Разность температур формула как найти - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Изменение
температур рабочих жидкостей для
простейших случаев можно получить
аналитическим путем. Рассмотрим
простейший теплообменный аппарат,
работающий по схеме прямотока (рис.
3). Для элемента поверхности теплообмена
dF
уравнение теплопередачи запишется
как

dQ
= k (t₁-t₂)
dF = k t
dF (а)

При
этом температура первичного теплоносителя
понизится на dt₁
а вторичного повысится на dt₂.
Следовательно,

dQ
= — C₁dt₁= C₂dt₂

откуда

dt₁=

и dt₂=

Изменение
температурного напора при этом

d(t₁-t₂)
= dt₁-dt₂
= — (1/C₁
+ 1/C₂)
dQ = -m dQ(б)

m
= (1/C₁
+ 1/C₂)

Подставив
в уравнение (б) значение dQ
из уравнения теплопередачи (а), найдем:

d
(t₁—
t₂)
= — m
k
(t₁-t₂)
dF.

Обозначив
(t₁—
t₂)
= t
, последнее уравнение запишем как

Принимая
m
и k
постоянными, проинтегрируем последнее
уравнение от О до F
и от t’
до t:

Получим
после интегрирования:

(5)

или

t
=
(6)

Из
уравнения (6) следует, что вдоль поверхности
теплообмена температурный напор
изменяется по экспоненциальному закону.
Следовательно, в аппаратах прямого
тока перепад температур между
теплоносителями вдоль поверхности
теплообмена непрерывно убывает. При
противотоке температуры обоих
теплоносителей вдоль поверхности
теплообмена убывают (рис. 2, в и г) и
уравнение теплового баланса принимает
вид:

dQ
= — C₁
dt₁
= — С₂
dt₂

Изменение
температурного напора

d
(t₁—
t₂)
= — m
dQ

Поэтому
в аппаратах с противоточной схемой
движения t
по ходу первичной среды уменьшается
лишь для случая C₁
< С₁(m
> 0), но при C₁
> > С₂(m
<; 0) t
увеличивается.

Для
определения средней разности температур
теплоносителей на участке поверхности
F
воспользуемся соотношением

(в)

где
t
— местное значение температурного
напора (t₁—
t₂),
относящееся к элементу поверхности
теплообмена и выражаемое уравнением
(5). Подставив а уравнение (в) значение
t
из формулы (6), получим:

(7)

Подставив
в уравнение (7) значения mkF
и е^—^mkFиз выражений
(5) и (6), получим:

(8)

Eсли
усреднение температурного напора
проводится по всей поверхности
теплообмена, тоt
= t’
и формула (8) принимает вид:

(9)

Формулу
(9) часто записывают в следующем виде:

(10)

гдеt_б
— большая разность температур; t_м
— меньшая разность температур.

Формула (10) может
быть использована как при прямотоке,
так и при противотоке.

Полученная средняя
разность температур (10) называется
среднелогарифмическим температурным
напором. Формула (10) справедлива для
простейших схем аппаратов при условии
постоянства массового расхода
теплоносителей и коэффициента
теплоотдачи вдоль всей поверхности
теплообмена.

4. Определение коэффициента теплоотдачи

Коэффициент
теплоотдачи 
находится из соотношения:

где
l-
определяющий размер.

Б. С. Петуховым и
В. В. Кирилловым была предложена формула

Nu_ж_d=

(11)

Здесь
_t= (_ж/_с)ⁿ;
n
= 0,11 при нагревании капельной жидкости
и n = 0,25 при ее охлаждении.

Формула
(11) дает значения коэффициентов теплоотдачи
при стабилизированном теплообмене.
За определяющую приняты либо средняя
но сечению (при расчете местных
коэффициентов теплоотдачи), либо средняя
в трубе (при расчете средних коэффициентов
теплоотдачи) температура жидкости.
Исключение составляет коэффициент
динамической вязкости _с,
выбираемой по температуре стенки. За
определяющий размер взят внутренний
диаметр трубы. Формула (11) пригодна для
расчета теплоотдачи различных жидкостей
при Рг >0,7.

На основе уравнения

Nu
=

можно
получить расчетную формулу для Рг >
1, если ввести экспериментально
определенную функцию f(Рг)=
0,91Рr^0,43.
Для определения коэффициента
гидравлического сопротивления
используем формулу

 =
0,184 Re_d^-0,2

Тогда,
вводя дополнительно поправку _t
= (Рr_ж
/Рr_с)^0,25
на переменность физических свойств
капельных жидкостей, получим формулу,
предложенную М. А. Михеевым:

Формула
описывает среднюю теплоотдачу в прямых
гладких трубах при
(l/d) > 50.
За определяющую здесь принята средняя
температура жидкости в трубе, а за
определяющий размер- внутренний диаметр.
Число Pr_c
выбирается по средней температуре
поверхности стенки.

Соседние файлы в предмете Термодинамика

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

In thermal engineering, the logarithmic mean temperature difference (LMTD) is used to determine the temperature driving force for heat transfer in flow systems, most notably in heat exchangers. The LMTD is a logarithmic average of the temperature difference between the hot and cold feeds at each end of the double pipe exchanger. For a given heat exchanger with constant area and heat transfer coefficient, the larger the LMTD, the more heat is transferred. The use of the LMTD arises straightforwardly from the analysis of a heat exchanger with constant flow rate and fluid thermal properties.

Definition[edit]

We assume that a generic heat exchanger has two ends (which we call «A» and «B») at which the hot and cold streams enter or exit on either side; then, the LMTD is defined by the logarithmic mean as follows:

The LMTD illustrated in a countercurrent temperature profile^[1]

${displaystyle mathrm {LMTD} ={frac {Delta T_{A}-Delta T_{B}}{ln left({frac {Delta T_{A}}{Delta T_{B}}}right)}}={frac {Delta T_{A}-Delta T_{B}}{ln Delta T_{A}-ln Delta T_{B}}}}$

where ΔT_A is the temperature difference between the two streams at end A, and ΔT_B is the temperature difference between the two streams at end B. When the two temperature differences are equal, this formula does not directly resolve, so the LMTD is conventionally taken to equal its limit value, which is in this case trivially equal to the two differences.

With this definition, the LMTD can be used to find the exchanged heat in a heat exchanger:

{displaystyle Q=Utimes Atimes mathrm {LMTD} }

where (in SI units):

Q is the exchanged heat duty (watts),
U is the heat transfer coefficient (watts per kelvin per square meter),
A is the exchange area.

Note that estimating the heat transfer coefficient may be quite complicated.

This holds both for cocurrent flow, where the streams enter from the same end, and for countercurrent flow, where they enter from different ends.

In a cross-flow, in which one system, usually the heat sink, has the same nominal temperature at all points on the heat transfer surface, a similar relation between exchanged heat and LMTD holds, but with a correction factor. A correction factor is also required for other more complex geometries, such as a shell and tube exchanger with baffles.

Derivation[edit]

Assume heat transfer ^[2] is occurring in a heat exchanger along an axis z, from generic coordinate A to B, between two fluids, identified as 1 and 2, whose temperatures along z are T₁(z) and T₂(z).

The local exchanged heat flux at z is proportional to the temperature difference:

${displaystyle q(z)=U(T_{2}(z)-T_{1}(z))=U;Delta T(z)}$

The heat that leaves the fluids causes a temperature gradient according to Fourier’s law:

${displaystyle {begin{aligned}{frac {d,T_{1}}{dz}}&=k_{a}(T_{1}(z)-T_{2}(z))=-k_{a},Delta T(z)\[4pt]{frac {d,T_{2}}{dz}}&=k_{b}(T_{2}(z)-T_{1}(z))=k_{b},Delta T(z)end{aligned}}}$

where k_a, k_b are the thermal conductivities of the intervening material at points A and B respectively. Summed together, this becomes

${displaystyle {frac {dDelta T}{dz}}={frac {d(T_{2}-T_{1})}{dz}}={frac {d,T_{2}}{dz}}-{frac {d,T_{1}}{dz}}=KDelta T(z)}$

where K = k_a + k_b.

