Решить задачу как найти процент

Содержание

1. Что такое процент
2. Как вычесть проценты
3. Примеры решения задач с процентами
4. Как рассчитать процентное изменение
5. Распространенные ошибки при решении задач с процентами

Эта
статья посвящена решению задач на проценты. Ниже рассмотрены некоторые из этих задач.
Большинство задач на проценты связаны с нахождением процента от числа,
нахождением числа в процентах, представлением части в процентах или
представлением отношения между несколькими объектами, числами или величинами в
процентах.

Что такое процент

Процент — это способ расчета того, сколько
чего-то есть по отношению к целому.

Проценты очень широко используются как в математике, так и в
повседневных ситуациях, и они действительно полезны для понимания относительных
величин и привнесения их значимых.

Процент может быть записан несколькими способами. Один
из способов — изобразить его как десятичную дробь. Например, 24% также могут
быть записаны как 0,24. Можно найти десятичную версию процента, разделив
процент на 100.

Вот несколько распространенных способов использования
процентов в повседневной жизни:

• расчет
  того, насколько хорошо студент сдал тест;
• выяснение
  того, сколько НДС нужно заплатить при покупке;
• расчет
  того, сколько оставить в качестве чаевых в ресторане.

Проценты обычно представлены символом %, и
есть несколько основных правил, которые нужно понять, чтобы их правильно
рассчитать.

Процентные задачи —
это общие, повседневные реальные математические задачи. Таким образом, выделяют
три типа решений, о которых следует знать:

1. Поиск
   процента от целого (отсутствующая переменная — это часть, которая
   составляет заданный процент).
2. Поиск
   целого из процента (отсутствующей переменной является целое, из которого
   была взята процентная часть).
3. Поиск
   процента от целого и части (отсутствующей переменной является процентная
   сумма, равная соотношению детали к целому).

Используя процентную формулу, легко понять, как быстро
решить процентные проблемы. Нужно помнить, что общая алгебраическая формула
процента:%?В=П.

Формула
для поиска процента

Как указано, процент — это соотношение
желаемой детали по сравнению со всем продуктом, где100%представляет собой весь процент. Формула для поиска процента может быть записана математически как: П/В =%/100

Где:

• П — это
  часть.

• В — это
  все.

• % — это
  процент.

Как вычесть проценты

Чтобы вычесть один процент из другого, просто нужно игнорировать процентные знаки и относиться к ним как к целым числам.

Например, чтобы вычесть 20% из 50%, нужно сделать следующее: 50 – 20 = 30. Ответ — 30%.

Если вычитается процент из целого числа, сначала нужно преобразовать его в десятичную дробь.

Если попросят вычесть 25% из 45 (например, при расчете скидки), то нужно начать с преобразования 25% в десятичную дробь, что составляет 0,25.

Чтобы рассчитать сумму, которую следует вычесть, нужно умножить исходное число на десятичную дробь:

45 x 0,25 = 11,25

Затем вычесть эту сумму из базовой цифры:

45 — 11,25 = 33,75

Также можно взять десятичную дробь, вычесть ее из 1, а затем умножить
исходное число на него:

25% = 0,25

1 — 0,25 = 0,75

0,75 x 45 = 33,75

Примеры решения задач с процентами

Решенные образцы
задач с процентами помогут понять, как шаг за шагом решить различные
типы таких задач.

1. На выборах кандидат О получил 75% от общего числа
действительных голосов. Если 15% от общего числа голосов были признаны
недействительными, а общее количество голосов составляет 560000, нужно найти
количество действительных голосов, опрашиваемых в пользу кандидата.

Решение выглядит следующим образом:

Общее
количество недействительных голосов = 15% из 560000

= 15/100 ?
560000

= 8400000/100

= 84000

Общее
количество действительных голосов 560000 — 84000 = 476000

Процент
голосов, проголосовавших за кандидата А = 75%

Следовательно,
количество действительных голосов, проголосовавших за кандидата А = 75% от
476000

= 75/100 ?
476000

= 35700000/100

= 357000

2. У Гриши осталось 2100 рублей после того, как он потратил
30% денег, которые он взял в магазин. Сколько денег он взял с собой?

Пример решения:

Пусть деньги,
которые он взял в магазин, будут м.

Деньги,
которые он потратил = 30% от м

= 30/100 ? м

= 3/10 м

Деньги,
оставшиеся у него = м — 3/10 м = (10 м — 3 м)/10 = 7 м/10

Но деньги
остались у него = 2100 рублей.

Поэтому 7 м/10
= 2100 рублей.

м = 2100
рублей ? 10/7;

м = $ 21000/7;

м = 3000
рублей;

Таким образом,
деньги, которые он взял на покупки, составляют 3000 рублей.

3. Владелец магазина купил 600 яблок и 400 авокадо. Он
обнаружил, что 15% яблок и 8% авокадо были гнилыми. Нужно найти процент фруктов
в хорошем состоянии.

Решение:

Общее
количество купленных фруктов в магазине = 600 + 400 = 1000

Количество
гнилых яблок = 15% от 600

= 15/100 ? 600

= 9000/100

= 90

Количество
гнилых авокадо = 8% от 400

= 8/100 ? 400

= 3200/100

= 32

Следовательно,
общее количество гнилых фруктов = 90 + 32 = 122

Поэтому
количество фруктов в хорошем состоянии = 1000 — 122 = 878

Итак, процент
фруктов в хорошем состоянии = (878/1000 ? 100)%

=
(87800/1000)%

= 87,8%

4. На экзаменах было два
студента. Один из них получил на 9 баллов больше, чем другой, и его оценки
составили 56% от суммы их баллов. Итак, чему равны полученные ими баллы.

Решение: пусть их отметки будут (x +
9) и x.

Затем x + 9 = 56 (x +
9 + x) 100 25 (x + 9) = 14 (2x
 + 9);

3x = 99;

x = 33.

Итак, их баллы 42 и 33.

5. . Население города
увеличилось с 1 75 000 до 2 62 500 человек за десятилетие. Среднепроцентный
прирост населения в год?

Решение: увеличение через 10 лет =
(262500 — 175000) = 87500.

Увеличение %= (87500/175000 * 100)=50%

Требуемое среднее = (50/10)% = 5%

Как рассчитать процентное изменение

Процентное изменение равно изменению
данного значения. Можно найти его, разделив все значение на исходное значение,
а затем умножив его на 100. Формула решения задачи на процентное изменение следующая:

Для цены или процентного увеличения:

[(Новая цена — старая цена)/Старая цена] x
100;

Для снижения цены или процента:

[(Старая цена — новая цена)/Старая цена] x
100;

Вот пример увеличения цены/процента:

Телевизор стоил 100 тысяч рублей в прошлом
году, но теперь стоит 125 тысяч рублей. Чтобы определить повышение цены, нужно
вычесть старую цену из новой цены: 125 — 100 = 25. Затем разделить это на
старую цену: 25 разделить на 100 равно 0,25. Затем умножить это число на 100:
0,25 x 100 = 25, или 25%. Таким образом, цена на телевизор выросла на 25% за
последний год.

Пример снижения цены/процента:

В прошлом году телевизор стоил 100 тысяч
рублей, но теперь стоит всего 75 тысяч рублей. Чтобы определить снижение цены, нужно
вычесть новую цену из старой цены: 100 — 75 = 25. Затем разделить это число на
старую цену: 25 разделить на 100 равно 0,25. Затем умножить на 100: 0,25 x 100
= 25 или 25%. Это означает, что телевизор стоит на 25% меньше, чем в предыдущем
году.

Распространенные ошибки при решении задач с процентами

Рассмотрим наиболее распространенные ошибки:

• При
  сравнении процентов нужно убедиться, что есть общий базовый
  уровень (в противном случае проценты не будут связаны друг с другом).
• Одной из
  задач, в которой многие часто ошибаются, является увеличение процента
  из года в год. Например, у Алины 10 рублей, и каждый год это число увеличивается
  на 5%. Сколько у нее будет через 3 года? У некоторых людей может
  возникнуть соблазн сложить 5% в течение 3 лет, т.е. 15% и умножить 10 рублей
  на 15%. Это неправильно. Правильный способ решения таких задач — помнить,
  что каждый год начальные 10 рублей увеличивались на 5%. Таким образом, в
  конце первого года у Алины будет 10 рублей x 1,05 = 10,5 рублей. В конце 2
  года у нее будет 10,5 рублей x 1,05 = 11,025 и так далее. Важно добавить в
  каждый из этих шагов, чтобы получить правильный ответ.

Компания «РосДиплом» на протяжении 20 лет занимается студенческими работами и предлагает помощь студентам во всех областях и темах. Наши преимущества: огромный опыт работы, лучшие авторы, собранные со
всех уголков России, гарантии успешной сдачи и оптимальной цены, а также индивидуальный подход к каждому клиенту.

Задачи с процентами часто попадаются в экзаменационных заданиях. Многих они сбивают с толку – как разобраться с условием и как это решить? И совершенно зря, потому что с задачами на проценты каждый часто встречается в обычной жизни.

Пока такие задачки остаются оторванными от реальности строчками в учебнике, их бывает сложно понять и тем более решить. Чтобы стало понятнее, мы вам сейчас покажем примеры из обычной жизни, где вам могут встретиться проценты. А еще просто и доступно объясним, как решать задачи на проценты. И все у вас станет на свои места.

Задачи про проценты вокруг нас

Давайте оглядимся по сторонам: значения в процентах указаны на упаковках с любыми продуктами. Значок процента «%» смотрит на нас с рекламных плакатов скидок и распродаж. В новостях проценты сразу бросаются в глаза, когда речь идет о повышении цен на товары или коммунальные услуги. Разве вы сможете расшифровать все эти послания, если не научитесь решать задачи с процентами? Но вы, конечно, научитесь – мы в вас верим.

А вот такая ситуация: вы купили что-нибудь через интернет и получили извещение от ближайшего почтового отделения. Или сами собираетесь послать подарок другу в другой город. Вам обязательно надо уметь разбираться с процентами, чтобы узнать, сколько денег почта захочет получить за свои услуги по пересылке.

Или возьмем банковские кредиты и ипотеку. Банки в договорах всегда пишут мелкими буквами всякие вещи, которые полезно понимать. Например, какой процент по кредиту придется заплатить банку кроме тех денег, которые вы у него «одолжили» и обязаны вернуть.

А самый близкий школьникам пример связан с ЕГЭ. Каждый год после экзаменов публикуют официальную статистику. В которой немало задействованы и проценты. И эти проценты имеют прямое отношение к будущим выпускникам. Например, процент ребят, сдавших экзамен по математике на «хорошо» и «отлично» косвенно говорит о том, сколько абитуриентов с высокими баллами могли подать документы в вузы на технические специальности. А еще на программирование, прикладную математику и т.п. Чем их больше, тем выше конкурс. Если сравнивать их результаты со своими оценками, можно прикинуть собственные шансы на поступление.

Что такое процент?

Самое очевидное определение: процент – это десятичная дробь. В жизни редко что-то можно сравнивать целиком, чаще приходится сравнивать разные части чего-то целого. Поэтому мы используем такие понятия, как половина (1/2), треть (1/3), четверть (1/4). Ну да, все так привыкли к слову «четверть» в школе, что забывают о его формальном значении – «четвертая часть учебного года». Сравнивать сотые доли удобнее всего – так появился процент (1/100): pro centum – «за сто» на латыни.

Все задачи по математике на проценты вертятся вокруг сравнения частей одного целого, определения, какую долю составляет часть от целого, нахождения целого исходя из величины его части и т.п.

Проценты можно записать со знакомым всем значком процента: 1%. Можно представить в виде десятичной дроби (или натурального числа). Для этого нужно разделить на 100: 0,01. Можно наоборот: выразить число в процентах. Тогда его следует умножить на 100%.

Типы задач на проценты

Раз мы уже договорились, что задачи на проценты – это задачи на дроби, такой тактики будем придерживаться и дальше.

Тип 1: Находим процент (дробь) от числа.

• Задача. За месяц на предприятии изготовили 500 приборов. 20% изготовленных приборов не смогли пройти контроль качества. Сколько приборов не прошло контроль качества?
• Решение. Нужно найти 20% от общего количества изготовленных приборов (500). 20% = 0,2. 500 * 0,2 = 100. 100 из общего количества изготовленных приборов контроль не прошло.

Тип 2: Находим число по его проценту (дроби).

• Задача. Готовясь к экзамену, школьник решил 38 задач из пособия для самоподготовки. Что составляет 23% числа всех задач в пособии. Сколько всего задач собрано в этом пособии для самоподготовки?
• Решение. Мы не знаем, сколько всего задача в пособии. Но зато нам известно, что 38 задач составляют 25% от общего их количества. Запишем 23% в виде дроби: 0,23. Далее нам следует известную нам часть целого разделить на ту долю, которую она составляет от всего целого: 38/0,25 = 38 * 100/25 = 152. Именно 152 задачи включили в этот сборник.

Тип 3: Находим процентное отношение двух чисел (часть от целого числа).

• Задача. В классе 30 учеников. 14 из них – девочки. Сколько процентов девочек в классе?
• Решение. Чтобы узнать, какой процент составляет одно число от другого, нужно то число, которое требуется найти, разделить на общее количество и умножить на 100%. Значит, 14/30*100% = 7/15*100% = 7*100%/15 = 47%.

Тип 4: Увеличиваем число на процент.

• Задача. На прошлогоднем экзамене по математике 140 старшеклассников получили пятерки. В этом году число отличников выросло на 15%. Сколько человек получили пятерки за экзамен по математике в этом году?
• Решение. Если некое число а увеличено на х%, то оно увеличилось в (1 + х /100) раз. Откуда а * (1 + х /100). Подставим в эту формулу данные нам по условию задачи цифры и получим ответ: 140 * (1 + 15/100) = 161.

Тип 5: Уменьшаем число на процент.

• Задача. Год назад школу закончили 100 ребят. А в это году выпускников на 25 меньше. Сколько выпускников в этом году?
• Решение. Если число а уменьшено на х% и при этом 0 ≤ х ≤ 100, то число уменьшено в (1 – х/100) раз. И нужное нам число находим по формуле а * (1 – х/100). Подставляем цифры из условия задачи и получаем ответ: 100 * (1 – 25/100) = 75.

Тип 6: Задачи на простые проценты.

• Задача. Родители взяли в банке кредит 5000 рублей сроком на год под 15% ежемесячно. Сколько денег они заплатят банку через год?
• Решение. Простые проценты называются так, потому что они начисляются многократно, но всякий раз к исходной сумме. Если обозначить исходную сумму как а, сумму, которая наращивается, как S, процентную ставку как х% и количество периодов начисления процента как у, то формулу можно записать так: S = а * (1 + у * х/100). Теперь подставим сюда цифры из условия задачи и узнаем, сколько денег родители заплатят банку: S = 5000 * (1 + 12 * 15/100) = 14000.

Тип 7: Задачи на сложные проценты.

• Задача. На этот раз сумма кредита 25000 рублей, взятых под те же 15% сроком на 3 месяца. Снова надо узнать, сколько денег придется заплатить банку по истечении срока кредита.
• Решение. Сложные проценты отличаются от простых тем, что процент много раз начисляется не к исходной сумме, а к сумме с уже начисленными раньше процентами. Пускай снова S – наращиваемая сумма, а – исходная, х% — процентная ставка, у – количество периодов начисления процента. В этом случае формула принимает вид: S = а * (1 + х/100)^у. Подставляем цифры из условия: S = 25000 * (1 + 15/100)³ = 38021,875 – искомая сумма.

Кстати, простые задачи на проценты можно очень легко решать с помощью пропорции. Этот метод наглядный и дает такой же результат, так что выбирать можно каждому тот способ решения, который кажется проще. Давайте решим задачу №3 про класс и процент девочек в нем, составив пропорцию.

• Решение. Обозначим искомый процент девочек в классе как х, общее количество учеников примем за 100%. Пропорция выглядит так:

30 – 100%
14 – х%

Перемножим крест накрест левую и правую части пропорции и получим, что 30* х = 14 * 100 («30 относится к х также, как 14 относится к 100»). Откуда найти х уже совсем несложно: х = 14 * 100/30 = 47%.

Задачи на проценты с решением

Давайте решим несколько задач для подготовки к ЕГЭ. Как вы сами видите, решать их совсем несложно. Сейчас просто закрепим материал.

Задача 1. После открытия торгов на бирже в понедельник акции некой компании выросли в цене на неизвестное количество процентов. А во вторник на то же самое количество процентов упали в цене. В итоге они подешевели на 4% по отношению к своей первоначальной стоимости в понедельник. На какой процент акции этой компании поднимались в цене в понедельник?

Решение. Пускай первоначальная стоимость акций это 1. В понедельник акции дорожают на х * 100%. Их стоимость в это время: 1 + х * 1. Во вторник акции дешевеют на х * 100%. Их стоимость после этого: 1 + х – х * (1 + х). После чего они стали дешевле на 4%, т.е. стали стоить 0,96.

Отсюда 1 + х – х * (1 + х) = 0,96 ↔1 – х² = 0,96 ↔ х² = 0,04 ↔ х = 0,2. Т.е. в понедельник акции компании дорожали на 20%.

Задача 2. Четыре пары брюк дешевле одного пальто на 8%. Подсчитайте, на сколько процентов пять пар брюк стоят дороже, чем одно пальто.

Решение. Исходя из условия задачи, стоимость четырех пар брюк – это 92% от стоимости пальто. Легко подсчитать, что стоимость одной пары брюк – это 23% стоимости пальто (92/4 = 23). Теперь умножим стоимость одной пары брюк на пять и узнаем, что пять пар брюк обойдутся в 115% стоимости пальто (23 * 5 = 115). Т.е. пять пар брюк на 15% дороже, чем одно пальто.

Задача 3. Семья состоит из трех человек: муж, жена и дочь-студентка. Если зарплата мужа вырастет в два раза, общий доход семьи возрастет на 67%. Если дочери в три раза урежут стипендию, общий доход этой семьи уменьшится на 4%. Надо вычислить, какой процент в общий доход семьи приносит заработок жены.

Решение. Из условия следует, что общий доход семьи находится в прямой зависимости от доходов мужа. Не так важно, насколько ему поднимут зарплату. В любом случае общий доход семьи вырастет на 67%. Значит, зарплата мужа составляет как раз эти 67% от общего дохода. Если стипендия дочери уменьшится в три раза (т.е. на 1/3), останется 2/3 – это и есть 4%, на которые уменьшился бы семейных доход. Можно составить простую пропорцию и выяснить, что раз 2/3 стипендии – это 4% дохода, то вся стипендия – это 6%. А теперь отнимем от всего дохода вклад мужа и дочери и узнаем, какой процент составляет заработок жены в общем доходе семьи: 100% – 67%  – 6% = 27%.

Задача 4. В емкости находится 5 литров водного раствора с концентраций вещества, равной 12%. В емкость добавили еще 7 литров воды. Раствор какой концентрации (с каким процентным содержанием вещества) получился после этого?

Решение. Опишем концентрацию вещества в растворе такой формулой: С = Vвещества/ Vраствора * 100%. Изначально в растворе содержится 0,12 * 5 = 0,6 литра вещества. Когда были добавлены 7 литров воды, объем раствора в емкости увеличился. Но концентрация вещества понизилась (его объем остался неизменным). Подставим все известные нам цифры в формулу и получим ответ: 0,6/5 + 7 *100% = 0,6 /12 * 100% = 5%.

Задача 5. В свежих абрикосах 90% влаги, а в кураге, которая из них получается, только 5%. Сколько килограммов абрикосов нужно, чтобы получить 20 килограммов кураги?

Решение. Исходя из условия, в абрикосах 10% питательного вещества, а в кураге оно содержится в концентрированном виде – 95%. Поэтому в 20 килограммах кураги 20 * 0,95 = 19 кг питательного вещества. На вопрос задачи мы ответим, если разделим одинаковое количество питательного вещества, которое содержится в разных объемах свежих абрикосов и кураги, на его процентное содержание в абрикосах. Чтобы получить 20 килограммов кураги, нужно взять 19/0,1 = 190 килограммов свежих абрикосов.

Заключение

Сами видите, решать задачи на проценты не так уж сложно. Если усвоить основные правила и подключить воображение, вы сможете щелкать такие задачки как орешки.

Вы даже можете составить задачу на проценты сами по нашим образцам. Кстати, будет очень хорошо, если вы так и поступите. Можете оставить нам свои задачи в комментариях – пускай другие наши читатели решат ваши задачи. А вы сможете решить те, что придумают они. Чтобы задач для подготовки к экзаменам получилось больше, расскажите про эту статью своим друзьям в социальных сетях.

Вот увидите, задачи на проценты вам придется решать еще много раз даже после того, как вы закончите школу. Они встречаются в физике, химии, биологии. Да и в повседневной жизни умение решать их может не раз пригодится. Не бойтесь сложных задач – мы всегда поможем вам найти к ним ключ.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Чек-лист «Решение задач на проценты»

1 тип.  Нахождение процента от числа		2 тип.  Нахождение числа по его процентам		3 тип. Нахождение процентного отношения двух чисел (величин).
Чтобы найти процент от числа, необходимо ЧИСЛО разделить на 100 и умножить на количество ПРОЦЕНТОВ.	Чтобы найти число по его процентам, необходимо ЧИСЛО разделить на количество ПРОЦЕНТОВ и умножить на 100.	Чтобы найти процентное отношение двух чисел или величин, необходимо ПЕРВОЕ ЧИСЛО разделить на ВТОРОЕ и  умножить на 100.
Подсказки: —  известно 100 % или всё число (или вся величина); — в тексте задачи: «от», «из них», «от общего количества» (то есть требуется найти % от числа или какой-либо величины); — в краткой записи условия: количество % и число, указанные в условии задачи, записываются на разных строках.	Подсказки: — известно количество ПРОЦЕНТов; — в тексте задачи: «или», «что составляет» (то есть данные об «одном и том же» указаны и в %, и числом); — в краткой записи условия: количество % и число (или величина), указанные в условии задачи, записываются на одной строке.	Подсказки: — известны два ЧИСЛА (или две ВЕЛИЧИНЫ); — в тексте задачи: «какой % …от..»; — число (или величина), о котором необходимо дать ответ в % следует считать ПЕРВЫМ, оно при выполнении действия деления будет являться делимым; — в краткой записи условия: числа (или величины) записываются на разных строках, об одном из них необходимо дать ответ в %;
Пример 1. В книге 60 страниц, Артём прочитал 30 %. Сколько страниц прочитал Артём? Решение: Всего в книге – 60 стр. (100 %) Прочитал — ? стр.,  30 % 30 % = 60 : 100 30 =18 (стр.) Ответ: Артём прочитал 18 страниц.	Пример 2. Денис прочитал 45 % книги. Сколько страниц в книге, если он прочитал 180 страниц? Решение: Прочитал 45 %  или 180 стр. Всего страниц в книге — ? (100 %) 45 % = 180 : 45 100  = 400 (стр.) Ответ: в книге 400 страниц.	Пример 3. Фрекен Бок испекла 250 пирожков, Карлсон съел 10 пирожков. Сколько процентов всех пирожков составляют пирожки, которые съел Карлсон. Решение: Испекла – 250 пирожков Съел – 10 пирожков, ? %. 10 : 250 100  = 4 (%.) Ответ: 4 %.
Алгоритм решения задачи на проценты.   1.            Читаю внимательно задачу. 2.            Записываю кратко условие задачи или составляю схему.                Ориентируюсь на подсказки. 3.            Определяю тип задачи (1, 2 или 3). 4.            Выбираю ход решения задачи. 5.            Записываю решение задачи и ответ.

Рассмотрим три основных типа задач на проценты.

Нахождение процента от числа

Разбор примера

Предприятие изготовило за квартал 500 насосов, из которых
60% имели высшую категорию качества. Сколько насосов высшей категории качества
изготовило предприятие?

Решение:

Ответ: 300 насосов высшей категории качества.

Нахождение числа по его проценту

Так как задачи «процент по числу» и «число по его проценту» очень похожи и часто
не сразу понятно какой тип задачи перед нами, старайтесь внимательно читать
текст. Если вам встречаются слова «который», «что составляет» и «который составляет»,
скорее всего перед вами задача «число по его проценту».

Разбор примера

Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23%
числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?

Решение:

Итак, нам неизвестно сколько всего страниц в книге. Но мы знаем, что часть, которую
прочитал ученик (138 страниц) составляет 23% от общего количества
страниц в книге.

Так как 138 стр. — это всего лишь часть, само количество
страниц, естественно, будет больше 138. Это поможет нам при проверке.

Проверка: 600 > 138 (это означает, что 138 является частью 600).

Ответ: 600 (стр.) — общее количество страниц в книге.

Сколько процентов одно число составляет от другого

Разбор примера

Из 200 арбузов 16 оказались незрелыми.
Сколько процентов всех арбузов составили незрелый арбузы?

Решение:

О чем спрашивают? О незрелых арбузах. Значит, 16
делим на общее количество арбузов и умножаем на 100%.

Ответ: 8% — составляют незрелые арбузы от всех арбузов.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Введение

Слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти».

Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.

Ныне процент — это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу). Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный символ для обозначения процента. В школьном учебнике «Математика, 5«,авторов Н.Я. Виленкина и др. дана еще одна любопытная версия возникновения знака %. Там, в частности, говорится, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 г. в Париже была опубликована книга-руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки, невозможны без умения производить несложные процентные вычисления.

Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость.

В вариантах вступительных экзаменов встречаются задачи на проценты, и эти задачи часто вызывают затруднения у школьников. Причина в том, что тема «Проценты» изучается в младших 5-6 классах, причем непродолжительно, закрепляется в 7 классе при решении задач на повторение, а в старших классах к этой теме совсем не возвращаются.

Так, пересмотрев школьные учебники по математике, по которым обучаются ученики нашей гимназии, я выяснила, что в учебнике «Алгебра, 9», под ред. Теляковского, задач, в которых упоминается слово «процент», всего три. В учебнике «Алгебра и начала анализа, 10-11» под ред Колмогорова А.Н задач на проценты и процентную концентрацию черыре. Но, задачи на проценты уже встречались в вариантах единого государственного экзамена в 2003, 2004, 2005 годах. Предлагается такая задача и в демонстрационном варианте 2007 года. Поэтому, изучение наиболее часто встречающихся типов задач на проценты, считаю актуальным.

Объектом исследования является изучение различных типов задач по теме «Проценты».

Изучая эту тему по сборникам для поступающих в вузы[5], я пришла к мнению, что многие задачи авторы сборников предлагают решать с использованием специальных формул, которых в школьных учебниках 5-6 классов, когда и изучаются эти темы, нет.

Предмет исследования: решение задач на проценты и процентное содержание, концентрацию, смеси и сплавы с преимущественным использованием основных правил действия с десятичными и обыкновенными дробями.

Цель работы. Составить практическое пособие по решению задач на проценты для школьников.

Задачи исследования:

1) Изучить исторический и теоретический материал по интересующему вопросу. 
2) Систематизировать задачи на проценты по типам. 
3) Составить практические рекомендации по решению задач на проценты. 
4) Выявить практическое применение таких задач.
5) Определить план дальнейшей работы над темой.

Практическая значимость работы. Данное пособие по решению задач на проценты будет интересно не только школьникам 5-6 класса, которым интересна математика. Здесь найдут много полезного и выпускники школ, и абитуриенты при подготовке к выпускным и вступительным экзаменам.

Глава 1.Основные типы задач по теме «Проценты»

В данной главе приводятся примеры задач, которые решаются с применением определения, что такое один процент, как выразить дробь в процентах и правилам нахождения части (дроби) от числа, и числа по значению его части (дроби), т.е. это те темы и задачи, которые рассматриваются в школе. 

Обращаем внимание, что существуют и другие способы решения простейших задач на проценты, например, составляют пропорции на каждом шаге, но в этом случае решение становится на несколько шагов длиннее. Мы же видим свою задачу в нахождении более быстрых способов решения таких задач, в связи с тем, что в настоящее время редкий тест по математике для абитуриентов, обходится без задач, в которых не упоминались бы проценты.

1.1. Решение задач на применение основных понятий о процентах.

Сотая часть метра — это сантиметр, сотая часть рубля — копейка, сотая часть центнера — килограмм. Люди давно замети, что сотые доли величин удобны в тактической деятельности. Потому для них было придумано специальное название — процент. Значит одна копейка — один процент от одного рубля, а один сантиметр — один процент от одного метра.

Один процент — это одна сотая доля числа. Математическими знаками один процент записывается так: 1%.

Определение одного процента можно записать равенством: 1 % = 0,01 * а 

5%=0,05, 23%=0,23, 130%=1,3 и т. д

Как найти 1% от числа? Раз 1% это одна сотая часть, надо число разделить на 100. Деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д.

Пример. Найти: 25% от 120.

Решение:
1) 25% = 0,25;
2) 120 . 0,25 = 30.

Ответ: 30.

Правило 1. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь

Пример. Токарь вытачивал за час 40 деталей. Применив резец из более прочной стали, он стал вытачивать на 10 деталей в час больше. На сколько процентов повысилась производительность труда токаря?

Решение: Чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько, процентов составляют 10 деталей от 40. Для этого найдем сначала, какую часть составляет число 10 от числа 40. Мы знаем, что нужно разделить 10 на 40. Получится 0,25. А теперь запишем в процентах — 25%. Получаем ответ: производительность труда токаря повысилась на 25%.

Правило 2. Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно разделить первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов. 

Пример. При плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей. На сколько процентов завод выполнил план?

Решение: — такую часть составляют изготовленные автомобили от количества автомобилей по плану. Запишем в процентах =110%

Ответ: 110%

Пример. 

Ответ: 66 2/3 %, 40 %.

Пример. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди?

Решение: 1) 6+ 34 =40 (кг) масса всего сплава.

2) = 85% сплава составляет медь.

Ответ. 85%.

Пример. Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%?

Решение: Пусть цена товара х руб, тогда после повышения товар стоит 125% прежней цены, т.е. 1,25х;, а после понижения на 25% , его стоимость составляет 75% или 0, 75 от повышенной цены, т.е. 0,75 *1,25х= 0,9375х, тогда цена товара понизилась на 6, 25 %, т.к. х — 0,9375х = 0,0625х ; 0,0625х/х . 100% = 6,25%
Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 6,25%.

Правило 3. Чтобы найти процентное отношение двух чисел А и В, надо отношение этих чисел умножить на 100%, то есть вычислить (а/в)*100%. 

Пример. Из хлопка-сырца получается 24% волокна. Сколько надо взять хлопка-сырца, чтобы получить 480кг волокна.?

Решение. Запишем 24% десятичной дробью 0,24 и получим задачу о нахождении числа по известной ему части (дроби). 480 : 0,24= 2000 кг = 2 т

Ответ: 2 т

Пример. Сколько кг белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушеных, если при обработке свежих грибов остается 50% их массы, а при сушке остается 10% массы обработанных грибов?

Решение. 1кг сушеных грибов — это 10% или 0, 01 часть обработанных, т.е. 1 кг : 0,1=10 кг обработанных грибов, что составляет 50% или 0,5 собранных грибов, т.е. 10 кг : 0,05=20 кг

Ответ: 20 кг

Пример. Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

Правило 4. Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби, а затем значение процентов разделить на эту дробь.

1.2. Решение задач на понятия «процентное содержание», «концентрация», «%-й раствор».

Процентное содержание. Процентный раствор.

Пример. Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.

Решение. 10 . 0,15 = 1,5 (кг) соли.

Ответ: 1,5 кг.

Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м раствором, например, 15%-й раствор соли.

Пример. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?

Решение: Процентное содержание вещества в сплаве — это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.

Концентрация.

Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это означает, что масса этого вещества составляет р% от массы всего соединения.

Пример. Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 261 г.

Решение. 300 . 0,87 = 261 (г).

В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.

Отношения объема чистой компоненты в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этой компоненты.

Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна 1.

Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле: К=р/100% к — концентрация вещества; р — процентное содержание вещества (в процентах).

Пример. Имеется 2 сплава, в одном из которых, содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?

Решение: Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить х кг второго сплава. Тогда получим (20 + х) кг нового сплава. В 20 кг первого сплава содержится 0,4 . 20 = 8 (кг) серебра, в х кг второго сплава содержится 0,2х кг серебра, а в (20+х) кг нового сплава содержится 0,32 . (20+х) кг серебра. Составим уравнение:

8 + 0,2х = 0,32 . (20 +х); х = 13 1/3.

Ответ: 13 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра.

Пример. К 15 л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили?

Решение. Пусть добавили х л 5%-ного раствора соли. Тогда нового раствора стало (15 + х) л, в котором содержаться 0,8 . (15 + х) л соли. В 15 л 10%-ного раствора содержится 15 . 0,1 = 1,5 (л) соли, в х л 5%-ного раствора содержится 0,05х (л) соли.

Составим уравнение.

1,5 + 0,05х = 0,08 . (15 + х);
х = 10.

Ответ: добавили 10 л 5%-ного раствора

1.3. Решение задач с использованием понятия коэффициента увеличения.

Чтобы увеличить положительное число а на р процентов, следует умножить число а на коэффициент увеличения к=(1+0,01р).

Чтобы уменьшить положительное число а на р процентов, следует умножить число а на коэффициент уменьшения к= (1-0,01р).

Пример. Вклад, вложенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной 13125 руб. Каков был первоначальный вклад при 25% годовых?

Решение. Если а (рублей) — размер первоначального вклада, то в конце первого года вклад составит 1,25а а в конце второго года размер вклада составит 1,25 *1,25а. Решая уравнение 1,25* 1,25а=13125, находим а=8400.

Ответ: 8400 руб.

Пример. В феврале цена на нефть увеличилась на 12% по сравнению с январской. В марте цена нефти упала на 25%. На сколько процентов мартовская цена изменилась по сравнению с январской?

Решение. Если х — январская цена нефти, то февральская цена нефти равна

(1 +0,01*12)х = 1,12х. Чтобы вычислить мартовскую цену у на нефть, следует умножить февральскую цену 1,12х на (1-0,01*25)=0,75, т.е. у=0,75 1,12х=0,84х , мартовская цена отличается от январской на (0,84х)/х100 —100=84-100= −16(%), т.е. цена упала на 16 %

Ответ: цена упала на 16%.

Правило 5. Чтобы найти, на сколько % положительное число у отличается от положительного числа а , следует вычислить, сколько % у составляет от а, а затем от полученного числа отнять а.

Глава 2. Разные задачи на проценты ( с решениями)

В данной главе рассматривается выборка задач из различных источников, которые охватывают весь теоретический материал, который излагался выше, предлагаем свои решения. Отметим, что предложенный способ решения не является единственным.

2.1 Тестовые задания на проценты.

Задача 1.Товар стоил тысячу рублей. Продавец поднял цену на 10%, а через месяц снизил её на 10%.Сколько стал стоить товар?

Решение. Пусть товар стоил 1000руб., после повышения цены на 10% он стал стоить 1,1*1000 руб. После понижения этой цены на 10%, он стал стоить 0,9*1,1*1000=990 руб.

Ответ. 990 руб.

Задача 2.Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99%. Когда грибы подсушили, влажность снизилась до 98%. Какой стала масса этих грибов после подсушивания?

Решение. Так как влажность грибов составляет 99%, это означает, что на так называемое «сухое вещество приходится 1% грибов, т.е 1 кг, после сушки влажность составляет 98%, т.е. на «сухое вещество» приходится 2%, т.е 1кг это 0,02 подсушенных грибов, 1 кг : 0,02=50 кг.

Ответ. 50 кг.

Задача 3. Цена входного билета на стадион была 1 рубль 80 копеек. После снижения входной платы число зрителей увеличилось на 50% , а выручка выросла на 25% .Сколько стал стоить билет после снижения?

Решение. Пусть зрителей, до понижения цены, на стадион приходило А чел. и выручка составляла 1,8А руб. После понижения цены, цена 1,8*р, зрителей стало 1,5А, выручка составляет 1,8*р*1,5*А руб. С другой стороны, выручка повысилась на 25%, т.е. составляет 1,25*1,8А. Получаем 1,8*р*1,5*А=1,25*1,8А., откуда р=12,5/15, тогда билет стоит 1,8*12,5/15=1,5 руб.

Ответ. 1руб. 50 коп

Задача 4. По дороге идут два туриста. Первый из них делает шаги на 10% короче и в то же время на 10% чаще, чем второй. Кто из туристов идет быстрее и почему?

Решение. Пусть второй турист делает а шагов, каждый из которых равен в, тогда ав это длина пройденного пути. А первый турист тогда прошел1,1*а*0,9*в=0,99*ав, что меньше ав.

Ответ. Второй турист идет быстрее.

Задача 5. Цену за товар уменьшили на 10%, а затем еще на 10%. Стоит ли он дешевле, если цену сразу снизить на 20%?

Решение. Если товар стоил А руб, после двух понижений он стал стоить 0,9*0,9*А=0,81А. А цену товара сразу понизить на 20%, то он станет стоить 0,8*А , что дешевле.

Ответ. Да.

Задача 6. Числитель дроби увеличили на 20%. На сколько процентов надо уменьшить её знаменатель, чтобы в итоге дробь возросла вдвое?

Решение. Пусть данная дробь, новая дробь. , откуда К=0,6, что означает, что знаменатель нужно уменьшить на 40%

Ответ. 40%

Задача 7. Матроскин продает молоко через магазин и хочет получать за него 25 рублей за литр. Магазин удерживает 20% стоимости проданного товара. По какой цене будет продаваться молоко в магазине?

Решение. Пусть молоко продает магазин по А руб, тогда после удержания 20% стоимости товара, Матроскину остается 0,8*А=25, откуда А=31, 25 руб.

Ответ. 31 руб. 25 коп.

Задача 8. Один покупатель купил 25% имевшегося куска полотна, второй покупатель 30% остатка, а третий — 40% нового остатка. Сколько (в процентах) полотна осталось непроданным?

Решение. Пусть полотна было р . Первый купил 0,25р,, осталось (1-0,25)р полотна, второй покупатель купил 0,3*0,75р=0,225р, осталось 0,75р —0,225р=0,525р, третий купил 0,4*0,525р=0,21р, осталось 0,525р-0,21р=0,315р, что составляет 31,5% от р.

Ответ. 31,5%

Задача 9. Бригада косарей в первый день скосила половину луга и еще 2 га, а во второй день 25% оставшейся части и последние 6 га. Найти площадь луга.

Решение. 6 га составляют 75% или0,75=3/4 от оставшейся части после 1 дня работы, т.е.6: 0,75=6 га 8+2=10 га — это половина луга, весь луг 20 га

Ответ. 20 га

Задача 10. Как изменится в процентах площадь прямоугольника, если его длина увеличится на 30%, а ширина уменьшится на 30%?

Решение. АВ- площадь исходного прямоугольника, 1,3*А*0,7*В=0,91АВ — площадь нового прямоугольника, что составляет 91% исходного.

Ответ. Уменьшится на 9%

Задача 11. В драматическом кружке число мальчиков составляет 80% от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек в этом кружке от числа мальчиков?

Решение. Девочек А чел, мальчиков 0,8*А, девочки составляют от мальчиков А/(0,8А)= 1,25, т.е. 125 % от числа мальчиков

Ответ. 125%

Задача 12. В бассейн проведена труба. Вследствие засорения её приток воды уменьшился на 60%. На сколько процентов вследствие этого увеличится время, необходимое для заполнения бассейна

Решение. Пусть Х — объем воды, который должен поступить за время Т при притоке А в ед времени., т.е. Х=АТ. Так как приток уменьшился на 60%, т.е. стал составлять 0,4А, тогда время стало ТК. Получим АТ=0,4А*КТ, откуда К = 2,5, что составляет 250% от времени, необходимого на заполнение бассейна до засорения, т.е. время увеличилось на 150%

Ответ. 150%

Задача 13. 5 литров сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 литрами 20%-ных сливок и к смеси добавили 1 литр чистой воды. Какой жирности получилась смесь?

Решение. 0,35*5+0,2*4=р*(5+4+1), откуда р=0,255, что составляет 25,5%

Ответ. 25,5%

2.2. Избранные задачи вариантов единого государственного экзамена.

Впервые в вариантах единого государственного экзамена по математике задача на проценты появились в 2003 году в заданиях группы В, в 2004 и в 2005 годах такие задачи также были представлены в вариантах единого экзамена. В вариантах 2006 года были задачи на работу, но в демонстрационном варианте 2007 года снова появляется задача на проценты, что говорит о необходимости серьезной работы над этой темой. Следует отметить, что для решения всех задач, которые предлагались, достаточно знания тех методов, которые рассматриваются в данной работе.

2003. Тренировочный вариант. Задание В7

Банк предлагает вклад «студенческий». По этому вкладу, сумма, имеющаяся на 1 января, ежегодно увеличивается на одно и то же число процентов. Вкладчик положил 1 января 1000 руб. и в течение 2 лет не производил со своим вкладом никаких операций. В результате вложенная им сумма увеличилась до 1210 руб. На сколько процентов ежегодно увеличивалась сумма денег, положенная на этот вклад?

Решение. Используя формулу увеличения положительного число на p%, получим, что через год сумма вклада составит 1000*(1+0,01р), а через два года 1000*(1+0,01р)2=1210, т.е. (1+0,01р)2=1,21, 1+0,01р=1,1, 0,01р=0,1, откуда р=10%

Ответ: сумма ежегодно увеличивалась на 10%.

2003. Демонстрационный вариант. Задание В7

Владелец дискотеки имел стабильный доход. В погоне за увеличением прибыли он повысил цену на билеты на 25%. Количество посетителей резко уменьшилось, и он стал нести убытки. Тогда он вернулся к первоначальной цене билетов. На сколько процентов, владелец дискотеки снизил новую цену билетов, чтобы она стала равна первоначальной?

Решение. Пусть цена билета была А руб. После повышения на 25% цена стала 1,25А, после понижения цена билета стала р*1,25А. Т.к. цена билета вернулась к первоначальной, то получим р*1,25А=А, откуда р=1/1,25 = 0,8, что означает, что новая цена составляет 80% цены после повышения., значит владелец дискотеки снизил цену на 20%.

Ответ: 20%

2003. ЕГЭ

Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20%. На сколько процентов, необходимо теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть его первоначального уровня?

Решение. Пусть А количество продукции, выпускаемое предприятием, 0,8А-количество продукции, которое стало выпускать предприятия после уменьшения на 20%. Из условия задачи следует уравнение р*0,8А=А, где р —коэффициент увеличения, откуда р=1/0,8=1,25, что означает, что необходимо увеличить выпуск продукции на 25%.

Ответ: 25%

2003. ЕГЭ

К 120 г раствора, содержащего 80% соли, добавили 480 г раствора, содержащего 20 % той же соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе?

Решение. 1) 0,8*120=96(г)-соли в первоначальном растворе;

2) 480*0,2=96(г) соли во втором растворе;

3) ((96+96)/(120+480))*100%=32%-процентное содержание соли в получившемся растворе.

Ответ: 32%

2003. ЕГЭ

За год стипендия студента увеличилась на 32%. В первом полугодии стипендия увеличилась на 10%. Определить, на сколько процентов увеличилась стипендия во втором полугодии?

Решение. Пусть А- первоначальный размер стипендии, 1,1А — размер стипендии после повышения в 1 полугодии, р*1,1А- размер стипендии после увеличения во 2 полугодии, где р- коэффициент увеличения. Так как за год стипендия увеличилась на 32%, получим уравнение р*1,1А=1,32А, р=132/110=1,2, что означает , что стипендия во 2 полугодии составляет 120% стипендии 1 полугодия., т.е. стипендия во 2 полугодии увеличилась на 20%

Ответ: на 20%.

2004. ЕГЭ

Имеются два слитка сплава золота с медью. Первый слиток содержит 230 г золота и 20 г меди, а второй слиток — 240 г золота и 60 г меди. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 300 г сплава, в котором оказалось 84 % золота. Определить массу ( в граммах) куска, взятого от первого слитка.

Решение. Определим процентное содержание золота в обоих слитках. 1) 230+20=250(г)-масса 1 слитка, 230/250=0,92 (92%)процентное содержание золота в 1 слитке.

2) 240+60=300(г) —масса 2 слитка, 240/300=0,8 (80%)- процентное содержание золота во 2 слитке. Пусть х масса куска, взятого от 1 слитка, (300-х)- масса куска, взятого от 2 слитка, получим уравнение 0,92х+0,8(300-х)=0,84*300, откуда х=100

Ответ: 100г.

2004 ЕГЭ

Первый сплав серебра и меди содержит 70 г меди, а второй сплав — 210 г серебра и 90 г меди. Взяли 225 г первого сплава и кусок второго сплава, сплавили их и получили 300 г сплава, который содержит 82 % серебра. Сколько граммов серебра содержалось в первом сплаве?

Решение. Пусть х г серебра содержится в 1 сплаве., тогда 70/(х+70)-какую часть 1 сплава составляет медь, 90/(210+90)-такую часть составляет медь во 2 сплаве., кусок второго сплава 300-225=75г, тогда получаем уравнение.

225*(70/(х+70))+75*(90/300)=(1-0,82)*300, откуда х=430г

Ответ: 430г

ЕГЭ 2004

В колбе было 200 г 80% -го спирта. Провизор отлил из колбы некоторое количество этого спирта и затем добавил в нее столько же воды, чтобы получить 60% — ый спирт. Сколько граммов воды добавил провизор?.

Решение. 200*0,8=160(г)-масса чистого спирта в колбе, их колбы отлили х г раствора, осталось (200-х)г раствора, в котором чистого спирта 0,8*(200-х). Когда к раствору добавили х г воды, то масса раствора снова стала 200 г, а концентрация

[(0,8*(200-х))/200]*100%=60%, откуда х=50(г).

Ответ: провизор добавил 50г воды.

ЕГЭ 2004

В колбе было 800 г 80% -ного спирта. Провизор отлил из колбы 200 г этого спирта и добавил в нее 200 г воды. Определить концентрацию ( в процентах) полученного спирта.

Решение. После того, как провизор отлил 200 г раствора, стало 600г, в котором чистого спирта 0,8*600=480г, когда добавили200г воды, то раствор снова 800г, а концентрация чистого спирта в растворе (480/800)*100%=60%

Ответ: 60%

ЕГЭ 2005

Численность населения в городе Таганроге в течение двух лет возрастала на 2 процента ежегодно. В результате число жителей возросло на 11312 человек. Сколько жителей было в Таганроге первоначально?

Решение. А- первоначальное количество жителей Таганрога. Используя формулу коэффициента увеличения, получаем

А(1+0,02)2=А+11312, откуда А=280000

Ответ: 280000 чел

ЕГЭ 2005

Из сосуда, доверху наполненного 94% -м раствором кислоты, отлили 1,5 л жидкости и долили 1,5 л 70% -го раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 86% раствор кислоты. Сколько л раствора вмещает сосуд?

Решение. Пусть х л вмещает сосуд, тогда из условий задачи следует уравнение 0,94(х-1,5)+0,7*1,5=0,86х, откуда х=4,5 л.

Ответ: 4,5 л

Демонстрационный вариант 2007

Денежный вклад в банк за год увеличивается на 11 %. Вкладчик внес в банк 7000 рублей. В конце первого года он решил увеличить сумму вклада и продлить срок действия договора еще на год, чтобы в конце второго года иметь на счету не менее 10000 рублей. Какую наименьшую сумму необходимо дополнительно положить на счет по окончании первого года, чтобы при той же процентной ставке (11 %) реализовать этот план? (Ответ округлите до целых.)

Решение. 1,11* 7000=7770руб-будет на счете в конце 1 года. Пусть х руб. положили дополнительно на счет, из условия задачи получаем неравенство 1,11(7770+х)> 10000, получим х>1239, 1/111, что означает, чтобы на счету было не менее 10000 руб, нужно положить не менее12 40руб.

Ответ: 1240 руб.

Заключение

Данное практическое пособие позволит развить и закрепить навыки решения задач по теме: «Проценты» у учащихся 5-6 классов, может быть интересно учащимся, увлеченным математикой, а также полезно выпускникам школ и абитуриентам при подготовке к экзаменам. В дальнейшем на факультативных и кружковых занятиях возможны изучение вопроса применения процентов в экономике, в банковском деле. Можно провести сравнительный анализ банковских процентных ставок по потребительским кредитам и ипотечному кредитованию населения.

Литература

1. .Быков А.А. и др В помощь поступающим в ГУ — ВШЭ, Математика, М: ГУ-ВШЭ, 2004

2.Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др., Учебно-тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ. Математика, М: Интеллект- Центр, 2003.

3. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Конкурсные задачи по математикеМ: Наука, 1992.

4. Семенко Е.А. и др., Готовимся к ЕГЭ по математике, Краснодар, Просвещение-Юг, 2005.

5. Алгебра, 9, под ред. Теляковского С.А., М: Просвещение, 2001

6. Алгебра и начала анализа, 10-11, под ред. Колмогорова А.Н., М: Просвещение, 2003.

7. Математика. Контрольные измерительные материалы единого государственного экзамена в 2004 г. М: Центр тестирования, 2004.

8. Экзаменационные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. ЕГЭ 2006, М: Центр тестирования, 2005.

[1] «Математика, 5», Виленкин Н.Я. и др., «Мнемозина», 2003, с. 337

[2] «Алгебра, 9», под ред. Теляковского С.А., М: Просвещение, 2001, с.215, 223

[3] «Алгебра и начала анализа, 10-11», под ред. Колмогорова А.Н., М: Просвещение, 2003, с.306,330.

[4] «Учебно-тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ. Математика», Денищева Л.О., Гдазков Ю.А. и др., М: Интеллект- Центр, 2003.

«Математика. Контрольные измерительные материалы единого государственного экзамена в 2004 г.» М: Центр тестирования, 2004.

«Экзаменационные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. ЕГЭ 2006», М: Центр тестирования, 2005.

[5] «Конкурсные задачи по математике», Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., М: Наука, 1992, с330-332.

«В помощь поступающим в ГУ — ВШЭ, Математика», Быков А.А. и дрМ: ГУ-ВШЭ, 2004, с 53-64

«Готовимся к ЕГЭ по математике», Семенко Е.А. и др., Краснодар, Просвещение-Юг, 2005, с. 46-51

Автор: Валентина Молибоженко

---

---