Реальная математика как найти вероятность - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

На чтение 16 мин Просмотров 126к. Опубликовано 25 мая, 2018

Вероятность — очень лёгкая тема, если концентрироваться на смысле задач, а не на формулах. Найти вероятность того что — не просто. И как решать задачи на вероятность?. Во-первых, что такое вероятность? Это шанс, что какое-то событие произойдёт. Если мы говорим, что вероятность некоторого события 50%, что это значит? Что оно либо произойдет, либо не произойдет — одно из двух. Таким образом подсчитать значение вероятности очень просто — нужно взять количество подходящих нам вариантов и разделить на количество всех возможных вариантов. Например, шанс получить решку при подбрасывании монеты это ½. Как мы получаем ½? Всего у нас два возможных варианта (орёл и решка), из них нам подходит один (решка), так мы и получаем вероятность ½.

Как мы уже с вами увидели, вероятность может быть выражена как в процентах, так и в обычных числах. Важно: на ЕГЭ вам нужно будет записать ответ в числах, не в процентах. Принято, что вероятность изменяется от 0 (никогда не произойдет) до 1 (абсолютно точно произойдет). Также можно сказать, что всегда

Вероятность подходящих событий + вероятность неподходящих событий = 1

Теперь мы точно понимаем, как считать вероятность отдельного события, и даже такие задачи есть в банке ФИПИ, но понятно, что на этом всё не заканчивается. Чтобы жизнь была веселее, в задачах на вероятность обычно происходят как минимум два события, и надо посчитать вероятность с учетом каждого из них.

Содержание

Вероятность нескольких событий
Задачи и решения задач на вероятность
Вероятность нескольких событий
Дополняющая вероятность

Вероятность нескольких событий

Подсчитываем вероятность каждого события в отдельности, затем между дробями ставим знаки:

1. Если нужно первое И второе событие, то умножаем.

2. Если нужно первое ИЛИ второе событие, то складываем.

Задачи и решения задач на вероятность

Задача 1. Среди натуральных чисел от 23 до 37 случайно выбирают одно число. Найдите вероятность того, что оно не делится на 5.

Решение:

Вероятность, это отношение благоприятных вариантов к общему их количеству.

Всего в этом промежутке 15 чисел. Из них на 5 делится всего 3, значит не делится 12.

Вероятность тогда:

Ответ: 0,8.

Задача 2. Для дежурства в столовой случайно выбирают двух учащихся класса. Какова вероятность того, что дежурить будут два мальчика, если в классе обучается 7 мальчиков и 8 девочек?

Решение: Вероятность, это отношение благоприятных вариантов к общему их количеству. В классе 7 мальчиков, это благоприятные варианты. А всего 15 учеников.

Вероятность что первый дежурный мальчик:

Вероятность что второй дежурный мальчик:

Раз оба должны быть мальчики, вероятности перемножим:

Ответ: 0,2.

Задача 3. На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

Решение: Пассажиру В. удобны 30 мест (12 + 18 = 30), а всего в самолете 300 мест. Поэтому вероятность того, что пассажиру В. достанется удобное место равна 30/300, т. е. 0,1.

Задача 4. В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам.

Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.

Решение: Из 25 билетов 15 не содержат вопроса по неравенствам, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам, равна 15/25, т. е. 0,6.

Задача 5. В сборнике билетов по химии всего 35 билетов, в 7 из них встречается вопрос по кислотам.

Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по кислотам.

Решение: Из 35 билетов 28 не содержат вопроса по кислотам, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по кислотам, равна 28/35, т. е. 0,8.

Задача 6. В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 2 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение: Если из 500 насосов 2 подтекают, то 498 не подтекают. Следовательно, вероятность выбора хорошего насоса — 498/500, т. е. 0,996.

Задача 7. Вероятность того, что новый пылесос в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,065. В некотором городе из 1000 проданных пылесосов в течение года в гарантийную мастерскую поступило 70 штук.

На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Решение: Частота события «гарантийный ремонт» равна 70/1000, т. е. 0,07. Она отличается от предсказанной вероятности на 0,005 (0,07 – 0,065 = 0,005).

Задача 8. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 18 из России, 14 из Украины, остальные — из Белоруссии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием.

Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Белоруссии.

Решение: Всего участниц на чемпионате 50, а спортсменок из Белоруссии — 18 (50 – 18 – 14 = 18).

Вероятность того, что первой будет выступать спортсменка из Белоруссии — 18 из 50, т. е. 18/50, или 0,36.

Задача 9. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 80 докладов — первые три дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой.

Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение: За первые три дня будут прочитаны 36 докладов (12 ∙ 3 = 36), на последние два дня планируется 44 доклада. Поэтому на последний день запланировано 22 докладов (44 : 2 = 22). Значит, вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна 22/80, т. е. 0,275.

Задача 10.

Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шахматистов, среди которых 14 участников из России, в том числе Егор Косов.

Найдите вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России?

Решение: В первом туре Егор Косов может сыграть с 25 шахматистами (26 – 1 = 25), из которых 13 ― из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России, равна 13/25, или 0,52.

Задача 11.

В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

Решение: Вероятность того, что команда России окажется во второй группе, равна отношению количества карточек с номером 2, к общему числу карточек, т. е. 4/16, или 0,25.

Задача 12. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?

Решение: Выбирают двоих туристов из пяти. Следовательно, вероятность быть выбранным равна 2/5, т. е. 0,4.

Задача 13. В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.

Решение: На первом рейсе 6 мест, всего мест 30. Тогда вероятность того, что турист полетит первым рейсом вертолёта, равна 6/30, или 0,2.

Задача 14. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?

Решение: Натуральных чисел от 10 до 19 десять, из них на 3 делятся три числа: 12, 15 и 18. Следовательно, искомая вероятность равна 3/10, т. е. 0,3.

Вероятность нескольких событий

Задача 1. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стратор». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать только вторую игру.

Решение:

Тип вопроса: совмещение событий.

Нас устроит следующий вариант: «Статор» не начинает первую игру, начинает вторую игру, не начинает третью игру. Вероятность такого развития событий равна произведению вероятностей каждого из этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, следовательно: 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125.

Задача 2. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей ― 1 очко, если проигрывает ― 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Решение:

Тип вопроса: совмещение событий.

Задачу выполняют несколько вариантов:

Игра №1	Игра №2	Вероятность данного варианта
3	1	0,4 · 0,2 = 0,08
1	3	0,2 · 0,4 = 0,08
3	3	0,4 · 0,4 = 0,16

Вероятность происхождения какого-либо их этих 3-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,08 + 0,08 + 0,16 = 0,32.

Задача 3. В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того что Аня и Нина окажутся в одной группе.

Решение:

Тип вопроса: уменьшение групп.

Вероятность попадания Ани в одну из групп равна 1. Вероятность попадания Нины в ту же группу равна 2 из 20 (2 оставшихся места в группе, а человек осталось 20). 2/20 = 1/10 = 0,1.

Задача 4. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане.

Решение:

Способ №1

Тип задачи: уменьшение групп.

Представим, что шесть монет делят на две группы по три монеты. Вероятность, что первая однорублевая монета попадет в один из карманов (групп) = 1.

Вероятность, что две двухрублевые монеты попадут в этот же карман = количество оставшихся мест в этом кармане/на количество оставшихся мест в обоих карманах = 2/5 = 0,4.

Способ №2

Тип вопроса: совмещение событий.

Задачу выполняют в несколько вариантов:

Если Петя переложил в другой карман три из четырех рублевых монет (а двухрублевые не перекладывал), или если переложил в другой карман обе двухрублевые монеты и одну рублевую одним из трех способов: 1, 2, 2; 2, 1, 2; 2, 2, 1. Можно изобразить это на схеме (перекладывает Петя в карман 2, поэтому будем высчитывать вероятности в колонке «карман 2»):

Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов:

Задача 5. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Решение:

Тип задачи: уменьшение групп.

Способ №1

Представим, что шесть монет делят на две группы по три монеты. Вероятность, что первая двухрублевая монета попадет в один из карманов (групп) = 1. Вероятность, что вторая монета попадет в другой карман = количество оставшихся мест в другом/ на количество оставшихся мест в обоих карманах = 3/5 = 0,6.

Способ №2

Тип вопроса: совмещение событий.

Задачу выполняют несколько вариантов:

Чтобы пятирублевые монеты оказались в разных карманах, Петя должен взять из кармана одну пятирублевую и две десятирублевые монеты. Это можно сделать тремя способами: 5, 10, 10; 10, 5, 10 или 10, 10, 5. Можно изобразить это на схеме (перекладывает Петя в карман 2, поэтому будем высчитывать вероятности в колонке «карман 2»):

Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов:

Задача 6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Решение: Тип вопроса: нахождение желаемого и действительного совмещение событий Нас устраивают три варианта:

Орёл ― решка ― орёл;

Орёл ― орёл ― решка;

Решка ― орёл ― орёл;

Вероятность каждого случая ― 1/2, а каждого варианта ― 1/8 (1/2 ∙ 1/2 ∙ 1/2 = 1/8)

Нас устроит либо первый, либо второй, либо третий вариант. Следовательно, складываем их вероятности и получаем 3/8 (1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8), т. е. 0,375.