The total exchanged energy is found by integrating the local heat transfer q from A to B:

${displaystyle Q=Dint _{A}^{B}q(z)dz=UDint _{A}^{B}Delta T(z)dz=UDint _{A}^{B}Delta T,dz,}$

where D is the distance between the two fluids.

Use the fact that the heat exchanger area Ar is the pipe length B − A multiplied by the interpipe distance D:

${displaystyle Q={frac {UAr}{B-A}}int _{A}^{B}Delta T,dz={frac {UArdisplaystyle int _{A}^{B}Delta T,dz}{displaystyle int _{A}^{B},dz}}}$

In both integrals, make a change of variables from z to ΔT:

${displaystyle Q={frac {UArdisplaystyle int _{Delta T(A)}^{Delta T(B)}Delta T{frac {dz}{dDelta T}},d(Delta T)}{displaystyle int _{Delta T(A)}^{Delta T(B)}{frac {dz}{dDelta T}},d(Delta T)}}}$

With the relation for ΔT found above, this becomes

${displaystyle Q={frac {UArdisplaystyle int _{Delta T(A)}^{Delta T(B)}{frac {1}{K}},d(Delta T)}{displaystyle int _{Delta T(A)}^{Delta T(B)}{frac {1}{KDelta T}},d(Delta T)}}}$

Integration at this point is trivial, and finally gives:

${displaystyle Q=Utimes Artimes {frac {Delta T(B)-Delta T(A)}{ln left({frac {Delta T(B)}{Delta T(A)}}right)}}}$

from which the definition of LMTD follows.

Assumptions and limitations[edit]

It has been assumed that the rate of change for the temperature of both fluids is proportional to the temperature difference; this assumption is valid for fluids with a constant specific heat, which is a good description of fluids changing temperature over a relatively small range. However, if the specific heat changes, the LMTD approach will no longer be accurate.
A particular case for the LMTD are condensers and reboilers, where the latent heat associated to phase change is a special case of the hypothesis. For a condenser, the hot fluid inlet temperature is then equivalent to the hot fluid exit temperature.
It has also been assumed that the heat transfer coefficient (U) is constant, and not a function of temperature. If this is not the case, the LMTD approach will again be less valid
The LMTD is a steady-state concept, and cannot be used in dynamic analyses. In particular, if the LMTD were to be applied on a transient in which, for a brief time, the temperature difference had different signs on the two sides of the exchanger, the argument to the logarithm function would be negative, which is not allowable.
No phase change during heat transfer
Changes in kinetic energy and potential energy are neglected

Logarithmic Mean Pressure Difference[edit]

A related quantity, the logarithmic mean pressure difference or LMPD, is often used in mass transfer for stagnant solvents with dilute solutes to simplify the bulk flow problem.

References[edit]

^ «Basic Heat Transfer». www.swep.net. Retrieved 2020-05-12.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
^ «MIT web course on Heat Exchangers». [MIT].

Kay J M & Nedderman R M (1985) Fluid Mechanics and Transfer Processes, Cambridge University Press

Источник

Пособие рекомендовано учащимся, желающим
получить практические навыки в решении задач на
теплообмен, и может быть полезным для учителей и
абитуриентов.

При соприкосновении тел, имеющих разные
температуры, между этими телами происходит
теплообмен. С точки зрения
молекулярно-кинетической теории, это
объясняется так: молекулы более нагретого тела
имеют большую кинетическую энергию, чем молекулы
тела, менее нагретого. При “столкновениях”
молекул соприкасающихся тел происходит процесс
выравнивания их средних кинетических энергий.
Молекулы более нагретого тела теряют часть своей
кинетической энергии, при этом нагретое тело
будет остывать. Кинетическая энергия молекул
холодного тела возрастает, поэтому температура
этого тела будет увеличиваться. В конечном итоге
кинетические энергии молекул обоих тел
сравняются, и температуры тел станут
одинаковыми. На этом теплообмен прекращается.

Энергию, которую тело получает или отдаёт в
процессе теплообмена, называют количеством
теплоты (Q).

Количество теплоты, как и все другие виды
энергии, измеряется в системе СИ в Джоулях: [Q] = Дж.
(Здесь и в дальнейшем единицы измеряются в
системе СИ.)

Нагревание или охлаждение

При нагревании или охлаждении тела количество
теплоты, поглощаемое или выделяемое им,
рассчитывается по формуле:

Q = сm(t₂– t₁), (1)

где m – масса тела, кг;

(t₂– t₁) – разность температур
тела,° С (или К);

с – удельная теплоёмкость вещества, из
которого состоит тело,

Удельная теплоёмкость вещества – это
количество теплоты, которое нужно сообщить
одному килограмму данного вещества, чтобы
увеличить его температуру на 1° С (или это
количество теплоты, которое выделяет один
килограмм данного вещества, остывая на 1° С).

Значения удельных теплоемкостей других
веществ можно найти в справочниках, а также в
школьном учебнике или задачнике.

При нагревании тела его внутренняя энергия
увеличивается. Это требует притока энергии к
телу от других тел. Значит, оно поглощает
некоторое количество теплоты, принимая его от
других тел, участвующих в теплообмене.

При охлаждении тела его внутренняя энергия
уменьшается. Поэтому остывающее тело отдаёт
кому-либо некоторое количество теплоты.

Обычно конечную температуру, установившуюся в
результате теплообмена, обозначают греческой
буквой (тэта).

В формуле (1) произведение cm для каждого
конкретного тела есть величина постоянная. Её
называют теплоёмкостью тела и обозначают С:

C = c m.(2)

Размерность теплоемкости: Теплоемкость тела показывает,
сколько энергии нужно подвести к данному телу,
чтобы нагреть его на 1° С (или сколько энергии
выделяет это тело, остывая на 1° С).

Теплообмен между телами, имеющими одинаковые
температуры, не происходит, даже если
контактируют вещества, находящиеся в разных
агрегатных состояниях. Например, при температуре
плавления (0° С) лёд и вода могут находиться
бесконечно долго, при этом количество льда и
количество воды останутся неизменными.
Аналогично ведут себя пар и жидкость,
находящиеся при температуре кипения. Теплообмен
между ними не происходит.

Плавление или кристаллизация

Если при нагревании тела его температура
достигнет температуры плавления, то начинает
происходить процесс перехода этого вещества из
твердого состояния в жидкое. При этом идут
изменения в расположении и характере
взаимодействия молекул. Температура при
плавлении не изменяется. Это означает, что
средние кинетические энергии молекул жидкости и
твердого тела при температуре плавления
одинаковы. Однако внутренняя энергия тела при
плавлении возрастает за счет увеличения энергии
взаимодействия молекул. Количество теплоты,
поглощаемое телом при плавлении, рассчитывается
по формуле

(3)

где m – масса тела, кг;

–
удельная теплота плавления,

При кристаллизации, наоборот, внутренняя
энергия тела уменьшается на величину и эта теплота данным
телом выделяется. Она поглощается другими
телами, участвующими в теплообмене.

Удельная теплота плавления показывает,
сколько энергии нужно сообщить одному
килограмму данного вещества, взятого при
температуре плавления, чтобы полностью
превратить его при этой температуре в жидкость
(или сколько энергии выделяет 1 кг жидкости,
взятой при температуре кристаллизации, если вся
она при этой температуре полностью превратится в
твёрдое тело).

Удельную теплоту плавления любого вещества
можно найти в справочниках. Для льда же

Температура плавления у каждого вещества своя.
Её также можно найти в справочниках. Важно
подчеркнуть, что температура плавления вещества
равна температуре кристаллизации этого же
вещества. У льда t_пл = 0° С.

Кипение или конденсация

При достижении жидкостью температуры кипения
начинает происходить другой фазовый переход –
кипение, при котором расстояния между молекулами
значительно увеличиваются, а силы
взаимодействия молекул уменьшаются. Вся
подводимая к жидкости теплота идет на разрыв
связей между молекулами. При конденсации пара в
жидкость, наоборот, расстояния между молекулами
значительно сокращаются, а силы взаимодействия
молекул увеличиваются. Для кипения жидкости
энергию к жидкости нужно подводить, при
конденсации пара энергия выделяется. Количество
теплоты, поглощаемое при кипении или выделяемое
при конденсации, рассчитывается по формуле:

где m – масса тела, кг; L – удельная
теплота парообразования,

Удельная теплота парообразования
показывает, сколько энергии нужно сообщить
одному килограмму жидкости, взятой при
температуре кипения, чтобы при этой температуре
полностью превратить её в пар (для конденсации:
сколько энергии выделяет один килограмм пара,
взятого при температуре конденсации, полностью
превращаясь в жидкость).

При одинаковом давлении температура кипения и
температура конденсации одного и того же
вещества одинаковы.

Температуры кипения и удельные теплоты
парообразования также можно найти в
справочниках. Для воды же они соответственно
равны: рис. 9 (при нормальном атмосферном
давлении).

Уравнение теплового баланса

Тела, участвующие в теплообмене, представляют
собой термодинамическую систему.
Термодинамическая система называется теплоизолированной,
если она не получает энергию извне и не отдаёт её;
теплообмен происходит только между телами,
входящими в эту систему. Для любой
теплоизолированной системы тел справедливо
следующее утверждение: количество теплоты,
отданное одними телами, равно количеству
теплоты, принимаемому другими телами.

Q_отд.= Q_получ. (5)

Это утверждение описывает частный случай
закона сохранения и превращения энергии в
применении к процессу теплообмена. А формула (5)
является одним из видов уравнения теплового
баланса.

При решении задач с помощью данного вида
уравнения теплового баланса в формуле (1) в
качестве t₂ следует брать большую
температуру, а в качестве t₁ – меньшую.
Тогда разность (t₂– t₁) будет
положительна и всё произведение cm(t₂–t₁)
также будет положительным. Все теплоты, отданные
и полученные, будут положительными.

Уравнение теплового баланса можно записать и в
таком виде:

Q₁+ Q₂+…+ Q_n= 0, (6)

где n – количество тел системы.

Алгебраическая сумма всех количеств теплоты
(поглощенных и выделенных) в теплоизолированной
системе равна нулю.

Q₁, Q₂, …, Q_n – это теплоты,
поглощаемые или выделяемые участниками
теплообмена. Очевидно, что в этом случае какие-то
теплоты должны быть положительны, а какие-то –
отрицательны. При записи уравнения теплового
баланса в виде (6) всегда t₂ – конечная
температура, а t₁ – начальная.

Если тело нагревается, то разность (t₂ – t₁)положительна и все произведение cm(t₂– t₁)
положительно. То есть Q > 0 тогда, когда теплота к
данному телу подводится.

А если t₂< t₁ (тело остывает), то
разность (t₂ – t₁) отрицательна, то есть
Q < 0. В этом случае тело энергию выделяет.

Если при фазовом переходе энергия к телу
подводится (плавление, кипение), то Q > 0; если
тело выделяет энергию (кристаллизация,
конденсация), то Q < 0.

В принципе уравнения (5) и (6) равносильны.
Результат решения задачи не зависит от того,
каким видом уравнения пользуемся. Выбор способа
решения – за читателем.

Применим уравнение теплового баланса для
решения ряда задач (здесь приводим лишь одну
задачу, остальные материалы можно найти по
адресу http:// kirov-festival.nm.ru).

Задача 1

В медном калориметре массой 100 г находится 1 кг
воды при температуре 20° С. В воду опускают
свинцовую деталь массой 2 кг, имеющую температуру
90° С. До какой температуры нагреется вода? (В этой
и последующих задачах потерями теплоты в
калориметре пренебречь.)

Решение

	Проведём анализ: Вода и калориметр находились в тепловом равновесии, поэтому они имели одинаковую температуру: t₁= t₂= 20° С. При опускании в воду с температурой 20° С свинцового тела с температурой 90° С между водой и свинцом будет происходить теплообмен. Свинец будет остывать, а вода — нагреваться. В этом же процессе участвует и калориметр, который, как и вода, будет тоже нагреваться.
	Изменение температур тел с течением времени удобно изображать на графике зависимости t(t ). Отрезок АВ соответствует графику изменения температуры свинцового тела. Стрелка, идущая от него, показывает, что, остывая, свинец выделяет энергию Q₃.
	Два параллельных отрезка СВ соответствуют графикам изменения температур калориметра и воды. Стрелки, идущие к ним, показывают, что для нагревания калориметра и воды требуется энергия Q₁ и Q₂, которую они поглощают.
Решим задачу с использованием уравнения теплового баланса в виде (5):

Решим задачу с использованием уравнения
теплового баланса в виде (6):

Ответ: Вода нагреется до 24° С.

Предлагаю читателю самостоятельно сделать
проверку размерности.

Напомним, остальной материал (полноценную
версию пособия) можно найти по адресу http:// kirov-festival.nm.ru.

Источник

В физике и некоторых других науках греческой буквой D («дельта») принято обозначать разницу между определенными параметрами. Это могут быть, например, температура, время, давление, длины отрезков, расстояния между координатами по одной и той же оси и т.д. Латинской буквой t чаше всего обозначают время и температуру.

Вам понадобится

— данные измерений;
— калькулятор.

Инструкция

Если буквой t в данном разделе физики обозначается температура, проведите измерения температуры. Термометр может быть любым. Нужно, чтобы его шкала соответствовала нужной вам степени точности. Разумеется, измерять оба показателя необходимо по одному и тому же термометру.

Второй показатель зависит от условий задачи. Например, если вам нужно отследить изменение состояния объекта, снимите второй показатель через некоторое время. Самый доступный эксперимент — измерить температуру своего тела утром и вечером. Вычтите из большего числа меньшее. Это и будет дельта t. Поскольку температура с течением времени может как увеличиваться, так и уменьшаться, вам нужен модуль разности.

В задаче может быть предложено и сравнение изменений разных объектов. Дельта t в этом случае приобретает несколько иной смысл, но все равно она остается разностью температур. Например, вам нужно определить, насколько нужно разогреть горелку, чтобы расплавить два разных металла. Сравните температуры плавления одного и другого вещества. Точно так же, как и в первом случае, вычтите из большего показателя меньший. Если вы проводите эксперимент, то сначала вам нужно разогреть горелку до меньшей температуры, затем прибавить к ней Dt, что и даст вам температуру плавления другого металла.

Во многих отраслях знаний буквой t обозначают время. Выражение «дельта t» в этих случаях также означает разность, но уже в показаниях часов. Засеките время и запишите результат. Подождите немного и снова посмотрите на часы. Допустим, в первый раз вы посмотрели на циферблат ровно в 14 часов, а второй — по прошествии 13 минут. Разность в этом случае составляет 13 минут. Это и есть Dt по условиям данной задачи.

На практике довольно часто приходится определять Dt без всяких вычислений. Например, во время соревнований по легкой атлетике арбитру важно знать, за какое время бегуны пробежали ту или иную дистанцию. При этом не особенно важно, во сколько начались состязания, объявлен старт раньше или позже указанного в афишах времени. В этом случае судья определяет только Dt. В начале забега он ставит секундомер на 0, а в конце — отмечает результат.

Обратите внимание

Определить Dt бывает необходимо и при сравнении движения разных объектов при прочих равных условиях. Этот способ тоже наиболее понятен, если представить себе спортсменов. Допустим, участников соревнований очень много, они все бегут одну и ту же дистанцию, но в разных забегах. Судьям нужно понять, кто окажется на каком месте в итоговой таблице. Для этого определяется лучший результат — в данном случае минимальный. С ним сравниваются все остальные. То есть каждый раз судьи находят Dt между временем первого и второго, второго и третьего спортсменов и т.д.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник