространство Если подмножества А и В принадлежат Вероятностное пространство (являются событиями), то и объединение Вероятностное пространство принадлежит Вероятностное пространство (является событием).

Как мы знаем, любую из рассмотренных нами операций над подмножествами можно получить с помощью только двух операций: дополнения и объединения. Поэтому пересечение и разность двух событий также будут событиями. Поскольку Вероятностное пространство то все пространство элементарных исходов Вероятностное пространство и пустое подмножество Вероятностное пространство обязательно являются событиями в любой алгебре событий. Очевидно также, что объединение и пересечение любого конечного числа событий снова будет событием. Иными словами, алгебру событий Вероятностное пространство можно определить как систему подмножеств пространства элементарных исходов Вероятностное пространство замкнутую Вероятностное пространство относительно конечного числа теоретико-множественных операций.

Однако понятие алгебры событий также оказывается недостаточным для аксиоматического построения теории вероятностей в том случае, когда пространство элементарных исходов Вероятностное пространство не является конечным. Интересы общей теории меры требуют, чтобы аксиома А2 была заменена на более сильную, и мы приходим к новому определению:

Вероятностное пространство-алгеброй событий Вероятностное пространство назовем систему подмножеств из Вероятностное пространствоудовлетворяющую аксиоме А1 и аксиоме

2′. Если подмножества Вероятностное пространство принадлежат Вероятностное пространство (являются событиями), то и их (счетное) объединение Вероятностное пространство также принадлежит Вероятностное пространство (является событием).

Основываясь на формулах де Моргана, нетрудно показать, что пересечение счетного числа событий снова будет событием. Таким образом, Вероятностное пространство-алгебру событий Вероятностное пространство можно определить как систему подмножеств пространства элементарных исходов Вероятностное пространство замкнутую относительно счетного числа теоретико-множественных операций.

.Любая Вероятностное пространство-алгебра событий является одновременно и алгеброй событий. Обратное, вообще говоря, не верно, т.е. существуют алгебры событий, не являющиеся Вероятностное пространство-алгебрами. Однако если пространство элементарных исходов Вероятностное пространство конечно, то любая алгебра событий будет также и Вероятностное пространство-алгеброй событий, т.е. в этом случае понятия алгебры событий и Вероятностное пространство-алгебры событий эквивалентны.

Вероятностное пространство-алгебра событий является второй компонентой вероятностного пространства Вероятностное пространство

Пример:

Для любого пространства элементарных исходов Вероятностное пространствосодержащего хотя бы один исход, семейство подмножеств, состоящее всего из двух подмножеств Вероятностное пространство является Вероятностное пространство-алгеброй. Ясно, однако, что на такой ст-алгебре, состоящей всего из достоверного и невозможного событий, сколь-нибудь содержательную теорию построить невозможно, и мы ее в дальнейшем рассматривать не будем.

Пример 18. Пусть пространство элементарных исходов Вероятностное пространство содержит по крайней мере два исхода. Возьмем в Вероятностное пространство некоторое подмножество А, отличное от Вероятностное пространство Тогда система из четырех подмножеств Вероятностное пространство будет являться Вероятностное пространство-алгеброй Вероятностное пространство Поскольку в дальнейшем мы будем рассматривать только события, а других событий, кроме перечисленных четырех, Вероятностное пространство-алгебра Вероятностное пространство не содержит, то естественно отождествить ее с Вероятностное пространство-алгеброй, определенной на пространстве элементарных исходов Вероятностное пространство состоящем всего из двух элементарных исходов: Вероятностное пространство и содержащей подмножества Вероятностное пространство Здесь мы имеем дело с тем принципом упрощения пространства элементарных исходов, о котором говорилось в параграфе 1.

В качестве иллюстрации рассмотрим время работы электрической лампочки. Первоначально пространство элементарных исходов представляет собой полупрямую Вероятностное пространство Однако если наблюдателю доступна только информация, произошел отказ за фиксированное время Т (событие A) или нет (событие Вероятностное пространство то он фактически имеет дело с двумя элементарными исходами: Вероятностное пространство и Вероятностное пространство соответствующая Вероятностное пространство-алгебра состоит из четырех событий, описанных выше. В этом случае наблюдение за работой электрической лампочки с точки зрения числа возможных элементарных исходов ничем не отличается от наблюдения за подбрасыванием монеты.

