Геометрический смысл перемещения заключается в том, что перемещение есть площадь фигуры, заключенной между графиком скорости, осью времени и прямыми, проведенными перпендикулярно к оси времени через точки, соответствующие времени начала и конца движения.
При равноускоренном прямолинейном движении перемещение определяется площадью трапеции, основаниями которой служат проекции начальной и конечной скорости тела, а ее боковыми сторонами — ось времени и график скорости соответственно. Поэтому перемещение (путь) можно вычислить по формуле:
Формула перемещения
Пример №1. По графику определить перемещение тела в момент времени t=3 с.
Перемещение есть площадь фигуры, ограниченной графиком скорости, осью времени и перпендикулярами, проведенными к ней. Поэтому в нашем случае:
Извлекаем из графика необходимые данные:
- Фигура 1. Начальная скорость — 3 м/с. Конечная — 0 м/с. Время — 1,5 с.
- Фигура 2. Начальная скорость — 0 м/с. Конечная — –3 м/с. Время — 1,5 с (3 с – 1,5 с).
Подставляем известные данные в формулу:
Перемещение равно 0, так как тело сначала проделало некоторый путь, а затем вернулось в исходное положение.
Варианты записи формулы перемещения
Конечная скорость движения тела часто неизвестна. Поэтому при решении задач вместо нее обычно подставляют эту формулу:
v = v0 ± at
В итоге получается формула:
Если движение равнозамедленное, в формуле используется знак «–». Если движение равноускоренное, оставляется знак «+».
Если начальная скорость равна 0 (v0 = 0), эта формула принимает вид:
Если неизвестно время движения, но известно ускорение, начальная и конечная скорости, то перемещение можно вычислить по формуле:
Пример №2. Найти тормозной путь автомобиля, который начал тормозить при скорости 72 км/ч. Торможение до полной остановки заняло 3 секунды. Модуль ускорения при этом составил 2 м/с.
Перемещение при разгоне и торможении тела
Все перечисленные выше формулы работают, если направление вектора ускорения и вектора скорости совпадают (а↑↑v). Если векторы имеют противоположное направление (а↑↓v), движение следует описывать в два этапа:
Этап торможения
Время торможения равно разности полного времени движения и времени второго этапа:
t1 = t – t2
Когда тело тормозит, через некоторое время t1 оно останавливается. Поэтому скорость в момент времени t1 равна 0:
0 = v01 – at1
При торможении перемещение s1 равно:
Этап разгона
Время разгона равно разности полного времени движения и времени первого этапа:
t2 = t – t1
Тело начинает разгоняться сразу после преодоления нулевого значения скорости, которую можно считать начальной. Поэтому скорость в момент времени t2 равна:
v = at2
При разгоне перемещение s2 равно:
При этом модуль перемещения в течение всего времени движения равен:
s = |s1 – s2|
Полный путь (обозначим его l), пройденный телом за оба этапа, равен:
l = s1 + s2
Пример №3. Мальчик пробежал из состояния покоя некоторое расстояние за 5 секунд с ускорением 1 м/с2. Затем он тормозил до полной остановки в течение 2 секунд с другим по модулю ускорением. Найти этот модуль ускорения, если его тормозной путь составил 3 метра.
В данном случае движение нужно разделить на два этапа, так как мальчик сначала разогнался, потом затормозил. Тормозной путь будет соответствовать второму этапу. Через него мы выразим ускорение:
Из первого этапа (разгона) можно выразить конечную скорость, которая послужит для второго этапа начальной скоростью:
v02 = v01 + a1t1 = a1t1 (так как v01 = 0)
Подставляем выраженные величины в формулу:
Перемещение в n-ную секунду прямолинейного равноускоренного движения
Иногда в механике встречаются задачи, когда нужно найти перемещение тела за определенный промежуток времени при условии, что тело начинало движение из состояния покоя. В таком случае перемещение определяется формулой:
За первую секунду тело переместится на расстояние, равное:
За вторую секунду тело переместится на расстояние, равное разности перемещения за 2 секунды и перемещения за 1 секунду:
За третью секунду тело переместится на расстояние, равное разности перемещения за 3 секунды и перемещения за 2 секунды:
Видно, что за каждую секунду тело проходит перемещение, кратное целому нечетному числу:
Из формул перемещений за 1, 2 и 3 секунду можно выявить закономерность: перемещение за n-ную секунду равно половине произведения модуля ускорения на (2n–1), где n — секунда, за которую мы ищем перемещение тела. Математически это записывается так:
Формула перемещения за n-ную секунду
Пример №4. Автомобиль разгоняется с ускорением 3 м/с2. Найти его перемещение за 6 секунду.