Задача 7. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,34. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение:

Тип вопроса: совмещение событий.

В любом случае А. будет играть как белыми, так и черными, поэтому нас устроит вариант, когда гроссмейстер А. выиграет, играя белыми (вероятность ― 0,5), а также играя чёрными (вероятность ― 0,34). Поэтому надо перемножить вероятности этих двух событий: 0,5 ∙ 0,34 = 0,17.

Задача 8. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,02. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Решение:

Тип вопроса: совмещение событий.

Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,98. Покупателю надо, чтобы и первая, и вторая батарейка были исправны: 0,98 · 0,98 = 0,9604.

Задача 9. На рок-фестивале выступают группы ― по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из США будет выступать после группы из Канады и после группы из Китая? Результат округлите до сотых.

Решение:

Тип вопроса: совмещение событий.

Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (КИТ — Китай, КАН = Канада):

… США, КАН, КИТ …

… США, КИТ, КАН …

… КИТ, США, КАН …

… КАН, США, КИТ …

… КАН, КИТ, США …

… КИТ, КАН, США …

США находится после Китая и Канады в двух последних случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна:

≈ 0,33.

Дополняющая вероятность

Задача 1.

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05.

Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована.

Решение:

Существуют 2 варианта, которые нам подходят:

Вариант А: батарейка забракована, она неисправна;

Вариант Б: батарейка забракована, она исправна.

Вероятность варианта А: 0,02 ∙ 0,97 = 0,0194;

Вероятность варианта Б: 0,05 ∙ 0,98 = 0,049;

Нас устроит либо первый, либо второй вариант: 0,0194 + 0,049 = 0,0684.

Задача 2. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60% этих стекол, вторая — 40%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 5%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение:

Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,6 · 0,03 = 0,018.

Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,4 · 0,05 = 0,02.

Вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным, равна 0,018 + 0,02 = 0,038.

Задача 3. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных.

Решение:

Предположим, у нас х тарелок изначально (ведь мы постоянно имеем дело с процентами, поэтому нам ничего не мешает оперировать конкретными величинами).

Тогда 0,1х — дефектные тарелки, а 0,9х — нормальные, которые поступят в магазин сразу. Из дефектных убирается 80%, то есть 0,08х, и остаётся 0,02х, которые тоже пойдут в магазин. Таким образом, общее количество тарелок на полках в магазине окажется: 0,9х + 0,02х = 0,92х. Из них нормальными будет 0,9х. Соответственно, по формуле вероятность будет 0,9х/0,92х ≈ 0,978.

Задача 4. По отзывам покупателей Игорь Игоревич оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,91. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,89. Игорь Игоревич заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решение. Вероятность того, что первый магазин не доставит товар, равна 1 − 0,91 = 0,09. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар, равна 1 − 0,89 = 0,11. Вероятность происхождения двух этих событий одновременно равна произведению вероятностей каждого из них: 0,09 · 0,11 = 0,0099.

Задача 5. При изготовлении подшипников диаметром 70 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного меньше чем на 0,01 мм, равна 0,961. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 69,99 мм или больше чем 70,01 мм.

Решение: Нам дана вероятность события, при котором диаметр будет в пределах между 69,99 мм и 70,01 мм, и она равна 0,961. Вероятность всех остальных вариантов мы можем найти по принципу дополняющей вероятности: 1 − 0,961 = 0,039.

Задача 6. Вероятность того, что на тесте по истории учащийся верно решит больше 9 задач, равна 0,68. Вероятность того, что верно решит больше 8 задач, равна 0,78. Найдите вероятность того, что верно решит ровно 9 задач.

Решение: Вероятность того, что Т. верно решит более 8 задач, включает в себя вероятность решения ровно 9 задач. При этом, события, при которых О. решит больше 9 задач, нам не подходят. Следовательно, отняв от вероятности решения более 9 задач вероятность решения более 8 задач, мы и найдём вероятность решения только 9 задач: 0,78 – 0,68 = 0,1.

Задача 7. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 21 пассажира, равна 0,88. Вероятность того, что окажется меньше 12 пассажиров, равна 0,66. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 12 до 20.

Решение. Вероятность того, что в автобусе окажется меньше 21 пассажира, включает в себя вероятность, что в нём окажутся от 12 до 20 пассажиров. При этом события, при которых пассажиров будет меньше 12, нам не подходят. Следовательно, отняв от первой вероятности (менее 21) вторую вероятность (менее 12), мы и найдём вероятность того, что пассажиров будет от 12 до 20 : 0,88 – 0,66 = 0,22.

Задача 8. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 10 апреля погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 13 апреля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение:

Задачу выполняют несколько вариантов («Х» — хорошая погода, «О» — отличная погода):

11 апреля	12 апреля	13 апреля	Вероятность данного варианта
X – 0,9	X – 0,9	O – 0,1	0,9 ·0,9 ·0,1 = 0,081
X – 0,9	O – 0,1	O – 0,9	0,9 ·0,1 ·0,9 = 0,081
O – 0,1	O – 0,9	O – 0,9	0,1 ·0,9 ·0,9 = 0,081
O – 0,1	X – 0,1	O – 0,1	0,1 ·0,1 ·0,1 = 0,001

Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,081 + 0,081 + 0,081 + 0,001 = 0,244.

Задача 9. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение:

Задачу выполняют несколько вариантов («Х» ― хорошая погода, «О» ― отличная погода):

4 июля	5 июля	6 июля	Вероятность данного варианта
X – 0,8	X – 0,8	O – 0,2	0,8 · 0,8 · 0,2 = 0,128
X – 0,8	O – 0,2	O – 0,8	0,8 · 0,2 · 0,8 = 0,128
O – 0,2	O − 0,8	O − 0,8	0,2 · 0,8 · 0,8 = 0,128
O – 0,2	X – 0,2	O – 0,2	0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008

Вероятность происхождения какого-либо их этих 4 ― х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,128 + 0,128 + 0,128 + 0,008 = 0,392.

Источник

События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это достоверные события, которые обязательно произойдут, невозможные события и случайные события. Теория вероятностей изучает случайные события, т.е. события, которые могут произойти или не произойти. В данной статье будет представлена в кратком виде теория вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).

Зачем нужна теория вероятности
Основные понятия теории вероятности
- Пример задачи из ЕГЭ по математике по определению вероятности
  - Решение.
Независимые, противоположные и произвольные события
Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы
Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности

Зачем нужна теория вероятности

Исторически потребность исследования этих проблем возникла в XVII веке в связи с развитием и профессионализацией азартных игр и появлением казино. Это было реальное явление, которое требовало своего изучения и исследования.

Игра в карты, кости, рулетку создавала ситуации, когда могло произойти любое из конечного числа равновозможных событий. Возникла необходимость дать числовые оценки возможности наступления того или иного события.

В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей.

Основные понятия теории вероятности

Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.

Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.

Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А и событие В.

События А и В называется несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Событие А называется невозможным, если оно не может произойти. Такое событие обозначается символом .

Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет. Такое событие обозначается символом .

Пусть каждому событию А поставлено в соответствие число P{А). Это число P(А) называется вероятностью события А, если при таком соответствии выполнены следующие условия.

Вероятность принимает значения на отрезке от 0 до 1, т.е. .
Вероятность невозможного события равна 0, т.е. .
Вероятность достоверного события равна 1, т.e. .
Если события A и В несовместные, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей, т.е. .

Важным частным случаем является ситуация, когда имеется равновероятных элементарных исходов, и произвольные из этих исходов образуют события А. В этом случае вероятность можно ввести по формуле $P(A) = frac{k}{n}$ . Вероятность, введенная таким образом, называется классической вероятностью. Можно доказать, что в этом случае свойства 1-4 выполнены.

Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Особенно простыми являются задачи по теории вероятностей в демонстрационных вариантах. Легко вычислить число благоприятных исходов , прямо в условии написано число всех исходов .

Ответ получаем по формуле $P(A) = frac{k}{n}$ .

Пример задачи из ЕГЭ по математике по определению вероятности

На столе лежат 20 пирожков – 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?

Решение.

Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть , где А – это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет определяться по формуле:

$[ P(A)=frac{k}{n}=frac{8}{20}=0,4 ]$

Ответ: 0,4

Независимые, противоположные и произвольные события

Однако в открытом банке заданий стали встречаться и более сложные задания. Поэтому обратим внимание читателя и на другие вопросы, изучаемые в теории вероятностей.

События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.

Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события,т.е. .

Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы

Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е. .

Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае .

Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.

Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.

Сколькими способами можно усадить 6 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Для третьего ученика остается 4 свободных места, для четвертого — 3, для пятого — 2, шестой займет единственное оставшееся место. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение , которое обозначается символом 6! и читается “шесть факториал”.

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа перестановок из п элементов В нашем случае .