Пример:

Пусть пространство элементарных исходов Вероятностное пространство содержит конечное Вероятностное пространство или счетное Вероятностное пространство число исходов. Такое пространство называется дискретным. В качестве Вероятностное пространство-алгебры Вероятностное пространство возьмем систему всех подмножеств. Именно эту Вероятностное пространство-алгебру мы всегда будем рассматривать в дальнейшем в случае дискретного пространства элементарных исходов. Нетрудно видеть, что любое событие А можно отождествить с последовательностью из 0 и 1, причем 0 на Вероятностное пространство месте означает, что элементарный исход Вероятностное пространство не принадлежит событию А. В частности, невозможному событию Вероятностное пространство соответствует последовательность 0,0…..а достоверному Вероятностное пространство Ясно, что если число исходов n конечно, то Вероятностное пространство-алгебра Вероятностное пространство содержит Вероятностное пространство событий (на каждом из n мест последовательности может стоять одно из двух чисел: 0 или 1).

В случае дискретного Вероятностное пространство Вероятностное пространство-алгебру Вероятностное пространство можно определить исходя и из других предпосылок. Для этого достаточно объявить событиями все элементарные исходы Вероятностное пространство Поскольку в случае дискретного Вероятностное пространство любое его подмножество будет содержать не более счетного числа элементарных исходов, то в соответствии с аксиомой Вероятностное пространство оно обязательно будет событием. Таким образом, Вероятностное пространство-алгебру Вероятностное пространство можно трактовать как Вероятностное пространство-алгебру, порожденную всеми элементарными исходами.

В частности, в случае конечного Вероятностное пространство Вероятностное пространство-алгебра Вероятностное пространство порождается конечным числом элементарных исходов и поэтому совпадает с алгеброй Вероятностное пространство порожденной всеми элементарными исходами Вероятностное пространствоОднако в случае счетного Вероятностное пространство алгебра Вероятностное пространство порожденная всеми элементарными исходами Вероятностное пространство, уже не будет совпадать с Вероятностное пространство-алгеброй Вероятностное пространство поскольку она будет содержать только подмножества, состоящие из конечного числа элементарных исходов (как объединения событий в соответствии с аксиомой А2) или подмножества, состоящие из всех элементарных исходов за исключением их конечного числа (как дополнения к подмножествам первого типа в соответствии с аксиомой А1).

Пример:

Пусть пространство элементарных исходов Вероятностное пространство представляет собой прямую Вероятностное пространство И здесь система всех подмножеств будет представлять собой Вероятностное пространство-алгебру. Однако оказывается, что такая «максимальная» Вероятностное пространство-алгебра в наиболее интересных случаях представляет собой негодный объект для дальнейших исследований. Дело в том, что введение понятия Вероятностное пространство-алгебры является вспомогательным процессом, необходимым для дальнейшего определения собственно вероятности, и, если бы только было возможно, никто не стал бы «городить огород» ради, разве что, красивого названия.

О невозможности использования «максимальной» Вероятностное пространство -алгебры мы еще скажем несколько слов, когда будем рассматривать геометрическую вероятность. Сейчас попробуем построить другую Вероятностное пространство-алгебру, опираясь на более умеренные запросы. Итак, что бы мы хотели от Вероятностное пространство-алгебры на прямой? Разумеется, основное требование к ней заключается в том, чтобы ей принадлежали всевозможные интервалы Вероятностное пространство Минимальная Вероятностное пространство-алгебра, удовлетворяющая этому требованию, носит название борелевской Вероятностное пространствоалгебры и является тем объектом, на котором без всяких логических противоречий можно построить математически строгую теорию.

Все сказанное относительно прямой в полной мере относится и к пространствам элементарных исходов, представляющим собой плоскость, трехмерное пространство и пространства более высоких размерностей, а также их невырожденные части (отрезки, многоугольники, круги, шары и т.д.). В теории вероятностей такие пространства элементарных исходов называются непрерывными. □

Определение вероятности

Приступим теперь к аксиоматическому определению последней составляющей вероятностного пространства Вероятностное пространство — вероятности или, как иногда говорят, вероятностной меры Р.

Предположим сначала, что пространство элементарных исходов конечно. Пусть каждому событию А ( т.е. подмножеству А пространства элементарных исходов Вероятностное пространство принадлежащему Вероятностное пространство-алгебре Вероятностное пространство поставлено в соответствие число Р(A). Числовая функция Р(A) (заданная на Вероятностное пространство-алгебре Вероятностное пространство) называется вероятностью, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

Вероятностное пространство (аксиома неотрицательности );

Вероятностное пространство (аксиома нормированности);

Вероятностное пространство (аксиома сложения), если Вероятностное пространство и Вероятностное пространство

Как говорилось во введении, аксиомы вероятности представляют собой не что иное, как математическое отражение основных свойств частоты.

Из аксиом Р1-РЗ можно вывести ряд очевидных свойств вероятности.

Поскольку Вероятностное пространство то по аксиоме сложения Вероятностное пространство или, с учетом аксиомы нормированности,

Вероятностное пространство (вероятность дополнительного события).

Далее, поскольку Вероятностное пространство то из аксиомы сложения имеем

Вероятностное пространство (вероятность невозможного события).

Пусть Вероятностное пространство Тогда Вероятностное пространство по аксиоме сложения Вероятностное пространство и из аксиомы неотрицательности получаем

Вероятностное пространство («большему» событию соответствует большая вероятность).

В частности, так как всегда Вероятностное пространство то, с учетом аксиомы неотрицательности,

Вероятностное пространство (вероятность заключена между 0 и 1).

Наконец, поскольку Вероятностное пространство то из аксиомы сложения находим: Вероятностное пространствоВероятностное пространство Следовательно,

Вероятностное пространство (вероятность объединения двух событий).

Последнее свойство допускает очевидное, но весьма полезное обобщение на случай произвольного числа слагаемых

Вероятностное пространство

Свойство 6 доказывается индукцией по n. Так, для трех событий А, В и С

Вероятностное пространство

Из свойств 6 и 2 имеем для любого числа n (попарно) непересекающихся событий Вероятностное пространство

Вероятностное пространство

В случае, когда Вероятностное пространство содержит конечное число n элементарных исходов, вероятность можно определить конструктивно.

Действительно, с одной стороны, пусть на пространстве элементарных исходов Вероятностное пространство задана некоторая вероятность Вероятностное пространство Обозначим через Вероятностное пространство вероятности элементарных исходов Вероятностное пространство Тогда по аксиоме сложения РЗ вероятность любого события А определяется формулой Вероятностное пространство где суммирование ведется по всем индексам Вероятностное пространство соответствующим входящим в событие А элементарным исходам. В силу аксиом не отрицательности Р1 и нормированности Р2 числа Вероятностное пространство являются неотрицательными и удовлетворяют свойству Вероятностное пространство

С другой стороны, пусть Вероятностное пространство — любой набор неотрицательных чисел, таких, что Вероятностное пространство Поставим в соответствие каждому элементарному исходу Вероятностное пространство число Вероятностное пространство а любому событию А — число Вероятностное пространство где суммирование ведется по всем индексам Вероятностное пространство соответствующим входящим в событие А элементарным исходам. Очевидно, достоверному событию Вероятностное пространство мы должны сопоставить число Вероятностное пространство Нетрудно видеть, что определенная таким образом функция Р(А) удовлетворяет аксиомам Р1-РЗ, т.е. является вероятностью.

Итак, существует взаимно однозначное соответствие между всеми вероятностями Р(А) на Вероятностное пространство наборами Вероятностное пространство неотрицательных чисел, удовлетворяющими условию Вероятностное пространство

В частности, мы можем всем элементарным исходам Вероятностное пространство приписать одну и ту же вероятность Вероятностное пространство В этом случае реализуется так называемый принцип классической вероятности, о котором мы подробно поговорим в следующей главе.

В случае произвольного (не обязательно конечного) пространства элементарных исходов Вероятностное пространство аксиому РЗ необходимо заменить более сильной расширенной аксиомой сложения

Вероятностное пространство

справедливой для счетного числа попарно несовместных событий.

Именно аксиомы Вероятностное пространство и определяют аксиоматическое понятие вероятности.

Очевидно, что свойства вероятности 1-7 сохраняются и в этом случае.

Пример:

Пусть Вероятностное пространство состоит из счетного числа элементарных исходов Вероятностное пространство И в этом случае любую вероятностную меру Р(А) можно получить, задав вероятности Вероятностное пространство элементарных исходов, причем последовательность Вероятностное пространстводолжна удовлетворять только условиям неотрицательности Вероятностное пространство и нормированности Вероятностное пространство По-прежнему вероятность любого события А определяется как сумма Вероятностное пространство вероятностей всех входящих в А элементарных исходов Вероятностное пространство однако если событие А содержит бесконечное число элементарных исходов, то и сумма будет бесконечной.

Пример:

Пусть пространство элементарных исходов Вероятностное пространство представляет собой прямую Вероятностное пространство с борелевской Вероятностное пространство-алгеброй на нем (см. пример 20). Теперь уже в наиболее интересных случаях мы не можем приписать каждому элементарному исходу Вероятностное пространство иной вероятности, кроме Вероятностное пространство и, следовательно, определить вероятность любого события на основе вероятностей входящих в него элементарных исходов. Тем не менее и сейчас вероятность можно задать конструктивно.

Для того чтобы показать это, предположим сначала, что она каким-то образом уже задана для всех событий (элементов борелевской Вероятностное пространство-алгебры), и рассмотрим функцию Вероятностное пространство равную вероятности события Вероятностное пространство состоящего из всех точек полупрямой Вероятностное пространство Как вероятность функция F(x) обязана обладать определенными свойствами, которые мы сейчас опишем.

Во-первых, значения функции F(x) как вероятности должны лежать между 0 и 1.

Во-вторых, так как для любых Вероятностное пространство событие Вероятностное пространство содержится в событии Вероятностное пространство Иными словами, F(x) — неубывающая функция аргумента х.

В-третьих, поскольку событие Вероятностное пространство невозможно, а событие Вероятностное пространство достоверно, то Вероятностное пространство

Наконец, так как событие Вероятностное пространство представляет собой объединение счетного числа событий Вероятностное пространство то из расширенной аксиомы сложения и монотонности F(x) можно вывести (см. параграф 2 гл. 5), что F(x) — непрерывная слева функция.

Зная функцию F(a-), можно определить вероятности любых других событий. В частности, вероятность события Вероятностное пространство определяется формулой Вероятностное пространство

Таким образом, любая вероятность на прямой полностью определяется своей функцией F(x), которая удовлетворяет перечисленным выше свойствам.

Справедливо и обратное. Любая неубывающая непрерывная слева функция F(x), удовлетворяющая условиям Вероятностное пространство задает некоторую вероятность на прямой Вероятностное пространство Действительно, достаточно сопоставить каждому событию Вероятностное пространство число Вероятностное пространство а событию Вероятностное пространство — число Вероятностное пространство Можно показать, что определенная таким образом для всех событий Вероятностное пространство числовая функция Р(А) будет удовлетворять трем аксиомам вероятности. Для любых других событий, составляющих борелевскую Вероятностное пространство-алгебру на прямой, вероятность определяется единственным образом с помощью так называемой теоремы о продолжении меры.

Вероятное пространство

Вероятное пространство

Вероятное пространство

Вероятное пространство

Вероятное пространство

Смотрите также:

Предмет теория вероятностей и математическая статистика

Решение заданий и задач по предметам:

  • Теория вероятностей
  • Математическая статистика

Дополнительные лекции по теории вероятностей:

  1. Случайные события и их вероятности
  2. Случайные величины
  3. Функции случайных величин
  4. Числовые характеристики случайных величин
  5. Законы больших чисел
  6. Статистические оценки
  7. Статистическая проверка гипотез
  8. Статистическое исследование зависимостей
  9. Теории игр
  10. Вероятность события
  11. Теорема умножения вероятностей
  12. Формула полной вероятности
  13. Теорема о повторении опытов
  14. Нормальный закон распределения
  15. Определение законов распределения случайных величин на основе опытных данных
  16. Системы случайных величин
  17. Нормальный закон распределения для системы случайных величин
  18. Классическое определение вероятности
  19. Геометрическая вероятность
  20. Условная вероятность
  21. Схема Бернулли
  22. Многомерные случайные величины
  23. Предельные теоремы теории вероятностей
  24. Оценки неизвестных параметров
  25. Генеральная совокупность

Пространство элементарных исходов

Определение

Элементарным исходом (или элементарным событием) называют любой простейший (т.е. неделимый в рамках данного опыта) исход опыта. Множество всех элементарных исходов будем называть пространтсвом элементарных исходов.

Другими словами, множество исходов опыта образует пространство элементарных исходов, если выполнены следующие требования:

  • в результате опыта один из исходов обязательно происходит;
  • появление одного из исходов опыта исключает появление остальных;
  • в рамках данного опыта нельзя разделить элементарный исход на более мелкие составляющие.

В дальнейшем пространство элементарных исходов будем обозначать прописной буквой %%Omega%%, а сами элементарные исходы — строчной буквой %%omega%%, снабженной, при необходимости, индексами. То, что элемент %%omega%% принадлежит %%Omega%%, записывают в виде %%omega in Omega%%, а тот факт, что множество %%Omega%% состоит из элементов %%omega_1, omega_2, ldots, omega_n, ldots,%% и только из них, записывают в виде
$$
Omega = {omega_1, omega_2, ldots, omega_n, ldots}
$$
или в виде
$$
Omega = {omega_i, i=1, 2, ldots, n,ldots}.
$$

В частности, %%Omega%% может содержать конечное число элементарных исходов.

