Свойства параллелограмма:
1. Противоположные стороны равны и параллельны
2. Противоположные углы равны
3. Точка пересечения диагоналей, делит их пополам
1. Длина диагонали параллелограмма через стороны, известную диагональ и угол.
a, b — стороны параллелограмма
D — большая диагональ
d — меньшая диагональ
α, β — углы параллелограмма
Формулы диагонали через стороны и углы параллелограмма (по теореме косинусов), (D, d):
Формулы диагонали через стороны и известную диагональ (по формуле- сумма квадратов диагоналей), (D, d):
2. Длина диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол.
D — большая диагональ
d — меньшая диагональ
α, β — углы между диагоналями
S — площадь параллелограмма
Формулы диагонали через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями, (D, d):
Формулы площади параллелограмма
Формула периметра параллелограмма
Все формулы по геометрии
- Подробности
-
Опубликовано: 03 ноября 2011
-
Обновлено: 13 августа 2021
Параллелограмм. Формулы, признаки и свойства параллелограмма
Определение.
Параллелограмм — это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны (лежат на параллельных прямых).
Параллелограммы отличаются между собой как размером прилегающих сторон, так и углами, однако противоположные углы одинаковые.
Признаки параллелограмма
Четырехугольник ABCD будет параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1. Четырехугольник имеет две пары параллельных сторон:
AB||CD, BC||AD
2. Четырехугольник имеет пару параллельных и равных сторон:
AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)
3. В четырехугольнике противоположные стороны попарно равны:
AB = CD, BC = AD
4. В четырехугольнике противоположные углы попарно равны:
∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA
5. В четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам:
AO = OC, BO = OD
6. Сумма углов четырехугольника прилегающих к любой стороне равна 180°:
∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°
7. В четырехугольнике сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон:
AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + AD2
Основные свойства параллелограмма
Квадрат, прямоугольник и ромб — есть параллелограммом.
1. Противоположные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину:
AB = CD, BC = AD
2. Противоположные стороны параллелограмма параллельны:
AB||CD, BC||AD
3. Противоположные углы параллелограмма одинаковые:
∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB
4. Сумма углов параллелограмма равна 360°:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
5. Сумма углов параллелограмма прилегающих к любой стороне равна 180°:
∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°
6. Каждая диагональ делит параллелограмма на два равных треугольника
7. Две диагональ делят параллелограмм на две пары равных треугольников
8. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам:
| AO = CO = | d1 |
| 2 | |
| BO = DO = | d2 |
| 2 |
9. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии параллелограмма
10. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:
AC2 + BD2 = 2AB2 + 2BC2
11. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны
12. Биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом (90°)
Стороны параллелограмма
Формулы определения длин сторон параллелограмма:
1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:
a =
√d12 + d22 — 2d1d2·cosγ
2
=
√d12 + d22 + 2d1d2·cosδ
2
b =
√d12 + d22 + 2d1d2·cosγ
2
=
√d12 + d22 — 2d1d2·cosδ
2
2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:
3. Формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:
4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:
Диагонали параллелограмма
Определение.
Диагональю параллелограмма называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов параллелограмма.
Параллелограмм имеет две диагонали — длинную d1, и короткую — d2
Формулы определения длины диагонали параллелограмма:
1. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла β (по теореме косинусов)
d1 = √a2 + b2 — 2ab·cosβ
d2 = √a2 + b2 + 2ab·cosβ
2. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла α (по теореме косинусов)
d1 = √a2 + b2 + 2ab·cosα
d2 = √a2 + b2 — 2ab·cosα
3. Формула диагонали параллелограмма через две стороны и известную другую диагональ:
d1 = √2a2 + 2b2 — d22
d2 = √2a2 + 2b2 — d12
4. Формула диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями:
| d1 = | 2S | = | 2S |
| d2·sinγ | d2·sinδ |
| d2 = | 2S | = | 2S |
| d1·sinγ | d1·sinδ |
Периметр параллелограмма
Определение.
Периметром параллелограмма называется сумма длин всех сторон параллелограмма.
Формулы определения длины периметра параллелограмма:
1. Формула периметра параллелограмма через стороны параллелограмма:
P = 2a + 2b = 2(a + b)
2. Формула периметра параллелограмма через одну сторону и две диагонали:
P = 2a + √2d12 + 2d22 — 4a2
P = 2b + √2d12 + 2d22 — 4b2
3. Формула периметра параллелограмма через одну сторону, высоту и синус угла:
Площадь параллелограмма
Определение.
Площадью параллелограмма называется пространство ограниченный сторонами параллелограмма, т.е. в пределах периметра параллелограмма.
Формулы определения площади параллелограмма:
1. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту, проведенную к этой стороне:
S = a · ha
S = b · hb
2. Формула площади параллелограмма через две стороны и синус угла между ними:
S = ab sinα
S = ab sinβ
3. Формула площади параллелограмма через две диагонали и синус угла между ними:
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого по определению противоположные стороны параллельны и равны. Как следствие, противоположные углы параллелограмма также будут между собой равны, а так как сумма всех углов в четырехугольнике равна 360 градусам, то можно сделать вывод, что сумма двух последовательных углов будет равна 180 градусам. Данное свойство будет играть существенную роль для нахождения диагоналей параллелограмма, с учетом того, что они разной длины.
Так как каждая диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника, именно их свойства и будут использованы для выведения формулы диагонали параллелограмма.
В любом треугольнике угол и сторона, лежащие напротив, пропорциональны друг другу. Для параллелограмма это будет значить, что более длинная диагональ будет лежать напротив тупого угла, а более короткая диагональ — напротив острого.С учетом того, что стороны треугольников, полученных в результате проведения диагоналей, одинаковы — это стороны параллелограмма, значение градусной меры угла между данными сторонами определяет чему будет равна длина диагонали,вычисленной по формуле. Другими словами, если в формулудиагонали подставить значение острого угла параллелограмма, то калькулятор вычислит длину короткой диагонали, а если подставить значение тупого угла — то длинной.
Для того чтобы перейти от одного угла к другому, используется разность 180 градусов и заданного угла, таким образом калькулятор одновременно может вычислить обе диагонали.
α=180°-β
Чтобы вывести формулу диагонали параллелограмма, используется теорема косинусов в треугольнике, который диагональ образует со сторонами. В любом из подобных треугольников, диагональ является стороной, противолежащей углу параллелограмма и, соответственно, ее квадрат равен сумме квадратов двух других сторон треугольника (сторон параллелограмма, в данном случае) за вычетом удвоенного произведения тех же сторон на косинус приведенного угла. Чтобы найти длину диагонали параллелограмма, калькулятор вычисляет квадратный корень из данного выражения.
A parallelogram is defined as a quadrilateral that has equal pairs of opposite sides and angles. One of its pairs of opposite sides is parallel to each other. The interior angles lying on the supplementary in nature, that is, their sum is 180 degrees. The diagonals of a parallelogram bisect each other, that is, they divide each other in two equal parts. The sum of all interior angles of a parallelogram is 360 degrees.
The above figure depicts a parallelogram ABCD with sides AB, BC, CD and AD and diagonals AC and BD. Here the lengths of opposite sides AB and CD are equal to each other. Similarly, the lengths of BC and AD are the same. The pairs of opposite angles, that is, ∠A and ∠C and ∠B and ∠D are equal to each other.
Diagonal of Parallelogram Formula
The formula for the length of a diagonal of a parallelogram is equal to the magnitude of the resultant of any two adjacent sides.
x = √(a2 + b2 – 2ab cos A) = √(a2 + b2 + 2ab cos B)
y = √(a2 + b2 + 2ab cos A) = √(a2 + b2 – 2ab cos B)
where,
x and y are the lengths of diagonals,
a and b are adjacent side lengths,
A and B are the angles formed between the sides.
The diagonal lengths and sides of a parallelogram have a relation between each other. The sum of squares of diagonals is equal to twice the sum of squares of two adjacent sides.
x2 + y2 = 2(a2 + b2)
where,
x and y are diagonal lengths,
a and b are adjacent side lengths.
Sample Problems
Problem 1. Calculate the length of the diagonals of a parallelogram of side lengths 5 m and 10 m, if one of the interior angles is 60°.
Solution:
We have,
a = 5
b = 10
∠A = 60°
∠B = 120°
We have to find the diagonal lengths x and y.
Using the formula we get,
x = √(a2 + b2 – 2ab cos A)
= √(52 + 102 – 2 (5) (10) cos 60°)
= √75
= 8.66 m
y = √(a2 + b2 + 2ab cos A)
= √(52 + 102 + 2 (5) (10) cos 60°)
= √175
= 13.22 m
Problem 2. Calculate the length of the diagonals of a parallelogram of side lengths 4 m and 7 m, if one of the interior angles is 30°.
Solution:
We have,
a = 4
b = 7
∠A = 30°
We have to find the diagonal lengths x and y.
Using the formula we get,
x = √(a2 + b2 – 2ab cos A)
= √(42 + 72 – 2 (4) (7) cos 30°)
= √16.48
= 4.06 m
y = √(a2 + b2 + 2ab cos A)
= √(42 + 72 + 2 (4) (7) cos 30°)
= √73.63
= 8.5 m
Problem 3. Calculate the length of one of the diagonals of a parallelogram of side lengths 5 m and 9 m, if one of the interior angles is 25°.
Solution:
We have,
a = 5
b = 9
∠A = 25°
We have to find the diagonal length.
Using the formula we get,
x = √(a2 + b2 – 2ab cos A)
= √(52 + 92 – 2 (5) (9) cos 25°)
= √24.40
= 4.06 m
Problem 4. Calculate the length of one of the diagonals of a parallelogram of side lengths 12 m and 16 m, if one of the interior angles is 37°.
Solution:
We have,
a = 12
b = 16
∠A = 37°
We have to find the diagonal length.
Using the formula we get,
x = √(a2 + b2 – 2ab cos A)
= √(122 + 162 – 2 (12) (16) cos 37°)
= √93.315
= 9.66 m
Problem 5. Calculate the length of one of the diagonals of a parallelogram of side lengths 4 m and 6 m, if the other diagonal is 8 m.
Solution:
We have,
a = 4
b = 6
x = 8
Using the formula we get,
x2 + y2 = 2(a2 + b2)
=> 82 + y2 = 2 (42 + 62)
=> 64 + y2 = 2 (16 + 36)
=> 64 + y2 = 104
=> y2 = 40
=> y = 6.32 m
Problem 6. Calculate the length of one of the diagonals of a parallelogram of side lengths 8 m and 12 m, if the other diagonal is 14 m.
Solution:
We have,
a = 8
b = 12
x = 14
Using the formula we get,
x2 + y2 = 2(a2 + b2)
=> 142 + y2 = 2 (82 + 122)
=> 196 + y2 = 2 (16 + 144)
=> 196 + y2 = 320
=> y2 = 124
=> y = 11.13 m
Problem 7. Calculate the length of one of the diagonals of a parallelogram of side lengths 7 m and 9 m, if the other diagonal is 11 m.
Solution:
We have,
a = 7
b = 9
x = 11
Using the formula we get,
x2 + y2 = 2(a2 + b2)
=> 112 + y2 = 2 (72 + 92)
=> 121 + y2 = 2 (49 + 81)
=> 121 + y2 = 260
=> y2 = 139
=> y = 11.78 m
Last Updated :
30 Apr, 2022
Like Article
Save Article