Скалярное произведение как найти задание - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Скалярное произведение векторов

Формула

Пусть даны векторы $ overline{a} = (a_x; a_y) $ и $ overline{b} = (b_x; b_y) $. Как найти скалярное произведение векторов? Для того, чтобы найти скалярное произведение векторов необходимо воспользоваться формулой: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y $$ Стоит заметить, что скалярное произведение записывается в скобках, в которых векторы записываются через запятую. Данное обозначение широко применяется в математике и его нужно запомнить.

Если в задаче векторы заданы тремя координатами (в пространстве), то найти скалярное произведение векторов нужно по другой формуле, основанной на предыдущей. Но с тем же смыслом: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y + a_z cdot b_z $$

По сути скалярное произведение – это сумма произведений соответствующих координат данных векторов. Первая координата умножается на первую, вторая на вторую и затем произведения суммируются.

Примеры решений

Пример 1

Найти скалярное произведение векторов $ overline{a} = (-1;2) $ и $ overline{b} = (2;1) $

Решение

В данном примере векторы заданы двумя координатами, поэтому применяем первую формулу для плоской задачи. Умножаем соответствующие координаты, а потом складываем их:

$$ (overline{a},overline{b}) = -1 cdot 2 + 2 cdot 1 = -2 + 2 = 0 $$

Произведение получилось равным нулю, а это кстати означает, что векторы оказались ортогональными (перпендикулярными) друг к другу.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ (overline{a},overline{b}) = 0 $$

Пример 2

В пространстве заданы начала и концы векторов: $$ A = (1;3;-2), B = (-1;4;1), C = (2; 1; -2) $$ Требуется найти скалярное произведение векторов $ overline{AB} $ и $ overline{AC} $.

Решение

В примеры решения данной задачи даны только точки и сразу вычислить произведение векторов не представляется возможным. Сначала нужно найти сами векторы $ overline{AB} $ и $ overline{AC} $. Вычисляются они с помощью разности соответствующих координат точек (из конца вычитается начало вектора):

$$ overline{AB} = (-1 — 1; 4-3; 1-(-2)) = (-2; 1; 3) $$

$$ overline{AC} = (2 — 1; 1 — 3; -2 — (-2)) = (1; -2; 0) $$

Теперь, когда необходимые векторы найдены, то вычисляем их произведение:

$$ (overline{AB},overline{AC}) = -2 cdot 1 + 1 cdot (-2) + 3 cdot 0 = -2-2+0 = -4 $$

Ответ

$$ (overline{AB},overline{AC}) = -4 $$

В статье мы ответили на вопрос: «Как найти скалярное произведение векторов?», а так же привели формулы и примеры решений задач.

Источник

Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач

Пример
1.

Найти
скалярное произведение векторов a =
{1; 2} и b =
{4; 8}.

Решение: a · b =
1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Пример
2.

Найти
скалярное произведение векторов a и b,
если их длины |a| = 3,
|b| = 6,
а угол между векторами равен 60˚.

Решение: a · b =
|a|
· |b| cos
α =
3 · 6 · cos 60˚
= 9.

Пример
3.

Найти
скалярное произведение векторов p = a +
3b и q =
5a —
3 b,
если их длины |a|
= 3, |b|
= 2, а угол между векторами a и b равен
60˚.

Решение:

p · q =
(a +
3b)
· (5a —
3b)
= 5 a · a —
3 a · b +
15 b · a —
9 b · b =

=
5 |a|² +
12 a · b —
9 |b|² =
5 · 3² +
12 · 3 · 2 · cos 60˚
— 9 · 2² =
45 +36 -36 = 45.

Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач

Пример
4.

Найти
скалярное произведение векторов a =
{1; 2; -5} и b =
{4; 8; 1}.

Решение: a · b =
1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 — 5 = 15.

Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов

Пример
5.

Найти
скалярное произведение векторов a =
{1; 2; -5; 2} и b =
{4; 8; 1; -2}.

Решение: a · b =
1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 — 5 -4 = 11.

Векторний
добуток векторів, властивості.
Геометричний та фізичний зміст.
Обчислення векторного добутку за
відомими координатами векторів-множників.

Векторное произведение векторов и его свойства

Вектор называется векторным
произведением неколлинеарных
векторов и ,
если:

1)
его длина равна произведению длин
векторов и на
синус угла между ними: (рис.1.42);

2)
вектор ортогонален
векторам и ;

3)
векторы , , (в
указанном порядке) образуют правую
тройку.

Векторное
произведение коллинеарных векторов (в
частности, если хотя бы один из множителей
— нулевой вектор) считается равным
нулевому вектору.

Векторное
произведение обозначается (или ).

Алгебраические свойства векторного произведения

Для
любых векторов , , и
любого действительного числа :

1. ;

2. ;

3. .

