Равномерное движение по окружности как найти радиус

Равномерное движение тела по окружности

1. Движением тела по окружности называют движение, траекторией которого является окружность. По окружности движутся, например, конец стрелки часов, точки лопасти вращающейся турбины, вращающегося вала двигателя и др.

При движении по окружности направление скорости непрерывно изменяется. При этом модуль скорости тела может изменяться, а может оставаться неизменным. Движение, при котором изменяется только направление скорости, а её модуль сохраняется постоянным, называется равномерным движением тела по окружности. Под телом в данном случае имеют в виду материальную точку.

2. Движение тела по окружности характеризуется определёнными величинами. К ним относятся, прежде всего, период и частота обращения. Период обращения тела по окружности ​( T )​ — время, в течение которого тело совершает один полный оборот. Единица периода — ​( [,T,] )​ = 1 с.

Частота обращения ​( (n) )​ — число полных оборотов тела за одну секунду: ​( n=N/t )​. Единица частоты обращения — ( [,n,] ) = 1 с^-1 = 1 Гц (герц). Один герц — это такая частота, при которой тело совершает один оборот за одну секунду.

Связь между частотой и периодом обращения выражается формулой: ​( n=1/T )​.

Пусть некоторое тело, движущееся по окружности, за время ​( t )​ переместилось из точки А в точку В. Радиус, соединяющий центр окружности с точкой А, называют радиусом-вектором. При перемещении тела из точки А в точку В радиус-вектор повернётся на угол ​( varphi )​.

Быстроту обращения тела характеризуют угловая и линейная скорости.

Угловая скорость ​( omega )​ — физическая величина, равная отношению угла поворота ( varphi ) радиуса-вектора к промежутку времени, за которое этот поворот произошел: ​( omega=varphi/t )​. Единица угловой скорости — радиан в секунду, т.е. ​( [,omega,] )​ = 1 рад/с. За время, равное периоду обращения, угол поворота радиуса-вектора равен ​( 2pi )​. Поэтому ​( omega=2pi/T )​.

Линейная скорость тела ​( v )​ — скорость, с которой тело движется вдоль траектории. Линейная скорость при равномерном движении по окружности постоянна по модулю, меняется по направлению и направлена по касательной к траектории.

Линейная скорость равна отношению пути, пройденному телом вдоль траектории, ко времени, за которое этот путь пройден: ​( vec{v}=l/t )​. За один оборот точка проходит путь, равный длине окружности. Поэтому ​( vec{v}=2pi!R/T )​. Связь между линейной и угловой скоростью выражается формулой: ​( v=omega R )​.

Из этого равенства следует, что чем дальше от центра окружности расположена точка вращающегося тела, тем больше её линейная скорость.

4. Ускорение тела равно отношению изменения его скорости ко времени, за которое оно произошло. При движении тела по окружности изменяется направление скорости, следовательно, разность скоростей не равна нулю, т.е. тело движется с ускорением. Оно определяется по формуле: ​( vec{a}=frac{Deltavec{v}}{t} )​ и направлено так же, как вектор изменения скорости. Это ускорение называется центростремительным ускорением.

Центростремительное ускорение при равномерном движении тела по окружности — физическая величина, равная отношению квадрата линейной скорости к радиусу окружности: ​( a=frac{v^2}{R} )​. Так как ​( v=omega R )​, то ​( a=omega^2R )​.

При движении тела по окружности его центростремительное ускорение постоянно по модулю и направлено к центру окружности.

ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ

Часть 1

1. При равномерном движении тела по окружности

1) изменяется только модуль его скорости
2) изменяется только направление его скорости
3) изменяются и модуль, и направление его скорости
4) не изменяется ни модуль, ни направление его скорости

2. Линейная скорость точки 1, находящейся на расстоянии ​( R_1 )​ от центра вращающегося колеса, равна ​( v_1 )​. Чему равна скорость ​( v_2 )​ точки 2, находящейся от центра на расстоянии ​( R_2=4R_1 )​?

