Репер френе как найти

Содержание

Рассмотрим в пространстве гладкую кривую $gamma$.

• Векторное уравнение $gamma:, vec{r}=vec{r}(t)$.

• Параметрическое уравнение $gamma:,, x=x(t),, y=y(t),, z=z(t)$.

Пусть точка $M$ принадлежит данной кривой и отвечает значению параметра $t=t_0$. Тогда радиус-вектор и координаты данной точки равны:

begin{equation*}
vec{r_0}=vec{r}(t_0), quad x_0=x(t_0),, y_0=y(t_0), , z_0=z(t_0).
end{equation*}

Пусть в точке $M$ $ vec{r’}(t_0)neqvec{0}$, то есть $M$ не является особой точкой.

Касательная к кривой, проведенная в точке $M$, имеет направляющий вектор коллинеарный вектору $vec{r’}(t_0)$.

Пусть $vec{R}$ — радиус-вектор произвольной точки касательной, тогда уравнение этой касательной имеет вид

begin{equation*}
vec{R}=vec{r}(t_0)+lambdavec{r’}(t_0).
end{equation*}

Здесь $lambdain(-infty,+infty)$ — параметр, определяющий положение точки на касательной (то есть разным значениям $lambda$ будут соответствовать разные значения $vec{R}$).

Если $vec{R}={X,Y,Z}$, $M = (x(t_0), y(t_0), z(t_0))$, то можно записать уравнение касательной в каноническом виде:

begin{equation*}
frac{X-x(t_0)}{x'(t_0)}=frac{Y-y(t_0)}{y'(t_0)}=frac{Z-z(t_0)}{z'(t_0)}.
end{equation*}

Плоскость, проходящую через данную точку $M$ кривой $gamma$ перпендикулярно касательной в этой точке, называют нормальной плоскостью.

Пусть $vec{R}$ — радиус-вектор произвольной точки нормальной плоскости, тогда ее уравнение можно записать в векторном виде через скалярное произведение векторов $vec{R}-vec{r}(t_0)$ и $vec{r’}(t_0)$:

begin{equation*}
(vec{R}-vec{r}(t_0))cdotvec{r’}(t_0)=0.
end{equation*}

Если расписать покоординатно, то получим следующее уравнение:

begin{equation*}
x'(t_0)cdot(X-x(t_0))+y'(t_0)cdot(Y-y(t_0))+z'(t_0)cdot(Z-z(t_0))=0.
end{equation*}

Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $gamma$ параллельно векторам $vec{r’}(t_0)$, $vec{r»}(t_0)$, когда они неколлинеарны, называют соприкасающейся плоскостью кривой.

Если $vec{R}$ — радиус-вектор произвольной точки соприкасающейся плоскости, то ее уравнение можно записать через смешанной произведение трех компланарных векторов $vec{R}-vec{r}(t_0)$, $vec{r’}(t_0)$, $vec{r»}(t_0)$:

begin{equation*}
(vec{R}-vec{r}(t_0), vec{r’}(t_0), vec{r»}(t_0))=0.
end{equation*}

Зная координаты точки и векторов, определяющих плоскость, запишем смешанное произведение через определитель. Получим следующее уравнение соприкасающейся плоскости:

begin{equation*}
left|
begin{array}{ccc}
X-x(t_0) & Y-y(t_0) & Z-z(t_0) \
x'(t_0) & y'(t_0) & z'(t_0)\
x»(t_0) & y»(t_0) & z»(t_0) \
end{array}
right|=0
end{equation*}

Плоская кривая лежит в своей соприкасающейся плоскости.

Прямая, проходящая через точку $M$ кривой $gamma$ перпендикулярно касательной к кривой в этой точке, называется нормалью.

Таких кривых можно провести бесконечно много, все они образуют нормальную плоскость. Мы выделим среди нормалей две — бинормаль и главную нормаль.

Нормаль, перпендикулярную соприкасающейся плоскости, называют бинормалью.

Нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют главной нормалью.

