Статистика как найти середину интервала в статистике

По данным выборочного обследования произведена группировка вкладчиков по размеру вклада в Сбербанке города:

Определите:

1) размах вариации;

2) средний размер вклада;

3) среднее линейное отклонение;

4) дисперсию;

5) среднее квадратическое отклонение;

6) коэффициент вариации вкладов.

Решение:

Данный ряд распределения содержит открытые интервалы. В таких рядах условно принимается величина интервала первой группы равна величине интервала последующей, а величина интервала последней группы равна величине интервала предыдущей.

Величина интервала второй группы равна 200, следовательно, и величина первой группы также равна 200. Величина интервала предпоследней группы равна 200, значит и последний интервал будет иметь величину, равную 200.

1) Определим размах вариации как разность между наибольшим и наименьшим значением признака:

Размах вариации размера вклада равен 1000 рублей.

2) Средний размер вклада определим по формуле средней арифметической взвешенной.

Предварительно определим дискретную величину признака в каждом интервале. Для этого по формуле средней арифметической простой найдём середины интервалов.

Среднее значение первого интервала будет равно:

второго — 500 и т. д.

Занесём результаты вычислений в таблицу:

Размер вклада, руб.	Число вкладчиков, f	Середина интервала, х	xf
200-400	32	300	9600
400-600	56	500	28000
600-800	120	700	84000
800-1000	104	900	93600
1000-1200	88	1100	96800
Итого	400	—	312000

Средний размер вклада в Сбербанке города будет равен 780 рублей:

3) Среднее линейное отклонение есть средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений признака от общей средней:

Порядок расчёта среднего линейонго отклонения в интервальном ряду распределения следующий:

1. Вычисляется средняя арифметическая взвешенная, как показано в п. 2).

2. Определяются абсолютные отклонения вариант от средней:

3. Полученные отклонения умножаются на частоты:

4. Находится сумма взвешенных отклонений без учёта знака:

5. Сумма взвешенных отклонений делится на сумму частот:

Удобно пользоваться таблицей расчётных данных:

Размер вклада, руб.	Число вкладчиков, f	Середина интервала, х
200-400	32	300	-480	480	15360
400-600	56	500	-280	280	15680
600-800	120	700	-80	80	9600
800-1000	104	900	120	120	12480
1000-1200	88	1100	320	320	28160
Итого	400	—	—	—	81280

Среднее линейное отклонение размера вклада клиентов Сбербанка составляет 203,2 рубля.

4) Дисперсия — это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от средней арифметической.

Расчёт дисперсии в интервальных рядах распределения производится по формуле:

Порядок расчёта дисперсии в этом случае следующий:

1. Определяют среднюю арифметическую взвешенную, как показано в п. 2).

2. Находят отклонения вариант от средней:

3. Возводят в квадрат отклонения каждой варианты от средней:

4. Умножают квадраты отклонений на веса (частоты):

5. Суммируют полученные произведения:

6. Полученная сумма делится на сумму весов (частот):

Расчёты оформим в таблицу:

Размер вклада, руб.	Число вкладчиков, f	Середина интервала, х
200-400	32	300	-480	230400	7372800
400-600	56	500	-280	78400	4390400
600-800	120	700	-80	6400	768000
800-1000	104	900	120	14400	1497600
1000-1200	88	1100	320	102400	9011200
Итого	400	—	—	—	23040000

Самым распространенным видом средней является средняя арифметическая.

Средняя арифметическая простая

Простая среднеарифметическая величина представляет собой среднее слагаемое, при определении которого общий объем данного признака в данных поровну распределяется между всеми единицами, входящими в данную совокупность. Так, среднегодовая выработка продукции на одного работающего — это такая величина объема продукции, которая приходилась бы на каждого работника, если бы весь объем выпущенной продукции в одинаковой степени распределялся между всеми сотрудниками организации. Среднеарифметическая простая величина исчисляется по формуле:

Простая средняя арифметическая
— Равна отношению суммы индивидуальных значений признака к количеству признаков в совокупности

Пример 1.
Бригада из 6 рабочих получает в месяц 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 тыс.руб.

Найти среднюю заработную плату
Решение: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 тыс. руб.