1) ​( v_2=v_1 )​
2) ​( v_2=2v_1 )​
3) ​( v_2=0,25v_1 )​
4) ​( v_2=4v_1 )​

3. Период обращения точки по окружности можно вычислить по формуле:

1) ​( T=2pi!Rv )​
2) ( T=2pi!R/v )​
3) ( T=2pi v )​
4) ( T=2pi/v )​

4. Угловая скорость вращения колеса автомобиля вычисляется по формуле:

1) ​( omega=a^2R )​
2) ( omega=vR^2 )​
3) ( omega=vR )
4) ( omega=v/R )​

5. Угловая скорость вращения колеса велосипеда увеличилась в 2 раза. Как изменилась линейная скорость точек обода колеса?

1) увеличилась в 2 раза
2) уменьшилась в 2 раза
3) увеличилась в 4 раза
4) не изменилась

6. Линейная скорость точек лопасти винта вертолёта уменьшилась в 4 раза. Как изменилось их центростремительное ускорение?

1) не изменилось
2) уменьшилось в 16 раз
3) уменьшилось в 4 раза
4) уменьшилось в 2 раза

7. Радиус движения тела по окружности увеличили в 3 раза, не меняя его линейную скорость. Как изменилось центростремительное ускорение тела?

1) увеличилось в 9 раз
2) уменьшилось в 9 раз
3) уменьшилось в 3 раза
4) увеличилось в 3 раза

8. Чему равен период обращения коленчатого вала двигателя, если за 3 мин он совершил 600 000 оборотов?

1) 200 000 с
2) 3300 с
3) 3·10^-4 с
4) 5·10^-6 с

9. Чему равна частота вращения точки обода колеса, если период обращения составляет 0,05 с?

1) 0,05 Гц
2) 2 Гц
3) 20 Гц
4) 200 Гц

10. Линейная скорость точки обода велосипедного колеса радиусом 35 см равна 5 м/с. Чему равен период обращения колеса?

1) 14 с
2) 7 с
3) 0,07 с
4) 0,44 с

11. Установите соответствие между физическими величинами в левом столбце и формулами для их вычисления в правом столбце. В таблице под номером физической
величины левого столбца запишите соответствующий номер выбранной вами формулы из правого столбца.

ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА
А) линейная скорость
Б) угловая скорость
В) частота обращения

ФОРМУЛА
1) ​( 1/T )​
2) ​( v^2/R )​
3) ​( v/R )​
4) ​( omega R )​
5) ​( 1/n )​

12. Период обращения колеса увеличился. Как изменились угловая и линейная скорости точки обода колеса и её центростремительное ускорение. Установите соответствие между физическими величинами в левом столбце и характером их изменения в правом столбце.
В таблице под номером физической величины левого столбца запишите соответствующий номер выбранного вами элемента правого столбца.

ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА
A) угловая скорость
Б) линейная скорость
B) центростремительное ускорение

ХАРАКТЕР ИЗМЕНЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ
1) увеличилась
2) уменьшилась
3) не изменилась

Часть 2

13. Какой путь пройдёт точка обода колеса за 10 с, если частота обращения колеса составляет 8 Гц, а радиус колеса 5 м?

Ответы

1. Основные характеристики равномерного движения по окружности

Движение по окружности часто встречается в природе и технике: по траекториям, близким к окружностям, движутся планеты вокруг Солнца, Луна и искусственные спутники Земли, точки колес и вращающихся деталей механизмов.

Мы ограничимся в нашем курсе равномерным движением по окружности. Напомним, что равномерным называют движение, при котором тело за любые равные промежутки времени проходит одинаковые пути.

Каковы же основные характеристики равномерного движения по окружности?

Прежде всего, это радиус окружности r и модуль скорости тела v (рис. 8.1). Далее мы увидим, что мгновенная скорость в каждой точке траектории направлена по касательной к траектории.

Следующей характеристикой равномерного движения по окружности является период обращения T. Он равен промежутку времени, в течение которого тело совершает один оборот.

? 1. Во сколько раз период обращения секундной стрелки меньше периода обращения часовой стрелки?

? 2. Докажите, что период обращения T, радиус окружности r и модуль скорости тела v связаны соотношением

T = 2πr/v. (1)

Частотой обращения ν называют число оборотов за единицу времени (секунду). Значение частоты не всегда целое число: например, если тело совершает 10 оборотов в секунду, то ν = 10 с^-1, а если оно совершает пол-оборота в секунду, то ν = 0,5 с^-1.

Чем больше частота обращения, тем меньше период.

? 3. Докажите, что период T и частота обращения ν связаны соотношением

ν = 1/T (2).

? 4. Чему равна частота обращения секундной стрелки, ми- К. нутной стрелки, часовой стрелки, Земли при ее суточном вращении и при ее движении вокруг Солнца?

2. Направление мгновенной скорости при движении по окружности

Поставим опыт
Затачивая инструмент с по: мощью точильного круга, можно заметить, что искры летят по касательной к кругу в точке, которой касается инструмент (рис. 8.2). Это раскаленные кусочки, оторвавшиеся от круга, поэтому их скорость в момент отрыва равна (по модулю и направлению) скорости точек диска, соприкасающихся с инструментом.

Этот опыт показывает, что при движении по окружности мгновенная скорость тела v_vec направлена по касательной к окружности в точке, где в данный момент находится тело.

Чтобы лучше осознать это, рассмотрим движение тела в течение времени Δt, малого по сравнению с периодом T. Пройденная за это время дуга окружности почти сливается с участком касательной к окружности (эта касательная показана голубой линией на рис. 8.3). А это как раз и означает, что мгновенная скорость тела направлена по касательной.

Заметим, что касательная к окружности в некоторой точке перпендикулярна радиусу окружности, проведенному в эту точку. Следовательно,
при движении по окружности мгновенная скорость тела v_vec направлена перпендикулярно радиусу, проведенному в точку, где находится тело в данный момент (см. рис. 8.1).

? 5. На рисунке 8.4 изображена траектория тела, движущегося по окружности. Перенесите рисунок в тетрадь и отметьте на нем:
а) вектор скорости тела, когда оно находится в точках А и В;
б) точку С, в которой скорость тела составляет угол 45º со скоростью тела в момент, когда оно находится в точке А.

3. Ускорение при равномерном движении по окружности

Поскольку мгновенная скорость тела направлена по касательной в каждой точке траектории, направление скорости тела при его движении по окружности изменяется. А если скорость тела изменяется любым образом (пусть даже только по направлению), то это тело движется с ускорением. Итак, при равномерном движении по окружности тело движется с ускорением.

Докажем, что
при равномерном движении тела со скоростью v по окружности радиуса r:
а) ускорение тела в каждый момент времени направлено по радиусу к центру окружности,
б) модуль ускорения a = v2/r.

Направление ускорения

Поскольку

направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора изменения скорости Δ.

Найдем изменение скорости Δ за промежуток времени Δt, малый по сравнению с периодом T.
Обозначим ₁ скорость тела в момент времени t, а ₂ скорость тела в момент времени t + Δt. Тогда

Δ =₂ – ₁.

Обозначим Δα угол, на который повернется за время Δt радиус, проведенный в точку, где находится тело (рис. 8.5, а). Угол Δα мал, если Δt мало по сравнению с T.

На такой же угол Δα повернется за время Δt и вектор скорости тела (скорость остается все время перпендикулярной радиусу).

На рисунке 8.5, б показано, как найти изменение скорости Δ.

Векторы ₁, ₂ и Δ образуют равнобедренный треугольник с основанием Δ и малым углом Δα при вершине. Поэтому углы при основании этого треугольника близки к прямым углам (это следует из того, что сумма углов треугольника 180º).

Значит, изменение скорости Δ за очень малое время Δt направлено перпендикулярно скорости, то есть по радиусу, причем к центру окружности, как показано на рисунке 8.5, в. Ускорение направлено так же, как изменение скорости Δ, следовательно, ускорение тела направлено к центру окружности.

По этой причине ускорение тела при его движении по окружности часто называют центростремительным.

Из курса физики основной школы вы уже знаете, что ускорение тела обусловлено действующими на него силами. Например, при движении Земли вокруг Солнца силой, вызывающей центростремительное ускорение Земли, является сила тяготения со стороны Солнца.

? 6. Автомобиль поворачивает на 90º по дуге окружности. Изобразите на чертеже в тетради векторы скорости и ускорения автомобиля в середине дуги поворота.

Модуль ускорения

За промежуток времени Δt тело, движущееся со скоростью v, проходит по дуге окружности путь Δl = v * Δt (это красная сплошная линия на рисунке 8.6, а).

Если Δt мало по сравнению с T, эта дуга почти не отличается от отрезка прямой. Поэтому фигура, образованная двумя радиусами r и этим отрезком, представляет собой равнобедренный треугольник с основанием Δl = v * Δt.

Этот треугольник подобен равнобедренному треугольнику, образованному скоростями Δ₁, Δ₂ и изменением скорости Δ = * Δt (он изображен на рисунке 8.6, б), поскольку углы при вершинах этих треугольников равны. Следовательно, основания указанных двух треугольников относятся, как их боковые стороны:

(a * Δt) / (v * Δt) = v/r,

откуда получаем:

a = v2/r, (4)

Центростремительное ускорение можно выразить также через ν и r или через T и r.

? 7. Докажите, что центростремительное ускорение выражается также формулами

Подсказка. Воспользуйтесь формулами (4), (1), (2).

Можно подумать, что центростремительное ускорение, обусловленное изменением только направления скорости, не может быть значительным. Убедимся, что это не всегда так.

? 8. Чтобы космонавты без вреда для здоровья переносили большие перегрузки во время старта и посадки космического корабля, их тренируют с помощью специального аппарата – огромной центрифуги (рис. 8.7). Во время тренировки в Центре подготовки космонавтов им. Ю. А. Гагарина космонавт движется в капсуле (она изображена в левой части фотографии) по окружности радиусом 18 м.

а) С каким ускорением движется космонавт, когда центрифуга делает шесть оборотов в минуту?
б) При какой частоте обращения космонавт движется с ускорением, превышающим ускорение свободного падения в 10 раз? Чему равна при этом его линейная скорость?

Чтобы испытать на себе ощущения при движении с ускорением, в несколько раз превышающем ускорение свободного падения, можно покататься на центрифуге в парке (рис. 8.8).

? 9. Радиус колеса аттракциона 10 м. Чему равен период его обращения, когда пассажиры движутся с ускорением, в 2,5 раза превышающим ускорение свободного падения?

4. Угловая скорость

Иногда используют еще одну характеристику равномерного движения по окружности – угловую скорость ω. Ее определяют соотношением

ω = Δα/t,

где Δα – угол, на который за время t поворачивается радиус, проведенный к телу из центра окружности (рис. 8.9).

При атом угол измеряют в радианах, то есть одному полному обороту соответствует поворот на угол 2π. Единица угловой скорости совпадает с единицей частоты (1 с^-1). (Напомним, что один радиан (рад) равен центральному углу, опирающемуся на дугу, длина которой равна радиусу окружности; 1 рад ≈ 57º.)

? 10. Какая скорость одинакова для всех точек минутной стрелки – линейная или угловая?

? 11. Во сколько раз угловая скорость секундной стрелки больше угловой скорости минутной стрелки?

? 12. Докажите, что угловая скорость связана с периодом обращения, частотой, радиусом окружности и скоростью соотношениями

ω = 2π/T, (7)
ω = 2πν, (8)
v = ωr. (9)

? 13.Чему равна угловая скорость движения точки поверхности Земли, обусловленная суточным вращением? Одинакова ли эта скорость для всех точек земной поверхности, находящихся: а) на одной параллели; б) на одном меридиане; в) на различных параллелях и меридианах?

? 14. Докажите, что центростремительное ускорение выражается через угловую скорость и радиус окружности формулой

a = ω2r. (10)

5. Катящееся колесо

Рассмотрим движение различных точек колеса автомобиля.

Пусть автомобиль едет со скоростью (рис. 8.10), причем его колеса катятся без проскальзывания.

Что означают слова «без проскальзывания»? Это значит, что нижняя точка колеса А покоится относительно земли (при этом шины оставляют четкие следы). Этот факт – отправная точка для нахождения скорости всех других точек колеса – например, точек В, С, D на рисунке 8.10.

Чтобы найти скорость этих точек, удобно перейти в систему отсчета, связанную с автомобилем, а потом вернуться в систему отсчета, связанную с дорогой.

В системе отсчета, связанной с автомобилем, все точки обода колеса движутся по окружности с равными по модулю скоростями. Обозначим v_вр модуль этой скорости, обусловленной вращением колеса вокруг своей оси. Выясним: как связаны скорость автомобиля v и скорость вращения v_вр точек его колеса? Именно тут нам и поможет тот факт, что нижняя точка колеса А покоится относительно земли.
Заметим, что скорость _Aвр вращения нижней точки А направлена противоположно скорости автомобиля (рис. 8.11).

Выразим через v и v_вр скорость v_А точки А в системе отсчета, связанной с дорогой. Согласно правилу сложения скоростей скорость точки А относительно дороги

A = _Aвр + .

Итак, скорости _Aвр и направлены противоположно, а их сумма _A = 0. Следовательно,

v_вр = v,

то есть скорость движения точек обода колеса в системе отсчета, связанной с автомобилем, равна но модулю скорости автомобиля.

? 15.Докажите, что скорость точки С (см. рис. 8.10) относительно дороги равна 2v.

? 16. Найдите направление и модуль скорости точек В и D (см. рис. 8.10) относительно земли.

? 17. Катушка с ниткой (рис. 8.12) может катиться по горизонтальному столу без проскальзывания. Конец нити тянут в горизонтальном направлении со скоростью, равной по модулю u (рис. 8.13). Внутренний радиус катушки r, а внешний R. Докажите, что катушка будет двигаться вправо со скоростью v = u(R/(R+r)).

Подсказка. Рассмотрите движение точки А, воспользовавшись сложением скоростей, а также тем фактом, что точка катушки, касающаяся стола, покоится относительно стола.

? 18.С какой скоростью v и в каком направлении будет двигаться катушка в случае, изображенном на рисунке 8.14?

Если вы выполнили это задание правильно, ответ может показаться вам неправдоподобным. Попробуйте проверить его на опыте, проследив за тем, чтобы катушка катилась без проскальзывания.

? 19. С какой скоростью едет велосипедист, если сорвавшаяся с колеса в точке А (рис. 8.15) капелька попала снова в эту же точку? Радиус колеса 30 см.

Подсказка. Перейдите в систему отсчета, связанную с велосипедистом.

Дополнительные вопросы и задания

Необходимые для решения задач справочные данные, не приведенные в условии задачи, вы можете найти в конце учебника (под обложкой).

20. Длина минутной стрелки настенных часов 15 см, а часовой стрелки – 10 см. Какие величины можно определить из этого условия? Чему они равны?

21. Чему равна обусловленная суточным вращением скорость точек поверхности Земли, расположенных на экваторе? Длину экватора примите равной 40000 км.

22. Две шестеренки сцеплены, как показано на рисунке 8.16. Радиусы шестеренок 60 см и 30 см. Большая шестеренка вращается с частотой 2 с^-1.

а) С какой скоростью движутся зубцы большой шестеренки?
б) По часовой стрелке или против нее движутся зубцы маленькой шестеренки? С какой скоростью они движутся?
в) Чему равна частота обращения маленькой шестеренки?

23. Диск радиусом 2 м равномерно вращается вокруг своей оси с периодом 0,5 с. Начертите графики зависимости скорости v и ускорения a точки диска от расстояния r до центра диска.

24. Наблюдения колец Сатурна (рис. 8.17) показали, что чем дальше от планеты находится участок кольца, тем меньше его скорость. Могут ли кольца Сатурна быть сплошными? Обоснуйте свой ответ.

Самолет летит вдоль 60-й параллели. Во время всего полета его пассажиры наблюдают Солнце в одной и той же точке небосвода. Длину экватора примите равной 40000 км.
а) В каком направлении летит самолет?
б) За какое время он совершит полный круг?
в) Какой путь самолет пролетит за это время?
г) С какой скоростью летит самолет?

26. Два тела равномерно движутся по окружностям радиусом 10 см и 1 м соответственно. У какого тела ускорение больше и во сколько раз, если:
а) скорости тел равны?
б) периоды обращения тел равны?

27. Во сколько раз ускорение точек земной поверхности на экваторе меньше ускорения свободного падения g? Во сколько раз надо было бы уменьшить продолжительность суток, чтобы оно стало равным g?

Равномерное движение по окружности – это простейший пример криволинейного движения. Например, по окружности движется конец стрелки часов по циферблату. Скорость движения тела по окружности носит название линейная скорость.

При равномерном движении тела по окружности модуль скорости тела с течением времени не изменяется, то есть v = const, а изменяется только направление вектора скорости Тангенциальное ускорение в этом случае отсутствует (a_r = 0), а изменение вектора скорости по направлению характеризуется величиной, которая называется центростремительное ускорение (нормальное ускорение) a_n или а_ЦС. В каждой точке траектории вектор центростремительного ускорения направлен к центру окружности по радиусу.

Модуль центростремительного ускорения равен

a_ЦС=v² / R

Где v – линейная скорость, R – радиус окружности

Рис. 1.22. Движение тела по окружности.

Когда описывается движение тела по окружности, используется угол поворота радиуса – угол φ, на который за время t поворачивается радиус, проведённый из центра окружности до точки, в которой в этот момент находится движущееся тело. Угол поворота измеряется в радианах. Радиан равен углу между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу окружности (рис. 1.23). То есть если l = R, то

1 радиан= l / R

Так как длина окружности равна

l = 2πR

то

360^о = 2πR / R = 2π рад.

Следовательно

1 рад. = 57,2958^о = 57^о18’

Угловая скорость равномерного движения тела по окружности – это величина ω, равная отношению угла поворота радиуса φ к промежутку времени, в течение которого совершён этот поворот:

ω = φ / t

Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду [рад/с]. Модуль линейной скорости определяется отношением длины пройденного пути l к промежутку времени t:

v= l / t

Линейная скорость при равномерном движении по окружности направлена по касательной в данной точке окружности. При движении точки длина l дуги окружности, пройденной точкой, связана с углом поворота φ выражением

l = Rφ

где R – радиус окружности.

Тогда в случае равномерного движения точки линейная и угловая скорости связаны соотношением:

v = l / t = Rφ / t = Rω или v = Rω

Рис. 1.23. Радиан.

Период обращения – это промежуток времени Т, в течение которого тело (точка) совершает один оборот по окружности.Частота обращения – это величина, обратная периоду обращения – число оборотов в единицу времени (в секунду). Частота обращения обозначается буквой n.

n = 1 / T

За один период угол поворота φ точки равен 2π рад, поэтому 2π = ωT, откуда

T = 2π / ω

То есть угловая скорость равна

ω = 2π / T = 2πn

Центростремительное ускорение можно выразить через период Т и частоту обращения n:

a_ЦС = (4π²R) / T² = 4π²Rn²

Равномерное движение по окружности.

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: движение по окружности с постоянной по модулю скоростью, центростремительное ускорение.

Равномерное движение по окружности — это достаточно простой пример движения с вектором ускорения, зависящим от времени.

Пусть точка вращается по окружности радиуса . Скорость точки постоянна по модулю и равна . Скорость называется линейной скоростью точки.

Период обращения — это время одного полного оборота. Для периода имеем очевидную формулу:

. (1)

Частота обращения — это величина, обратная периоду:

.

Частота показывает, сколько полных оборотов точка совершает за секунду. Измеряется частота в об/с (обороты в секунду).

Пусть, например, . Это означает, что за время точка совершает один полный
оборот. Частота при этом получается равна: об/с; за секунду точка совершает 10 полных оборотов.

Угловая скорость.

Рассмотрим равномерное вращение точки в декартовой системе координат. Поместим начало координат в центре окружности (рис. 1).

Рис. 1. Равномерное движение по окружности

Пусть — начальное положение точки; иными словами, при точка имела координаты . Пусть за время точка повернулась на угол и заняла положение .

Отношение угла поворота ко времени называется угловой скоростью вращения точки:

. (2)

Угол , как правило, измеряется в радианах, поэтому угловая скорость измеряется в рад/с. За время, равное периоду вращения, точка поворачивается на угол . Поэтому

. (3)

Сопоставляя формулы (1) и (3), получаем связь линейной и угловой скоростей:

. (4)

Закон движения.

Найдём теперь зависимость координат вращающейся точки от времени. Видим из рис. 1, что

.

Но из формулы (2) имеем: . Следовательно,

. (5)

Формулы (5) являются решением основной задачи механики для равномерного движения точки по окружности.

Центростремительное ускорение.

Теперь нас интересует ускорение вращающейся точки. Его можно найти, дважды продифференцировав соотношения (5):

С учётом формул (5) имеем:

(6)

Полученные формулы (6) можно записать в виде одного векторного равенства:

(7)

где — радиус-вектор вращающейся точки.

Мы видим, что вектор ускорения направлен противоположно радиус-вектору, т. е. к центру окружности (см. рис. 1). Поэтому ускорение точки, равномерно движущейся по окружности, называется центростремительным.

Кроме того, из формулы (7) мы получаем выражение для модуля центростремительного ускорения:

(8)

Выразим угловую скорость из (4)

и подставим в (8). Получим ещё одну формулу для центростремительного ускорения:

.

Физика, 10 класс

Урок 04.Равномерное движение точки по окружности

Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке:

1. Равномерное движение точки по окружности и его характеристики.
2. Центростремительное ускорение.

Глоссарий по теме

Криволинейное движение – это движение по дугам окружностей разных радиусов.

Ускорение – это векторная величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло, при ∆t → 0

Равномерное движение точки по окружности — движение точки с постоянной по модулю скоростью (ν = const) по траектории, представляющей собой окружность.

Ключевые слова

Криволинейное движение; движение по окружности; скорость; радиус кривизны; изменение скорости; центростремительное ускорение.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. Физика.10 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.: Просвещение, 2016. С.55-56

Марон Е.А., Марон А.Е. Сборник качественных задач по физике. М., Просвещение, 2006

Рымкевич А.П. Сборник задач по физике. 10-11 класс.-М.:Дрофа,2009.-С.20-22

Открытые электронные ресурсы:

http://kvant.mccme.ru/1986/11/kinematika_vrashchatelnogo_dvi.htm

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Мы уже знакомы с равноускоренным движением. Как же меняются скорость и ускорение при криволинейном движении? Сегодня рассмотрим равномерное движение по окружности, узнаем, что такое центростремительное ускорение.

Если траектория движения тела прямая линия, то движение прямолинейное; если траектория кривая линия – криволинейное движение. Напомним, что траектория – это линия, вдоль которой двигалось тело.

При изучении равноускоренного движения мы заметили, что в некоторых случаях тело движется по прямой, например свободное падение тел, а в некоторых по кривой – тело, брошенное под углом к горизонту.

Рассмотрим движение тела, брошенного под углом к горизонту. Траекторией является парабола.

Возьмем разные точки на линии и нарисуем векторы скорости . Вектор скорости направлен по касательной, а ускорение свободного падения направлен вниз.

Векторы и не лежат на одной прямой, угол между ними не равен нулю.

Это естественно, так как, если ускорение образует угол со скоростью, то изменение скорости направлено не так, как скорость. Это приводит к изменению направления скорости. Изменение скорости направлено как ускорение. Скорость через некоторый промежуток времени образует некоторый угол с Итак, сформулируем первый вывод: если угол между векторами скорости и ускорения не равен нулю, то движение будет криволинейным.

2.Может ли быть движение одновременно равномерным и криволинейным? Да, например, движение по окружности.

Равномерное движение точки по окружности — это движение точки с постоянной по модулю скоростью (v = const) по траектории, представляющей собой окружность. Но, скорость – это векторная величина, а для векторной величины одинаково важны и модуль, и направление. Т.к. при движении по окружности скорость всегда направлена по касательной к траектории движения, то по направлению она изменяется. Если есть изменение скорости (точнее её направления), значит, есть ускорение

Сформулируем второй важный вывод: любое криволинейное движение является движением с ускорением, потому что меняется направление вектора скорости.

Решим задачу: найдем ускорение тела, равномерно движущегося по окружности.

Рассмотрим равномерное движение тела по окружности с центром в точке О. В какой-то момент времени, скорость тела в точке А была_.

Модули скоростей равны:

но вектора скоростей не равны.

Поэтому построим вектор для тела, движущегося по окружности. Перенесем вектор в начало вектораи найдем разность векторов.

направлен в сторону.

Вспомним, что векторнаправлен по касательной_, а касательная перпендикулярна радиусу окружности. Проведем радиусы к обеим точкам и обозначим угол между ними через ?.

Что можно сказать об угле между векторами ? Он равен малому углу, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.

Рассмотрим равнобедренный треугольник со сторонами , . Углы у основания равны.

Если угол φ стремится к нулю, то углы у основания совпадут и станут равными 90⁰

Вектор будет перпендикулярен вектору в пределе_, а значит вектор ускорения тоже перпендикулярен т.е направлен по радиусу к центру окружности. Поэтому часто его называют центростремительным ускорением

Теперь следующая задача: как найти модуль вектора ускорения. Давайте рассмотрим два треугольника: треугольник, образованный векторами и треугольник, образованный радиусами и хордой. У этих треугольников углы при вершинах равны, они равнобедренные. Треугольники подобны и, следовательно, выполняются соотношения подобия.

Промежуток времени мал, поэтому очень мал и угол при вершине, в пределе он стремится к нулю. Тогда можно сказать, что длина хорды s равна длине дуги АВ при

Длина дуги АВ это путь, пройденный точкой от А до В,

тогда запишем:

Умножим наи получим:

В левой части мы получили отношение изменения скорости за некоторый промежуток времени к этому промежутку времени т.е. ускорение:

Равномерное движение точки по окружности является движением с переменным ускорением и переменной скоростью. Модули скорости и ускорения остаются постоянными

1. Криволинейное движение — это движение по дугам окружностей разных радиусов.

А если меняется радиус, то меняется и центростремительное ускорение. Чем меньше радиус, тем больше ускорение при одинаковой скорости.

Всегда при равномерном криволинейном движении вектор ускорения перпендикулярен вектору скорости, поэтому центростремительное ускорение иногда называют нормальным ускорением, от слова нормаль, т.е. перпендикуляр.

Основные выводы:

— движение криволинейное, так как траекторией является окружность;

— движение равномерное, так как модуль скорости не меняется;

— вектор скорости направлен по касательной к окружности;

-вектор ускорения направлен к центру окружности;

— модуль центростремительного ускорения равен:

Примеры и разбор решения заданий

1. Велосипедист движется по закруглению дороги радиусом 50 м со скоростью 36 км/ч. С каким ускорением он проходит закругление?

При движении по окружности линейная скорость и центростремительное ускорение связаны соотношением

где R = 50 м; υ= км/ч = 10 м/с.

Тогда a_c = (10 м/с)² / 50 м = 2 м/с².

Ответ: 2 м/с²

2. Две материальные точки движутся по окружностям радиусами R₁ = 10 см и R₂ = 30 см с одинаковыми скоростями 0,20 м/с. Во сколько раз отличаются их центростремительные ускорения?

Дано:

R₁ =10см = 0,10 м

R₂ = 30см = 0,30 м

Найти —

Задано два объекта:

1) материальная точка, которая движется по окружности R₁;

2) материальная точка, которая движется по окружности R₂.

При движении по окружности центростремительное ускорение и линейная скорость связаны соотношением

Для тела 1 уравнение (1) примет вид:

для тела 2:

Тогда

Центростремительное ускорение тела (2) меньше ускорения тела (1) в 3 раза.