Рассмотрим теперь другой случай с нашими учениками. Сколькими способами можно усадить 2 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение .

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам

$[ A^{k}_{n}=n cdot (n-1) cdot (n-2) dots cdot(n-k+1)= frac{n!}{(n-k)!} ]$

В нашем случае .

И последний случай из этой серии. Сколькими способами можно выбрать трех учеников из 6? Первого ученика можно выбрать 6 способами, второго — 5 способами, третьего — четырьмя. Но среди этих вариантов 6 раз встречается одна и та же тройка учеников. Чтобы найти число всех вариантов, надо вычислить величину: $frac {6 cdot 5 cdot 4}{1cdot 2 cdot 3} = 20$ . В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из элементов по элементам:

$[ C^{k}_{n}=frac{n cdot (n-1) cdot (n-2) dots (n-k+1)}{1cdot 2 cdot 3 dots cdot k}=frac{n!}{k! cdot (n-k)!}. ]$

В нашем случае .

Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности

Задача 1. Из сборника под ред. Ященко.

На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Решение:

$P=frac {9}{30}=0,3$ .

Ответ: 0,3.

Задача 2. Из сборника под ред. Ященко.

В каждой партии из 1000 лампочек в среднем 20 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.

Решение: Количество исправных лампочек 1000-20=980. Тогда вероятность того, что взятая наугад лампочка из партии будет исправной:

$P=frac{980}{1000}=0,98$

Ответ: 0,98.

Задача 3.

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.

Решение:

Если мы вообразим числовую прямую и на ней отметим точки 8 и 9, то мы увидим, что условие “У. верно решит ровно 9 задач” входит в условие “У. верно решит больше 8 задач”, но не относится к условию “У. верно решит больше 9 задач”.

Однако, условие “У. верно решит больше 9 задач” содержится в условии “У. верно решит больше 8 задач”. Таким образом, если мы обозначим события: “У. верно решит ровно 9 задач” – через А, “У. верно решит больше 8 задач” – через B, “У. верно решит больше 9 задач” через С. То решение будет выглядеть следующим образом:

Ответ: 0,06.

Задача 4.

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.

Давайте подумаем какие у нас даны события. Нам даны два несовместных события. То есть либо вопрос будет относиться к теме “Тригонометрия”, либо к теме “Внешние углы”. По теореме вероятности вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события, мы должны найти сумму вероятностей этих событий, то есть:

Ответ: 0,35.

Задача 5.

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Рассмотрим возможные события. У нас есть три лампочки, каждая из которых может перегореть или не перегореть независимо от любой другой лампочки. Это независимые события.

Тогда укажем варианты таких событий. Примем обозначения: – лампочка горит, – лампочка перегорела. И сразу рядом подсчитаем вероятность события. Например, вероятность события, в котором произошли три независимых события “лампочка перегорела”, “лампочка горит”, “лампочка горит”: , где вероятность события “лампочка горит” подсчитывается как вероятность события, противоположного событию “лампочка не горит”, а именно: .

Заметим, что благоприятных нам несовместных событий всего 7. Вероятность таких событий равна сумме вероятностей каждого из событий: .

Ответ: 0,975608.

Еще одну задачку вы можете посмотреть на рисунке:

Таким образом, мы с вами поняли, что такое теория вероятности формулы и примеры решения задач по которой вам могут встретиться в варианте ЕГЭ.

Источник

Модуль
Реальная математика. 19. Задачи на вероятность

1. Что такое
вероятность.

Вероятность события
измеряется числом от 0 до 1. Вероятность невозможного события равна 0, а
вероятность достоверного события равна 1.

Для примера возьмём мешочек с одинаковыми
шарами, но разного цвета, в котором 3 красных шара и 7 синих, т.е. всего 10
шаров. Будем не глядя, случайным образом, вытаскивать шары. Вероятность
вытащить красный шар будет равна 0,3, а вероятность вытащить синий шар будет
равна 0,7. Вытащить любой шар – это
достоверное событие, его вероятность равна 0,3 + 0,7 = 1. Вероятность
вытащить зелёный шар равна 0 – это невозможное событие, т.к. зелёных шаров в
мешке не было.

Пусть нам надо вытащить красный шар, тогда 3 случая для нас
будут благоприятными, а 7 случаев – неблагоприятными. Всего 10 случаев.
Значит, чтобы вычислить вероятность события „вытащить красный шар“, надо
число благоприятных событий 3 поделить на общее число событий
10.

№1. На экзамене 25 билетов. Коля не выучил 5 из них. Найдите вероятность того, что ему
попадётся выученный билет.

Решение. Общее число случаев 25. Нужно найти
вероятность события „вытащить выученный билет“. Значит, число благоприятных
случаев – выученных билетов равно 1) 25 – 5 = 20. Тогда вероятность
„выученного билета“ равна:

№2. На тарелке лежат пирожки, одинаковые на
вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с яблоками. Петя
наугад выбирает один пирожок. Найти вероятность того, что пирожок окажется с
яблоками.

Решение.
Общее число случаев 1) 4 + 8 + 3 = 15. Число
благоприятных случаев (пирожки с яблоками) равно 3. Вероятность вытащить
пирожок с яблоками: 2) 3:15 = 1:5 = 0,2.

№3. При покупке шариковой
ручки вероятность того, что ручка плохо пишет, равна 0,086 (из тысячи плохо
пишут 86 ручек). Найти вероятность того, что ручка пишет хорошо.

Решение. 1 – 0,086 = 0,914.

Решите самостоятельно.

№4. На экзамене Саша из 20
билетов не выучил 4 билета. Найдите
вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

№5. Из 600 луковиц
тюльпанов в среднем 48 не прорастают. Какова вероятность того, что случайно
выбранная луковица прорастёт?

№6. Из 1000 продающихся
батареек в среднем 90 разряжены. Какова вероятность того, что случайно
выбранная батарейка исправна?

№7. В магазине в среднем из
150 фонариков восемнадцать бывают неисправны. Какова вероятность наудачу
купить исправный фонарик?

№8. На столе стоят стаканы
с одинаковыми на вид йогуртами: 9 вишнёвых и
6 клубничных. Найти вероятность выбора а) вишнёвого йогурта и б)
клубничного йогурта. Выполните проверку сложением вероятностей.

№9. В автопарке 15 жёлтых
такси, остальные синие. Какова вероятность того, что к клиенту прибудет синее
такси? Всего в автопарке 75 такси.

№10. У бабушки 15 чашек:
6 с красными цветками, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно
выбранную чашку. Найти вероятность того, это будет чашка с синими
цветками.

№11. В коробке лежат
одинаковые на вид авторучки: 5 с красной пастой, 7 с зелёной и 8 с
синей. Юра наугад выбирает одну авторучку. Найдите вероятность того, что ручка
окажется с синей пастой.

№12. В фирме такси имеется 3
«Волги», 5 «Жигулей» и 12 «Фиатов». Какова вероятность того, что к клиенту
выехал «Фиат»?

№13. На колесе обозрения
тридцать кабинок, их них 3 синие, 15 зелёных, остальные красные. Кабинки по
очереди подходят к платформе для посадки, где люди рассаживаются в порядке
живой очереди. Какова вероятность, что вам достанется красная кабина?

№14. В магазине имеется в наличии
150 внешне одинаковых ручек, из них 24 – красные, 36 – зелёные, 60 –
фиолетовые, а ещё есть синие и чёрные, их поровну. Найти вероятность выбора ручки с чёрной пастой.

№15. В коробке лежат
одинаковые на вид авторучки: 5 с красной пастой, 7 с фиолетовой и 8 с
синей. Юра наугад выбирает одну авторучку, лишь бы она была фиолетовой или
синей. Найдите вероятность того, что ручка окажется с синей или с фиолетовой
пастой.

№16. В магазине имеется в
наличии 150 внешне одинаковых ручек, из них 24 – красные, 36 – зелёные, 60 –
фиолетовые, а ещё есть синие и чёрные, их поровну. Найти вероятность выбора одной ручки с синей или фиолетовой пастой.

———————————————————————————————————————————————————————-

№17. Из 1 000 стержней для ручек в среднем плохо
пишут 120 стержней. Найти вероятность того, что попадётся качественный
стержень.

№18. Конвейер выпускает
печатные платы для стиральных машин, из которых 0,015 уходят в брак. Найти
вероятность качественных плат.

№19. Вероятность того, что
новая шариковая ручка плохо пишет (или не пишет совсем), равна 0,07. Покупатель
выбирает одну шариковую ручку. Найти вероятность того, что эта ручка пишет
хорошо.

№20. В каждой 50-ой банке кофе согласно условиям акции есть приз.
Призы распределены по банкам случайно. Какова вероятность того, что в купленной
банке кофе приза не окажется?

№21. В каждой сотой банке кофе согласно условиям акции есть приз.
Галя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что
Галя не найдёт приз в своей банке.