Средняя арифметическая взвешенная

Если объем совокупности данных большой и представляет собой ряд распределения, то исчисляется взвешенная среднеарифметическая величина. Так определяют средневзвешенную цену за единицу продукции: общую стоимость продукции (сумму произведений ее количества на цену единицы продукции) делят на суммарное количество продукции.

Представим это в виде следующей формулы:

Взвешенная средняя арифметическая
— равна отношению (суммы произведений значения признака к частоте повторения данного признака) к (сумме частот всех признаков).Используется, когда варианты исследуемой совокупности встречаются неодинаковое количество раз.

Пример 2.
Найти среднюю заработную плату рабочих цеха за месяц

Средняя заработная плата может быть получена путем деления общей суммы заработной платы на общее число рабочих:

Ответ: 3,35 тыс.руб.

Средняя арифметическая для интервального ряда

При расчете средней арифметической для интервального вариационного ряда сначала определяют среднюю для каждого интервала, как полусумму верхней и нижней границ, а затем — среднюю всего ряда. В случае открытых интервалов значение нижнего или верхнего интервала определяется по величине интервалов, примыкающих к ним.

Средние, вычисляемые из интервальных рядов являются приближенными.

Пример 3
. Определить средний возраст студентов вечернего отделения.

Средние, вычисляемые из интервальных рядов являются приближенными. Степень их приближения зависит от того, в какой мере фактическое распределение единиц совокупности внутри интервала приближается к равномерному.

При расчете средних в качестве весов могут использоваться не только абсолютные, но и относительные величины (частость):

Средняя арифметическая обладает целым рядом свойств, которые более полно раскрывают ее сущность и упрощают расчет:

1. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты, т.е.

2.Средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических этих величин:

3.Алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней равна нулю:

4.Сумма квадратов отклонений вариантов от средней меньше, чем сумма квадратов отклонений от любой другой произвольной величины , т.е.

При статистической обработке итогов изысканий самого различного рода полученные значения зачастую группируются в последовательность промежутков. Для расчета обобщающих колляций таких последовательностей изредка доводится вычислять середину
интервала
– «центральную варианту». Способы ее расчета довольно примитивны, но имеют некоторые особенности, вытекающие как из применяемой для измерения шкалы, так и из нрава группировки (открытые либо закрытые промежутки).

Инструкция

1.
Если промежуток является участком постоянной числовой последовательности, то для нахождения ее середины используйте обыкновенные математические способы вычисления среднеарифметического значения. Минимальное значение интервала
(его предисловие) сложите с максимальным (окончанием) и поделите итог напополам – это один из методов вычисления среднеарифметического значения. Скажем, это правило применимо, когда речь идет о возрастных интервала
х. Скажем, серединой возрастного интервала
в диапазоне от 21 года до 33 лет будет отметка в 27 лет, потому что (21+33)/2=27.

2.
Изредка бывает комфортнее применять иной способ вычисления среднеарифметического значения между верхней и нижней границами интервала
. В этом варианте вначале определите ширину диапазона – отнимите от максимального значения минимальное. После этого поделите полученную величину напополам и прибавьте итог к минимальному значению диапазона. Скажем, если нижняя граница соответствует значению 47,15, а верхняя – 79,13, то ширина диапазона составит 79,13-47,15=31,98. Тогда серединой интервала
будет 63,14, потому что 47,15+(31,98/2) = 47,15+15,99 = 63,14.

3.
Если промежуток не является участком обыкновенной числовой последовательности, то вычисляйте его середину
в соответствии с повторяемостью и размерностью применяемой измерительной шкалы. Скажем, если речь идет об историческом периоде, то серединой интервала
будет являться определенная календарная дата. Так для интервала
с 1 января 2012 года по 31 января 2012 серединой будет дата 16 января 2012.

4.
Помимо обыкновенных (закрытых) промежутков статистические способы изысканий могут оперировать и «открытыми». У таких диапазонов одна из границ не определена. Скажем, открытый промежуток может быть задан формулировкой «от 50 лет и старше». Середина в этом случае определяется способом аналогий – если все остальные диапазоны рассматриваемой последовательности имеют идентичную ширину, то предполагается, что и данный открытый промежуток имеет такую же размерность. В отвратном случае вам нужно определить динамику метаморфозы ширины промежутков, предшествующих открытому, и вывести его условную ширину, исходя из полученной склонности метаморфозы.

Изредка в повседневной деятельности может появиться надобность обнаружить середину
отрезка прямой линии. Скажем, если предстоит сделать выкройку, эскиз изделия либо легко распилить на две равные части деревянный брусок. На поддержка приходит геометрия и немножко житейской смекалки.

Вам понадобится

• Циркуль, линейка; булавка, карандаш, нить

Инструкция

1.
Воспользуйтесь обыкновенными инструментами, предуготовленными для измерения длины. Это самый легкой метод разыскать середину
отрезка. Измерьте линейкой либо рулеткой длину отрезка, поделите полученное значение напополам и отмерьте от одного из концов отрезка полученный итог. Вы получите точку, соответствующую середине отрезка.

2.
Существует больше точный метод нахождения середины отрезка, вестимый из курса школьной геометрии. Для этого возьмите циркуль и линейку, причем линейку может заменить всякий предмет подходящей длины с ровной стороной.

3.
Установите расстояние между ножками циркуля так, дабы оно было равным длине отрезка либо же огромным, чем половина отрезка. После этого поставьте иглу циркуля в один из концов отрезка и проведите полуокружность так, дабы она пересекала отрезок. Переставьте иглу в иной конец отрезка и, не меняя размах ножек циркуля, проведите вторую полуокружность верно таким же образом.

4.
Вы получили две точки пересечения полуокружностей по обе стороны от отрезка, середину
которого мы хотим обнаружить. Объедините эти две точки при помощи линейки либо ровного бруска. Соединительная линия пройдет в точности посередине отрезка.

5.
Если под рукой не оказалось циркуля либо длина отрезка значительно превышает возможный размах его ножек, дозволено воспользоваться простым приспособлением из подручных средств. Изготовить его дозволено из обыкновенной булавки, нитки и карандаша. Привяжите концы нитки к булавке и карандашу, при этом длина нитки должна немножко превышать длину отрезка. Таким импровизированным заменителем циркуля остается проделать шаги, описанные выше.

Видео по теме

Полезный совет

Довольно верно обнаружить середину доски либо бруска вы можете, использовав обыкновенную нитку либо шнур. Для этого отрежьте нить так, дабы она соответствовала длине доски либо бруска. Остается сложить нить верно напополам и разрезать на две равные части. Приложите один конец полученной мерки к концу измеряемого предмета, а 2-й конец будет соответствовать его середине.

При статистической обработке результатов исследований самого разного рода полученные значения часто группируются в последовательность интервалов. Для расчета обобщающих характеристик таких последовательностей иногда приходится вычислять середину
интервала
— «центральную варианту». Методы ее расчета достаточно просты, но имеют некоторые особенности, вытекающие как из используемой для измерения шкалы, так и из характера группировки (открытые или закрытые интервалы).

Инструкция

Если интервал является участком непрерывной числовой последовательности, то для нахождения ее середины используйте обычные математические методы вычисления среднеарифметического значения. Минимальное значение интервала
(его начало) сложите с максимальным (окончанием) и разделите результат пополам — это один из способов вычисления среднеарифметического значения. Например, это правило применимо, когда речь идет о возрастных интервала
х. Скажем, серединой возрастного интервала
в диапазоне от 21 года до 33 лет будет отметка в 27 лет, так как (21+33)/2=27.

Иногда бывает удобнее использовать другой метод вычисления среднеарифметического значения между верхней и нижней границами интервала
. В этом варианте сначала определите ширину диапазона — отнимите от максимального значения минимальное. Затем поделите полученную величину пополам и прибавьте результат к минимальному значению диапазона. Например, если нижняя граница соответствует значению 47,15, а верхняя — 79,13, то ширина диапазона составит 79,13-47,15=31,98. Тогда серединой интервала
будет 63,14, так как 47,15+(31,98/2) = 47,15+15,99 = 63,14.

Если интервал не является участком обычной числовой последовательности, то вычисляйте его середину
в соответствии с цикличностью и размерностью используемой измерительной шкалы. Например, если речь идет об историческом периоде, то серединой интервала
будет являться определенная календарная дата. Так для интервала
с 1 января 2012 года по 31 января 2012 серединой будет дата 16 января 2012.

Кроме обычных (закрытых) интервалов статистические методы исследований могут оперировать и «открытыми». У таких диапазонов одна из границ не определена. Например, открытый интервал может быть задан формулировкой «от 50 лет и старше». Середина в этом случае определяется методом аналогий — если все остальные диапазоны рассматриваемой последовательности имеют одинаковую ширину, то предполагается, что и этот открытый интервал имеет такую же размерность. В противном случае вам надо определить динамику изменения ширины интервалов, предшествующих открытому, и вывести его условную ширину, исходя из полученной тенденции изменения.

При расчете средней арифметической для
интервального вариационного ряда
сначала определяют среднюю для каждого
интервала, как полусумму верхней и
нижней границ, а затем — среднюю всего
ряда. В случае открытых интервалов
значение нижнего или верхнего интервала
определяется по величине интервалов,
примыкающих к ним.

Пример
3

. Определить
средний возраст студентов вечернего
отделения.

Возраст в годах	Число студентов	Среднее значение интервала	Произведение середины интервала (возраст) на число студентов
до 20		(18 + 20) / 2 =19 18 в данном случае граница нижнего интервала. Вычисляется как 20 — (22-20)
20 — 22		(20 + 22) / 2 = 21
22 — 26		(22 + 26) / 2 = 24
26 — 30		(26 + 30) / 2 = 28
30 и более		(30 + 34) / 2 = 32
Итого

Средние, вычисляемые из интервальных
рядов являются приближенными.

1. Структурные средние величины

Кроме степенных средних в статистике
для относительной характеристики
величины варьирующего признака и
характеристики рядов распределения
пользуются структурными средними: модой
и медианой.

Мода
— это наиболее часто
встречающийся вариант ряда. Мода
применяется, например, при определении
размера одежды, обуви, пользующейся
наибольшим спросом у покупателей.

Модой для дискретного ряда является
варианта, обладающая наибольшей частотой.

При вычислении моды для интервального
вариационного ряда необходимо:

сначала определить модальный интервал
(по максимальной частоте),

затем — значение модальной величины
признака по формуле:

Определение моды графически:
Мода определяется по гистограмме
распределения. Для этого

правую вершину модального
прямоугольника соединяют с правым
верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую
вершину модального прямоугольника —
с левым верхним углом
последующего прямоугольника. Абсцисса
точки пересечения этих прямых и будет
модой распределения.

Медиана

Медиана
— это значение признака,
который делит вариационный ряд на две
равные по численности части.

Медиана для дискретного ряда.

Для определения медианы в дискретном
ряду
с нечетным
количеством
единиц наблюдения сначалапорядковый
номер медианы
по формуле: ,
а затем определяют, какое значение
варианта обладает накопленной частотой,
равной номеру медианы.

Если ряд содержит четное
число элементов, то
медиана будет равна средней из двух
значений признака, находящихся в
середине. Номер первого из этих признаков
определяется по формуле: ,
для второго — .
= n
(количество элементов в ряду).

Медиана для интервального ряда

При вычислении медианы для
интервального вариационного ряда
сначала
определяют медианный интервал, в пределах
которого находится медиана.

Для этого:

Пример

.
Найти моду и медиану для интервального
ряда.

Возрастные группы	Число студентов	Сумма накопленных частот ΣS
25 — 30	1054	2272
45 лет и более

Решение

:

Определим моду

В
данном примере модальный интервал
находится в пределах возрастной группы
25-30 лет, так как на этот интервал приходится
наибольшая частота (1054).

Рассчитаем
величину моды:

Это значит, что модальный
возраст студентов равен 27 годам.

Определим медиану.

Медианный интервал
находится в возрастной группе 25-30 лет,
так как в пределах этого интервала
расположена варианта, которая делит
совокупность на две равные части (Σf
i
/2
= 3462/2 = 1731). Далее подставляем в формулу
необходимые числовые данные и получаем
значение медианы:

Это значит, что одна половина студентов
имеет возраст до 27,4 года, а другая свыше
27,4 года.

Графически медиана
определяется по кумуляте. Для ее
определения высоту наибольшей ординаты,
которая соответствует сумме всех частот,
делят пополам. Через полученную точку

проводят прямую,
параллельную оси абсцисс,
до
пересечения ее с кумулятой. Абсцисса
точки пересечения является медианой.