Примеры

Пример 1

Пусть опыт состоит в однократном подбрасывании монеты. При математическом описании этого опыта естественно отвлечься от несущественных возможностей (например, монета встанет на ребро) и ограничиться только двумя элементарными исходами: выпадением «герба» (можно обозначить этот исход как %%w_1%%) и выпаденим «цифры» (%%w_2%%). Таким образом, %%Omega = {w_1, w_2}%%.

При двукратном подбрасывании монеты (или однократном подбрасывании двух монет) пространство элементарных исходов будет содержать четыре элемента, т.е.
$$
Omega = {w_{11}, w_{12}, w_{21}, w_{22}},
$$
где, например, %%w_{12}%% — появление «герба» при первом броске и появление «цифры» при втором.

Пример 2

При однократном бросании игральной кости возможен любой из 6 элементарных исходов %%w_1, w_2, ldots, w_6%%, где %%w_i, i=overline{1,6}%%, означает появление %%i%% очков на верхней грани кости, т.е.
$$
Omega = {w_i, i=overline{1,6}}.
$$

При двукратном бросании игральной кости, каждый из шести возможных исходов, при первом бросании может сочетаться с каждым из шести исходов второго бросания, т.е.
$$
Omega = {w_{ij}, i, j=overline{1,6}},
$$
где, %%w_{ij}%% — исход опыта, при котором сначала выпало %%i%%,а затем %%j%% очков.

Нетрудно посчитать, что пространство элементарных исходов %%Omega%% содержит %%36%% элементарных исходов.

Основные определения

Определение:
Дискретным вероятностным пространством (англ. discrete probability space) называется пара из некоторого (не более, чем счетного) множества и функции ( называется множеством элементарных исходов (англ. sample space), — элементарным исходом (англ. elementary outcome), такая, что .
Определение:
называют дискретной вероятностной мерой (англ. discrete probability measure), или дискретной плотностью вероятности (англ. discrete probability density).

— вероятность элементарного исхода.

Определение:
Множество называется событием (англ. event).

, то есть вероятность события равна сумме вероятностей входящих в него элементарных исходов.

Определение:
Прямым произведением вероятностных пространств (англ. direct product of probability spaces) и называется такое вероятностное пространство , что

Другими словами, — множество всех пар элементарных исходов из и (т.е. декартово произведение этих множеств).

Примеры вероятностных пространств

  1. Конечные вероятностные пространства
    1. Честная монета
      Множество исходов , где — выпадает орел, — выпадает решка.
      Рассмотрим все возможные события и их вероятности для этого пространства.
      : . То есть вероятность того, что не выпадет ничего, равна нулю.
      : . Вероятность того, что выпадет орел, равна одной второй.
      : . Вероятность того, что выпадет решка, равна одной второй.
      : . Действительно, вероятность того, что выпадет орел или решка, равна единице.
    2. Нечестная монета
      Множество исходов здесь такое же, как и в предыдущем пространстве, однако , где .
    3. Игральная кость
      Множество исходов . Рассмотрим некоторые события этого пространства.
       : Вероятность выпадения одного из трех чисел из множества равна одной второй.
       : Числа или выпадут с вероятностью одна треть.
    4. Колода карт
      . Здесь — масть, — достоинство карты.
      Вероятность элементарного исхода этого пространства
  2. Бесконечное вероятностное пространство
    Пусть задано множество следующих элементарных исходов: выпадение орла на -ом подбрасывании честной монеты в первый раз.
    Тогда вероятность исхода с номером равна:
    Очевидно, что вероятности этих событий образовывают убывающую геометрическую прогрессию с знаменателем прогрессии равным Найдем сумму этой прогрессии:
    Так как сумма всех элементарных исходов равна то это множество является вероятностным пространством.

См. также

  • Дискретная случайная величина

Источники информации

  • Википедия — Вероятностное пространство
  • MachineLearning.ru — Дискретное вероятностное пространство
  • Ширяев А.Н. Вероятность. — М.: МЦНМО, 2004.

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти месячный уровень инфляции
  • Статья как найти свой стиль
  • Дарк соулс 2 как найти преследователя
  • Ошибка в документах на право собственности как исправить
  • Как составит резюме для ооо