Решу огэ как найти площадь параллелограмма

Всего: 116    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 116    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Всего: 94    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–94

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 94    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–94

 Задания по ОГЭ математика на вычисление площади параллелограмма. Ряд задач при сдаче ОГЭ будет связан с вычислением площади параллелограмма. Некоторые из задач прям нам кажутся простыми и очевидными, но есть и посложнее, которые требуют определенных знаний не связанных с обычными формулами вычисления площади. как основание умноженное на высоту. Ведь площадь придется вычислять по косвенным признакам, извлекая из них уже факты. 
 Ну что уж поделаешь, такой уровень задач по геометрии и такие порой высокие требования предъявляют для сдачи экзамена ОГЭ по геометрии. Все что остается тем, кто готовится к этому экзамену, так это решать и пополнять свой багаж знаний не только формулами, но и опытом решения. Ведь порой опыт имеет куда более значимый фактор при решении, так как здесь можно идти уже не по логике решения, которая порой не дается так быстро как хотелось бы, а именно по памяти как надо сделать, чтобы получить правильный ответ.

 Среди задач на вычисление площади параллелограмма из открытого банка ФИПИ есть и е, на которые достаточно краткого ответа, и с развернутым ответом. И те, и другие, перед вами. Любое из них может вам попасться на экзамене в этом году.

Задания по ОГЭ математика на вычисление площади параллелограмма

Вспоминаем, что площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:
S = ah

Реальные задания по геометрии из банка ФИПИ

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:
S = ah
S = (3+7) * 4 = 40

Значение длины второй стороны параллелограмма — лишние данные, они не используются в решении.

Ответ: 40

E8FC9F

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:
S = ah
S = (3+4) * 4 = 28

Значение длины второй стороны параллелограмма — лишние данные, они не используются в решении.

Ответ: 28

5AEBBA

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:
S = ah
S = (3+2) * 4 = 20

Значение длины второй стороны параллелограмма — лишние данные, они не используются в решении.

Ответ: 20

460490

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:
S = ah
S = (3+8) * 4 = 44

Значение длины второй стороны параллелограмма — лишние данные, они не используются в решении.

Ответ: 44

29D63A

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:
S = ah
S = (12+3) * 5 = 75

Значение длины второй стороны параллелограмма — лишние данные, они не используются в решении.

Ответ: 75

D97D85

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:
S = ah
S = (3+5) * 12 = 96

Значение длины второй стороны параллелограмма — лишние данные, они не используются в решении.

Ответ: 96

B08979

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:
S = ah
S = (12+8) * 5 = 100

Значение длины второй стороны параллелограмма — лишние данные, они не используются в решении.

Ответ: 100

956EDE

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:
S = ah
S = (5+5) * 12 = 120

Значение длины второй стороны параллелограмма — лишние данные, они не используются в решении.

Ответ: 120

66228A 

Задания второй части ОГЭ с расширенным решением

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение:

 Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O  — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности  — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO  — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:

AK=$sqrt{AO^2+ОК^2}=;sqrt{25-9}$ = 4

Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству о касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO  — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда AL=AK= 4.
 Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
 Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM  — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

$Sabc=frac{AB+BC+CA}2ast OK=frac{AL+LB+BM+MC+CK+KA}2ast OK=frac{4+4+2BM+2MC}2ast3=3ast(4+BM+MC)$

* из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

$Sabcd=MHast BC=(MO+OH)ast(BM+MC)=(3+4)ast(BM+MC)=7ast(BM+MC)$

Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:

$frac{7ast(BM+MC)}2=3;ast;(;4;+;B;M;+;M;C)\7ast(BM+MC);=;6;ast;(;4;+;B;M;+;M;C)\7ast(BM+MC);=;24;+;6;ast;(B;M;+;M;C)\7ast(BM+MC);-;6;ast;(B;M;+;M;C);=;24\B;M;+;M;C;=;24\\\$

 То есть основание BC = 24.

Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
Sabcd= MH * BC =(3+4)*24=168

Ответ:  168

701E1F

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 13, 6 и 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение:

 Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O  — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности  — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO  — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:

AK=$sqrt{AO^2+ОК^2}=;sqrt{169-25}$ = 12

Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству о касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO  — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда AL=AK= 12.
 Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
 Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM  — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

$Sabc=frac{AB+BC+CA}2ast OK=frac{AL+LB+BM+MC+CK+KA}2ast OK=frac{12+12+2BM+2MC}2ast5=5ast(12+BM+MC)$

* из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

$Sabcd=MHast BC=(MO+OH)ast(BM+MC)=(6+5)ast(BM+MC)=11ast(BM+MC)$

Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:

$frac{11ast(BM+MC)}2=5ast(12+BM+MC)\11ast(BM+MC);=;10ast(12+BM+MC)\11ast(BM+MC);=;120;+;10ast(BM+MC)\11ast(BM+MC);-;10;(BM+MC);=;120\B;M+M;C;=;120\\\$

 То есть основание BC = 120.

Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
Sabcd= MH * BC =(5+6)*120=1320

Ответ:  1320

B520E8

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 13, 7 и 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение:

 Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O  — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности  — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO  — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:

AK=$sqrt{AO^2+ОК^2}=;sqrt{169-25}$ = 12

Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству о касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO  — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда AL=AK= 12.
 Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
 Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM  — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

$Sabc=frac{AB+BC+CA}2ast OK=frac{AL+LB+BM+MC+CK+KA}2ast OK=frac{12+12+2BM+2MC}2ast5=5ast(12+BM+MC)$

* из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

$Sabcd=MHast BC=(MO+OH)ast(BM+MC)=(7+5)ast(BM+MC)=12ast(BM+MC)$

Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:

$frac{12ast(BM+MC)}2=5ast(12+BM+MC)\12ast(BM+MC);=;10ast(12+BM+MC)\12ast(BM+MC);=;120;+;10ast(BM+MC)\12ast(BM+MC);-;10;(BM+MC);=;120\2ast(BM+MC);=;120\BM+MC;=;60\\\\$

 То есть основание BC = 60.

Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
Sabcd= MH * BC =(7+5)*60=720

Ответ:  720

7AFAA8

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 13, 8 и 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение:

 Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O  — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности  — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO  — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:

AK=$sqrt{AO^2+ОК^2}=;sqrt{169-25}$ = 12

Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству о касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO  — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда AL=AK= 12.
 Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
 Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM  — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

$Sabc=frac{AB+BC+CA}2ast OK=frac{AL+LB+BM+MC+CK+KA}2ast OK=frac{12+12+2BM+2MC}2ast5=5ast(12+BM+MC)$

* из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

$Sabcd=MHast BC=(MO+OH)ast(BM+MC)=(8+5)ast(BM+MC)=13ast(BM+MC)$

Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:

$frac{13ast(BM+MC)}2=5ast(12+BM+MC)\13ast(BM+MC);=;10ast(12+BM+MC)\13ast(BM+MC);=;120;+;10ast(BM+MC)\13ast(BM+MC);-;10;(BM+MC);=;120\3ast(BM+MC);=;120\BM+MC;=;40\\\\$

 То есть основание BC = 40.

Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
Sabcd= MH * BC =(5+8)*40=520

Ответ:  520

15838B

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 13, 9 и 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение:

 Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O  — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности  — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO  — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:

AK=$sqrt{AO^2+ОК^2}=;sqrt{169-25}$ = 12

Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству о касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO  — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда AL=AK= 12.
 Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
 Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM  — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

$Sabc=frac{AB+BC+CA}2ast OK=frac{AL+LB+BM+MC+CK+KA}2ast OK=frac{12+12+2BM+2MC}2ast5=5ast(12+BM+MC)$

* из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

$Sabcd=MHast BC=(MO+OH)ast(BM+MC)=(9+5)ast(BM+MC)=14ast(BM+MC)$

Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:

$frac{14ast(BM+MC)}2=5ast(12+BM+MC)\14ast(BM+MC);=;10ast(12+BM+MC)\14ast(BM+MC);=;120;+;10ast(BM+MC)\14ast(BM+MC);-;10;(BM+MC);=;120\4ast(BM+MC);=;120\BM+MC;=;30\\\\$

 То есть основание BC = 30.

Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
Sabcd= MH * BC =(5+9)*30=420

Ответ:  420

221DAD

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 13 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение:

 Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O  — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности  — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO  — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:

AK=$sqrt{AO^2+ОК^2}=;sqrt{625-49}$ = 24

Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству о касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO  — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда AL=AK= 24.
 Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
 Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM  — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

$Sabc=frac{AB+BC+CA}2ast OK=frac{AL+LB+BM+MC+CK+KA}2ast OK=frac{24+24+2BM+2MC}2ast7=7ast(24+BM+MC)$

* из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

$Sabcd=MHast BC=(MO+OH)ast(BM+MC)=(13+7)ast(BM+MC)=20ast(BM+MC)$

Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:

$frac{20ast(BM+MC)}2=7ast(24+BM+MC)\20ast(BM+MC);=;14ast(24+BM+MC)\20ast(BM+MC);=;336;+;14ast(BM+MC)\20ast(BM+MC);-;14;(BM+MC);=;336\6ast(BM+MC);=;336\BM+MC;=;56\\\\$

 То есть основание BC = 56.

Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
Sabcd= MH * BC =(13+7)*56=1120

Ответ:  1120

716CE8

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 14 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение:

 Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O  — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности  — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO  — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:

AK=$sqrt{AO^2+ОК^2}=;sqrt{625-49}$ = 24

Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству о касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO  — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда AL=AK= 24.
 Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
 Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM  — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

$Sabc=frac{AB+BC+CA}2ast OK=frac{AL+LB+BM+MC+CK+KA}2ast OK=frac{24+24+2BM+2MC}2ast7=7ast(24+BM+MC)$

* из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

$Sabcd=MHast BC=(MO+OH)ast(BM+MC)=(14+7)ast(BM+MC)=21ast(BM+MC)$

Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:

$frac{21ast(BM+MC)}2=7ast(24+BM+MC)\21ast(BM+MC);=;14ast(24+BM+MC)\21ast(BM+MC);=;336;+;14ast(BM+MC)\21ast(BM+MC);-;14;(BM+MC);=;336\7ast(BM+MC);=;336\BM+MC;=;48\\\\$

 То есть основание BC = 48.

Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
Sabcd= MH * BC =(14+7)*48=1008

Ответ:  1008

A4192E

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 15 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение:

 Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O  — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности  — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO  — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:

AK=$sqrt{AO^2+ОК^2}=;sqrt{625-49}$ = 24

Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству о касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO  — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда AL=AK= 24.
 Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
 Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM  — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

$Sabc=frac{AB+BC+CA}2ast OK=frac{AL+LB+BM+MC+CK+KA}2ast OK=frac{24+24+2BM+2MC}2ast7=7ast(24+BM+MC)$

* из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

$Sabcd=MHast BC=(MO+OH)ast(BM+MC)=(15+7)ast(BM+MC)=22ast(BM+MC)$

Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:

$frac{22ast(BM+MC)}2=7ast(24+BM+MC)\22ast(BM+MC);=;14ast(24+BM+MC)\22ast(BM+MC);=;336;+;14ast(BM+MC)\22ast(BM+MC);-;14;(BM+MC);=;336\8ast(BM+MC);=;336\BM+MC;=;42\\\\$

 То есть основание BC = 42.

Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
Sabcd= MH * BC =(15+7)*42=924

Ответ:  924

2E555E

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 17 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение:

 Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O  — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности  — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO  — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:

AK=$sqrt{AO^2+ОК^2}=;sqrt{625-49}$ = 24

Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству о касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO  — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда AL=AK= 24.
 Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
 Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM  — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

$Sabc=frac{AB+BC+CA}2ast OK=frac{AL+LB+BM+MC+CK+KA}2ast OK=frac{24+24+2BM+2MC}2ast7=7ast(24+BM+MC)$

* из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

$Sabcd=MHast BC=(MO+OH)ast(BM+MC)=(17+7)ast(BM+MC)=24ast(BM+MC)$

Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:

$frac{24ast(BM+MC)}2=7ast(24+BM+MC)\24ast(BM+MC);=;14ast(24+BM+MC)\24ast(BM+MC);=;336;+;14ast(BM+MC)\24ast(BM+MC);-;14;(BM+MC);=;336\10ast(BM+MC);=;336\BM+MC;=;33,6\\\\$

 То есть основание BC = 33,6.

Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
Sabcd= MH * BC =(17+7)*33,6=806,4

Ответ:  806,4

DFC86B

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 19 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение:

 Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. O  — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности  — это точка пересечения биссектрис, поэтому AO,BO,CO  — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:

AK=$sqrt{AO^2+ОК^2}=;sqrt{625-49}$ = 24

Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, так как радиусы перпендикулярны касательным сторонам по свойству о касательных, а углы LAO и OAK равны, так как АО биссектриса. AO  — общая сторона, а следовательно, треугольники равны, откуда AL=AK= 24.
 Аналогично из равенства треугольников COM и COK (общая сторона, и два угла) получаем MC = CK
 Аналогично из равенства треугольников BOL и BOM  — BL=BM.
Площадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

$Sabc=frac{AB+BC+CA}2ast OK=frac{AL+LB+BM+MC+CK+KA}2ast OK=frac{24+24+2BM+2MC}2ast7=7ast(24+BM+MC)$

* из этой площади нам неизвестно BM и MC, которые составляют основание. При этом площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

$Sabcd=MHast BC=(MO+OH)ast(BM+MC)=(19+7)ast(BM+MC)=26ast(BM+MC)$

Мы знаем, что диагональ в параллелограмме делит его на два равных треугольника (равны две стороны и угол между ними). В итоге получается, что площадь любого из этих треугольников равна половине площади самого параллелограмма. То есть получаем уравнение:

$frac{26ast(BM+MC)}2=7ast(24+BM+MC)\26ast(BM+MC);=;14ast(24+BM+MC)\26ast(BM+MC);=;336;+;14ast(BM+MC)\26ast(BM+MC);-;14;(BM+MC);=;336\12ast(BM+MC);=;336\BM+MC;=28\\\\$

 То есть основание BC = 28.

Площадь параллелограмма после принятия к вычислению всех известных величин равна:
Sabcd= MH * BC =(19+7)*28=728

Ответ:  728

1D6569

---

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=19, а расстояние от точки K до стороны AB равно 7.

Решение:

Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К  — точка пересечения биссектрис, КН  — высота треугольника АКВ, MN  — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они одинаковые, так как: во-первых, они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, так как АК  — биссектриса угла А.  Во-вторых, сторона AK  — общая. Тогда KN=KH=7.
Тоже само можно сказать и о треугольниках BKH и BKM (по общей стороне и двум углам). Значит MK=KH=7. 
Получается что H, то есть высота параллелограмма равна H = MK+KH. Теперь зная высоту и основание из условия, можно найти площадь.

Итак, площадь параллелограмма это произведение высоты на основание:

S=AD*MN=AD*(MK + KN) =19*(7+7)=19*14=266.

Ответ: 266

97C87B

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=11, а расстояние от точки K до стороны AB равно 3.

Решение:

Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К  — точка пересечения биссектрис, КН  — высота треугольника АКВ, MN  — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они одинаковые, так как: во-первых, они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, так как АК  — биссектриса угла А.  Во-вторых, сторона AK  — общая. Тогда KN=KH=3.
Тоже само можно сказать и о треугольниках BKH и BKM (по общей стороне и двум углам). Значит MK=KH=3. 
Получается что H, то есть высота параллелограмма равна H = MK+KH. Теперь зная высоту и основание из условия, можно найти площадь.