Из определения бинормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна соприкасающейся плоскости) следует, что в качестве ее направляющего вектора мы можем взять векторное произведение $ vec{r’}(t_0)timesvec{r»}(t_0)$, тогда ее уравнение можно записать в виде:

begin{equation*}
vec{R}=vec{r}(t_0)+lambda,vec{r’}(t_0)timesvec{r»}(t_0).
end{equation*}

Как и раньше, $vec{R}$ — радиус-вектор произвольной точки бинормали.
Каноническое уравнение прямой:

begin{equation*}
frac{X-x(t_0)}{left|
begin{array}{cc}
y'(t_0) & z'(t_0) \
y»(t_0) & z»(t_0) \
end{array}
right|
}=frac{Y-y(t_0)}{left|
begin{array}{cc}
z'(t_0) & x'(t_0) \
z»(t_0) & x»(t_0) \
end{array}
right|
}=frac{Z-z(t_0)}{left|
begin{array}{cc}
x'(t_0) & y'(t_0) \
x»(t_0) & y»(t_0) \
end{array}
right|
}.
end{equation*}

Из определения главной нормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна бинормали) следует, что в качестве ее направляющего вектора можно взять векторное произведение $vec{r’}(t_0) timesleft[vec{r’}(t_0),vec{r»}(t_0)right]$:

begin{equation*}
vec{R}=vec{r}(t_0)+lambda,vec{r’}(t_0) timesleft[vec{r’}(t_0),vec{r»}(t_0)right].
end{equation*}

Уравнение в каноническом виде распишите самостоятельно.

Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $gamma$ перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью.

Другое определение:
Плоскость, определяемую касательной к кривой и бинормалью в той же точке, называют спрямляющей плоскостью.

Второе определение позволяет записать уравнение спрямляющей плоскости через смешанное произведение трех компланарных векторов, определяющих эту плоскость $vec{R}-vec{r}(t_0)$, $vec{r’}(t_0)$, $vec{r’}(t_0)timesvec{r»}(t_0)$:
begin{equation*}
left(vec{R}-vec{r}(t_0),, vec{r’}(t_0),, vec{r’}(t_0)timesvec{r»}(t_0)right)=0.
end{equation*}
Зная координаты соответствующих векторов, можно легко записать это смешанное произведение через определитель, раскрыв который, вы получите общее уравнение спрямляющей плоскости.

Орт (то есть единичный вектор) касательной обозначим:
$$ vec{tau}=frac{vec{r’}(t_0)}{|vec{r’}(t_0)|}. $$
Орт бинормали:
$$ vec{beta}=frac{vec{r’}(t_0)timesvec{r»}(t_0)}{|vec{r’}(t_0)timesvec{r»}(t_0)|}. $$
Орт главной нормали:
$$ vec{nu}=frac{vec{r’}(t_0) times[vec{r’}(t_0),,vec{r»}(t_0)]}{|vec{r’}(t_0) times [vec{r’}(t_0),,vec{r»}(t_0)]|}. $$

Правая тройка векторов $vec{tau}$, $vec{nu}$, $vec{beta}$ называется репером Френе.

Кривая $gamma$ задана параметрически:

$$
x=t,,, y=t^2,,, z=e^t.
$$

Точка $M$, принадлежащая кривой, соответствует значению параметра $t=0$.
Записать уравнения касательной, бинормали, главной нормали, нормальной плоскости, соприкасающейся плоскости и спрямляющей плоскости, проведенных к данной кривой в точке $M$. Записать векторы репера Френе.

Задачу можно решать разными способами, точнее в разном порядке находить уравнения прямых и плоскостей.

