Разность логарифмов как найти

Основные свойства логарифмов

2 февраля 2017

• Скачать все формулы

Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами.

Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Итак, приступим.

Сложение и вычитание логарифмов

Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: log_a x и log_a y. Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

1. log_a x + log_a y = log_a (x · y);
2. log_a x − log_a y = log_a (x : y).

Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают!

Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры — и убедитесь:

Задача. Найдите значение выражения: log₆ 4 + log₆ 9.

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log₆ 4 + log₆ 9 = log₆ (4 · 9) = log₆ 36 = 2.

Задача. Найдите значение выражения: log₂ 48 − log₂ 3.

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log₂ 48 − log₂ 3 = log₂ (48 : 3) = log₂ 16 = 4.

Задача. Найдите значение выражения: log₃ 135 − log₃ 5.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log₃ 135 − log₃ 5 = log₃ (135 : 5) = log₃ 27 = 3.

Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.

Вынесение показателя степени из логарифма

Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

1. log_a xⁿ = n · log_a x;
2. 
3. 

Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.

Задача. Найдите значение выражения: log₇ 49⁶.

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log₇ 49⁶ = 6 · log₇ 49 = 6 · 2 = 12

Задача. Найдите значение выражения:

Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 2⁴; 49 = 7². Имеем:

Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.

Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log₂ 7. Поскольку log₂ 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.

Переход к новому основанию

Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Пусть дан логарифм log_a x. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

В частности, если положить c = x, получим:

Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:

Задача. Найдите значение выражения: log₅ 16 · log₂ 25.

Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log₅ 16 = log₅ 2⁴ = 4log₅ 2; log₂ 25 = log₂ 5² = 2log₂ 5;

А теперь «перевернем» второй логарифм:

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.

Задача. Найдите значение выражения: log₉ 100 · lg 3.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

Основное логарифмическое тождество

Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:

1. n = log_a aⁿ
2. 

В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.

Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: основное логарифмическое тождество.

В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a? Правильно: получится это самое число a. Внимательно прочитайте этот абзац еще раз — многие на нем «зависают».

Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.

Задача. Найдите значение выражения:

Заметим, что log₂₅ 64 = log₅ 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.

1. log_a a = 1 — это логарифмическая единица. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
2. log_a 1 = 0 — это логарифмический ноль. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a⁰ = 1 — это прямое следствие из определения.

Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.

Смотрите также:

1. Тест к уроку «Что такое логарифм» (тяжелый)
2. Как решать простейшие логарифмические уравнения
3. Не пишите единицы измерения в задаче B12
4. Что такое логарифм
5. Сложные задачи на проценты
6. Задача B4: экономика

Начнем с простого. Как решить уравнение (displaystyle {{2}^{x}}=8)?

Очень легко – просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число (2) чтобы получить (8)?

Решаем методом подбора: два в первой степени – нет, два во второй степени – нет, два в третей степени – ДА! 

Двойку нужно возвести в ТРЕТЬЮ степень, чтобы получить восемь ((displaystyle {{2}^{3}}=8)) и значит решением уравнения будет число три ((x=3)).

Следующий вопрос. Как решить уравнение (displaystyle {{2}^{x}}=5)?

Опять просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число (2), чтобы получить число (5)?

Попытаемся подобрать: два во второй степени равно четыре – мало, два в третьей степени равно восемь – много.

Метод подбора сразу ответ не дает… Да и вообще, в этом случае подобрать решение не получится – ведь это не только нецелое число, это число даже не рациональное.

Для нахождения таких решений было придумано понятие логарифм:

(displaystyle x={{log }_{2}}5).

В общем виде он записывается так: 

То есть логарифм – это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. 

Если ты посчитаешь на калькуляторе, то получишь (2,321928ldots ) и т.д. Это число иррациональное. Оно мало того, что не подбирается, оно еще и не кончается…

Ну и как с такими числами работать? Как их запоминать? Как их записывать? 

В нашем случае решение уравнения можно записать как (2,321928ldots ) или как (displaystyle {{log }_{2}}5).

Согласись второе выражение гораздо удобнее, чем первое. И оно, кстати, абсолютно точное. Словами это произносится как: 

Решением уравнения два в степени икс равно пяти является логарифм пяти по основанию два, или логарифм по основанию два от пяти.

Кстати, а ты заметил что и у степени числа и у логарифма основание всегда находится «ВНИЗУ». Легко запомнить правда? А вот «вверху», у степени находится ее показатель, а у логарифма – аргумент.

Выражение (displaystyle {{2}^{3}}=8) можно также записать в виде (displaystyle {{log }_{2}}8=3). Читается так:

«Логарифм восьми по основанию два равен трем» 

или 

«Логарифм по основанию два от восьми равен трем»

Теперь более общая запись:

Читается так:

«Логарифм по основанию (a) от (b) равен (c)»,

и означает:

«Чтобы получить число (b), нужно число (a) возвести в степень (c)»:

Иными словами, (displaystyle {{log }_{a}}b) – это степень, в которую нужно возвести (a), чтобы получить (b).

8 примеров вычисления логарифмов

Пример 1 

Чему равен (displaystyle {{log }_{2}}4)?

(displaystyle {{log }_{2}}4=2), так как число (2) нужно возвести во вторую степень, чтобы получить (4).

Пример 2

Чему равен (displaystyle {{log }_{2}}frac{1}{8})?

Заметим, что (displaystyle 8={{2}^{3}}), тогда (displaystyle frac{1}{8}=frac{1}{{{2}^{3}}}={{2}^{-3}}), то есть (2) нужно возвести в степень (-3), чтобы получить (displaystyle frac{1}{8}).

Значит  (displaystyle {{log }_{2}}frac{1}{8}=-3)

Пример 3

А чему равен (displaystyle {{log }_{2}}0,25)?

Обращать внимание нужно, в первую очередь, на основание. Возможно ли представить (0,25) как (2) в какой-то степени? Да, возможно: запишем это число в виде обычной дроби: (displaystyle 0,25=frac{1}{4}=frac{1}{{{2}^{2}}}={{2}^{-2}}).

Значит, (displaystyle {{log }_{2}}0,25=-2).

Пример 4

Чему равен (displaystyle {{log }_{7}}1)?

В какую степень надо возвести (7), чтобы получить (1)? Вспоминаем, что любое число в нулевой степени равно (1) (подробнее читай в разделе «Степень и ее свойства»).

Значит, (displaystyle {{log }_{7}}1=0). Более того, логарифм с любым основанием от единицы равен (0).

Пример 5

(displaystyle {{log }_{4}}2). В этом случае аргумент (2) равен корню основания: (displaystyle 2=sqrt{4}).

Но мы помним, что корень тоже можно представить в виде степени (с дробным показателем): (displaystyle 2=sqrt{4}={{4}^{frac{1}{2}}}text{ }Rightarrow text{ }{{log }_{4}}2=frac{1}{2}).

Когда нужная степень не подбирается

Как я уже говорил, далеко не всегда удается подобрать такую степень. Но это не значит, что такого числа не существует, просто его можно вычислить только на калькуляторе.

Например, (displaystyle {{log }_{2}}5=2,321928…).

Видим, что это число расположено между (displaystyle 2) и (displaystyle 3), и это понятно: ведь это значит, чтобы получить (5), нужно (2) возводить в степень больше (2), но меньше (3).

На ЕГЭ пользоваться калькулятором нельзя, но даже если бы было можно, нельзя записывать приближенные вычисления.

Поэтому, если перед нами задача первой части, ответ обязательно должен получиться «хороший», и его можно посчитать в уме.

 В письменной части могут попасться и «плохие» числа; в этом случае пугаться не нужно, в ответе можно просто написать логарифм.

Например, ответ вполне может выглядеть так:

(displaystyle {{log }_{3}}10), или даже так: (displaystyle frac{2+{{log }_{3}}7}{5}).

Получается, что теперь мы можем мгновенно записать решение любого элементарного показательного уравнения:

(displaystyle {{3}^{x}}=8)? Легко: (displaystyle x={{log }_{3}}8).

(displaystyle {{17}^{x}}=0,387)? (displaystyle x={{log }_{17}}0,387)

(displaystyle {{0,56}^{x}}=23,7)? (displaystyle x={{log }_{0,56}}23,7). 

И так далее.

Но увлекаться и халтурить тоже не стоит – если в ответе оставить (displaystyle x={{log }_{3}}81), высший балл за задачу не поставят.

То есть, если ответ возможно упростить и представить в виде рационального числа, это обязательно нужно будет сделать. 

Потренируйся на следующих простых примерах:

Начнем с простого: допустим, что ( a=1). Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили ( 1), всегда получается ( 1).

Более того, ( displaystyle {{log }_{1}}b) не существует ни для какого ( displaystyle bne 1).

Но при этом ( displaystyle {{log }_{1}}1) может равняться чему угодно (по той же причине – ( 1) в любой степени равно ( 1)).

Поэтому объект не представляет никакого интереса, и его просто выбросили из математики.

Похожая проблема у нас и в случае ( a=0): ( 0) в любой положительной степени – это ( 0), а в отрицательную его вообще нельзя возводить, так как получится деление на ноль (напомню, что ( displaystyle {{a}^{-c}}=frac{1}{{{a}^{c}}})).

При ( a<0) мы столкнемся с проблемой возведения в дробную степень (которая представляется в виде корня: ( displaystyle {{a}^{frac{m}{n}}}=sqrt[n]{{{a}^{m}}}).

Например, ( displaystyle {{log }_{4}}2=frac{1}{2}) (то есть ( displaystyle {{4}^{frac{1}{2}}}=sqrt{4}=2)), а вот ( displaystyle {{log }_{-4}}2) не существует.

Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.

Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное.

Значит, аргумент должен быть положительным.

Например, ( displaystyle {{log }_{2}}left( -4 right)) не существует, так как ( 2) ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому ( displaystyle {{log }_{2}}0) тоже не существует).

В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ. 

Приведу пример:

Решим уравнение ( displaystyle {{log }_{x}}left( x+2 right)=2).

Вспомним определение: логарифм ( displaystyle {{log }_{x}}left( x+2 right)) – это степень, в которую надо возвести основание ( x), чтобы получить аргумент ( displaystyle left( x+2 right)).

И по условию, эта степень равна ( 2): ( displaystyle {{x}^{2}}=x+2).

Получаем обычное квадратное уравнение: ( displaystyle {{x}^{2}}-x-2=0).

Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна ( 1), а произведение ( -2). Легко подобрать, это числа ( 2) и ( -1).

Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу на ЕГЭ.

Почему?

Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?

( displaystyle x=2text{: }{{log }_{2}}left( 2+2 right)={{log }_{2}}4=2) – верно.

( displaystyle x=-1text{: }{{log }_{-1}}left( -1+2 right)=2) – это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень ( x=-1) – «сторонний».

Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:

Пример 1 (попробуй решить самостоятельно)

Найдите корень уравнения ( displaystyle {{log }_{x+1}}left( 2x+5 right)=2). Если корней несколько, в ответе укажите меньший из них.

Решение:

( displaystyle {{log }_{x+1}}left( 2x+5 right)=2).

Свойство 3 – разность логарифмов

Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного:( displaystyle lo{{g}_{a}}b-{{log }_{a}}c={{log }_{a}}frac{b}{c}).

Доказательство:

Все точно так же, как и в пункте 2:

Пусть ( displaystyle {{log }_{a}}b=x), тогда ( displaystyle {{a}^{x}}=b).

Пусть ( displaystyle {{log }_{a}}c=y), тогда ( displaystyle {{a}^{y}}=c).

Имеем:

( displaystyle {{log }_{a}}left( frac{b}{c} right)={{log }_{a}}left( frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{y}}} right)={{log }_{a}}{{a}^{x-y}}=x-y={{log }_{a}}b-{{log }_{a}}c), ч.т.д.

( displaystyle {{log }_{a}}b-{{log }_{a}}c={{log }_{a}}left( frac{b}{c}cdot c right)-{{log }_{a}}c={{log }_{a}}frac{b}{c}+{{log }_{a}}c-{{log }_{a}}c={{log }_{a}}frac{b}{c}), ч.т.д.

Пример из прошлого пункта теперь становится еще проще:

( displaystyle {{log }_{5}}250-{{log }_{5}}2={{log }_{5}}frac{250}{2}={{log }_{5}}125={{log }_{5}}{{5}^{3}}=3).

Пример посложнее: ( displaystyle log _{2}^{2}2sqrt{3}-log _{2}^{2}sqrt{3}-{{log }_{2}}3).

Догадаешься сам, как решить?

Здесь нужно заметить, что у нас нету ни одной формулы про логарифмы в квадрате. Это что-то сродни выражению ( displaystyle {{2}^{{{x}^{2}}}}) – такое сразу не упростить.

Поэтому отвлечемся от формул про логарифмы, и подумаем, какие вообще формулы мы используем в математике чаще всего? Еще начиная с 7 класса!

Это – формулы сокращенного умножения. Нужно привыкнуть к тому, что они везде! И в показательных, и в тригонометрических, и в иррациональных задачах они встречаются. Поэтому их нужно обязательно помнить.

Нажми на ссылку «Формулы сокращенного умножения», и внимательно на них посмотри. Какую из них можно применить здесь?

Если присмотреться к первым двум слагаемым, становится ясно, что это разность квадратов:

( displaystyle log _{2}^{2}2sqrt{3}-log _{2}^{2}sqrt{3}=left( {{log }_{2}}2sqrt{3}-{{log }_{2}}sqrt{3} right)left( {{log }_{2}}2sqrt{3}+{{log }_{2}}sqrt{3} right)).

Дальше все просто – применяем только что выученные правила 2 и 3. Что получилось?

Ответ для проверки:

( displaystyle log _{2}^{2}2sqrt{3}-log _{2}^{2}sqrt{3}-{{log }_{2}}3=).

( displaystyle=left( {{log }_{2}}2sqrt{3}-{{log }_{2}}sqrt{3} right)left( {{log }_{2}}2sqrt{3}+{{log }_{2}}sqrt{3} right)-{{log }_{2}}3=).

( displaystyle={{log }_{2}}frac{2sqrt{3}}{sqrt{3}}cdot {{log }_{2}}left( 2sqrt{3}cdot sqrt{3} right)-{{log }_{2}}3=).

( displaystyle={{log }_{2}}2cdot {{log }_{2}}left( 2cdot 3 right)-{{log }_{2}}3=1cdot left( 1+{{log }_{2}}3 right)-{{log }_{2}}3=1.).

Упрости сам:

• ( displaystyle {{log }_{3}}4-{{log }_{3}}12)
• ( displaystyle {{log }_{0,3}}3-{{log }_{0,3}}10)
• ( displaystyle {{log }_{1,75}}28+{{log }_{1,75}}2-{{log }_{1,75}}32)
• ( displaystyle lg sqrt{0,05}-lg sqrt{5})
• ( displaystyle {{lg }^{2}}2sqrt{5}-{{lg }^{2}}5sqrt{2}-frac{3}{2}lg sqrt{frac{2}{5}})

Ответы:

План урока:

Понятие логарифма

Ограничения, связанные с логарифмом

Основные свойства логарифмов

Функция логарифма

Три основных вида логарифмов

Преобразования логарифмических выражений

Переход к новому основанию алгоритма

Использование логарифма для вычислений

Логарифмическая функция в природе и науке

Понятие логарифма

Великий ученый Пьер-Симон Лаплас говорил, что изобретение логарифмов продлило жизнь астрономов вдвое, ведь с их помощью астрономические расчеты, которые ранее занимали несколько месяцев, стало возможно выполнять за считанные дни. Что же представляют собой логарифмы и как они так сильно упрощают вычисления? Для ответа на этот вопрос сначала следует вспомнить показательные уравнения.

Рассмотрим простейшее показательное уравнение 2^х = 4. Так как 2² =4, то, очевидно, оно имеет единственный корень, равный 2. Найти его можно не только аналитически, но и графически:

Далее посмотрим на уравнение 2^х = 8. Так как восьмерка – это двойка в кубе (2³ = 8), то единственным корнем ур-ния будет число 3. Также проиллюстрируем это с помощью графика:

Однако если мы попытаемся решить уравнение 2^х = 6, то мы столкнемся с проблемами. Представить шестерку как какую-то степень двойки не получается. Графический метод показывает, что у этого ур-ния есть единственный корень, который лежит между числами 2 и 3, но точно определить его значение не получается:

Можно доказать (мы не будем этого делать), что искомый нами корень невозможно выразить с помощью дробей и даже корней n-ой степени. Поэтому возникает необходимость ввести какое-то новое обозначение, чтобы записывать корни таких уравнений. Математики придумали для такого числа обозначение log₂ 6, которое читается как «логарифм шести по основанию два».

Рассмотрим теперь более общий случай. Пусть есть некоторое ур-ние

Если число b положительно, то уравнение имеет корень, и при том единственный. Для его обозначения используется запись log_ab. Покажем, как графически показать значение величины log_ab. Для этого надо построить показательную функцию у = а^х и горизонтальную линию у = b. Они пересекутся в единственной точке (если b положительно). Абсцисса (координата х) этой точки и будет равна log_ab:

Дадим строгое определение логарифма:

Задание. Какое число является решением показательного уравнения

Задача. Слиток радиоактивного изотопа, чей период полураспада (его обозначают буквой Т) составляет 10 минут, имеет начальную массу (m₀), равную 1 кг. Через сколько минут его вес уменьшится до 300 грамм (0,3 кг)? Масса радиоактивного изотопа изменяется по закону

m(t) = m₀•2^–t/T

Решение. Подставим исходные данные в формулу, и получим уравнение с неизвестной величиной t:

0,2 = 1•2^–t/10

0,3 = 2^–t/10

Получили простейшее показательное уравнение, однако его левую часть (число 0,3) нельзя представить как степень двойки. Однако с помощью определения логарифма мы можем записать, что

– t/10 = log₂ 0,3

Умножаем ур-ние на (– 10) и получаем:

t = – 10 log₂ 0,3

С помощью калькулятора или компьютера можно узнать, что

log₂ 0,3 ≈ – 1,737

Тогда искомое нами время примерно равно

t = – 10 log₂ 0,3 ≈ – 10•(– 1,737) ≈ 17,37 минут ≈ 17 минут 22 секунды

Ответ: – 10 log₂ 0,3 минут ≈ 17 минут 22 секунды.

Из задачи видно, что с логарифмы используются и при решении некоторых практических задач.

Иногда бывает удобнее использовать иное определение, которое по своей сути почти не отличается от первого:

Вычислим для примера несколько простейших логарифмов:

Ограничения, связанные с логарифмом

Заметим, что сам логарифм может оказаться любым вещественным числом, ведь мы умеем возводить числа и в отрицательные, и в дробные, и даже в иррациональные степени. Однако для логарифма log_ab некоторые ограничения накладываются на значение числа а (оно называется основанием логарифма) и на значение числа b (будем называть его аргументом логарифма).

Напомним, что при определении показательной функции у = а^х было введено ограничение, согласно которому основание степени (число а) должно быть строго положительным числом и при этом НЕ может равняться единице. Из-за этого и основание логарифма должно также соответствовать этому ограничению. Основание логарифма и основание показательной функции даже специально обозначают одной буквой а, чтобы связь этих двух понятий была очевидней.

Также напомним, что показательное уравнение а^х = b имеет решение только при положительных значениях b. Это решение и представляет собой log_ab. Если же число b отрицательно, то корня у уравнения нет, а значит и вычислить log_ab невозможно. Поэтому аргумент логарифма не может быть отрицательным.

Сформулируем эти ограничения в виде одного правила:

Ранее мы уже сталкивались с тремя случаями, когда выражения не имеют смысла. Во-первых, это происходит при делении на ноль (или нахождении нуля в знаменателе дроби, что, по сути, одно и то же). Во-вторых, выражения бессмысленны, если под корнем четной степени находится отрицательное число. В-третьих, не имеют смысла выражения, в которых отрицательные числа возводятся в дробную степень, ведь возведение в дробную степень можно заменить извлечением корня

а отрицательное число не должно оказываться под знаком корня

Сейчас мы узнали четвертый подобный случай, связанный с понятием логарифма. Больше в рамках школьного не будут рассматриваться никакие другие ситуации, в которых выражение может потерять смысл.

Основные свойства логарифмов

Любое число, возведенной в первую степень, равно самому себе. То есть справедливо равенство

а¹ = а

Из него, пользуясь определением логарифма, получаем первое важное его свойство: log_аa = 1.

Продемонстрируем использование этого правила:

Любое число при возведении в нулевую степень равно единице:

Из этого следует второе важное правило: логарифм единицы по любому основанию равен нулю:

Покажем несколько примеров использования этого тривиального правила:

Для получения третьего свойства логарифма запишем очевидно справедливое равенство:

Пользуясь определением логарифма, мы можем записать, что log_aa^c = c.

Продемонстрируем, как работает это свойство логарифмов:

Это правило можно применить для вычисления некоторых простейших логарифмов:

Логарифм log_ab, согласно одному из своих определений, это та степень, в которую нужно возвести а, чтобы получилось b. Это определение можно представить в виде формулы:

Данное равенство называют основным логарифмическим тождеством.

В силу этого тождества справедливы следующие равенства:

Функция логарифма

Арифметическое действие, в ходе которого находят логарифм какого-либо числа, называется логарифмированием. Это действие является обратным по отношению к возведению в степень. Проиллюстрируем это табличкой, в которой слева будет показана операция возведения в степень, а справа – логарифмирование:

Теперь подумаем о функции у = log_ax. Так как логарифмирование является обратным действием для возведения в степень, то и ф-ция у = log_ax должна быть обратной для показательной ф-ции у = а^х.

В свою очередь это означает, что графики этих двух функций должны быть симметричны относительно прямой, задаваемой уравнением у = х.

Напомним, что на вид показательной функции у = а^х влияет значение основания степени а. Если оно больше единицы, то функция оказывается возрастающей. Тогда и обратная ей логарифмическая функция также окажется возрастающей. Для примера построим графики у = 2^х и у = log₂x.

Полученный график логарифмической функции называют логарифмической кривой, однако понятно, что она представляет собой всё ту же экспоненту, которую отобразили симметрично относительно оси Ох.

График у = log₂x можно и построить иначе, по точкам, просто вычислив ее значение в нескольких «удобных» для вычисления точках:

Видно, что в обоих случаях получился один и тот же график. Похожим будет и график любой функции у =log_ax, если число а будет больше единицы.

Ситуация меняется в том случае, когда а < 1, ведь при таком основании показательная функция у = а^х будет убывающей. Тогда убывающим окажется и логарифмическая функция. Для примера построим график ф-ции = 0,5^х и график обратной ей функции у = log_0,5x:

Возможно, вы заметили, что графики у = log₂x и у = log_0,5xчем-то похожи друг на друга. И действительно, если построить их на одной плоскости, то мы увидим, что они симметричны относительно оси Ох:

Причиной такой симметрии является то, что их основания, числа 2 и 0,5, являются обратными числами, то есть при перемножении дают единицу (2•0,5 = 1).

Аналогично такой же симметрией будут обладать любые две логарифмические кривые с обратными основаниями. Это свойство логарифмов мы докажем чуть позднее.

Далее построим ещё несколько графиков, чтобы лучше понять свойства логарифмических функции:

Анализируя полученные графики, мы можем заметить следующие свойства функции логарифма:

Область определения логарифмической функции – это множество всех положительных чисел, то есть промежуток (0; + ∞). Действительно, выражение log_аb имеет смысл только тогда, когда число b> 0.

Областью значения логарифмической функции является множество всех действительных чисел, то есть промежуток(– ∞; + ∞).

Логарифмическая функция является строго монотонной. При этом при основании а > 1 она возрастает, а при основании 0 <a< 1 она убывает.

График каждой логарифмической функции проходит через точку (1; 0). Это связано с тем, что для любого основания справедливо равенство log_a 1 = 0.

Три основных вида логарифмов

Математика изучает логарифмы с любыми положительными основаниями. Однако на практике наиболее распространены три их вида.

Первым из них является десятичный логарифм, основание которого равно 10. Дело в том, что его помощью до изобретения калькуляторов и компьютеров можно было быстро и с высокой точностью перемножать большие числа, используя такой прибор, как логарифмическая линейка. История понятия логарифма начиналась в XVI-XVII веках и была связана именно с необходимостью выполнения сложных арифметических действий с большими числами. Для обозначения десятичных логарифмов используют специальный символ lg, то есть

Сегодня из-за развития электроники десятичные логарифмы используются значительно реже по сравнению с 50-60 г. XX века. Но, так как почти вся вычислительная техника построена на использовании двоичной системы счета, возросла значимость двоичного логарифма log₂b. Для его обозначения не используются никакие специальные символы, однако в работах, посвященным информатике и оценке сложности алгоритмов, он используется особенно часто.

Наконец, самым важным является натуральный логарифм. Это логарифм, основанием которого является число e, примерно равное 2,71828… Для его обозначения используют символ ln, то есть

Свойства натурального логарифма, которые отличают его от других логарифмов, будут изучены нами позднее, в 11 классе. Заметим лишь, что многие физические формулы содержат именно натуральный логарифм.

Преобразования логарифмических выражений

Для работы с логарифмическими выражениями надо знать несколько основных свойств логарифмов. Первое из них помогает вычислять логарифм произведения.

Для доказательства этого правила введем обозначения. Пусть

Тогда нам надо доказать, что z = x + у. По определению логарифма мы можем записать что

Теперь подставим (1) и (2) в (3):

Получили, что a^z = a^x+y. В этом равенстве в обеих частях стоят степени с совпадающим основанием а. Значит, должны совпадать и их степени, то есть

что и мы и пытались доказать.

Убедимся в справедливости этого правила на простейшем примере. Очевидно, что

log₂ 4 = 2, ведь 2² = 4

log₂ 8 = 3, ведь 2³ = 8

log₂ 32 = 5, ведь 2⁵ = 32

С одной стороны, так как

2 + 3 = 5

то и

log₂ 4 + log₂ 8 = log₂ 32

С другой стороны, число 32 можно представить как произведение 4•8, то есть

log₂ 32 = log₂ (4•8)

С учетом этого получаем, что

log₂4 + log₂8 = log₂32 = log₂(4•8)

Покажем несколько примеров использования только что доказанного правила:

Отдельно отметить, что правило сложения логарифмов действует и в том случае, когда складываются не два, а большее количество логарифмов:

Второе правило используют для определения логарифма от степени какого-либо числа.

Грубо говоря, показатель степени можно перенести и записать перед знаком логарифма. Сначала для наглядности приведем доказательство только для случая, когда r– целая степень. Тогда число b^r можно представить как произведение r множителей, равных b. Однако логарифм такого произведения можно заменить на сумму r логарифмов:

Однако более строгое доказательство должно рассматривать и случай, когда r – это отрицательное или даже дробное число. Поэтому, как и в ситуации с доказательством первого правила, введем переменные. Пусть

Получается, что нам доказать, что у = r•x. Из определения логарифма следуют следующие формулы:

Подставляя первую формулу во вторую, получаем:

И снова, если у двух равных степеней равны основания, то и показатели обязательно будут равными:

Это равенство мы и пытались доказать.

Продемонстрируем, как работает это свойство логарифмов:

Правило работает и в обратную сторону:

Задание. Чему равна дробь

Третье правило помогает вычислять логарифм от частного или дроби.

Для доказательства этого свойства логарифмов воспользуемся уже доказанными нами двумя правилами. Но предварительно напомним, что произвольное число с в степени (– 1) представляет собой дробь 1/с:

Тогда доказательство будет записываться в две строчки:

С помощью полученной формулы возможно выполнить следующие преобразования:

Заметим, что все полученные формулы справедливы только в том случае, когда под знаком логарифма стоят исключительно положительные числа. Например, вполне допустимо преобразование

но ошибочной будет такая запись:

ведь в левой части стоит выражение, имеющее смысл, а в правой – выражение, смысла не имеющее.

Но что делать в случае, если необходимо упростить выражение с переменными, которые могут принимать как положительные, так и отрицательные значения? Получается, что запись

не является корректной. Действительно, если и х, и у являются отрицательными числами, то их произведение ху положительно. Но тогда получается, что при некоторых значениях переменных левая часть равенства имеет смысл, а правая – нет. Это значит, что оно не является тождеством.

Здесь может помочь использование модуля числа. Запись

уже будет корректной при любых допустимых значениях х и у. Если же хоть одна из переменных будет равна нулю, то обе части равенства одновременно потеряют смысл. Таким образом, данное равенство можно считать тождеством.

Аналогично и формулу разности логарифмов можно представить в более общем случае, при котором допускаются отрицательные значения переменных:

Можно ли записать равенство log_aх² = 2log_aх, если допускается, что х может быть и отрицательным? Нет, нельзя, ведь при отрицательных х выражение левая часть равенства будет иметь смысл, а правая нет. Однако использование модуля поможет и в этом случае. Можно написать, что

Аналогичным образом можно упростить и любые другие логарифмы, аргументы которых возведены в четную степень:

Ещё раз уточним, что эти правила используются при упрощении выражений с переменными, если те могут принимать отрицательные значения. Если же известно, что числа b и c положительны, то лучше использовать формулы, не содержащие модулей.

Переход к новому основанию алгоритма

До этого мы рассматривали преобразования, в ходе которых не менялось основание логарифма. Однако иногда возникает необходимость сложить или вычесть логарифмы с различными основаниями. Пусть надо вычислить значение выражения

Так как основания двух логарифмов различны, то мы не можем использовать выведенную нами формулу разности логарифмов. Однако можно попытаться привести один из логарифмов к новому основанию. Для такой операции существует специальная формула.

Докажем это утверждение. Для этого введем новые переменные:

Тогда по определению логарифма можно записать равенства

Отсюда следует, что a^x = c^y. Подставим в это равенство вместо а выражение c^z и получим:

Отсюда следует, что zx = у, или х = y/z. Теперь заменим х, у и z на логарифмы и получим то самое тождество, которые необходимо доказать:

Вернемся к примеру

Теперь мы можем произвести эти вычисления, но для этого сначала приведем log₂₅9 к основанию 5:

Теперь можно вычислить, чему равна искомая разность:

Формула перехода к новому основанию позволяет иначе взглянуть на графики логарифмических функций. Пусть дана функция у =log₄x. Попытаемся привести ее к показателю 2:

Выходит, что график у = log₄x можно получить из графика у = log₂x его сжатием в 2 раза. Убедимся в этом, построив оба графика в одной плоскости:

Заметим, что и более общем случае графики функций у = log_ax и у = log_bx могут быть получены друг из друга растяжением или сжатием в некоторое число раз. Действительно, формулу перехода к новому основанию можно переписать в таком виде:

Теперь подставим вместо числа b переменную х и получим соотношение, связывающее любые две логарифмические функции:

В данном случае log_сx и log_ax – это логарифмические функции, а log_ca – некоторое число. В результате можно заключить, что график функции у = log_сx может быть получен из графика log_ax его растяжением в log_ca раз.

Попытаемся привести логарифм log_ab к обратному основанию, то есть к основанию 1/а:

Итак, log_ab = – log_1/аb. Именно из-за этого графики логарифмов с обратными основаниями (например, 2 и 0,5) симметричны относительно оси Ох:

Покажем примеры использования этой формулы:

А что будет, если мы попробуем log_ab привести к основанию b? Сделаем это:

Получили ещё одну замечательную логарифмическую формулу.

Её работу иллюстрируют следующие примеры:

Ещё одна логарифмическая формула позволяет возводить основание логарифма и его аргумент в одинаковую степень:

Докажем это тождество в «обратном порядке», то есть из правой части выведем левую. Для этого просто перейдем к основанию а:

Проиллюстрируем, как это свойство можно применять на практике:

Использование логарифма для вычислений

Исторически развитие теории логарифмов было связано с необходимостью выполнять громоздкие вычисления. Например, пусть надо возвести число 7 в пятисотую степень, то есть вычислить величину 7⁵⁰⁰. Сделать напрямую это довольно затруднительно. Однако в силу основного логарифмического тождества мы можем записать, что

Напомним, что десятичный логарифм обозначают символом lg, поэтому перепишем это равенство в более привычном виде:

Степень из-под знака логарифма можно вынести:

Значение числа lg 7 можно узнать с помощью калькулятора, в древности же использовали специальные таблицы, в которых были указаны десятичные логарифмы всех чисел от 1 до 10 (с маленьким шагом, равным, например, 0,001). Так или иначе, можно узнать, что

Получили число, записанное в стандартном виде. При этом наши расчеты были относительно простыми, если сравнить их с необходимостью умножить число 7 само на себя 500 раз. Аналогично и многие другие сложные операции выполняются значительно быстрее, если используются логарифмы. Поэтому долгое время знание теории логарифмов было необходимо для выполнения сложных инженерных расчетов. Но сегодня развитие компьютерной техники позволило избавиться от необходимости использования логарифмических линеек и таблиц.

Логарифмическая функция в природе и науке

Логарифм – это не просто инструмент для выполнения сложных операций. Например, в теории вероятностей существуют логарифмическое и логнормальное (от слов «логарифм» и «нормальное») распределение случайных величин, которые используются в генетике и физике. Так, размеры астероидов в Солнечной системе описываются логарифмическим распределением, а размеры градин во время града – логнормальным.

В компьютерной технике многие величин можно вычислить с использованием логарифмов. Например, ясно, что чем больше телефонных номеров находится в базе данных, тем дольше компьютер будет искать требуемый необходимый номер в ней. Зависимость времени поиска от количества номеров в базе данных описывается логарифмической функцией.

Огромное значение логарифмы имеют в астрономии. Так, яркость звезд на небе характеризуется таким параметром, как «видимая звездная величина». Однако в физике для оценки яркости света используют величину «освещенность», измеряемую в люксах. Зависимость между освещенностью звезд и их видимой величиной также является логарифмической.

Используются логарифмы и в термодинамике для вычисления такой характеристики систем, как энтропия. При расчете количества топлива, необходимого ракете для набора определенной скорости, используется формула Циолковского, содержащая натуральный логарифм:

В биологии давно замечено, что зависимость человеческих ощущений от силы воздействующих на них факторов окружающей среды носит логарифмический характер. В связи с этим для измерения громкости звуков используется специальная шкала децибелов, которая является логарифмической.

В строении ряда организмов можно обнаружить логарифмические кривые. Классическим примером является форма некоторых ракушек.