Радиус 150 как найти орбиту

Вычисление параметров геостационарной орбиты Радиус орбиты и высота орбиты

На геостационарной
орбите спутник не приближается к Земле
и не удаляется от неё, и кроме того,
вращаясь вместе с Землёй, постоянно
находится над какой-либо точкой на
экваторе. Следовательно, действующие
на спутник силы гравитации и центробежная
сила должны уравновешивать друг друга.
Для вычисления высоты геостационарной
орбиты можно воспользоваться методами
классической механики и, перейдя в
систему отсчета спутника, исходить из
следующего уравнения:

где
– сила инерции, а в данном случае,
центробежная сила;– гравитационная сила. Величину
гравитационной силы, действующую на
спутник, можно определить по закону
всемирного тяготения Ньютона:

где
– масса спутника,– масса Земли в килограммах,– гравитационная постоянная, а– радиус орбиты (расстояние в метрах
от спутника до центра Земли).

Величина центробежной
силы равна:

где
– центростремительное ускорение,
возникающее при круговом движении по
орбите.

Как можно видеть,
масса спутника присутствует в выражениях
и для центробежной силы, и для гравитационной
силы. То есть, высота орбиты не зависит
от массы спутника, что справедливо для
любых орбит и является следствием
равенства гравитационной и инертной
массы. Следовательно, геостационарная
орбита определяется лишь высотой, при
которой центробежная сила будет равна
по модулю и противоположна по направлению
гравитационной силе, создаваемой
притяжением Земли на данной высоте.

Центростремительное
ускорение равно:

где
– угловая скорость вращения спутника,
в радианах в секунду.

Исходя из равенства
гравитационной и центробежной сил,
получаем:

Отсюда
.

Угловая скорость
ωвычисляется делением угла,
пройденного за один оборот на период
обращения (время, за которое совершается
один полный оборот по орбите: один
сидерический день, или 86 164 секунды).
Получаем:рад/с

Расчетный радиус
орбиты составляет 42 164 км. Вычитая
экваториальный радиус Земли, 6 378 км,
получаем высоту ГСО 35 786 км.

Орбитальная скорость

Скорость движения
по геостационарной орбите вычисляется
умножением угловой скорости на радиус
орбиты:
км/с

Это примерно в 2.5
раза меньше, чем первая космическая
скорость равная 8 км/с для околоземной
орбиты (с радиусом 6400 км). Так как квадрат
скорости для круговой орбиты обратно
пропорционален её радиусу, то уменьшение
скорости по отношению к первой космической
достигается увеличением радиуса орбиты
более чем в 6 раз.

Длина орбиты

Длина геостационарной
орбиты:
.
При радиусе орбиты 42 164 км получаем
длину орбиты 264 924 км. Длина орбиты
крайне важна для вычисления «точек
стояния» спутников.

Удержание спутника
в орбитальной позиции на геостационарной
орбите. Спутник, обращающийся на
геостационарной орбите, находится под
воздействием ряда сил (возмущений),
изменяющих параметры этой орбиты. В
частности, к таким возмущениям относятся
гравитационные лунно-солнечные
возмущения, влияние неоднородности
гравитационного поля Земли, эллиптичность
экватора и т.д. Деградация орбиты
выражается в двух основных явлениях:

1) Спутник смещается
вдоль орбиты от своей первоначальной
орбитальной позиции в сторону одной из
четырёх точек стабильного равновесия,
так называемых «потенциальных ям
геостационарной орбиты» (их долготы
75,3°E, 104,7°W, 165,3°E, и 14,7°W) над экватором
Земли;

2) Наклонение орбиты
к экватору увеличивается (от первоначального
=0) со скоростью порядка 0,85 градусов в
год и достигает максимального значения
15 градусов за 26,5 лет.

Для компенсации
этих возмущений и удержания спутника
в назначенной точке стояния спутник
оснащается двигательной установкой
(химической или электроракетной).
Периодическими включениями двигателей
малой тяги (коррекция «север-юг» для
компенсации роста наклонения орбиты и
«запад-восток» для компенсации дрейфа
вдоль орбиты) спутник удерживается в
назначенной точке стояния. Такие
включения производятся по нескольку
раз в несколько (10—15) суток. Существенно,
что для коррекции «север-юг» требуется
значительно большее приращение
характеристической скорости (около
45—50 м/с в год), чем для долготной коррекции
(около 2 м/с в год). Для обеспечения
коррекции орбиты спутника на протяжении
всего срока его эксплуатации (12—15 лет
для современных телевизионных спутников)
требуется значительный запас топлива
на борту (сотни килограммов, в случае
применения химического двигателя).
Химический ракетный двигатель спутника
имеет вытеснительную систему подачи
топлива (газ наддува – гелий), работает
на долгохранимых высококипящих
компонентах (обычно несимметричный
диметилгидразин и азотный тетраксид).
На ряде спутников устанавливаются
плазменные двигатели. Их тяга существенно
меньше, чем у химических, однако большая
эффективность позволяет (за счет
продолжительной работы, измеряемой
десятками минут для единичного маневра)
радикально снизить потребную массу
топлива на борту. Выбор типа двигательной
установки определяется конкретными
техническими особенностями аппарата.

Эта же двигательная
установка используется, при необходимости,
для маневра перевода спутника в другую
орбитальную позицию. В некоторых случаях
– как правило, в конце срока эксплуатации
спутника, для сокращения расхода топлива
коррекция орбиты «север-юг» прекращается,
а остаток топлива используется только
для коррекции «запад-восток». Запас
топлива является основным лимитирующим
фактором срока службы спутника на
геостационарной орбите.

Соседние файлы в папке 02-12-2014_07-07-59

• #
• #

Из школьного курса всем известно, что Земля вращается относительно Солнца. Орбита – это траектория движения нашей планеты вокруг звезды. Есть ли у неё какие-нибудь примечательные особенности?

Форма траектории

Долгое время астрономы полагали, что орбиты небесных тел – это окружности. Однако Иоганн Кеплер установил, что на самом деле планеты, в том числе Земля, двигаются по эллиптической траектории, причем Солнце находится в одном из фокусов этого эллипса.

У эллипса, который выглядит как сплюснутая окружность, есть такой параметр, как эксцентриситет. Он определяет, насколько близка его форма к окружности. Эксцентриситет может принимать значение от нуля до единицы. Если он равен нулю, то орбита становится идеальным кругом, в центре которого расположена звезда. Земной эксцентриситет равен 0,0167, то есть наша орбита очень близка к круговой.

Точка, в которой небесное тело максимально удалено от своего светила, называется апоцентром, а ближайшая точка именуется перицентром. Применительно к планетам Солнечной системы также используются термины афелий и перигелий. Когда Земля находится в афелий, расстояние от неё до Солнца составляет 152 млн км, а в перигелий оно сокращается до 147 млн км.

Столь незначительное изменение радиуса земной орбиты очень важно для жизни на планете, так как оно позволяет поддерживать стабильное значение средней температуры на ней. Для сравнения – радиус орбиты Меркурия меняется от 46 до 70 млн км, что соответствует значению эксцентриситета 0,2.

Расстояние от Земли до Солнца

Средний радиус земной орбиты, равный 150 млн км, принят за одну астрономическую единицу – единицу измерения расстояний в космическом пространстве. Исторически ее удобно было использовать при описании Солнечной системы.

Дело в том, что определить относительные расстояния в ней (например, вычислить, что радиус венерианской орбиты в 1,4 раза меньше радиуса земной), значительно проще, чем рассчитать абсолютные. Поэтому астрономы приняли расстояние между Землей и Солнцем за условную единицу и через нее выражали все остальные линейные размеры в нашей планетной системе. Лишь в 1672 году с помощью измерения параллакса Марса итальянцу Джованни Кассини удалось впервые оценить радиус земной орбиты в 140 млн км.

Более точное значение астрономической единицы удалось получить методом радиолокации Венеры советским астрономам в 1961 году. Они получили значение 149 599 300±2000 км.

Скорость движения Земли

Общая протяженность орбиты нашей планеты составляет 940 млн км, которые Земля преодолевает за 365,25 дня, именно поэтому каждый четвертый год делают високосным, добавляя к нему 29 февраля. При этом небесные тела движутся по орбите с неравномерной скоростью. Быстрее всего планеты движутся в перицентре, а медленней всего в апоцентре. Земля оказывается в афелие 3 июля и замедляется в этот день до 29,2 км/с. 3 января наша планета достигает перигелия, разгоняясь да 30,2 км/с.

Плоскость орбиты

Орбита каждого небесного тела – это плоская фигура, то есть все ее точки лежат в одной плоскости. Плоскость земной орбиты называется эклиптикой. Интересно, что орбиты всех известных нам планет Солнечной системы почти лежат в эклиптике. Ось вращения Земли вокруг собственной оси наклонена под углом 23° к эклиптике, следствием этого наклона является неравномерный нагрев Северного и Южного полушария на разных участках орбиты, из-за чего возникает сезонность погоды. Когда выше экватора лето, ниже него – зима, и наоборот.

Солнце также вращается вокруг собственной оси, причем все планеты вращаются в ту же сторону, что и светило. Это является косвенным доказательством того, что когда-то вещество, из которого состоят все планеты и наша звезда, было единым газопылевым облаком, от которого отделился строительный материал для планет. Однако есть одна аномалия, объяснение которой до сих пор не найдено. Дело в том, что само Солнце вращается не в эклиптике, а с отклонением от неё на шесть градусов. Астрономы предполагают, что это может служить косвенным доказательством того, что в нашей системе есть ещё неоткрытые планеты, которые также двигаются не в эклиптике, и своим гравитационным воздействием раскачивают ось вращения Солнца.

Отклонение орбиты от идеальной формы

Идея Кеплера о том, что орбиты небесных тел – это эллипсы, очень хорошо описывала поведение планет с точки зрения наблюдателей XVII века, однако с повышением точности измерений стали обнаруживаться отклонения от законов Кеплера. Дело в том, что предложенная немецким астрономом математическая модель была построена на двух упрощениях:

• масса планеты пренебрежимо мала относительно массы звезды;
• учитывается только взаимное влияние сил тяжести двух тел, звезды и планеты, а влияние третьих тел (других планет) не учитывается.

Естественно, в реальности всё сложнее. На самом деле правильнее считать, что не Земля вращается вокруг Солнца, а оба объекта вращаются относительно общего центра масс, который называется барицентром. Но в силу огромной массы звезды барицентр находится внутри неё.

Точные астрономические измерения показывают, что в наше время расстояние между Землей и Солнцем медленно увеличивается со скоростью 15 см в год. Однако это не значит, что наша планета будет постоянно удаляться от светила, периоды удаления могут чередоваться с периодами сближения.

Например, астроном Милутин Миланкович обнаружил, что эксцентриситет земной орбиты не постоянен, а циклически изменяется. Длительность таких циклов составляет около 100 тысяч лет, в течение которых эксцентриситет меняется от 0,005 до 0,05. Именно эти колебания являются причиной ледниковых периодов.

Устойчива ли орбита Земли?

По законам Кеплера планеты могут вращаться вокруг звезды бесконечно долго, однако из-за отклонений от этих законов возможен вариант и неустойчивости, когда планеты покидают свою орбиту или, наоборот, падают на светило. Аналитически рассчитать это невозможно, поэтому приходиться применять компьютерное моделирование.

Проведенные расчеты не позволяют однозначно предсказать судьбу планет Солнечной системы. В некоторых моделях Меркурий либо падает на Солнце, либо сталкивается с Венерой или Землей. Также он может спровоцировать столкновение других планет. Но произойдет это через миллиарды лет.

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах. 

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте. 

Как быстро и эффективно исправить почерк?  Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью. 

Законы движения планет в Солнечной системе

1. Виды траекторий небесных тел
2. Законы Кеплера
3. Задачи

п.1. Виды траекторий небесных тел

При движении небесного тела вблизи другого массивного тела (планеты или звезды), его траектория может иметь различную форму, что связано с соотношением скорости движения и космических скоростей (см. §23 данного справочника).

Например, при движении в гравитационном поле Земли с первой космической скоростью (v_1=7,92 text{км/с}) тело будет описывать окружность на относительно небольшой высоте вокруг планеты. При скорости выше первой космической, но ниже второй, орбита тела становится вытянутой – тело описывает эллипс, то приближаясь, то удаляясь от Земли. По эллиптическим орбитам движутся Луна, более мелкие естественные объекты, захваченные гравитационным полем, и искусственные спутники Земли.

Начина со второй космической скорости (v_2=11,18 text{км/с}), траектория становится незамкнутой — тело улетает от планеты по кривой, которая называется параболой. По параболе движутся межпланетные станции, которые запускаются с Земли, а также астероиды и кометы, пролетающие мимо.

Наконец, при третьей космической скорости (v_3=16,67 text{км/с}) и выше, траектория вытягивается еще больше, тело движется по гиперболе за пределы Солнечной системы.

п.2. Законы Кеплера

Законы Кеплера – три эмпирических соотношения, которые были предложены Иоганном Кеплером в 1609-1619 гг. как обобщение результатов астрономических наблюдений, полученных к тому времени.

«Где материя – там и геометрия». Иоганн Кеплер (1571-1630), немецкий математик, астроном, механик и оптик

Первый закон Кеплера
Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которых находится Солнце.

Эллипс – это плоская замкнутая кривая, для любой точки которой сумма расстояний до двух фокусов является постоянной величиной: $$ MF_1+MF_2=2a $$ где (a) — большая полуось эллипса. Ближайшая к Солнцу точка орбиты называется перигелием, а самая дальняя – афелием.

Длина большой полуоси принимается за средний радиус орбиты.

Большая полуось земной орбиты является единицей измерения расстояний – астрономической единицей: 1 а.е. = 149 597 870 700 м ≈ 150 млн.км

Второй закон Кеплера
Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причем за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади. $$ frac{Delta S}{Delta t}=const=frac{S_{text{элл}}}{T}=frac{pi ab}{T} $$ где (S_{text{элл}}=pi ab) — площадь эллипса, (T) — период обращения планеты.

Из второго закона Кеплера следует, что планета движется по орбите неравномерно: быстрее в перигелии и медленнее в афелии.

Третий закон Кеплера
Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей орбит планет. $$ frac{T_1^2}{T_2^2}=frac{a_1^3}{a_2^3} $$

Из третьего закона Кеплера следует, что период обращения увеличивается по мере удаления планет от Солнца.

Ньютон в 1684-1686 гг. дал теоретическое обоснование законов Кеплера и уточнил формулировку 3-го закона: $$ frac{T_1^2(M+m_1)}{T_2^2(M+m_2)}=frac{a_1^3}{a_2^3}, frac{T^2(M+m)}{a^3}=frac{4pi ^2}{G}=const $$ где (M) — масса Солнца, (m_1) и (m_2) — массы планет (или масса планет и их спутников соответственно). Эту уточненную формулу используют для определения масс планет и спутников, если из наблюдений становятся известны их орбиты и орбитальные периоды.

п.3. Задачи

Задача 1. Найдите среднее расстояние от Юпитера до Солнца (в астрономических единицах), если период обращения Юпитера вокруг Солнца равен 11,9 лет.

Дано:
(T_1=11,9 text{лет})
(T_2=1 text{год})
(a_2=1 text{а.е.})
__________________
(a_1-?)

Применяем 3-й закон Кеплера и в качестве «эталонной планеты» берем Землю. begin{gather*} frac{T_1^2}{T_2^2}=frac{a_1^3}{a_2^3} Rightarrow a_1^3=frac{T_1^2}{T_2^2}a_2^3 Rightarrow a_1=a_2sqrt[{3}]{left(frac{T_1}{T_2}right)^2}\[6pt] a_1=1cdot sqrt[{3}]{left(frac{11,9}{1}right)^2}=sqrt[{3}]{141,61}approx 5,2 (text{а.е.}) end{gather*} Ответ: 5,2 а.е.

Задача 2. Чему равна масса Солнца, если период обращения Земли равен 1 году, а средний радиус земной орбиты 1 а.е.≈150 млн.км?

Дано:
(T=1 text{год}approx 3,156cdot 10^7 text{с})
(a=150 text{млн.км}=1,5cdot 10^{11} text{м})
__________________
(M-?)

По формуле Ньютона для 3-го закона Кеплера begin{gather*} frac{T^2(M+m)}{a^3}=frac{4pi ^2}{G} end{gather*} Считаем массу Земли малой по сравнению с массой Солнца. Тогда begin{gather*} frac{T^2M}{a^3}approx frac{4pi ^2}{G} Rightarrow M=frac{4pi ^2}{G}cdot frac{a^3}{T^2}\[6pt] M=frac{4pi^2}{6,67cdot 10^{-11}}cdot frac{(1,5cdot 10^{11})^3}{(3,156cdot 10^7)^2}approx 2,0cdot 10^{30} (text{кг}) end{gather*} Ответ: 2,0·10³⁰ кг

Задача 3. Период обращения Ганимеда вокруг Юпитера равен 7,15 дней, средний радиус орбиты 1,07 млн.км. Чему равна масса Юпитера?

Дано:
(T=7,15 text{дней}=7,15cdot 24cdot 3600 text{с}=617760 text{с})
(a=1,07 text{млн.км}=1,07cdot 10^9 text{м})
__________________
(M-?)

По формуле Ньютона для 3-го закона Кеплера begin{gather*} frac{T^2(M+m)}{a^3}=frac{4pi ^2}{G} end{gather*} Считаем массу спутника малой по сравнению с массой Юпитера. Тогда begin{gather*} frac{T^2M}{a^3}approx frac{4pi ^2}{G} Rightarrow M=frac{4pi ^2}{G}cdot frac{a^3}{T^2}\[6pt] M=frac{4pi^2}{6,67cdot 10^{-11}}cdot frac{(1,07cdot 10^{9})^3}{(617760)^2}approx 1,9cdot 10^{27} (text{кг}) end{gather*} Ответ: 1,9· 10²⁷ кг