Подставляем известные данные в формулу и получаем:
Таким же способом можно найти перемещение не за 1 секунду, а за некоторый промежуток времени: за 2, 3, 4 секунды и т. д. В этом случае используется формула:
где t — время одного промежутка, а n — порядковый номер этого промежутка.
Пример №5. Ягуар ринулся за добычей с ускорением 2,5 м/с2. Найти его перемещение за промежуток времени от 4 до 6 секунд включительно.
Время от 4 до 6 секунд включительно — это 3 секунды: 4-ая, 5-ая и 6-ая. Значит, промежуток времени составляет 3 секунды. До наступления этого промежутка успело пройти еще 3 секунды. Значит, время от 4 до 6 секунд — это второй по счету временной промежуток.
Подставляем известные данные в формулу:
Проекция и график перемещения
Проекция перемещения на ось ОХ. График перемещения — это график зависимости перемещения от времени. Графиком перемещения при равноускоренном движении является ветка параболы. График перемещения при равноускоренном движении, когда вектор скорости направлен в сторону оси ОХ (v↑↑OX), а вектора скорости и ускорения сонаправлены (v↑↑a), принимает следующий вид:
График перемещения при равнозамедленном движении, когда вектор скорости направлен в сторону оси ОХ (v↑↑OX), а вектора скорости и ускорения противоположно (v↓↑a), принимает следующий вид:
Определение направления знака проекции ускорения по графику его перемещения:
- Если ветви параболического графика смотрят вниз, проекция ускорения тела отрицательна.
- Если ветви параболического графика смотрят вверх, проекция ускорения тела положительна.
Пример №6. Определить ускорение тела по графику его перемещения.
Перемещение тела в момент времени t=0 с соответствует нулю. Значит, ускорение можно выразить из формулы перемещения без начального ускорения. Получим:
Теперь возьмем любую точку графика. Пусть она будет соответствовать моменту времени t=2 с. Этой точке соответствует перемещение 30 м. Подставляем известные данные в формулу и получаем:
График пути
График пути от времени в случае равноускоренного движения совпадает с графиком проекции перемещения, так как s = l.
В случае с равнозамедленным движением график пути представляет собой линию, поделенную на 2 части:
- 1 часть — до момента, когда скорость тела принимает нулевое значение (v = 0). Эта часть графика является частью параболы от начала координат до ее вершины.
- 2 часть — после момента, при котором скорость тела принимает нулевое значение (v = 0). Эта часть является ветвью такой же, но перевернутой параболы. Ее вершина совпадает с вершиной предыдущей параболы, но ее ветвь направлена вверх.
Такой вид графика (возрастающий) объясняется тем, что путь не может уменьшаться — он либо не меняется (в состоянии покоя), либо растет независимо от того, в каком направлении, с какой скоростью и с каким ускорением движется тело.
Пример №7. По графику пути от времени, соответствующему равноускоренному прямолинейному движению, определить ускорение тела.
При равноускоренном прямолинейном движении графиком пути является ветвь параболы. Поэтому наш график — красный. График пути при равноускоренном прямолинейном движении также совпадает с графиком проекции его ускорения. Поэтому для вычисления ускорения мы можем использовать эту формулу:
Для расчета возьмем любую точку графика. Пусть она будет соответствовать моменту времени t=2 c. Ей соответствует путь, равный 5 м. Значит, перемещение тоже равно 5 м. Подставляем известные данные в формулу:
Задание EF18553
Тело массой 200 г движется вдоль оси Ох, при этом его координата изменяется во времени в соответствии с формулой х(t) = 10 + 5t– 3t2(все величины выражены в СИ).
Установите соответствие между физическими величинами и формулами, выражающими их зависимости от времени в условиях данной задачи.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные и перевести их единицы измерения величин в СИ.
2.Записать уравнение движения тела при прямолинейном равноускоренном движении в общем виде.
3.Сравнить формулу из условия задачи с этим уравнением движения и выделить кинематические характеристики движения.
4.Определить перемещение тела и его кинетическую энергию.
5.Выбрать для физических величин соответствующую позицию из второго столбца таблицы и записать ответ.
Решение
Из условия задачи известна только масса тела: m = 200 г = 0,2 кг.
Так как тело движется вдоль оси Ox, уравнение движения тела при прямолинейном равноускоренном движении имеет вид:
x(t)=x0+v0t+at22
Теперь мы можем выделить кинематические характеристики движения тела:
• a/2 = –3 (м/с2), следовательно, a = –6 (м/с2).
Перемещение тела определяется формулой:
s=v0t+at22
Начальная координата не учитывается, так как это расстояние было уже пройдено до начала отсчета времени. Поэтому перемещение равно:
x(t)=v0t+at22=5t−3t2
Кинетическая энергия тела определяется формулой:
Ek=mv22
Скорость при прямолинейном равноускоренном движении равна:
v=v0+at=5−6t
Поэтому кинетическая энергия тела равна:
Ek=m(5−6t)22=0,22(5−6t)2=0,1(5−6t)2
Следовательно, правильная последовательность цифр в ответе будет: 34.
Ответ: 34
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18774
На рисунке показан график зависимости координаты x тела, движущегося вдоль оси Ох, от времени t (парабола). Графики А и Б представляют собой зависимости физических величин, характеризующих движение этого тела, от времени t. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять.
К каждой позиции графика подберите соответствующую позицию утверждения и запишите в поле цифры в порядке АБ.
Алгоритм решения
- Определить, какому типу движения соответствует график зависимости координаты тела от времени.
- Определить величины, которые характеризуют такое движение.
- Определить характер изменения величин, характеризующих это движение.
- Установить соответствие между графиками А и Б и величинами, характеризующими движение.
Решение
График зависимости координаты тела от времени имеет вид параболы в случае, когда это тело движется равноускоренно. Так как движение тела описывается относительно оси Ох, траекторией является прямая. Равноускоренное прямолинейное движение характеризуется следующими величинами:
- перемещение и путь;
- скорость;
- ускорение.
Перемещение и путь при равноускоренном прямолинейном движении изменяются так же, как координата тела. Поэтому графики их зависимости от времени тоже имеют вид параболы.
График зависимости скорости от времени при равноускоренном прямолинейном движении имеет вид прямой, которая не может быть параллельной оси времени.
График зависимости ускорения от времени при таком движении имеет вид прямой, перпендикулярной оси ускорения и параллельной оси времени, так как ускорение в этом случае — величина постоянная.
Исходя из этого, ответ «3» можно исключить. Остается проверить ответ «1». Кинетическая энергия равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости. Графиком квадратичной функции является парабола. Поэтому ответ «1» тоже не подходит.
График А — прямая линия, параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости ускорения от времени (или его модуля). Поэтому первая цифра ответа — «4».
График Б — прямая линия, не параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости скорости от времени (или ее проекции). Поэтому вторая цифра ответа — «2».
Ответ: 24
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18831
На рисунке представлен график зависимости модуля скорости υ автомобиля от времени t. Определите по графику путь, пройденный автомобилем в интервале времени от t1=20 с до t2=50 с.
Алгоритм решения
- Охарактеризовать движение тела на различных участках графика.
- Выделить участки движения, над которыми нужно работать по условию задачи.
- Записать исходные данные.
- Записать формулу определения искомой величины.
- Произвести вычисления.
Решение
Весь график можно поделить на 3 участка:
- От t1 = 0 c до t2 = 10 с. В это время тело двигалось равноускоренно (с положительным ускорением).
- От t1 = 10 c до t2 = 30 с. В это время тело двигалось равномерно (с нулевым ускорением).
- От t1 = 30 c до t2 = 50 с. В это время тело двигалось равнозамедленно (с отрицательным ускорением).
По условию задачи нужно найти путь, пройденный автомобилем в интервале времени от t1 = 20 c до t2 = 50 с. Этому времени соответствуют два участка:
- От t1 = 20 c до t2 = 30 с — с равномерным движением.
- От t1 = 30 c до t2 = 50 с — с равнозамедленным движением.
Исходные данные:
- Для первого участка. Начальный момент времени t1 = 20 c. Конечный момент времени t2 = 30 с. Скорость (определяем по графику) — 10 м/с.
- Для второго участка. Начальный момент времени t1 = 30 c. Конечный момент времени t2 = 50 с. Скорость определяем по графику. Начальная скорость — 10 м/с, конечная — 0 м/с.
Записываем формулу искомой величины:
s = s1 + s2
s1 — путь тела, пройденный на первом участке, s2 — путь тела, пройденный на втором участке.
s1 и s2 можно выразить через формулы пути для равномерного и равноускоренного движения соответственно:
Теперь рассчитаем пути s1 и s2, а затем сложим их:
s1 + s2 = 100 + 100 = 200 (м)
Ответ: 200
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Алиса Никитина | Просмотров: 25.5k
Условие задачи:
За первую секунду равноускоренного движения тело проходит путь равный 1 м, а за вторую – 2 м. Какой путь пройдет тело за третью секунду движения?
Задача №1.3.44 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
(S_1=1) м, (S_2=2) м, (S_3-?)
Решение задачи:
Путь за любую n-ую секунду можно найти, отняв из пути за n секунд путь за (n-1) секунд. Этот алгоритм работает и для пути за первую секунду, он будет равен разность пути за одну секунду и пути за 0 секунд, т.е. просто пути за одну секунду.
Примем (t_1 =1) с, (t_2 =2) с и (t_3 =3) с.
Тело двигалось равноускоренно, причем ничего не сказано о его начальной скорости, поэтому будем думать, что она у тела имелась. Запишем уравнение движения:
[Sleft( t right) = {upsilon _0}t + frac{{a{t^2}}}{2}]
Принимая во внимание наши первые рассуждения, запишем систему уравнений.
[left{ begin{gathered}
{S_1} = Sleft( {{t_1}} right) hfill \
{S_2} = Sleft( {{t_2}} right) – Sleft( {{t_1}} right) hfill \
end{gathered} right.]
[left{ begin{gathered}
{S_1} = {upsilon _0}{t_1} + frac{{at_1^2}}{2} hfill \
{S_2} = {upsilon _0}{t_2} + frac{{at_2^2}}{2} – left( {{upsilon _0}{t_1} + frac{{at_1^2}}{2}} right) hfill \
end{gathered} right.]
[left{ begin{gathered}
{S_1} = {upsilon _0}{t_1} + frac{{at_1^2}}{2} hfill \
{S_2} = {upsilon _0}left( {{t_2} – {t_1}} right) + frac{{aleft( {t_2^2 – t_1^2} right)}}{2} hfill \
end{gathered} right.]
Заменим величины их численными значениями, получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными.
[left{ begin{gathered}
1 = {upsilon _0} + 0,5a hfill \
2 = {upsilon _0} + 1,5a hfill \
end{gathered} right.]
Отнимем из нижнего уравнения верхнее и сразу получим численное значение ускорения (a).
[a = 1;м/с^2]
Подставив его в любое из уравнений, легко получим начальную скорость (upsilon_0).
[1 = {upsilon _0} + 0,5 cdot 1]
[{upsilon _0} = 0,5; м/с]
Искомый путь за третью секунды найдем из формулы:
[{S_3} = {upsilon _0}left( {{t_3} – {t_2}} right) + frac{{aleft( {t_3^2 – t_2^2} right)}}{2}]
В итоге:
[{S_3} = 0,5 cdot left( {3 – 2} right) + frac{{1 cdot left( {{3^2} – {2^2}} right)}}{2} = 3; м]
Ответ: 3 м.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
1.3.43 Два велосипедиста едут навстречу: один из них, имея скорость 7,2 км/ч, спускается
1.3.45 По наклонной доске пустили снизу вверх шарик. На расстоянии 30 см от начала
1.3.46 Тело, двигаясь с начальной скоростью 10 м/с и постоянным ускорением 10 м/с2
t1 = 1 с.