Первое
свойство определяет антисимметричность
векторного произведения, второе и третье
— аддитивность и однородность по первому
множителю. Эти свойства аналогичны
свойствам произведения чисел: первое
свойство «противоположно» закону
коммутативности умножения чисел (закон
антикоммутативности), второе свойство
соответствует закону дистрибутивности
умножения чисел по отношению к сложению,
третье — закону ассоциативности
умножения. Поэтому рассматриваемая
операция и называется произведением
векторов. Поскольку ее результатом
является вектор, то такое произведение
векторов называется векторным.

Докажем
первое свойство, предполагая, что
векторы и не
коллинеарны (в противном случае обе
части доказываемого равенства равны
нулевому вектору). По определению
векторы и имеют
равные длины и
коллинеарны (так как оба вектора
перпендикулярны одной плоскости). По
определению тройки векторов и —
правые, т.е. вектор направлен
так, что кратчайший поворот
от к происходит
в положительном направлении (против
часовой стрелки), если смотреть из конца
вектора ,
а вектор направлен
так, что кратчайший поворот
от к происходит
в положительном направлении, если
смотреть из конца вектора (рис.
1.43). Это означает, что векторы и противоположно
направлены. Следовательно, ,
что и требовалось доказать. Доказательство
остальных свойств приведено ниже (см.
пункт 1 замечаний 1.13).

Замечания
1.12

1. Свойства
аддитивности и однородности векторного
произведения означают линейность
векторного произведения по первому
множителю:

для
любых векторов и
любых действительных чисел и .

2. В
силу антисимметричности векторное
произведение линейно и по второму
множителю, т.е. линейно по любому
множителю.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти скалярное произведение двух векторов, перечислим свойства этого действия, а также разберем примеры решения задач.

Нахождение скалярного произведения векторов
Свойства скалярного произведения векторов
Примеры задач

Нахождение скалярного произведения векторов

Скалярное произведение векторов a и b – это скалярная величина, которая равняется произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними.

a · b = |a| · |b| · cos α.

Примечание: скалярной называется величина, значений которой можно выразить одним числом (чаще всего, действительным).

С алгебраической точки зрения, скалярное произведение двух векторов – это сумма попарного произведения соответствующих координат этих векторов.

Формулы скалярного произведения векторов с заданными координатами


Двухмерное пространство	a · b = a_x · b_x + a_y · b_y
Трехмерное пространство	a · b = a_x · b_x + a_y · b_y + a_z · b_z
n-мерное пространство	a · b = a₁ · b₁ + a₂ · b₂ + … + a_n · b_n

Свойства скалярного произведения векторов

1. Если вектор умножить на себя же, то результат всегда будет больше или равен нулю.

a · a ≥ 0

Примечание: ноль получается исключительно в том случае, когда вектор является нулевым.

a · a = 0, если a = 0

2. При умножении вектора на самого себя получается квадрат его длины (модуля).

a · a = |a|²

3. Для скалярного произведения применим переместительный закон:

a · b = b · a

4. Если два ненулевых вектора ортогональны, их скалярное произведение равняется нулю.

a ⟂ b, a ≠ 0, b ≠ 0 <=> a · b = 0

5. Сочетательный закон:

(α · a) · b = α · (a · b)

6. Дистрибутивность скалярного произведения:

(a + b) · c = a · c + b · c

Примеры задач

Задание 1
Найдем скалярное произведение векторов a = {6; 2} и b = {1; 9}.

Решение:
a · b = 6 · 1 + 2 · 9 = 24

Задание 2
Известны длины векторов (|a| = 5, |b| = 12) и угол между ними (α = 45°). Вычислим их скалярное произведение.

Решение:
a · b = 5 · 12 · cos 45° ≈ 42,4264

Источник

Примеры решения задач[править]

Вычисление скалярного произведения[править]

В простейшем случае известны координаты векторов в ортонормированной системе координат.
Тогда скалярное произведение вычисляется как сумма произведения одноименных координат.

Смотри также Скалярное произведение векторов

Пример 1[править]

В равностороннем треугольнике длины сторон равны 1.
Вычислить .

${displaystyle {begin{aligned}{overrightarrow {AB}}cdot {overrightarrow {BC}}+{overrightarrow {BC}}cdot {overrightarrow {CA}}+{overrightarrow {CA}}cdot {overrightarrow {AB}}&=|{overrightarrow {AB}}||{overrightarrow {BC}}|cos({widehat {{overrightarrow {AB}},{overrightarrow {BC}}}})+|{overrightarrow {BC}}||{overrightarrow {CA}}|cos({widehat {{overrightarrow {BC}},{overrightarrow {CA}}}})+|{overrightarrow {CA}}||{overrightarrow {AB}}|cos({widehat {{overrightarrow {CA}},{overrightarrow {AB}}}})=\&=1cdot 1cdot cos {frac {pi }{3}}2+1cdot 1cdot cos {frac {pi }{3}}2+1cdot 1cdot cos {frac {pi }{3}}2=-{frac {3}{2}}end{aligned}}}$

Пример 2[править]

Даны два неколлинеарных вектора и .
Найти вектор компланарный векторам и и удовлетворяющий системе уравнений

${displaystyle {begin{cases}mathbf {a} cdot mathbf {x} =1\mathbf {b} cdot mathbf {x} =0end{cases}}}$

Поскольку векторы и неколлинеарны, то они образуют базис на плоскости.
Любой компланарный им вектор можно представить в виде

Поэтому исходную систему можно переписать в виде

${displaystyle {begin{cases}mathbf {a} cdot (lambda mathbf {a} +mu mathbf {b} )=1\mathbf {b} cdot (lambda mathbf {a} +mu mathbf {b} )=0end{cases}}quad {begin{cases}lambda (mathbf {a} cdot mathbf {a} )+mu (mathbf {a} cdot mathbf {b} )=1\lambda (mathbf {b} cdot mathbf {a} )+mu (mathbf {b} cdot mathbf {b} )=0end{cases}}}$

Решение этой системы

${displaystyle {begin{cases}lambda ={frac {mathbf {b} cdot mathbf {b} }{(mathbf {a} cdot mathbf {a} )(mathbf {b} cdot mathbf {b} )-(mathbf {a} cdot mathbf {b} )^{2}}}\mu ={frac {-(mathbf {a} cdot mathbf {b} )}{(mathbf {a} cdot mathbf {a} )(mathbf {b} cdot mathbf {b} )-(mathbf {a} cdot mathbf {b} )^{2}}}\end{cases}}}$

Таким образом искомый вектор

${displaystyle mathbf {x} ={frac {(mathbf {b} cdot mathbf {b} )mathbf {a} +(mathbf {a} cdot mathbf {b} )mathbf {b} }{(mathbf {a} cdot mathbf {a} )(mathbf {b} cdot mathbf {b} )-(mathbf {a} cdot mathbf {b} )^{2}}}}$

Геометрический смысл скалярного произведения[править]

Длина вектора связана со скалярным произведением формулой .
Если вектор задан своими координатами ${displaystyle mathbf {a} ={a_{1},a_{2},a_{3}}}$ в ортонормированной системе координат, то
${displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {a} =a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$ .

Таким образом

${displaystyle |mathbf {a} |={sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}}$

Смотри также Длина вектора

Во многих случаях необходимо получить единичный вектор , имеющий то же направление, что и заданный ненулевой вектор .
Эта задача называется нормализацией вектора.
Поскольку искомый вектор имеет то же направление, то .

Откуда ${displaystyle k={tfrac {1}{|mathbf {a} |}}}$

Смотри также Нормализация вектора

Угол между ненулевыми векторами связан со скалярным произведением формулой

${displaystyle cos({widehat {mathbf {a} ,mathbf {b} }})={frac {mathbf {a} cdot mathbf {b} }{|mathbf {a} ||mathbf {b} |}}}$

Если векторы заданы своими координатами ${displaystyle mathbf {a} ={a_{1},a_{2},a_{3}}}$ и ${displaystyle mathbf {b} ={b_{1},b_{2},b_{3}}}$ в ортонормированной системе координат,

${displaystyle cos({widehat {mathbf {a} ,mathbf {b} }})={frac {a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{{sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}{sqrt {b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}}}}$

Смотри также Найти угол между векторами

Пример 3[править]

Дан параллелограмм .
Длины его сторон , угол .
Вычислить длину диагонали параллелограмма
и найти косинусы углов между диагональю и сторонами параллелограмма.

Очевидно .
Поэтому длина диагонали

${displaystyle {begin{aligned}d&=|{overrightarrow {OC}}|=|{overrightarrow {OA}}+{overrightarrow {OB}}|={sqrt {({overrightarrow {OA}}+{overrightarrow {OB}})cdot ({overrightarrow {OA}}+{overrightarrow {OB}})}}=\&={sqrt {{overrightarrow {OA}}cdot {overrightarrow {OA}}+{overrightarrow {OB}}cdot {overrightarrow {OA}}+{overrightarrow {OA}}cdot {overrightarrow {OB}}+{overrightarrow {OB}}cdot {overrightarrow {OB}}}}=\&={sqrt {|{overrightarrow {OA}}|+|{overrightarrow {OB}}|+2|{overrightarrow {OA}}||{overrightarrow {OB}}|cos({widehat {{overrightarrow {OA}},{overrightarrow {OB}}}})}}={sqrt {a^{2}+b^{2}+2abcos alpha }}end{aligned}}}$

Углы между диагональю и сторонами

${displaystyle {begin{aligned}cos({widehat {{overrightarrow {OA}},{overrightarrow {OC}}}})&={frac {{overrightarrow {OA}}cdot {overrightarrow {OC}}}{|{overrightarrow {OA}}||{overrightarrow {OC}}|}}={frac {{overrightarrow {OA}}cdot ({overrightarrow {OA}}+{overrightarrow {OB}})}{|{overrightarrow {OA}}||{overrightarrow {OC}}|}}={frac {|{overrightarrow {OA}}|^{2}+{overrightarrow {OA}}cdot {overrightarrow {OB}}}{|{overrightarrow {OA}}||{overrightarrow {OC}}|}}={frac {a^{2}+abcos alpha }{a{sqrt {a^{2}+b^{2}+2abcos alpha }}}}=\&={frac {a+bcos alpha }{sqrt {a^{2}+b^{2}+2abcos alpha }}}end{aligned}}}$

${displaystyle {begin{aligned}cos({widehat {{overrightarrow {OB}},{overrightarrow {OC}}}})&={frac {{overrightarrow {OB}}cdot {overrightarrow {OC}}}{|{overrightarrow {OB}}||{overrightarrow {OC}}|}}={frac {{overrightarrow {OB}}cdot ({overrightarrow {OA}}+{overrightarrow {OB}})}{|{overrightarrow {OB}}||{overrightarrow {OC}}|}}={frac {{overrightarrow {OB}}cdot {overrightarrow {OA}}+|{overrightarrow {OB}}|^{2}}{|{overrightarrow {OB}}||{overrightarrow {OC}}|}}={frac {abcos alpha +b^{2}}{b{sqrt {a^{2}+b^{2}+2abcos alpha }}}}=\&={frac {acos alpha +b}{sqrt {a^{2}+b^{2}+2abcos alpha }}}end{aligned}}}$

Задачи для самостоятельного решения[править]

В треугольнике проведены медианы . Вычислить .
Даны три некомпланарных вектора , и . Найти вектор , удовлетворяющий системе уравнений
${displaystyle {begin{cases}mathbf {a} cdot mathbf {x} =1\mathbf {b} cdot mathbf {x} =0\mathbf {c} cdot mathbf {x} =0end{cases}}}$
Вычислить длину диагонали параллелепипеда и найти косинусы углов, образуемых диагональю с рёбрами , если известны длины его рёбер , , и углы , , .

Источник

Содержание:

Формула
Примеры вычисления скалярного произведения векторов

Формула

Для того чтобы найти скалярное произведение двух векторов, заданных своими
координатами, необходимо вычислить сумму произведений
соответствующих координат этих векторов. Для случая, если векторы заданны на плоскости координатами $bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y}right)$, имеет место формула:

$$(bar{a}, bar{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}$$

Если же векторы заданы в пространстве своими координатами: $bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)$ соответственно, то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

$$(bar{a}, bar{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}$$

Примеры вычисления скалярного произведения векторов

Пример

Задание. Найти скалярное произведение векторов $bar{a}=(1 ;-3)$ и $bar{b}=(-2 ;-3)$

Решение. Векторы заданны на плоскости, поэтому для вычисления их скалярного произведения воспользуемся формулой

$$(bar{a}, bar{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}$$

Подставляя координаты заданных векторов, получим

$$(bar{a}, bar{b})=1 cdot(-2)+(-3) cdot(-3)=-2+9=7$$

Ответ. $(bar{a}, bar{b})=7$ lt /$>

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. В пространстве заданы точки
$A(-1 ;-2 ; 5), B(-3 ; 2 ; 1)$ и $C(0 ; 1 ;-1)$ . Найти скалярное произведение векторов
$overline{A B}$ и
$overline{A C}$

Решение. Найдем сначала координаты векторов
$overline{A B}$ и
$overline{A C}$ . Для этого из координат конца вычислим соответствующие
координаты начала, получим:

$$overline{A B}=(-3-(-1) ; 2-(-2) ; 1-5)=(-2 ; 4 ;-4)$$
$$overline{A C}=(0-(-1) ; 1-(-2) ;-1-5)=(1 ; 3 ;-6)$$

Далее воспользуемся формулой для вычисления скалярного произведения векторов, заданных в пространстве:

$$(bar{a}, bar{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}$$

Получим

$$(overline{A B}, overline{A C})=(-2) cdot 1+4 cdot 3+(-4)(-6)=-2+12+24=34$$

Ответ. $(overline{A B}, overline{A C})=34$

Читать дальше: как найти векторное произведение векторов.

Источник