Начнем с производных.

begin{gather*}
gamma: vec{r}(t)=left{ t,, t^2,, e^tright} ,, Rightarrow \
vec{r’}(t)=left{ 1,, 2t,, e^tright},\
vec{r»}(t)=left{ 0,, 2,, e^tright}.
end{gather*}
В точке $M(t_0=0)$:
begin{gather*}
vec{r}(t_0)={ 0,, 0,, 1},\
vec{r’}(t_0)={ 1,, 0,, 1},\
vec{r»}(t_0)={ 0,, 2,, 1}.
end{gather*}

• Зная координаты точки $M(0,0,1)$ и направляющего вектора $ vec{r’}(t_0)={ 1,0,1 }$, можем записать уравнение касательной:

begin{equation*}
frac{X}{1}=frac{Y}{0}=frac{Z-1}{1}.
end{equation*}

• Нормальная плоскость проходит через точку $M(0,0,1)$ перпендикулярно вектору $vec{r’}(t_0)={ 1,0,1 }$, поэтому ее общее уравнение имеет вид:

begin{equation*}
1cdot X+0cdot Y+1cdot (Z-1)=0,, Rightarrow ,, X+Z=1.
end{equation*}

• Запишем теперь уравнение соприкасающейся плоскости, определяемой точкой $M(0,0,1)$ и векторами: $vec{r’}(t_0)={ 1,, 0,, 1}$, $vec{r»}(t_0)={ 0,, 2,, 1}$:

begin{equation*}
left|
begin{array}{ccc}
X-0 & Y-0 & Z-1 \
1 & 0 & 1\
0 & 2 & 1 \
end{array}
right|=0
end{equation*}
Раскрываем определитель, получаем уравнение:
begin{equation*}
-2X-Y+2Z-2=0
end{equation*}

• Направление бинормали задается вектором $vec{r’}(t_0) times vec{r»}(t_0)$. Координаты этого вектора мы уже нашли, когда вычисляли миноры в определителе, задающем уравнение соприкасающейся плоскости.

$$
{ 1,, 0,, 1} times { 0,, 2,, 1}= left|
begin{array}{ccc}
vec{i} & vec{j} & vec{k} \
1 & 0 & 1\
0 & 2 & 1 \
end{array}
right|= {-2,, -1,, 2}.
$$

Уравнение бинормали:

begin{equation*}
frac{X}{-2}=frac{Y}{-1}=frac{Z-1}{2}.
end{equation*}

• Направление главной нормали задается вектором $vec{r’}(t_0) times (vec{r’}(t_0)timesvec{r»}(t_0))$.

$$
{ 1,, 0,, 1} times {-2,, -1,, 2}= left|
begin{array}{ccc}
vec{i} & vec{j} & vec{k} \
1 & 0 & 1\
-2 & -1 & 2 \
end{array}
right|= {1,, -4,, -1} ,, Rightarrow ,,
frac{X}{1}=frac{Y}{-4}=frac{Z-1}{-1}.
$$

• Спрямляющая плоскость перпендикулярна главной нормали, а значит, вектору ${1,, -4,, -1}$, поэтому можем сразу записать ее общее уравнение:

begin{equation*}
1cdot X-4cdot Y-1cdot (Z-1)=0,, Rightarrow ,, X-4Y-Z+1=0.
end{equation*}

Орт касательной: $vec{tau} =frac{1}{sqrt{2}}{1,,0,,1}$,
Орт главной нормали: $vec{nu} =frac{1}{sqrt{18}}{1,,-4,,-1}$,
Орт бинормали: $vec{beta }=frac{1}{3}{-2,,-1,,2}$.

Поскольку направляющий вектор главной нормали у нас был найден как векторное произведение направляющих векторов касательной и бинормали, тройка $vec{tau}$, $vec{nu}$, $vec{beta}$ не будет правой (по определению векторного произведения вектор $vec{tau}timesvec{beta}$ направлен так, что тройка векторов $vec{tau}$, $vec{beta}$, $vec{nu}=vec{tau}timesvec{beta}$ — правая). Изменим направление одного из векторов. Например, пусть

$$ vec{nu} =frac{1}{sqrt{18}}{-1,,4,,1}.$$

Теперь тройка $vec{tau}$, $vec{nu}$, $vec{beta}$ образует репер Френе для кривой $gamma$ в точке $M$.