Итак, площадь параллелограмма это произведение высоты на основание:

S=AD*MN=AD*(MK + KN) =11*(3+3)=11*6=66.

Ответ: 66

F8A0E6

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=12, а расстояние от точки K до стороны AB равно 9.

Решение:

Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К  — точка пересечения биссектрис, КН  — высота треугольника АКВ, MN  — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они одинаковые, так как: во-первых, они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, так как АК  — биссектриса угла А.  Во-вторых, сторона AK  — общая. Тогда KN=KH=9.
Тоже само можно сказать и о треугольниках BKH и BKM (по общей стороне и двум углам). Значит MK=KH=9. 
Получается что H, то есть высота параллелограмма равна H = MK+KH. Теперь зная высоту и основание из условия, можно найти площадь.

Итак, площадь параллелограмма это произведение высоты на основание:

S=AD*MN=AD*(MK + KN) =12*(9+9)=12*18=216.

Ответ: 216

67503F

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=19, а расстояние от точки K до стороны AB равно 10.

Решение:

Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К  — точка пересечения биссектрис, КН  — высота треугольника АКВ, MN  — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они одинаковые, так как: во-первых, они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, так как АК  — биссектриса угла А.  Во-вторых, сторона AK  — общая. Тогда KN=KH=10.
Тоже само можно сказать и о треугольниках BKH и BKM (по общей стороне и двум углам). Значит MK=KH=10. 
Получается что H, то есть высота параллелограмма равна H = MK+KH. Теперь зная высоту и основание из условия, можно найти площадь.

Итак, площадь параллелограмма это произведение высоты на основание:

S=AD*MN=AD*(MK + KN) =19*(10+10)=19*20=380.

Ответ: 380

D60F99

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=17, а расстояние от точки K до стороны AB равно 10.

Решение:

Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К  — точка пересечения биссектрис, КН  — высота треугольника АКВ, MN  — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они одинаковые, так как: во-первых, они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, так как АК  — биссектриса угла А.  Во-вторых, сторона AK  — общая. Тогда KN=KH=10.
Тоже само можно сказать и о треугольниках BKH и BKM (по общей стороне и двум углам). Значит MK=KH=10. 
Получается что H, то есть высота параллелограмма равна H = MK+KH. Теперь зная высоту и основание из условия, можно найти площадь.

Итак, площадь параллелограмма это произведение высоты на основание:

S=AD*MN=AD*(MK + KN) =17*(10+10)=17*20=340.

Ответ: 340.

B435D4

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=18, а расстояние от точки K до стороны AB равно 1.

Решение:

Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К  — точка пересечения биссектрис, КН  — высота треугольника АКВ, MN  — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они одинаковые, так как: во-первых, они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, так как АК  — биссектриса угла А.  Во-вторых, сторона AK  — общая. Тогда KN=KH=1.
Тоже само можно сказать и о треугольниках BKH и BKM (по общей стороне и двум углам). Значит MK=KH=1. 
Получается что H, то есть высота параллелограмма равна H = MK+KH. Теперь зная высоту и основание из условия, можно найти площадь.

Итак, площадь параллелограмма это произведение высоты на основание:

S=AD*MN=AD*(MK + KN) =18*(1+1)=18*2=36.

Ответ: 36

E097F7

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=7, а расстояние от точки K до стороны AB равно 4.

Решение:

Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К  — точка пересечения биссектрис, КН  — высота треугольника АКВ, MN  — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они одинаковые, так как: во-первых, они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, так как АК  — биссектриса угла А.  Во-вторых, сторона AK  — общая. Тогда KN=KH=4.
Тоже само можно сказать и о треугольниках BKH и BKM (по общей стороне и двум углам). Значит MK=KH=4. 
Получается что H, то есть высота параллелограмма равна H = MK+KH. Теперь зная высоту и основание из условия, можно найти площадь.

Итак, площадь параллелограмма это произведение высоты на основание:

S=AD*MN=AD*(MK + KN) =7*(4+4)=7*8=56.

Ответ: 56

80A169

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=2, а расстояние от точки K до стороны AB равно 8.

Решение:

Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К  — точка пересечения биссектрис, КН  — высота треугольника АКВ, MN  — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они одинаковые, так как: во-первых, они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, так как АК  — биссектриса угла А.  Во-вторых, сторона AK  — общая. Тогда KN=KH=8.
Тоже само можно сказать и о треугольниках BKH и BKM (по общей стороне и двум углам). Значит MK=KH=8. 
Получается что H, то есть высота параллелограмма равна H = MK+KH. Теперь зная высоту и основание из условия, можно найти площадь.

Итак, площадь параллелограмма это произведение высоты на основание:

S=AD*MN=AD*(MK + KN) =2*(8+8)=2*16=32.

Ответ: 32

569075

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=6, а расстояние от точки K до стороны AB равно 6.

Решение:

Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К  — точка пересечения биссектрис, КН  — высота треугольника АКВ, MN  — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они одинаковые, так как: во-первых, они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, так как АК  — биссектриса угла А.  Во-вторых, сторона AK  — общая. Тогда KN=KH=6.
Тоже само можно сказать и о треугольниках BKH и BKM (по общей стороне и двум углам). Значит MK=KH=6. 
Получается что H, то есть высота параллелограмма равна H = MK+KH. Теперь зная высоту и основание из условия, можно найти площадь.

Итак, площадь параллелограмма это произведение высоты на основание:

S=AD*MN=AD*(MK + KN) =6*(6+6)=6*12=72.

Ответ: 72

FD6657

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=2, а расстояние от точки K до стороны AB равно 1.

Решение:

Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К  — точка пересечения биссектрис, КН  — высота треугольника АКВ, MN  — высота параллелограмма, проходящая через точку К.
Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они одинаковые, так как: во-первых, они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, так как АК  — биссектриса угла А.  Во-вторых, сторона AK  — общая. Тогда KN=KH=1.
Тоже само можно сказать и о треугольниках BKH и BKM (по общей стороне и двум углам). Значит MK=KH=1. 
Получается что H, то есть высота параллелограмма равна H = MK+KH. Теперь зная высоту и основание из условия, можно найти площадь.

Итак, площадь параллелограмма это произведение высоты на основание:

S=AD*MN=AD*(MK + KN) =2*(1+1)=2*2=4.

Ответ: 4

A7594E

1) Построим па­рал­ле­ло­грам­м (ABCD), про­ве­дём диа­го­наль (AC), построим окружность, впи­сан­ную в тре­уголь­ник (ABC). Рас­сто­я­ния от точки (O) до точки (A) и пря­мых (AD) и (AC) со­от­вет­ствен­но равны 25, 9 и 7.

2) Сделаем дополнительные построения. Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, поэтому (AO), (BO), (CO)  — биссектрисы. Проведём касательные — (OK), (OM), (OL).  Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

3) Из прямоугольного треугольника (AOK) по теореме Пифагора найдём (AK):

AK=AO2−OK2=252−72=625−49=576=24.

5) Площадь треугольника (ABC) можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

SABC=AB+BC+AC2⋅OK=AL+LB+BM+MC+CK+AK2⋅OK;

так как (AL=AK), (BM=LB), (MC=CK), то

SABC=2⋅AL+2BM+2MC2⋅7=2⋅24+2BM+2MC2⋅7=24+BM+MC⋅7.

6) Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

SABCD=MH⋅BC=MO+OH⋅BM+MC=16BM+MC.

7) Рассмотрим треугольники (ABC) и (ACD): (AB) равно (CD), (AD) равно (BC), углы (ABC) и (ADC) равны, следовательно, треугольники (ABC) и (ACD) равны. Поэтому площадь треугольника (ABC) равна половине площади параллелограмма:

7⋅24+BM+MC=12⋅16BM+MC⇔BM+MC=168.

Площадь параллелограмма равна:

SABCD=MH⋅BC=16⋅168=2688.

Ответ: 2688.

Опубликовано 27.06.18 в 04:35

Размер файла: 43.76 Кбайт