———————————————————————————————————————————————————————-

№22. Девятиклассники Петя,
Катя, Ваня, Даша и Наташа бросили жребий, кому начинать игру. Найдите
вероятность того, что а) начинать будет Катя; б) начинать игру
будет мальчик; в) начинает девочка.

Решение. Общее число случаев 5 – столько всего
девятиклассников. Число благоприятных случаев а) 1 – это Катя, вероятность
1:5 = 0,2;
б) 2 – это мальчики Петя и Ваня, вероятность 2:5 = 0,4;
в) вероятность для девочек 1 – 0,4 = 0,6.

№22. На конкурсе мальчики Петя и Ваня должны танцевать
с девочками, которых зовут Оля, Рая, Уля, Фая и Эля. Какова вероятность,
что Петя будет танцевать с Олей или с Раей?

Решение. Для Пети общее
число случаев 5, благоприятных 2. Отсюда вероятность 2:5 = 0,4.

№23. В лыжных гонках участвуют 7 спортсменов из России, 3
спортсмен из Норвегии и 2 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены
стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен из
Норвегии будет стартовать последним.

Решение. Общее число случаев (стартуют
последними) 7 + 3 + 2 = 12.
Благоприятных случаев (из Норвегии) 3.
Вероятность 3:12 = 1/4 = 0,25.

Решите самостоятельно.

№24. Девятиклассники Петя, Катя, Ваня, Даша и Наташа бросили
жребий, кому начинать игру. Найдите
вероятность того, что жребий начинать игру не выпадет мальчикам.

№25. На конкурсе мальчики Петя и Ваня должны танцевать
с девочками, которых зовут Оля, Рая, Уля, Фая и Эля. Какова вероятность,
что Петя не будет танцевать ни с Олей, ни с Раей?

№26. В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6
спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены
стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет
стартовать спортсмен из России.

№27. В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2
спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены
стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет
стартовать спортсмен не из Швеции.

№28. В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2
спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из
Норвегии или Швеции.

№29. В
чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 17 из России, 22 из США,
остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется
жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой,
окажется из Китая.

№30.
Родительский комитет закупил 25 пазлов для подарков детям в связи с окончанием
года, из них 19 с машинами и 6 с видами городов. Подарки распределяются
случайным образом между 25 детьми, среди которых есть Юра. Найдите вероятность того, что Юре достанется пазл с машиной.

№31. Родительский комитет закупил 10 пазлов для подарков детям в
связи с окончанием года, из них 7 с машинами и 3 с видами городов. Подарки
распределяются случайным образом между 10 детьми, среди которых есть Яша. Найдите
вероятность того, что Яше достанется пазл с городом.

№32. Конференция длится три дня. В первый и второй день выступают
по 15 докладчиков, в третий день – 20. Какова вероятность того, что доклад
профессора М. выпадет на третий день?

№33. В
таблице представлены результаты четырёх стрелков, показанные ими на тренировке
(две отдельные задачи):

Номер стрелка	№1	№2	№3	№4	Номер стрелка	№1	№2	№3	№4
Число выстрелов	50	40	25	60	Число выстрелов	20	40	45	60
Число попаданий	25	23	15	29	Число попаданий	14	27	27	21

Тренер решил послать на соревнования
того стрелка, у которого относительная частота попаданий выше. Кого из стрелков
выберет тренер?

———————————————————————————————————————————————————————-

2. Монеты и
кубики, трёхзначные числа.

№1. Подбрасываем монету 2 раза. Какова вероятность
того, что оба раза выпадет орел?

Решение. После подбрасывания двух монет может получиться один из
следующих результатов:

1) PP – оба раза выпала решка; 2) PO – первый раз решка,
второй раз орел;

3) OP – первый раз орел, второй раз решка; 4) OO – оба раза
выпал орел.

Общее число случаев 4. Благоприятных (ОО) 1. Вероятность 1:4 = 0,25.

Решите самостоятельно.

№2. Подбрасываем
монету 2 раза. Какова вероятность того, что орел выпадет 1 раз?

№3. Подбрасываем
монету 2 раза. Какова вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

№4. Подбрасываем
монету 2 раза. Какова вероятность того, что орел выпадет хотя бы 1 раз
(то есть может 1 раз, а может оба раза)?

№5. Подбрасываем монету 3 раза. Какова
вероятность того, что решка выпадет ровно 2 раза?

Решение. При трёх подбрасывания общее число
случаев будет 8:
ООО; ООР; ОРО; ОРР; РОО; РОР; РРО; РРР.
Среди них видны 3 благоприятных случая: ОРР; РОР и РРО.
Вероятность 3:8 = 0,375.

Внимание! При 1 подбрасывании 2¹ = 2 случая (О или Р);
при 2 подбрасываниях 2² = 4 случая (ОО; ОР; РО и РР);
при 3 подбрасываниях 2³ = 8 случаев; при 4 подбрасываниях 2⁴
= 16.

Решите самостоятельно.

№6. При 3 подбрасываниях монеты найти
вероятность выпадении решки а) хотя бы 1 раз; б) не менее 2 раз.

№7. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет а)
ровно 1 раз; б) ровно 2
раза; в) ровно 3 раза.

———————————————————————————————————————————————————————-

№8. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух
выпавших чисел нечётна.

1; 1	1; 2	1; 3	1; 4	1; 5	1; 6
2; 1	2; 2	2; 3	2; 4	2; 5	2; 6
3; 1	3; 2	3; 3	3; 4	3; 5	3; 6
4; 1	4; 2	4; 3	4; 4	4; 5	4; 6
5; 1	5; 2	5; 3	5; 4	5; 5	5; 6
6; 1	6; 2	6; 3	6; 4	6; 5	6; 6

Решение. Игральная кость (кубик) имеет 6 граней с
числами 1; 2; 3; 4; 5; 6.

При двукратном бросании общее число случаев равно 6Х6 = 36 (см. таблицу!)

Сумма цифр будет нечётна в половине случаев (12, 14, 16; 21, 23, 25; 32,
34, 36 и т.д.), т.е. благоприятных случаев будет половина. Вероятность будет
0,5, т.е. 18:36 = 0,5.

№9. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух
выпавших чисел равна 4 или 7.

Решение. Благоприятные случаи 1+3=4;
2+2=4; 3+1=4; 1+6=7; 2+5=7;
3+4=7; 4+3=7; 5+2=7; 6+1=7, т.е. всего 3 + 6 = 9 случаев. Вероятность 9:36=0,25.

№10. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза
выпали числа, меньшие 4.

1; 1	1; 2	1; 3	1; 4	1; 5	1; 6
2; 1	2; 2	2; 3	2; 4	2; 5	2; 6
3; 1	3; 2	3; 3	3; 4	3; 5	3; 6
4; 1	4; 2	4; 3	4; 4	4; 5	4; 6
5; 1	5; 2	5; 3	5; 4	5; 5	5; 6
6; 1	6; 2	6; 3	6; 4	6; 5	6; 6

Решение. По таблице легко видно, что таких клеток четвёртая
часть, т.е. вероятность 0,25.

№11. Игральную
кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы один раз выпало число, меньшее
4.

Решение. По таблице видно, что теперь не подходят пары от 4;4
до 6;6, а три четверти благоприятны, т.е. вероятность 27:36 = 3:4
= 0,75.

Решите самостоятельно.

№12. Определите вероятность того, что при однократном бросании кубика выпало число очков, не
меньшее 1 (достоверное событие!).

№13. Определите вероятность того, что при однократном бросании кубика выпадет
менее 4 очков.

№14. Игральную кость бросают дважды. Найдите
вероятность того, что сумма двух выпавших чисел чётна.

№15. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух
выпавших чисел равна 5 или 8.

№16. Игральную кость бросают дважды. Найдите
вероятность того, что сумма двух выпавших чисел равна 6 или 9.

№17. Игральную кость бросают дважды. Найдите
вероятность того, что наибольшее из двух выпавших чисел равно 5.

№18. Игральную кость бросают дважды. Найдите
вероятность того, что хотя бы раз выпало число, большее 3.

———————————————————————————————————————————————————————-

№19. Коля наудачу выбирает двузначное число.
Какова вероятность, что число оканчивается цифрой 3?

Решение. Двузначных чисел от 10 до 99 всего
90. Цифрой 3 оканчивается 9 чисел (13; 23; 33; … ; 93). Вероятность 9:90
= 0,1.

№20. Валя выбирает случайное трёхзначное
число. Найти вероятность того, что оно делится на 51.

Решение. 1-ый способ (перебором).
Трёхзначных чисел от 100 до 999 всего 900. Числа, делящиеся на 51 выпишем в
строчку: 51; 102; 153; 204; … ; 918; 969 – их окажется всего 19, но первое число
51 не трёхзначное. Остаётся 18 благоприятных случаев. Вероятность 18:900
= 2:100 = 0,01.

2-ой способ (с помощью арифметической прогрессии).
Первый член а₁ = 102; последний n-ый член а_n
= а₁ + d(n – 1);
а_n = 102 + 51(n – 1) = 102 + 51n – 51 = 51 + 51n; 51 + 51n < 999;
51n < 999 – 51; 51n < 948; n < 18 (ост.38).
Значит n = 18.