Нетрудно заметить, что точка $N$ не принадлежит заданной кривой $gamma$. Следовательно соприкасающаяся плоскость проведена в какой-то точке $M(t=t_0)ingamma$, но при этом плоскость проходит через заданную точку $N(0,0,9)$.

Найдем значение параметра $t_0$.

Для этого запишем уравнение соприкасающейся плоскости, проведенной в произвольной точке $M(t=t_0)$. И учтем, что координаты $N$ должны удовлетворять полученному уравнению.

begin{align*}
gamma: vec{r}(t)&=left{ t,, frac{t^2}{2},, frac{t^3}{3}right} ,, Rightarrow \
vec{r’}(t)&=left{ 1,, t,, 3t^2right},\
vec{r»}(t)&=left{ 0,, 1,, 6tright}.
end{align*}
В точке $M(t=t_0)$:
begin{align*}
vec{r}(t_0)&=left{t_0,, frac{t_0^2}{2},, frac{t_0^3}{3}right} \
vec{r’}(t_0)&=left{1,, t_0,, 3t_0^2right},\
vec{r»}(t_0)&=left{0,, 1,, 6t_0right}.
end{align*}

Соприкасающаяся плоскость определяется векторами $vec{r’}(t_0)$, $vec{r»}(t_0)$, поэтому записываем определитель
begin{equation*}
left|
begin{array}{ccc}
X-t_0 & Y-t_0^2/2 & Z-t_0^3/3 \
&&\
1 & t_0 & t^2_0 \
&&\
0 & 1 & 2t_0
end{array}
right|=0 quad Rightarrow
end{equation*}

begin{equation*}
(X-t_0)cdot t_0^2 — (Y-t_0^2/2)cdot 2t_0 + (Z-t_0^3/3)=0.
end{equation*}
Подставляем вместо $X$, $Y$, $Z$ координаты точки $N$: $X=0$, $Y=0$, $Z=9$, упрощаем и получаем уравнение относительно $t_0$:
begin{equation*}
9-t_0^3/3=0 quad Rightarrow quad t_0=3.
end{equation*}
Подставив найденное $t_0$ в записанное ранее уравнение, запишем искомое уравнение соприкасающейся плоскости:
$$ 9X-6Y+Z-9=0. $$

Как и в предыдущей задаче нам неизвестны координаты точки, в которой проведена спрямляющая плоскость к заданной кривой. Найдем их.

Спрямляющая плоскость определяется касательной и бинормалью, то есть векторами $vec{r’}(t_0)$ и $vec{r’}(t_0)timesvec{r»}(t_0)$.

В произвольной точке $M(t=t_0)$:
begin{align*}
vec{r}(t_0)&=left{t^2_0,, 1+t_0,, 2t_0right} \
vec{r’}(t_0)&=left{2t_0,, 1,, 2right},\
vec{r»}(t_0)&=left{2,, 0,, 0right}.
end{align*}
begin{equation*}
vec{r’}(t_0)timesvec{r»}(t_0)= left|
begin{array}{ccc}
vec{i} & vec{j} & vec{k} \
2t_0 & 1 & 2\
2 & 0 & 0
end{array}
right|= {0,, 4,, -2}
end{equation*}

Записываем уравнение спрямляющей плоскости:
begin{equation*}
left|
begin{array}{ccc}
X-t_0^2 & Y-1-t_0 & Z-2t_0 \
2t_0 & 1 & 2\
0 & 4 & -2
end{array}
right|= 0
end{equation*}

Раскрываем определитель. Подставляем в уравнение координаты точки $P$: $X=-4/5$, $Y=1$, $Z=2$. Упрощаем и получаем уравнение для нахождения $t_0$:
begin{equation*}
5t_0^2-8t_0-4=0 ,, Rightarrow ,, t_{01}=2,, t_{02}=-frac25.
end{equation*}

Уравнения соприкасающихся плоскостей к заданной кривой, проходящих через $P$, принимают вид:
begin{align*}
& 5X-4Y-8Z+24=0,\
& 25X+4Y+8Z=0.
end{align*}

Репер Френе

Репер или трёхгранник Френе или Френе — Серре известный также, как естественный, сопровождающий, сопутствующий — ортонормированный репер в трёхмерном пространстве, возникающий при изучении бирегулярных кривых.

Содержание

• 1 Определение
• 2 Формулы Френе
• 3 Скорость и ускорение в осях естественного трёхгранника
• 4 Вариации и обобщения

Определение

Пусть γ(s) — произвольная натурально параметризованная бирегулярная кривая в евклидовом пространстве. Под репером Френе понимают тройку векторов сопоставленную каждой точке бирегулярной кривой , где

к кривой в данной точке.

Формулы Френе

Если s — натуральный параметр вдоль кривой, то векторы связаны соотношениями:

называемыми формулами Френе. Величины называют, соответственно, кривизной и кручением кривой в данной точке. Уравнения вида где f(s) всюду положительна называются натуральными уравнениями бирегулярной кривой и полностью её определяют.

Скорость и ускорение в осях естественного трёхгранника

Трёхгранник Френе играет важную роль в кинематике точки при описании её движения в «сопутствующих осях». Пусть материальная точка движется по произвольной бирегулярной кривой. Тогда, очевидно, скорость точки направлена по касательному вектору . Дифференцируя по времени находим выражение для ускорения: . Компоненту при векторе называют тангенциальным ускорением, она характеризует изменение модуля скорости точки. Компоненту при векторе называют нормальным ускорением. Она показывает, как меняется траектория движения точки.

Вариации и обобщения

При описании плоских кривых часто вводят понятие так называемой ориентированной кривизны.

Пусть γ(s) — произвольная натурально параметризованная плоская регулярная кривая. Рассмотрим семейство единичных нормалей , таких что двойка образуют правый базис в каждой точке . Ориентированной кривизной кривой γ в точке s называют число . В сделанных предположениях имеет место следующая система уравнений, называемая формулами Френе для ориентированной кривизны

.

По аналогии с трёхмерным случаем, уравнения вида k_o = f(s) называются натуральными уравнениями плоской регулярной кривой и полностью её определяют.

Wikimedia Foundation.
2010.

Смотреть что такое «Репер Френе» в других словарях:

• НАТУРАЛЬНЫЙ РЕПЕР, — трехгранник (или репер) Френе, естественный трехгранник, фигура, составленная из касательной, главной нормали, бинормали и трех плоскостей, попарно содержащих эти прямые. Если ребра Н. р. в данной точке кривой принять за оси прямоугольной… …   Математическая энциклопедия

• Трёхгранник Френе — Репер или трёхгранник Френе или Френе  Серре известный также, как естественный, сопровождающий, сопутствующий  ортонормированный репер в трёхмерном пространстве, возникающий при изучении бирегулярных кривых. Содержание 1 Определение 2… …   Википедия

• ПЛАСТИЧНОСТИ ТЕОРИЯ — раздел механики, в к ром изучаются законы, отражающие связи между напряжениями и упругопластич. деформациями (физ. основы П. т.), и разрабатываются методы решения задач о равновесии и движении деформируемых тв. тел (матем. П. т.). П. т. явл.… …   Физическая энциклопедия

• Естественный трёхгранник — Репер или трёхгранник Френе или Френе Серре известный также, как естественный, сопровождающий, сопутствующий ортонормированный репер в трёхмерном пространстве, возникающий при изучении бирегулярных кривых. Содержание 1 Определение 2 Формулы Френе …   Википедия

• ПОДВИЖНОГО РЕПЕРА МЕТОД — дифференциально геометрический метод локального исследования подмногообразий различных однородных пространств, исходным моментом к poro является отнесение самого подмногообразия и всех его геометрич. объектов к возможно более общему (подвижному)… …   Математическая энциклопедия

• КРИВИЗНА — количеств. характеристика, описывающая отклонение кривой, поверхности, риманова пространства и др. соответственно от прямой, плоскости, евклидова пространства и др. Обычно понятие К. вводится локально, т. е. в каждой точке. В декартовых… …   Физическая энциклопедия