S1 = 1 м.
t2 = 2 с.
S2ʹ = 2 м.
t3 = 3 с.
S3 — ?
При равноускоренном движении путь тела выразим формулой: S3 = V0 * t3 + a * t32 / 2.
Выразим путь за первую и вторую секунду движения: S1 = V0 * t1 + a * t12 / 2, S2ʹ = S2 – S1.
S2 = V0 * t2 + a * t22 / 2.
S2ʹ = V0 * t2 + a * t22 / 2 — V0 * t1 + a * t12 / 2.
2 = V0 * 2 + a * (2)2 / 2 — V0 * 1 — a * (1)2 / 2 = V0 + 3 * a / 2.
а = 2 * (2 – 1 * V0) / 3.
S1 = V0 * t1 + (2 – 1 * V0) * t12 / 3 = V0 * 1 + (2 – 1 * V0) * (1)2 / 3 = 1.
2 * V0 = 1.
Начальная скорость тела составляет V0 = 0,5 м/с.
Ускорение тела найдём по формуле: а = 2 * (2 – 1 * 0,5) / 3 = 1 м/с2.
S3 = 0,5 м/с * 3 с + 1 м/с2 * (3 с)2 / 2 = 6 м.
Ответ: за первые три секунды тело прошло путь S3 = 6 м.
Перейти к содержанию
Путь пройденный за секунду формула
На чтение 2 мин Просмотров 592 Опубликовано 08.09.2021
Вопрос от Гузель Галимова 297 дней назад
Путь в n-ю секунду по какой формуле вычислять? Скажите пожалуйста
Все зависит от конкретных условий задачи. Если в условии необходим путь за n-ую секунду, то это будет путь за конкретно какую-то секунду(первую, вторую, третью и.т.д.) Если в условии необходимо найти путь за n секунд , то необходим конкретный диапазон времени . Также важно знать какой тип движения(по окружности, по прямой , ускоренно или замедленно и.т.п.) Вот пример простейших вариантов формул
- Гузель Галимова
Ну как найти путь за n-ю секунду, я конкретно спрашиваю?
Все зависит от конкретных условий задачи еще раз повторяю. Если же проходится какая-то конкретная тема на уроке, то и путь нужно искать по нужной теме.
1) Вам нужен весь путь за N-секунд — Артем Иволин Вам ответил.
2) Вам нужен путь только за последнюю-N-ю секунду. Например, за 9-ю секунду, что означает путь в интервале времени между 8-й и 9-й секундой.
Тогда нужно из всего пути от начала до этой последней секунды (я ее обозначаю не N, а t) вычесть весь путь от начала до предпоследней секунды:
УСЛОВИЕ:
За третью секунду равноускоренного движения с нулевой начальной скоростью тело проходит 25 м. Найдите длину пути за первые 6 с движения.
РЕШЕНИЕ:
Путь, пройденный телом за n-ую секунду равноускоренного движения с нулевой начальной скоростью находим по формуле
s_(n)=a*(2n-1)/2, где а — ускорение.
По условию
s_(3)=25 м
По формуле
s_(3)=a*(2*3-1)/2
25=a*5/2
a=50/5=10м/с^2
По той же формуле
s_(6)=10*(2*6-1)/2=55 м
О т в е т. 55 м
Есть простая формула
Вот этой формулой и надо пользоваться. Все остальные формулы — производные от этой.
Можно еще воспользоваться свойством параболы (график пройденного пути при равноускоренном движении — парабола). Отношение пройденного пути за каждую единицу времени S1:S2:S3:S4…=1:3:5:7… Например, если нам задано, что за первую секунду тело прошло при равноускоренном движении 2 метра, то за вторую секунду оно пройдет 2* 3=6 м, за третью — 2 * 5=10 м, за четвертую — 2 * 7=14 м… Аналогично, если задано, что за четвертую секунду тело прошло 28 м, то за первую оно прошло 4 м (28/7=4).
Если есть график зависимости координаты от времени, то можно посчитать площадь фигуры, образованной линией графика и осью Ох.
Метод (способ) решения зависит от исходных данных.