№21. Коля выбирает
случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 4.

Решение. Очевидно, что а₁
= 100, d = 4, тогда а_n = а₁ + d(n – 1) =
= 100 + 4(n – 1) = 100 + 4n – 4 = 96 – 4n;
96 + 4n < 999; 4n < 903;
n < 225,75, откуда n = 225. Вероятность 225:900 = 0,25.

Решите самостоятельно.

№22. Женя выбирает
случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 100.

№23. Паша выбирает случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 10.

№24. Игорь выбирает случайное трёхзначное число.
Найдите вероятность того, что оно делится на 99.

№25. Стас выбирает
случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 48.

№26. Олег выбирает случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 34.

———————————————————————————————————————————————————————-

3. Задачи на
сложение и умножение вероятностей.

Пусть из 10 ручек
было 5 красных, 3 синих и 2 чёрные ручки. тогда вероятность взять красную
ручку равна 0,5, синюю 0,3 и чёрную 0,2. Очевидно, что вероятность взять
красную или синюю равна 0,5 + 0,3 = 0,8. Такие два события „взять красную
ручку“ и „взять синюю ручку“ называют несовместными событиями. Отсюда
получаем теорему: вероятность двух несовместных событий равна сумме их
вероятностей.

№1. На
экзамене по геометрии школьнику достаётся одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача по теме «Площадь», равна 0,15.
Вероятность того, что это окажется задача по теме «Окружность», равна 0,3. В
сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите
вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих
двух тем.

Решение. Очевидно, что эти 2 события
несовместны, поэтому их общая вероятность равна 0,15 + 0,3 = 0,45.

№2. Фирма «Вспышка» изготавливает фонарики с вероятностью
брака 0,02, т.е. из 100 фонариков 2 бракованных. Какова вероятность того, что
при покупке 2 фонариков оба попадутся исправные?

Решение. Вероятность исправности одного
фонарика 1 – 0,02 = 0,98. Если фонарики выбираются независимо друг от друга,
т.е. вероятность исправности у обоих 0,98, то вероятность исправности 2
фонариков находят умножением: 0,98∙0,98 = 0,9604 ≈ 0,96 – немного меньше!

№3. Стрелок 4 раза стреляет по мишени, каждый
раз с вероятностью 0,6. Какова вероятность того, что он 2 раза поразит мишень,
а 2 раза промахнётся?

Решение. При поражении мишени 2 раза вероятности
умножаются 0,6∙0,6. Вероятность
промаха 1 – 0,6 = 0,4. При 2 промахах вероятности тоже умножаются 0,4∙0,4. В результате вероятность 0,6∙0,6∙0,4∙0,4 = 0,36∙0,16 = 0,0576.
Решение удобно записать в виде: 0,6∙0,6∙(1 – 0,6)(1 –
0,6).

Решите самостоятельно.

№4. Вероятность выбрать красную ручку равна
0,35, синюю 0,2, фиолетовую 0,15. Остальные ручки зелёные. Какова вероятность
выбрать зелёную ручку? Какова вероятность выбрать синюю или зелёную?

№5. На
экзамене по геометрии школьнику достаётся одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача по теме «Трапеция», равна 0,3.
Вероятность того, что это окажется задача по теме «Углы», равна 0,6. В сборнике
нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите
вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих
двух тем.

№6. В киоске продаются элементы питания, среди
которых с вероятностью 0,05 попадаются разряженные. Какова вероятность купить
а) обе заряженных элемента; б) один заряженный, другой разряженный?

№7. Стрелок 3 раза
стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна
0,9. Найдите вероятность того, что стрелок а) первый раз попал в мишени,
а последние 2 раза промазал; б) первые 2 раза попал
в мишень, а последний раз промахнулся.

№8. Стрелок 4 раза
стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна
0,5. Найдите вероятность того, что стрелок первые 3 раза попал в мишени, а
последний раз промахнулся.

№9. Стрелок 4 раза
стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна
0,6. Найдите вероятность того, что стрелок первые 3 раза попал в мишени, а
последний раз промахнулся.

№10. Стрелок 5 раз
стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9.
Найдите вероятность того, что стрелок первые 2 раза попал в мишени, а последние
3 раза промазал.

———————————————————————————————————————————————————————-

№11. Известно,
что в некотором регионе вероятность того, что родившийся младенец окажется мальчиком, равна 0,516. В
2005 г. в этом регионе на 1000 родившихся младенцев в среднем
приходилось 497 девочек. На сколько частота рождения девочки в 2005 г. в
этом регионе отличается от вероятности этого события?

Решение. Вероятность рождения девочек 1 –
0,516 = 0,484. На самом деле девочек родилось 497:1000 = 0,497, т.е. на
0,497 – 0,484 = 0,013 больше, чем предполагалось по статистике.

№12. Вероятность
рождения мальчика в регионе равна 0,479. Но в 2005 г. в этом регионе на 1000 родившихся
младенцев в среднем приходилось 497 девочек. На сколько частота рождения
девочки в 2005 г. в этом регионе отличается от вероятности этого события?

Самостоятельная работа. 25.02.16

№1. Девятиклассники Петя, Катя, Ваня, Даша и
Наташа бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что а)
начинает мальчик;
б) начинает девочка.

№2. На
конкурсе мальчики Петя и Ваня должны танцевать с девочками, которых
зовут Оля, Рая, Уля, Фая и Эля. Какова вероятность, что Петя будет танцевать с
Олей, Улей или с Раей?

№3. В лыжных гонках участвуют 12 спортсменов из России,
3 спортсмен из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены
стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен из России
будет стартовать первым.

№4. В чемпионате
по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 17 из России, 22 из США, остальные — из
Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите
вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

№5. Конференция длится 4 дня. В первый и второй
день выступают по 10 докладчиков, в третий и четвёртый день – 15.
Какова вероятность того, что доклад профессора М. выпадет на третий день?

№6. Подбрасываем монету 2 раза. Какова вероятность
того, что орел не выпадет ни разу.

———————————————————————————————

Самостоятельная работа. 25.02.16

№3. В лыжных гонках участвуют 12 спортсменов из России,
3 спортсмен из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором
спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что
спортсмен из России будет стартовать первым.

№6. Подбрасываем монету 2 раза. Какова вероятность
того, что орел не выпадет ни разу.

———————————————————————————————

Самостоятельная работа. 25.02.16

№3. В лыжных гонках участвуют 12 спортсменов из России,
3 спортсмен из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором
спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что
спортсмен из России будет стартовать первым.

№6. Подбрасываем монету 2 раза. Какова вероятность
того, что орел не выпадет ни разу.

———————————————————————————————

Самостоятельная работа. 25.02.16

№3. В лыжных гонках участвуют 12 спортсменов из России,
3 спортсмен из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором
спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что
спортсмен из России будет стартовать первым.

№6. Подбрасываем монету 2 раза. Какова вероятность
того, что орел не выпадет ни разу.

———————————————————————————————

Самостоятельная работа. 02.03.16

№1. Коля наудачу выбирает
двузначное число. Какова вероятность, что число начинается цифрой 4? (Сколько всего двузначных чисел: от какого до
какого? Выпишите числа, начинающиеся с 4).

№2. Какова вероятность того, трёхзначное число
делится на 100? (Сколько всего
трёхзначных чисел? Какие из них делятся на 100?)

№3. Всего 20 ручек. Из них 3 красных, 7 синих,
2 чёрные ручки и остальные зелёные. Какова вероятность взять а) синюю
ручку; б) красную или чёрную ручку; в) зелёную ручку?

№4. Имеется ящик с красными, синими и чёрными
ручками. Вероятность взять красную ручку равна 0,3 и взять синюю ручку 0,45.
Какова вероятность взять а) красную или синюю ручку;
б) синюю или чёрную ручку?

№5. Вероятность того, что в киоске купленная
ручка пишет равна 0,9. Петя купил 2 ручки. Какова вероятность того, что а)
обе ручки пишут; б) одна ручка пишет, а другая не пишет?

№6. Стрелок 3 раза
стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна
0,6. Найдите вероятность того, что стрелок а) первый раз попал в мишени,
а последние 2 раза промазал; б) первые 2 раза попал
в мишень, а последний раз промахнулся.

———————————————————————————————

Источник

❓ Что такое теория вероятностей?

Теория вероятностей использует случайные величины и распределения вероятностей для математической оценки неопределенных ситуаций. Понятие вероятности используется для присвоения числового описания вероятности наступления события. Вероятность можно определить как число благоприятных исходов, деленное на общее число возможных исходов события.

Определение теории вероятностей

Теория вероятностей – это область математики и статистики, которая занимается определением вероятностей, связанных со случайными событиями. Существует два основных подхода к изучению теории вероятностей: теоретический и экспериментальный. Теоретическая вероятность определяется на основе логических рассуждений без проведения экспериментов. В отличие от нее, экспериментальная вероятность определяется на основе исторических данных путем проведения повторных экспериментов.

