Резонансная частота как найти по графику - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Механические колебания.

Гармонические колебания.
Уравнение гармонических колебаний.
Пружинный маятник.
Математический маятник.
Свободные и вынужденные колебания.

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ : гармонические колебания; амплитуда, период, частота, фаза колебаний; свободные колебания, вынужденные колебания, резонанс.

Колебания — это повторяющиеся во времени изменения состояния системы. Понятие колебаний охватывает очень широкий круг явлений.

Колебания механических систем, или механические колебания — это механическое движение тела или системы тел, которое обладает повторяемостью во времени и происходит в окрестности положения равновесия. Положением равновесия называется такое состояние системы, в котором она может оставаться сколь угодно долго, не испытывая внешних воздействий.

Например, если маятник отклонить и отпустить, то начнутся колебания. Положение равновесия — это положение маятника при отсутствии отклонения. В этом положении маятник, если его не трогать, может пребывать сколь угодно долго. При колебаниях маятник много раз проходит положение равновесия.

Сразу после того, как отклонённый маятник отпустили, он начал двигаться, прошёл положение равновесия, достиг противоположного крайнего положения, на мгновение остановился в нём, двинулся в обратном направлении, снова прошёл положение равновесия и вернулся назад. Совершилось одно полное колебание. Дальше этот процесс будет периодически повторяться.

Амплитуда колебаний тела — это величина его наибольшего отклонения от положения равновесия.

Период колебаний — это время одного полного колебания. Можно сказать, что за период тело проходит путь в четыре амплитуды.

Частота колебаний — это величина, обратная периоду: nu =1/T . Частота измеряется в герцах (Гц) и показывает, сколько полных колебаний совершается за одну секунду.

к оглавлению ▴

Гармонические колебания.

Будем считать, что положение колеблющегося тела определяется одной-единственной координатой . Положению равновесия отвечает значение x=0 . Основная задача механики в данном случае состоит в нахождении функции x(t) , дающей координату тела в любой момент времени.

Для математического описания колебаний естественно использовать периодические функции. Таких функций много, но две из них — синус и косинус — являются самыми важными. У них много хороших свойств, и они тесно связаны с широким кругом физических явлений.

Поскольку функции синус и косинус получаются друг из друга сдвигом аргумента на pi /2 , можно ограничиться только одной из них. Мы для определённости будем использовать косинус.

Гармонические колебания — это колебания, при которых координата зависит от времени по гармоническому закону:

(1)

Выясним смысл входящих в эту формулу величин.

Положительная величина является наибольшим по модулю значением координаты (так как максимальное значение модуля косинуса равно единице), т. е. наибольшим отклонением от положения равновесия. Поэтому — амплитуда колебаний.

Аргумент косинуса называется фазой колебаний. Величина alpha , равная значению фазы при t=0 , называется начальной фазой. Начальная фаза отвечает начальной координате тела: $x_{0}=Acos alpha$ .

Величина называется omega циклической частотой. Найдём её связь с периодом колебаний и частотой . Одному полному колебанию отвечает приращение фазы, равное 2 pi радиан: , откуда

$omega = frac{displaystyle 2pi }{displaystyle T}$ (2)

(3)

Измеряется циклическая частота в рад/с (радиан в секунду).

В соответствии с выражениями (2) и (3) получаем ещё две формы записи гармонического закона (1):

$x=Acos(frac{displaystyle 2pi t }{displaystyle T}+ alpha), x=Acos(2 pi nu t + alpha)$ .

График функции (1), выражающей зависимость координаты от времени при гармонических колебаниях, приведён на рис. 1.

Рис. 1. График гармонических колебаний

Гармонический закон вида (1) носит самый общий характер. Он отвечает, например, ситуации, когда с маятником совершили одновременно два начальных действия: отклонили на величину $x_{0}$ и придали ему некоторую начальную скорость. Имеются два важных частных случая, когда одно из этих действий не совершалось.

Пусть маятник отклонили, но начальной скорости не сообщали (отпустили без начальной скорости). Ясно, что в этом случае $x_{0}=A$ , поэтому можно положить alpha=0 . Мы получаем закон косинуса:

График гармонических колебаний в этом случае представлен на рис. 2.

Рис. 2. Закон косинуса

Допустим теперь, что маятник не отклоняли, но ударом сообщили ему начальную скорость из положения равновесия. В этом случае $x_{0}=0$ , так что можно положить . Получаем закон синуса:

График колебаний представлен на рис. 3.

Рис. 3. Закон синуса

к оглавлению ▴

Уравнение гармонических колебаний.

Вернёмся к общему гармоническому закону (1). Дифференцируем это равенство:

$v_{x}=dot{x}=-Aomega sin(omega t+alpha )$ . (4)

Теперь дифференцируем полученное равенство (4):

$a_{x}=ddot{x}=-Aomega^{2} cos(omega t+alpha )$ . (5)

Давайте сопоставим выражение (1) для координаты и выражение (5) для проекции ускорения. Мы видим, что проекция ускорения отличается от координаты лишь множителем $-omega^{2}$ :

$a_{x}=-omega^{2}x$ . (6)

Это соотношение называется уравнением гармонических колебаний. Его можно переписать и в таком виде:

$ddot{x}+omega^{2}x=0$ . (7)

C математической точки зрения уравнение (7) является дифференциальным уравнением. Решениями дифференциальных уравнений служат функции (а не числа, как в обычной алгебре).
Так вот, можно доказать, что:

-решением уравнения (7) является всякая функция вида (1) с произвольными ;

-никакая другая функция решением данного уравнения не является.

Иными словами, соотношения (6), (7) описывают гармонические колебания с циклической частотой omega и только их. Две константы определяются из начальных условий — по начальным значениям координаты и скорости.

к оглавлению ▴

Пружинный маятник.

Пружинный маятник — это закреплённый на пружине груз, способный совершать колебания в горизонтальном или вертикальном направлении.

Найдём период малых горизонтальных колебаний пружинного маятника (рис. 4). Колебания будут малыми, если величина деформации пружины много меньше её размеров. При малых деформациях мы можем пользоваться законом Гука. Это приведёт к тому, что колебания окажутся гармоническими.

Трением пренебрегаем. Груз имеет массу , жёсткость пружины равна .

Координате x=0 отвечает положение равновесия, в котором пружина не деформирована. Следовательно, величина деформации пружины равна модулю координаты груза.

Рис. 4. Пружинный маятник

В горизонтальном направлении на груз действует только сила упругости vec F со стороны пружины. Второй закон Ньютона для груза в проекции на ось имеет вид:

$ma_{x}=F_{x}$ . (8)

Если x>0 (груз смещён вправо, как на рисунке), то сила упругости направлена в противоположную сторону, и $F_{x}<0$ . Наоборот, если x<0 , то $F_{x}>0$ . Знаки и $F_{x}$ всё время противоположны, поэтому закон Гука можно записать так:

$F_{x}=-kx$

Тогда соотношение (8) принимает вид:

$ma_{x}=-kx$

или

$a_{x}=-frac{displaystyle k}{displaystyle m}x$ .

Мы получили уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором

$omega ^{2}=frac{displaystyle k}{displaystyle m}$ .

Циклическая частота колебаний пружинного маятника, таким образом, равна:

$omega =sqrt{frac{displaystyle k}{displaystyle m}}$ . (9)

Отсюда и из соотношения находим период горизонтальных колебаний пружинного маятника:

$T=2 pi sqrt{frac{displaystyle m}{displaystyle k}}$ . (10)

Если подвесить груз на пружине, то получится пружинный маятник, совершающий колебания в вертикальном направлении. Можно показать, что и в этом случае для периода колебаний справедлива формула (10).

к оглавлению ▴

Математический маятник.

Математический маятник — это небольшое тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити (рис. 5). Математический маятник может совершать колебания в вертикальной плоскости в поле силы тяжести.

Рис. 5. Математический маятник

Найдём период малых колебаний математического маятника. Длина нити равна . Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Запишем для маятника второй закон Ньютона:

и спроектируем его на ось :

$ma_{x}=T_{x}$ .

Если маятник занимает положение как на рисунке (т. е. x>0 ), то:

$T_{x}=-Tsinvarphi =-Tfrac{displaystyle x}{displaystyle l}$ .

Если же маятник находится по другую сторону от положения равновесия (т. е. x<0 ), то:

$T_{x}=Tsinvarphi =-Tfrac{displaystyle x}{displaystyle l}$ .

Итак, при любом положении маятника имеем:

$ma_{x}=-Tfrac{displaystyle x}{displaystyle l}$ . (11)

Когда маятник покоится в положении равновесия, выполнено равенство T=mg . При малых колебаниях, когда отклонения маятника от положения равновесия малы (по сравнению с длиной нити), выполнено приближённое равенство . Воспользуемся им в формуле (11):

$ma_{x}=-mgfrac{displaystyle x}{displaystyle l}$ ,

или

$a_{x}=-frac{displaystyle g}{displaystyle l}x$ .

Это — уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором

$omega ^{2}=frac{displaystyle g}{displaystyle l}$ .

Следовательно, циклическая частота колебаний математического маятника равна:

$omega =sqrt{frac{displaystyle g}{displaystyle l}}$ . (12)

Отсюда период колебаний математического маятника:

$T=2pi sqrt{frac{displaystyle l}{displaystyle g}}$ . (13)

Обратите внимание, что в формулу (13) не входит масса груза. В отличие от пружинного маятника, период колебаний математического маятника не зависит от его массы.

к оглавлению ▴

Свободные и вынужденные колебания.

Говорят, что система совершает свободные колебания, если она однократно выведена из положения равновесия и в дальнейшем предоставлена сама себе. Никаких периодических внешних
воздействий система при этом не испытывает, и никаких внутренних источников энергии, поддерживающих колебания, в системе нет.

Рассмотренные выше колебания пружинного и математического маятников являются примерами свободных колебаний.

Частота, с которой совершаются свободные колебания, называется собственной частотой колебательной системы. Так, формулы (9) и (12) дают собственные (циклические) частоты колебаний пружинного и математического маятников.

В идеализированной ситуации при отсутствии трения свободные колебания являются незатухающими, т. е. имеют постоянную амплитуду и длятся неограниченно долго. В реальных колебательных системах всегда присутствует трение, поэтому свободные колебания постепенно затухают (рис. 6).

Рис. 6. Затухающие колебания

Вынужденные колебания — это колебания, совершаемые системой под воздействием внешней силы F(t) , периодически изменяющейся во времени (так называемой вынуждающей силы).

Предположим, что собственная частота колебаний системы равна $omega_{0}$ , а вынуждающая сила зависит от времени по гармоническому закону:

$F(t)=F_{0}cos omega t$ .

В течение некоторого времени происходит установление вынужденных колебаний: система совершает сложное движение, которое является наложением выужденных и свободных колебаний. Свободные колебания постепенно затухают, и в установившемся режиме система совершает вынужденные колебания, которые также оказываются гармоническими. Частота установившихся вынужденных колебаний совпадает с частотой
omega вынуждающей силы (внешняя сила как бы навязывает системе свою частоту).

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. График этой зависимости показан на рис. 7.

Рис. 7. Резонанс

Мы видим, что вблизи частоты $omega=omega_{r}$ наступает резонанс — явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний. Резонансная частота приближённо равна собственной частоте колебаний системы: $omega_{r} approx omega_{0}$ , и это равенство выполняется тем точнее, чем меньше трение в системе. При отсутствии трения резонансная частота совпадает с собственной частотой колебаний, $omega_{r} = omega_{0}$ , а амплитуда колебаний возрастает до бесконечности при $omega Rightarrow omega_{0}$ .

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Механические колебания.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Резонанс

При заданных возмущающей силе F_max.возм
и коэффициенте трения β амплитуда Y_m является функцией только угловой частоты возмущающей силы.

На рисунке показана зависимость Y_m от ω (резонансная кривая).
Параметром служит коэффициент затухания δ.

При ω ≈ ω₀ она достигает особенно большого значения (резонанс).

При самых малых значениях δ величина Y_m резко возрастает.

Если δ > 0, то в случае резонанса ω < ω₀; величина Y_max.ст представляет собой статическое отклонение системы под действием постоянной силы Y_max.возм (ω = 0).

Для определения резонансной частоты необходимо найти максимум функции Ym = Ym(ω) и приравнять первую производную нулю; тогда, если

ω_рез	резонансная частота, при которой амплитуда максимальна,	радиан/сек
ω₀	частота собственных незатухающих колебаний системы,	радиан/сек
m	масса колебательной системы,	кг
β	коэффициентом вязкого трения,	кг/сек
δ	коэффициентом затухания,	радиан/сек

Частота резонанса

[
ω_{рез} = sqrt{ω_{0}^2 — frac{β^2}{2m^2}} = sqrt{ω_{0}^2 — 2δ^2}
]

Условие отсутствия резонанса

[
δ geqslant frac{ω_{0}}{sqrt{2}}
]

Амплитуда резонанса

Чтобы найти величину амплитуды в резонансном случае, нужно подставить формулу (1) в формулу отклонения при вынужденных колебаниях.

Если

Y_max.рез	резонансная амплитуда колебаний системы,	метр
F_max.возм	максимальное значение возмущающей силы,	Ньютон
m	масса колебательной системы,	кг
ω_рез	резонансная частота, при которой амплитуда максимальна,	радиан/сек
ω₀	частота собственных незатухающих колебаний системы,	радиан/сек
ω	частота колебаний системы с затуханием,	радиан/сек
β	коэффициентом вязкого трения,	кг/сек
δ	коэффициентом затухания,	радиан/сек

то имеем

[

Y_m = frac
{
F_{max.возм}
}
{
β sqrt{ ω_{0}^2 — frac{β^2}{4m^2} }
}

]

[

Y_m = frac{F_{max.возм}}{βω}

]

[

Y_m = frac{F_{max.возм}}{2δmω}

]

Согласно формуле, разность фаз α также зависит от частоты возмущающей силы.
Параметром служит коэффициент δ.

На рисунке представлена зависимость α от частоты.

Независимо от величины затухания при ω = ω₀ разность фаз составляет

[

α = 90°

]

Резонанс играет большую роль в технике и в повседневной жизни. В большинстве механических устройств под действием внешних периодических сил могут возникать колебания. При резонансе происходит нарастание амплитуды колебаний, и это может привести к разрушениям («резонансная катастрофа»). В случае вращательного движения резонансную частоту называют критическим числом оборотов.

Резонанс	стр. 558

Источник

Колебательный контур является типичным представителем резонансных колебательных систем, играющих важную роль в большинстве разделов физики — в механике это различного типа маятники и звуковые резонаторы (струны, мембраны, трубы, свистки, органы), в электродинамике — колебательные контуры, закрытые и открытые резонаторы с распределенными параметрами, в оптике — лазерные резонаторы, эталоны Фабри — Перо и т.д. Принципы описания всех колебательных систем настолько общи, что теория колебаний стала самостоятельным разделом физики. Поэтому изучение параметров, свойств и характеристик колебательного контура полезно рассматривать как общее введение в мир резонансных колебательных систем.

В теории колебаний выделяются два класса явлений — явления в линейных и нелинейных колебательных системах. Линейными называются такие системы, параметры которых не зависят от амплитуды колебаний. Например, для маятников это означает такие малые колебания, при которых упругость пружин и стержней не зависит от амплитуды колебания, а натяжение нити подвеса определяется только гравитационными силами. Для электрических колебательных контуров независимыми от амплитуды токов и напряжений должны оставаться такие величины, как индуктивность $L$, емкость $C$ и сопротивление $R$.

Резонансные системы имеют два важных свойства.

Свойство избирательно реагировать на внешние источники сигналов, выделяя только те из них, частоты которых совпадают с собственной частотой колебательной системы.
Свойство запасать энергию колебаний, возбужденных внешним источником, поддерживая колебания в течение определенного времени после выключения внешнего источника.

Колебательный контур характеризуется двумя основными параметрами: частотой собственных (резонансных) колебаний $omega _{0} $ и добротностью $Q$, характеризующей отношение мощности энергии собственного колебания к мощности потерь за период.

На рис. 18 приведены примеры «параллелей» электрических и механических колебательных систем. В электрических резонаторах происходит периодический переход электрической энергии, запасенной в конденсаторе $(W_Э =frac 12 CU^2),$ в магнитную энергию катушки индуктивности $(W_M =frac 12 LI^2)$ и обратно. В маятниках происходит аналогичный циклический переход энергии из потенциальной (поднятого груза или сжатой пружины) в кинетическую и обратно.

Свободные колебания происходят в замкнутой цепи без вынуждающей силы (рис. 19,а).

Согласно второму закону Кирхгофа для такой цепи можно написать:
$$
Rcdot I+U_{C} =-Lcdot frac{dI}{dt}.
$$
Выражая $U_{C} $ через заряд $q$, получим уравнение

$$
Rcdot I+Lcdot frac{dI}{dt} +frac{q}{C} =0 mbox{ (СИ). }
$$
Дифференцируя по времени и учитывая равенство $I=frac{dq}{dt} $, получаем
$$
Lfrac{d^{2} I}{dt^{2} } +Rfrac{dI}{dt} +frac{I}{C} =0 mbox{ (СИ). }
$$
Разделив на $L$ и вводя обозначения
$delta =frac{R}{2cdot L} $ и $omega _{0}^{2} =frac{1}{LC} $,
получим общее уравнение для свободных колебаний линейной резонансной системы:
$$
I»+2delta , I’+omega _{0}^{2} I=0,
$$
где параметр $delta $ называется затухание, а параметр $omega _{0} $ — собственная частота, или частота свободных колебаний. Оно решается подстановкой $I=Acdot e^{iomega , t} $, которая приводит к характеристическому уравнению
$$
-omega ^{2} +2iomega , delta +omega _{0}^{2} =0,
$$
с решением
$$
lambda , _{1,2} =i, delta pm sqrt{omega _{0}^{2} -delta ^{2} } .
$$
Общее решение имеет две составляющие
$$
I=Acdot e^{iomega _{1} , t} +Bcdot e^{iomega _{2} , t} .
$$
Константы $A$ и $B$ определяются начальными данными задачи, например, зарядом $q_{0} $ или напряжением на конденсаторе $U_{0} $. Характер начальных данных определяется конкретной физической системой.

Частный пример схемы для возбуждения свободных колебаний в колебательном контуре приведен на рис. 19,б. Конденсатор $C$ заряжается от батареи до напряжения $U_{0} $ (положение «а» переключателя), а затем переключается в точку «б». Свободные колебания будут представлять собой циклический переход энергии электрического поля (в конденсаторе) в энергию магнитного поля (в индуктивности) и обратно.

Подставив найденные значения $A$ и $B$, получим общее решение для свободных колебаний в контуре
$$
I=ifrac{U_{0} }{Lsqrt{omega _{0}^{2} -delta ^{2} } } e^{-delta , t} frac{e^{isqrt{omega _{0}^{2} -delta ^{2} } , t} -e^{-isqrt{omega _{0}^{2} -delta ^{2} } , t} }{2} .
$$

Если бы колебательный контур состоял только из идеальных (без потерь) реактивных элементов (индуктивности $L$ и емкости $C$), то переход энергии из электрической в магнитную и обратно совершался бы без потерь, а в контуре существовали бы незатухающие свободные колебания с собственной частотой $omega _{0} =2pi , f=sqrt{frac{1}{LC}}.$

Наличие в схеме активного элемента $R$ приводит к тому, что часть энергии за каждый период переходит в тепло и колебания затухают с некоторой постоянной времени $tau $. Роль частоты в уравнении теперь играет величина $omega _{p} =sqrt{omega _{0}^{2} -delta ^{2} } $, зависящая от отношения реактивной мощности к потерям на активном сопротивлении $R$. При этом вовсе не обязательно в схему должен быть включен отдельный резистор. В его качестве может выступать, например, омическое сопротивление провода, которым намотана катушка индуктивности, а также сопротивление утечки изоляторов конденсатора. Кроме того, часть энергии колебаний может излучаться контуром в окружающее пространство в виде электромагнитной волны. На этом основано действие так называемых связанных контуров: если вблизи данного колебательного контура расположен другой, то в нем «наводятся» (возникают) колебания за счет того, что часть энергии трансформируется из первого контура во второй. Передача энергии совершается переменным электромагнитным полем, возникающим вокруг первого контура.

Если затухание мало, т. е. $delta <omega _{0} $, то мы получаем уравнение слабо затухающих колебаний в виде
$$
I=-frac{U_{0} }{Lomega _{p} } e^{-delta , t} sin omega _{p} t=-I_{0} e^{-delta , t} sin omega _{p} t.
$$
При этом резонансная частота приближается к частоте собственных колебаний:
$$
omega _{p} =sqrt{omega _{0}^{2} -delta ^{2} } approx omega _{0} left(1-frac{1}{2} frac{delta ^{2} }{omega _{0}^{2} } right).
$$
Таким образом, при малом затухании резонансная частота практически совпадает с собственной, однако колебания при этом не являются гармоническими. Для гармонических колебаний должно соблюдаться условие $Ileft(tright)=Ileft(t+Tright)$, где $T$ — период колебания. В нашем случае $Ileft(tright)ne Ileft(t+Tright)$, и о периоде можно говорить лишь как о времени, через которое повторяются нули функции (рис. 20). Именно в этом смысле мы будем ниже использовать термин «период колебаний».

Введем понятия добротности $Q$ и логарифмического декремента затухания $gamma $ контура. Из отношение амплитуд $n$–того и $(n + k)$–го колебаний равно
$I_{n} I_{n+k}^{-1} = e^{kdelta T}$, где $T=2, pi omega ^{-1} $ — период колебания («повторения нулей»). Логарифмическим декрементом затухания $gamma $ называется величина
$$
gamma =delta , T=frac{1}{k} ln frac{I_{n} }{I_{n+k} } =ln frac{I_{n} }{I_{n+1} } .
$$
Из уравнения для тока видно, что величина $delta $ обратно пропорциональна времени, за которое амплитуда колебаний уменьшается в $e$ раз. Из последнего уравнения следует, что декремент затухания $gamma $ показывает уменьшение амплитуды за период колебания:
$$
gamma =delta , T=frac{2; pi , delta }{omega } .
$$
С логарифмическим коэффициентом затухания однозначно связан другой, более распространенный параметр, характеризующий колебательную систему, добротность $Q$.

Добротность контура $Q$ определяется соотношением
$$
Q=frac{omega _{0} L}{R} =frac{1}{omega _{0} CR} =frac{rho }{R},
$$
где $rho =sqrt{frac LC} $ (СИ).
Физический смысл добротности заключается в отношении запасенной в контуре энергии к энергии потерь за период колебания
$$
Q=omega cdot frac{W_0}{Delta W},
$$
откуда можно найти связь добротности с другими параметрами контура
$$
Q=frac{pi }{gamma } =frac{pi }{delta , T} =frac{omega }{2, delta } =omega frac{L}{R} mbox{ (СИ).}
$$

Экспериментально добротность определяется по резонансной кривой как отношение резонансной частоты $omega _{p} $ к полосе частот $2cdot Delta omega $, определяемой на уровне $U_{1,2} =pm frac{U_p}{sqrt{2}}$:
$$
Q=frac{omega _{з}}{2cdot Delta omega } =frac{f_{з}}{2cdot Delta f} ,
$$
где $U_{p} $ — амплитуда колебания на резонансной частоте контура. Величина $rho =sqrt{frac LC}$ называется характеристическим (волновым) сопротивлением контура.

При большом затухании, т.е. при $delta >omega _{0} $, величина $omega _{0}^{2} -delta ^{2} $ отрицательна, корень из нее мнимый. Такой случай называется апериодическим процессом. Общее решение, аналогичное, полученному ранее, будет иметь вид
$$
I=-frac{U_{0} }{Lsqrt{(delta ^{2} -omega _{0}^{2} )} } e^{-delta , , t} mbox{sh}sqrt{(delta ^{2} -omega _{0}^{2} )} , t.
$$
График этой функции приведен на рис. 21.

Критическим условием, при котором затухающие колебания переходят в апериодический процесс, является условие $delta =omega _{0} $. В этом случае решение общего уравнения имеет вид
$$
I=-frac{U_{0} }{omega L} (omega t)e^{-delta , t} , =-frac{U_{0} }{L} t, e^{-delta , t} .
$$
Остается добавить, что аналогичные параметры могут быть введены для любой резонансной колебательной системы независимо от ее физической природы (механические, термодинамические, электромагнитные, оптические, аэро– и гидродинамические системы).

Колебательный контур, рассмотренный в предыдущем разделе, представлял собой замкнутую электрическую цепь, в которой совершаются свободные колебания.

В случае вынужденных колебаний мы должны подводить к контуру электрическую энергию от внешнего источника (генератора). Есть много способов для подключения источника внешней энергии к контуру, которые сводятся к той или иной комбинации двух основных: в разрыв цепи контура (рис. 22, а) или параллельно емкостной и индуктивной ветвям контура (рис. 22,б).

В зависимости от способа включения различают соответственно последовательный (рис. 22,а) и параллельный (рис. 22,б) колебательные контуры. Они предъявляют разные требования к согласованию с генератором и нагрузкой. Поэтому нужно отличать собственные параметры контура от параметров нагруженного контура, получаемые с учетом влияния генератора и «нагрузки» (входного сопротивления той цепи, в которую включен контур). В параллельном контуре (рис. 22,б) возникает резонанс токов. Для его поддержания в качестве вынуждающей силы необходимо применение генератора стабильного тока. В последовательном контуре (рис. 22,а) имеет место резонанс напряжений, и для его поддержания должен применяться внешний генератор стабильного напряжения.

Закон Кирхгофа, позволяющий исследовать процессы в контуре (рис. 22,а) в зависимости от частоты, записывается в виде
$$
U=U_{R} +U_{L} +U_{C} =IR+iI(omega L-frac{1}{omega C} )=Icdot Z.
$$
Контур представляет для генератора некоторое комплексное сопротивление
$$
Z=R_L +icdot (omega L-frac{1}{omega C} ),
$$
$$
left|Zright| = sqrt{R_L^2 +(omega L-frac{1}{omega C})^2}, mbox{tg}varphi =frac{omega L-frac{1}{omega C} }{R_L}
$$
где $left|Zright|$ — модуль комплексного сопротивления; $R_{L}$ — омическое сопротивление катушки индуктивности; $varphi $ — сдвиг фазы между активным и реактивным сопротивлениями, равный сдвигу фазы между током $I$ в цепи и входным напряжением $U$.

Из последнего выражения видно, что сопротивление цепи будет минимально и равно активному сопротивлению $R_{L} $ на некоторой частоте $omega _{0} $, определяемой условием
$$
omega _0 L=frac{1}{omega _0 C} , mbox{ где } omega _{0} =frac{1}{sqrt{LC}} mbox{ (СИ).}
$$
Таким образом, на резонансной частоте сопротивление контура минимально, чисто активно, а ток в цепи совпадает по фазе с входным напряжением (напряжением генератора). Фактически это и есть определение резонанса в последовательном колебательном контуре.

Для практических целей представляет интерес исследовать поведение напряжений на реактивных элементах контура в зависимости от частоты генератора и определить его добротность $Q$.

Поскольку фазы $U_{L} $ и $U_{C} $ независимо от частоты всегда сдвинуты относительно тока $I$ на $+$ и $-90^{circ}$ соответственно, то достаточно исследовать зависимость от частоты их модулей. Это можно сделать исходя из уравнений
$$
U_{R} =IR, U_{L} =Iomega L, U_{C} =frac{I}{omega C}, I=frac{U}{Z} .
$$

Для примера раскроем уравнения для $I$ и $U_{L} $. Используя введенное для свободных колебаний понятие добротности $Q=left(omega _{0} RCright)^{-1}$, получим следующее выражение для тока в последовательном контуре:
$$
I=frac{U}{sqrt{R^{2} +(omega L-frac{1}{omega C} )^{2} } } =frac{U}{R} frac{1}{sqrt{1+Q^{2} (frac{omega }{omega _{0} } -frac{omega _{0} }{omega } )^{2} } } .
$$
Тогда напряжение на индуктивности будет равно
$$
U_{L} =omega LI=Ufrac{Qfrac{omega }{omega _{0} } }{sqrt{1+Q^{2} (frac{omega }{omega _{0} } -frac{omega _{0} }{omega } )^{2} } } .
$$

Аналогичное уравнение можно получить для напряжения на $C$. При $omega =omega _{0} $ напряжения на $L$ и $C$ будут равны $U_{L0} =U_{C0} =Qcdot U$, т.е. в $Q$ раз больше напряжения вынуждающей эдс.

На самом деле максимумы напряжения на элементах $L$ и $C$ несколько выше и смещены от резонансной частоты и выражаются следующими соотношениями:
$$
omega _{Lmax } =omega _{0} sqrt{frac{2}{2-frac{R^{2} C}{L} } } =omega _{0} sqrt{frac{2}{2-left(frac{1}{Q} right)^{2} } } , omega _{Cmax } =frac{omega _{0}^{2} }{omega _{L} } .
$$

При добротности контура $Q ge 10$ сдвиг частот максимумов $U_{L} $ и $U_{C} $ относительно резонансной частоты $omega _{0} $ не превышает 1% и экспериментально резонансную частоту и добротность можно определять по резонансной кривой любого из напряжений $U_{L} $ и $U_{C} $. Напряжение на реактивных элементах $U_{L} $ и $U_{C} $ при $omega =omega _{0} $ в $Q$ раз больше, чем входное напряжение $U$, поэтому резонанс в последовательном контуре называется резонансом напряжений.

Важно отметить, что для нашего анализа существенно, что само входное напряжение $U$ от частоты не зависит. В противном случае все параметры зависели бы не только от самого контура, но и от параметров источника сигнала. Как было показано в предыдущем параграфе, для этого выходное сопротивление генератора должно быть много меньше $R$.

Схема подключения параллельного контура представлена на рис. 21,б. Из–за комплексного характера нагрузки ток генератора является комплексной величиной. Поэтому модуль тока $I$ может оказаться меньше не только суммы модулей токов индуктивной и емкостной ветвей контура, но и каждого из них в отдельности. Именно это и происходит при резонансе в параллельном контуре: токи в индуктивной и емкостной ветвях контура в $Q$ раз больше, чем ток, потребляемый от генератора тока. Поэтому резонанс в параллельном контуре называется резонансом токов.

Комплексное сопротивление параллельного контура равно
$$
Z=frac{Z_{1} Z_{2} }{Z_{1} +Z_{2} } =
frac{(R_{L} +iomega L)(iomega C)^{-1}}{R_{L} +i(omega L-(omega C)^{-1} )} approx
frac{LC^{-1}}{R_{L} +i(omega L-(omega C)^{-1})} .
$$

Мы пренебрегли величиной $R_{L} $ в числителе, поскольку она в $Q$ раз меньше индуктивного сопротивления, но этого нельзя делать в знаменателе, поскольку при резонансе величина в скобках стремится к нулю.

Условие резонанса для параллельного контура то же, что и для последовательного — равенство реактивных сопротивлений ветвей с $L$ и $C$:
$$
omega _{0} L=frac{1}{omega _{0} C}, mbox{ где } omega _{0} =frac{1}{sqrt{LC} } mbox{ (СИ). }
$$
Таким образом, при резонансе сопротивление контура становится чисто активным и равным
$$
R_{э} =frac{L}{ C R_{L} } =frac{rho ^{2} }{R_{L} } ,
$$
где — $rho =sqrt{frac LC} $ волновое сопротивление контура.

Сопротивление $R_{э} $ отдельного физического эквивалента в контуре не имеет, а является комбинацией волнового сопротивления $rho $ и сопротивления потерь $R_{L} $. Поэтому оно не составляет отдельной ветви параллельного контура и не ответвляет в себя ток. Следовательно, «переносить» его куда–либо или к чему–нибудь «подсоединять» (например, к внутреннему сопротивлению источника тока) бессмысленно. На схеме это просто условное обозначение того факта, что на резонансной частоте параллельный колебательный контур представляет для внешнего генератора некоторое чисто активное сопротивление величиной $R_{э} $, а в формулах символическая запись определенной комбинации $rho $ и $R_{L} $, даваемой последней формулой.

Добротность параллельного контура
$$
Q=frac{omega _{0} L}{R_{L} } =frac{1}{R_{L} omega _{0} C} =frac{R_{э} }{rho } =R_{э} sqrt{frac{C}{L} } .
$$

Собственные параметры параллельного контура, т.е. резонансная частота $omega _{0} $ и добротность $Q$ будут такими же, как и в последовательном контуре при тех же $C$, $L$ и $R_{L}.$

Источник

В цепи, содержащей
реактивные элементы, произойдет резонанс,
если цепь имеет резистивный характер:

Lώ=l/ώC,
следовательно

,
угловая резонансная частота.

Из формулы видно,
что резонанс наступает, если частота
питающего генератора равна собственным
колебаниям контура.

При работе с
колебательным контуром необходимо
знать, совпадает ли частота генератора
и частота собственных колебаний контура.
Если частоты совпадают, то контур
остается настроенным в резонанс, если
не совпадает – то в контуре
присутствует расстройка.

Настроить
колебательный контур в резонанс можно
тремя способами:

1 Изменять частоту
генератора , при значениях емкости и
индуктивности const, то есть изменяя
частоту генератора мы подстраиваем эту
частоту под частоту колебательного
контура

2 Изменять
индуктивность катушки, при частоте
питания и емкости const;

3 Изменять емкость
конденсатора , при частоте питания и
индуктивности const.

Во втором и третьем
способе изменяя частоту собственных
колебаний контура, подстраиваем ее под
частоту генератора.

При ненастроенном
контуре частота генератора и контура
не равны, то есть присутствует расстройка.

Расстройка –
отклонение частоты от резонансной
частоты.

Существует три
вида расстройки:

Абсолютная –
разность между данной частотой и
резонансной

Обобщенная –
отношение реактивного сопротивления
к активному:

Относительная –
отношение абсолютной расстройки к
резонансной частоте:

При резонансе
все расстройки равны нулю,
если частота генератора меньше частоты
контура, то расстройка считается
отрицательной,

Если больше –
положительной.

Таким образом
добротность характеризует качество
контура, а обобщенная расстройка-
удаленность от резонансной частоты.

8.2 Построение
зависимостейX,
X_L,
X_C
от f.

При резонансе

реактивные сопротивления равны,
следовательно
.

При

— цепь носит емкостной характер,

— носит индуктивный
характер.

Задачи:

Сопротивление
контура 15 Ом, индуктивность 636 мкГн,
Емкость 600 пФ, напряжение питающей сети
1,8 В. Найти собственную частоту контура,
затухание контура, характеристическое
сопротивление, ток, активную мощность,
добротность, напряжение на зажимах
контура.

Решение:

Напряжение на
зажимах генератора 1 В, частота питающей
сети 1 МГц, добротность 100, емкость 100
пФ. Найти: затухание, характеристическое
сопротивление, активное сопротивление,
индуктивность, частоту контура, ток,
мощность, напряжения на емкости и
индуктивности.

Решение:

Тестовые задания:

Отношение
реактивного сопротивления к активному
это :

А) Абсолютная
расстройка;

Б) Обобщенная
расстройка;

В)
Относительная расстройка.

Тема занятия 9
: Входные и
передаточные АЧХ и ФЧХ последовательного
колебательного контура.

9.1 Входные АЧХ и
ФЧХ.

В последовательном
колебательном контуре:

,
где

R – активное
сопротивление;

X – реактивное
сопротивление.

Учитывая, что

,то

ώ=0 ζ=-∞ Z=∞

ώ=ώ۪۪ζ=0
Z=R

ώ=∞
ζ=∞
Z=∞, следовательно график имеет вид:

Из графика видно,
что контур обладает наименьшим
сопротивлением на резонансной частоте,
при увеличении расстройки сопротивление
увеличивается.

ζ=0 φ=0 R

ζ=1 φ=45° RL

ζ=-1 φ=-45° RC

ζ=∞ φ=90° L

ζ=-∞ φ=-90° C.

Построим график:

На участке ζ=[-1;1]

ФЧХ имеет линейный

характер.

На участке ζ=[-∞;0]
— цепь носит активно-емкостной характер;
На участке ζ=[0;∞]-
цепь носит frnbdyj-индуктивный
характер;
При ζ=0 — цепь
носит активный характер;

Передаточные АЧХ
и ФЧХ

передаточная
характеристика АЧХ

ζ=-∞
k=0

ζ=0 k=Q

ζ=∞ k=0

Построим график
зависимости:

Разделим k∕kо
и получим передаточную

характеристику
АЧХ в относительных

единицах, которая
имеет вид:

Чтобы построить
передаточную ФЧХ необходимо: построить
входную ФЧХ, взять её зеркальное ее
отображение и сместить на -90°.

На участке ζ=[-1;1]
– передаточная ФЧХ носит линейный
характер.

Источник

Резонансная частота.

Параллельный колебательный контур (рисунок 1) или последовательный колебательный контур (рисунок 2) могут использоваться в генераторах синусоидальных колебаний. Если в одной из этих схем зарядить конденсатор то он будет разряжаться заряжая катушку индуктивности, катушка разряжаясь будет заряжать конденсатор, этот процесс будет повторяться с определённым периодом T. Период это время одного колебания. Частота колебаний это величина обратная периоду. Разделив единицу на численное значение периода получим численное значение частоты.

Рисунок 1 — Параллельный колебательный контур

Рисунок 2 — Последовательный колебательный контур

Частота возникших колебаний называется собственной частотой колебаний контура для контуров изображённых на рисунках выше эта частота равна резонансной частоте этих контуров. Резонансная частота контура зависит от индуктивности L и ёмкости C её элементов, для колебательного контура (последовательного или параллельного) её можно найти по формуле:

Где L-индуктивность катушки контура, C-ёмкость конденсатора контура.
Если на параллельный или последовательный колебательный контур подавать переменное синусоидальное напряжение и изменять его частоту то будут меняться реактивные сопротивления элементов контура, если частота увеличивается то сопротивление конденсатора уменьшается а сопротивление катушки увеличивается и наоборот: если частота уменьшается то сопротивление конденсатора увеличивается а сопротивление катушки уменьшается, очевидно что есть такая частота при которой сопротивление катушки и конденсатора равны эта частота и есть резонансная. Сопротивление параллельного колебательного контура при этой частоте будет наибольшим (по сравнению с сопротивлениями этого контура при других частотах) а сопротивление последовательного колебательного контура при такой частоте будет наименьшим. Эти свойства контуров используют для построения фильтров например в полосно-пропускающем фильтре последовательно с нагрузкой ставиться последовательный контур и при подаче на это соединение (нагрузки и контура) переменного напряжения с резонансной частотой ток в нагрузке будет максимальным при других частотах ток будет меньше. Резонанс в параллельном контуре называют — резонансом токов, резонанс в последовательном контуре — резонансом напряжений. Можно простым способом определить каким будет сопротивление контура при резонансной частоте: например допустим что на параллельный колебательный контур подаётся постоянный ток, постоянный ток можно считать частным случаем переменного короче говоря постоянный ток это переменный с наименьшей возможной частотой, известно что при постоянном токе катушка действует как перемычка следовательно сопротивление контура будет равно нулю если резонансная частота не бесконечно мала (т.е. не постоянный ток) и сопротивление есть то оно больше нуля (т.е. сопротивления при постоянном токе) следовательно сопротивление параллельного колебательного контура на резонансной частоте максимальное а у последовательного контура наоборот. Зная то что конденсатор постоянный ток не пропускает, можно аналогично определить каким д.б. сопротивление последовательного контура на резонансной частоте. Выведем формулу для расчёта резонансной частоты зная то что при резонансе реактивные сопротивления элементов (катушки и конденсатора) контура равны:

Для расчёта резонансной частоты и периода колебаний колебательного контура с катушкой и конденсатором можно воспользоваться программой:

Источник