Пример теории вероятностей

Предположим, нам необходимо определить вероятность выпадения числа 4 при бросании игральной кости. Число благоприятных исходов равно 1. Возможные исходы игральной кости – {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Из этого следует, что всего существует 6 исходов. Таким образом, вероятность выпадения 4 при бросании игральной кости, используя теорию вероятности, можно вычислить как 1 / 6 ≈ 0,167.

🎲 Основы теории вероятностей

Мы можем понять эту область математики с помощью нескольких основных терминов, напрямую связанных с теорией вероятностей.

Случайный эксперимент

Случайный эксперимент в теории вероятностей – это испытание, которое повторяется несколько раз для получения четко определенного набора возможных результатов. Подбрасывание монеты является примером случайного эксперимента.

Пространство выборки

Пространство выборки можно определить как множество всех возможных исходов, полученных в результате проведения случайного эксперимента. Например, пространство выборки при подбрасывании симметричной монеты (fair coin), стороны которой – это орел и решка.

Событие

Теория вероятностей определяет событие как набор исходов эксперимента, который образует подмножество пространства выборки.

Примеры событий:

Независимые – те, на которые не влияют другие события, являются независимыми.
Зависимые – те, на которые влияют другие события.
Взаимоисключающие – события, которые не могут произойти в одно и то же время.
Равновероятные – два или более события, которые имеют одинаковые шансы произойти.
Исчерпывающие – это события, которые равны выборочному пространству эксперимента.

Случайная величина

В теории вероятностей случайную переменную можно определить как величину, которая принимает значение при всех возможных исходах эксперимента.

Существует два типа случайных величин:

Дискретная случайная величина – принимает точные значения, такие как 0, 1, 2…. Описывается кумулятивной функцией распределения и функцией массы вероятности.
Непрерывная случайная величина – переменная, которая может принимать бесконечное число значений. Для определения характеристик этой переменной используются кумулятивная функция распределения и функция плотности вероятности.

Вероятность

Вероятность мы можем определить как численную вероятность наступления события. Вероятность того, что событие произойдет, всегда лежит между 0 и 1. Это связано с тем, что число желаемых исходов никогда не может превысить общее число исходов события. Теоретическая вероятность и эмпирическая вероятность используются в теории вероятностей для измерения шанса наступления события.

Формула вероятности P(A): количество благоприятных исходов для A делимое на общее количество возможных исходов.

Условная вероятность

Ситуация, когда необходимо определить вероятность наступления события, притом что другое событие уже произошло.

Обозначается как P(A | B).

Если хочешь подтянуть свои знания по математике, загляни на наш курс «Математика для Data Science», на котором ты:

Усвоишь специальную терминологию и сможешь читать статьи по Data Science без постоянных обращений к поисковику.
Подготовишься к успешной сдачи вступительных экзаменов в Школу анализа данных Яндекс.
Овладеешь математическим аппаратом, который необходим, чтобы стать специалистом в Data Science.

Ожидание

Ожидание случайной величины X можно определить как среднее значение результатов эксперимента, проводимого многократно. Ожидание обозначается как E[X]. Также известно как среднее значение случайной величины.

Дисперсия

Дисперсия – это мера, которая показывает, как распределение случайной величины изменяется относительно среднего значения. Дисперсия определяется как среднее квадратичное отклонение от среднего значения случайной величины. Обозначается как Var[X].

Функция распределения теории вероятностей

Распределение вероятностей или кумулятивная функция распределения – это функция, которая моделирует все возможные значения эксперимента, используя случайную переменную. Распределение Бернулли и биномиальное распределение – это примеры дискретных распределений вероятностей. Например, нормальное распределение представляет собой пример непрерывного распределения.

Массовая функция вероятности

Массовая функция вероятности определяется как вероятность того, что дискретная случайная величина будет в точности равна определенному значению.

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности – это вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает множество возможных значений.

Формулы теории вероятностей

В теории вероятностей существует множество формул, которые помогают рассчитать различные вероятности, связанные с событиями.

Наиболее важные формулы:

Теоретическая вероятность: Число благоприятных исходов / Число возможных исходов.
Эмпирическая вероятность: Число случаев, когда событие происходит / Общее число испытаний.
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B), где A и B – события.
Правило комплементарности: P(A’) = 1 – P(A). P(A’) означает вероятность того, что событие не произойдет.
Независимые события: P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B).
Условная вероятность: P(A | B) = P(A∩B) / P(B).
Теорема Байеса: P(A | B) = P(B | A) ⋅ P(A) / P(B).
Массовая функция вероятности: f(x) = P(X = x).
Функция плотности вероятности: p(x) = p(x) = dF(x) / dx, где F(x) – кумулятивная функция распределения.
Ожидание непрерывной случайной величины: ∫xf(x)dx, где f(x) является МФВ (Массовой функцией вероятности).
Ожидание дискретной случайной величины: ∑xp(x), где p(x) – это ФПВ (Функцией плотности вероятности).
Дисперсия: Var(X) = E[X2] – (E[X])2.

Применение теории вероятностей

Теория вероятностей используется во многих областях и помогает оценить риски, которые связаны с теми или иными решениями. Некоторые из направлений, где применяют теорию вероятностей:

В финансовой отрасли теория вероятностей используется для создания математических моделей фондового рынка с целью прогнозирования будущих тенденций. Это помогает инвесторам вкладывать средства в наименее рискованные активы, которые дают наилучший доход.

В потребительской индустрии теория вероятностей используется для снижения вероятности неудачи при разработке продукта.

Казино использует теорию вероятностей для разработки азартных игр с максимизацией своей прибыли.

🏋️ Практические задания

Задача 1: При бросании двух игральных костей, какова вероятность того, что выпадет комбинация, сумма которой будет равна 8?

При бросании двух игральных костей существует 36 возможных исходов. Для получения суммы, равной 8, существует 5 благоприятных исходов: [(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)]. Используя формулы теории вероятностей: Вероятность = Число благоприятных исходов / общее число возможных исходов = 5 / 36. Ответ: Вероятность получения суммы 8 при бросании двух игральных костей равна 5 / 36.

Задача 2: Какова вероятность вытащить карту королеву из колоды?

Колода карт имеет 4 масти. Каждая масть состоит из 13 карт. Таким образом, общее число возможных исходов = (4) * (13) = 52. Может быть, 4 королевы, по одной из каждой масти. Следовательно, количество благоприятных исходов = 4. Карточная вероятность = 4 / 52 = 1 / 13. Ответ: Вероятность получить королеву из колоды карт равна 1 / 13

Задача 3: Из 10 человек 3 купили карандаши, 5 купили тетради, а 2 купили и карандаши, и тетради. Если покупатель купил тетрадь, какова вероятность того, что он также купил карандаш?

Используя понятие условной вероятности, P(A | B) = P(A∩B) / P(B). Пусть A – событие, когда люди покупают карандаши, а B – событие, когда люди покупают тетради. P(A) = 3 / 10 = 0,3P(B) = 5 / 10 = 0,5P(A∩B) = 2 / 10 = 0,2. Подставим полученные значения в приведенную формулу, P(A | B) = 0,2 / 0,5 = 0,4. Ответ: Вероятность того, что покупатель купил карандаш, при условии, что он купил блокнот, равна 0,4.

В заключение

Подведем итоги:

Теория вероятностей – это раздел математики, в котором рассматриваются вероятности случайных событий.
Понятие вероятности объясняет возможность наступления того или иного события.
Значение вероятности всегда лежит между 0 и 1.
В теории вероятностей все возможные исходы случайного эксперимента составляют пространство выборки.
Теория вероятностей использует такие важные понятия, как случайные величины и кумулятивные функции распределения для моделирования случайного события. Сюда же относится определение различных вероятностей, связанных с этим.

Если хочешь подтянуть свои знания по математике, загляни на наш курс «Математика для Data Science», который включает в себя:

47 видеолекций и 150 практических заданий.
Консультации с преподавателями курса.

Источник

Содержание:

Примеры с решением
Частота, или статистическая вероятность, события

Каждая наука, развивающая общую теорию какого-либо круга явлений, содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Таковы, например, в геометрии понятия точки, прямой, линии; в механике— понятия силы, массы, скорости, ускорения и т. д. Естественно, что не все основные понятия могут быть строго определены, так как определить понятие — это значит свести его к другим, более известным.

Очевидно, процесс определения одних понятий через другие должен где-то заканчиваться, дойдя до самых первичных понятий, к которым сводятся все остальные и которые сами строго не определяются, а только поясняются.

Такие основные понятия существуют и в теории вероятностей. В качестве первого из них введем понятие события.

Под «событием» в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Приведем несколько примеров событий:

А — появление герба при бросании монеты;
В— появление трех гербов при трехкратном бросании монеты;
С — попадание в цель при выстреле;
D—появление туза при вынимании карты из колоды;
Е— обнаружение объекта при одном цикле обзора радиолокационной станции;
F— обрыв нити в течение часа работы ткацкого станка.

Рассматривая вышеперечисленные события, мы видим, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности: одни — большей, другие — меньшей, причем для некоторых из этих событий мы сразу же можем решить, какое из них более, а какое менее возможно. Например, сразу видно, что событие А более возможно, чем В и D. Относительно событий С, Е и F аналогичных выводов сразу сделать нельзя; для этого следовало бы несколько уточнить условия опыта. Так или иначе ясно, что каждое из таких событий обладает той или иной степенью возможности. Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, очевидно, нужно с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое числи мы назовем вероятностью события.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Таким образом, мы ввели в рассмотрение второе основное понятие теории вероятностей — понятие вероятности события. Вероят-ность события есть численная мера степени объективной возможности этого сооытия.

Заметим, что уже при самом введении понятия вероятности события мы связываем с этим понятием определенный практический смысл, а именно: на основании опыта мы считаем более вероятными те события, которые происходят чаще; менее вероятными —те события, которые происходят реже; мало вероятными—те, которые почти никогда не происходят. Таким образом, понятие вероятности события в самой своей основе связано с опытным, практическим понятием частоты события.

Сравнивая между собой различные события по степени их возможности, мы должны установить какую-то единицу измерения. В качестве такой единицы измерения естественно принять вероятность достоверного события, т. е. такого события, которое в результате опыта непременно должно произойти. Пример достоверного события — выпадение не более 6 очков при бросании одной игральной кости.

Если приписать достоверному событию вероятность, равную единице, то все другие события — возможные, но не достоверные — будут характеризоваться вероятностями, меньшими единицы, составляющими какую-то долю единицы.

Противоположностью по отношению к достоверному событию является невозможное событие, т. е. такое событие, которое в данном опыте не может произойти. Пример невозможного события — появление 12 очков при бросании одной игральной кости. Естественно приписать невозможному событию вероятность, равную нулю.

Таким образом, установлены единица измерения вероятностей— вероятность достоверного события — и диапазон изменения вероятностей любых событий — числа от 0 до 1.

Непосредственный подсчет вероятностей

Существует целый класс опытов, для которых вероятности их возможных исходов легко оценить непосредственно из условий самого опыта. Для этого нужно, чтобы различные исходы опыта обладали симметрией и в силу этого были объективно одинаково возможными.

Рассмотрим, например, опыт, состоящий в бросании игральной кости, т. е. симметричного кубика, на гранях которого нанесено различное число очков: от 1 до 6.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

В силу симметрии кубика есть основания считать все шесть возможных исходов опыта одинаково возможными. Именно это дает нам право предполагать, что при многократном бросании кости все шесть граней будут выпадать примерно одинаково часто. Эго предположение для правильно выполненной кости действительно оправдывается па опыте; при многократном бросании кости каждая ее грань появляется примерно в одной шестой доле всех случаев бросания, причем отклонение этой доли от тем меньше, чем большее число опытов произведено. Имея в виду, что вероятность достоверного события принята равной единице, естественно приписать выпадению каждой отдельной грани вероятность, равную . Это число характеризует некоторые объективные свойства данного случайного явления, а именно свойство симметрии шести возможных исходов опыта.

Для всякого опыта, в котором возможные исходы симметричны и одинаково возможны, можно применить аналогичный прием, который называется непосредственным подсчетом вероятностей.

Симметричность возможных исходов опыта обычно наблюдается только в искусственно организованных опытах, типа азартных игр. Так как первоначальное развитие теория вероятностей получила именно на схемах азартных игр, то прием непосредственного подсчета вероятностей, исторически возникший вместе с возникновением математической теории случайных явлений, долгое время считался основным и был положен в основу так называемой «классической» теории вероятностей. При этом опыты, не обладающие симметрией возможных исходов, искусственно сводились к «классической» схеме.

Несмотря на ограниченную сферу практических применений этой схемы, она все же представляет известный интерес, так как именно на опытах, обладающих симметрией возможных исходов, и на событиях, связанных с такими опытами, легче всего познакомиться с основными свойствами вероятностей. Такого рода событиями, допускающими непосредственный подсчет вероятностей, мы и займемся в первую очередь.

Предварительно введем некоторые вспомогательные понятия.

1. Полная группа событий.

Говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них.

Примеры событий, образующих полную группу:

выпадение герба и выпадение цифры при бросании монеты;
попадание и промах при выстреле;
появление 1,2, 3, 4, 5, 6 очков при бросании игральной кости;
появление белого- шара и появление черного шара при вынимании одного шара из урны, в которой 2 белых и 3 черных шара;
ни одной опечатки, одна, две, три и более трех опечаток при проверке страницы напечатанного текста;
хотя бы одно попадание и хотя бы один промах при двух выстрелах.

2. Несовместные события.

Цесколько событий называются несовместными в данном опыте, если никакие не могут появиться вместе.

Примеры несовместных событий:

выпадение герба и выпадение цифры при бросании монеты;
попадание и промах при одном выстреле;
появление 1, 3, 4 очков при одном бросании игральной кости;
ровно один отказ, ровно два отказа, ровно три отказа технического устройства за десять часов работы.

3. Равновозможные события.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условиям Симметрии есть основание считать, что ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другое.

Примеры равновозможных событий:

выпадение герба и выпадение цифры при бросании монеты;
появление 1, 3, 4, 5 очков при бросании игральной кости;
появление карты бубновой, червонной, трефовой масти при вынимании карты из колоды;
появление шара с № 1, 2, 3 при вынимании одного шара из урны» содержащей 10 перенумерованных шаров.

Существуют группы событий, обладающие всеми тремя свойствами: они образуют полную группу, несовместны и равновозможны; например: появление герба и цифры при бросании монеты; появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при бросании игральной кости. События, образующие такую группу, называются случаями (иначе «шансами»).

Если какой-либо опыт по своей структуре обладает симметрией возможных исходов, то случаи представляют собой исчерпывающую систему равновозможных и исключающих друг друга исходов опыта. Про такой опыт говорят, что он «сводится к схеме случаев» (иначе — к «схеме урн»).

Схема случаев по преимуществу имеет место в искусственно организованных опытах, в которых заранее и сознательно обеспечена одинаковая возможность исходов опыта (как, например, в азартных играх). Для таких опытов возможен непосредственный подсчет вероятностей, основанный на оценке доли так называемых «благоприятных» случаев в общем числе случаев.

Случай называется благоприятным (или «благоприятствующим») некоторому событию, если появление этого случая влечет за собой появление данного события.

Например, при бросании игральной кости возможны шесть случаев: появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Из них событию А—появлению четного числа очков—благоприятны три случая: 2, 4. 6 и не благоприятны остальные три.

Если опыт сводится к схеме, случаев, то вероятность события А в данном опыте можно оценить по относительной доле благоприятных случаев. Вероятность события А вычисляется как отношение числа благоприятных случаев к общему числу случаев:

где — вероятность события — общее число случаев; — число случаев, благоприятных событию А.

Так как число благоприятных случаев всегда заключено между —для невозможного и —для достоверного события), то вероятность события, вычисленная по формуле (2.2.1), всегда есть рациональная правильная дробь:

Формула (2.2.1), так называемая «классическая формула» для вычисления вероятностей, долгое время фигурировала в литературе как определение вероятности. В настоящее время при определении (пояснении) понятия вероятности обычно исходят из других принципов, непосредственно связывая понятие вероятности с эмпирическим понятием частоты; формула же (2.2.1) сохраняется лишь как формула для непосредственного подсчета вероятностей, пригодная тогда и только тогда, когда опыт сводится к схеме случаев, т. е. обладает симметрией возможных исходов.

Примеры с решением

Пример 1.

В урне находится 2 белых и 3 черных шара. Из урны наугад вынимается один шар. Требуется найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Решение:

Обозначим А событие, состоящее в появлении белого шара. Общее число случаев число случаев, благоприятных событию А, Следовательно,

Пример 2.

В урне а белых и чернйх шаров. Из урны вынимаются два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Решение:

Обозначим В событие, состоящее в появлении двух белых шаров. Подсчитаем общее число возможных случаев n и число случаев m, благоприятных событию В:

следовательно,

Пример 3.

В партии из изделий М бракованных. Из партии выбирается наугад изделий. Определить вероятность того, что среди этих n изделий будет ровно бракованных.

Решение:

Общее число случаев, очевидно, равно число благоприятных случаев откуда вероятность интересующего нас

события

Частота, или статистическая вероятность, события

Формула (2.2.1) для непосредственного подсчета вероятностей применима только, когда опыт, в результате которого может появиться интересующее нас событие, обладает симметрией возможных исходов (сводится к схеме случаев). Очевидно, что далеко не всякий опыт может быть сведен к схеме случаев, и существует обширный класс событий, вероятности которых нельзя вычислить по формуле (2.2.1).

Рассмотрим, например, неправильно выполненную, несимметричную игральную кость. Выпадение определенной грани уже не будет характеризоваться вероятностью вместе с тем ясно, что для данной конкретной несимметричной кости выпадение этой грани обладает некоторой вероятностью, указывающей, насколько часто в среднем должна появляться данная грань при многократном бросании.

Очевидно, что вероятности таких событий, как «попадание в цель при выстреле», «выход из строя радиолампы в течение одного часа работы» или «пробивание брони осколком снаряда», также не могут быть вычислены по формуле (2.2.1), так как соответствующие опыты к схеме случаев не сводятся. Вместе с тем ясно, что каждое из перечисленных событий обладает определенной степенью объективной возможности, которую в принципе можно измерить численно и которая при повторении подобных опытов будет отражаться в относительной частоте соответствующих событий. Поэтому мы будем считать, что каждое событие, связанное с массой однородных опытов,—сводящееся к схеме случаев или нет, — имеет определенную вероятность, заключенную между нулем и единицей.

Для событий, сводящихся к схеме случаев, эта вероятность может быть вычислена непосредственно по формуле (2.2.1). Для событий, не сводящихся к схеме случаев, применяются другие способы определения вероятностей. Все эти способы корнями своими уходят в опыт, в эксперимент, и для того чтобы составить представление об этих способах, необходимо уяснить себе понятие частоты события и специфику той органической связи, которая существует между вероятностью и частотой.

(если произведена серия из п опытов, в каждом из которых могло появиться или не появиться некоторое событие А, то частотой события А в данной серии опытов называется отношение числа опытов, в которых появилось событие А, к общему числу произведенных опытов.

Частоту события часто называют его статистической вероятностью (в отличие от ранее введенной «математической» вероятности).

Условимся обозначать частоту (статистическую вероятность) события . Частота события вычисляется на основании результатов опыта по формуле

где — число появлений события — общее число произведенных опытов.

При небольшом числе опытов частота события носит в значительной мере случайный характер и может заметно изменяться от одной группы опытов к другой. Например, при каких-то десяти бросаниях монеты вполне возможно, что герб появится только два раза (частота появления герба будет равна 0,2); при других десяти бросаниях мы вполне можем получить 8 гербов (частота 0,8). Однако при увеличении числа опытов частота события все более теряет свой случайный характер; случайные обстоятельства, свойственные каждому отдельному опыту, в массе взаимно погашаются, и частота проявляет тенденцию стабилизироваться, приближаясь с незначительными колебаниями к некоторой средней, постоянной величине. Например, при многократном бросании монеты частота появления герба будет лишь незначительно уклоняться от .

Это свойство «устойчивости частот», многократно проверенное экспериментально и подтверждающееся всем опытом практической деятельности человечества, есть одна из наиболее характерных закономерностей, наблюдаемых в случайных явлениях.

Математическую формулировку этой закономерности впервые дал Я. Бернулли в своей теореме, которая представляет собой простейшую форму закона больших чисел. Я. Бернулли доказал, что при неограниченном увеличении числа однородных независимых опытов с практической достоверностью можно утверждать, что частота события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности в отдельном опыте.

Связь между частотой события и его вероятностью — глубокая, органическая связь. Эти два понятия по существу неразделимы. Действительно, когда мы оцениваем степень возможности какого-либо события, мы неизбежно связываем эту оценку с большей или меньшей частотой появления аналогичных событий на практике. Характеризуя вероятность события каким-то числом, мы не можем придать этому числу иного реального значения и иного практического смысла, чем относительная частота появления данного события при большом числе опытов. Численная оценка степени возможности события посредством вероятности имеет практический смысл именно потому, что более вероятные события происходят в среднем чаще, чем менее вероятные. И если практика определенно указывает на то, что при увеличении числа опытов частота события имеет тенденцию выравниваться, приближаясь сквозь ряд случайных уклонений к некоторому постоянному числу, естественно предположить, что это число и есть вероятность события.

Пример 6.

Происходит бой («дуэль») между двумя j-частниками (ле-нательными аппаратами, ганками, кораблями) А и В. У стороны А в запасе два выстрела, у стороны В — один. Начинает стрельбу А: он делает, по £ один выстрел и поражает его с вероятностью 0,2. Если В не поражен, о:: отвечает противнику выстрелом н поражает его с вероятностью 0,3. Если А этим выстрелом не поражен, то он делает по В свой последний выстрел, которым поражает его с вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что в бою будет поражен: а) участник А, б) участник В.

Решение:

Рассмотрим события:

А — поражение участника А,

В — поражение участника В.

Для выполнения события А необходимо совмещение (Произведение) двул событий: 1) А не поразил В первым выстрелом и 2) В поразил А своим ответным выстрелом. По теореме умножения вероятностей получим

Перейдем к событию В. Оно, очевидно, состоит из двух несовместных вариантов:

где — поражение участника В первым выстрелом А,

— поражение участника В вторым выстрелом А.

По теореме сложения вероятностей

По условию Что касается события , то оно представляет собой совмещение (произведение) трех событий, а именно:

1) первый выстрел стороны А не должен поразить 5;

2) ответный выстрел стороны В не должен поразить А;

3) последний (второй) выстрел стороны А должен поразить В.

По теореме умножения вероятностей

откуда

Пример 7.

Цель, по которой ведется стрельба, состоит нз трех различных по уязвимости частей. Для поражения цели достаточно одного попадания в первую часть, или двух попаданий во вторую, или трех попаданий в третью. Если снаряд попал в цель, то вероятность ему попасть в ту или другую часть пропорциональна площади этой части. На проекции цели на плоскость, перпендикулярную направлению стрельбы, первая, вторая и третья части занимают относительные площади 0,1, 0,2 н 0,7. Известно, что в цель попало ровно два снаряда. Найти вероятность того, что цель будет поражена.

Решение:

Обозначим —поражение цели; —условную вероятность поражения цели при условии, что в нее попало ровно два снаряда. Два снаряда, попавшие в цель, могут поразить ее двумя способами: или хотя бы один из них попадает в первую часть, илн же оба снаряда попадут во вторую. Этн варианты несовместны, так как в цель попало всего два снаряда; поэтому можно применить теорему сложения.

Вероятность того, что хотя бы один снаряд попадет в первую часть, может быть вычислена через вероятность противоположного события (нн один нз двух снарядов не попадет в первую часть) и равна 1 — 0.9². Вероятность того, что оба снаряда попадут во вторую часть, равна 0,2². Следовательно,

Пример 8.

Для условий предыдущего примера найти вероятность поражения цели, если известно, что в псе попало три снаряда.

Решение:

Решим задачу двумя способами: через прямое и противоположное событие.

Прямое событие — пораженно цел:: при трех попаданиях — распадается на четыре несовместных варианта:

— хотя бы одно попадание в первую часть,

— два попадания во вторую часть и одно — в третью,

—три попадания во вторую часть,

— три попадания в третью часть.

Вероятность первого варианта находим аналогично предыдущему примеру:

Найдем вероятность второго варианта. Три попавших снаряда могут распределиться по второй н третьей частям нужным образом (два во вторую и один — в третью) тремя способами . Следовательно,

Далее находим:

Отсюда

Однако проще решается задача, если перейти к противоположному событию— непоражению цели при трех попаданиях. Это событие может осуществиться только одним способом: если два снаряда нз трех попадут в третью часть, а один — во вторую. Таких комбинаций может быть три , следовательно,

откуда

Пример 9.

Монета бросается 6 раз. Найти вероятность того, что выпадет больше гербов, чем цифр.

Решение:

Для нахождения вероятности интересующего нас события A (выпадет больше гербов, чем цифр) можно было бы перечислить все возможные его варианты, например:

—выпадет шесть гербов и ни одной цифры,

— выпадет пять гербов н одна цифра

и т. д.

Однако проще будет применить другой прием. Перечислим все возможные исходы опыта:

А — выпадет больше гербов, чем цифр,

В — выпадет больше цифр, чем гербов,

С — выпадет одинаковое число цифр и гербов.

События А, В, С несовместны и образуют полную группу. Следовательно,

Так как задача симметрична относительно «герба» и «цифры»,

откуда и Найдем вероятность события С, состоящего в том, что при шести бросаниях монеты появится ровно три герба (а значит, ровно три цифры). Вероятность любого из вариантов события С (например, последовательности при шести бросаниях) одна и та же и равна . Число таких комбинаций равно (числу способов, какими можно из шести бросании выбрать три, в которых появился герб). Следовательно,

отсюда

Пример 10.

Прибор состоит из четырех узлов: , причем узел дублирует а узел дублирует узел . При отказе (выходе из строя) любого из основных узлов ( или ) происходит автоматическоэ переключение на дублирующий узел. Надежность (вероятность безотказной работы) в течение заданного времени каждого из узлов равна соответственно — Надежность каждого из переключающих устройств равна р. Все элементы выходят из строя независимо друг от друга. Определить надежность прибора.

Решение:

Рассмотрим совокупность узлов и соответствующего переключающего устройства как один «обобщенный узел» В, а совокупность узлов и соответствующего переключающего устройства — как обобщенный узел С. Рассмотрим события: