Что такое нок в математике? Продолжим разговор о наименьшем общем кратном, который мы начали в разделе « НОК – наименьшее общее кратное, определение, примеры». В этой теме мы узнаем, как найти наименьшее общее кратное, какие есть для этого способы для трех чисел и более, разберем вопрос о том, как находить НОК отрицательного числа. Также разберемся, что такое нок и нод, как найти нок и нод.
Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД
Мы уже узнали, что такое нок, а также установили связь наименьшего общего кратного с наибольшим общим делителем (кратность показывает в расчетах во сколько раз один показатель больше другого). Теперь как настоящие математики научимся определять НОК через НОД (нок и нод чисел натуральных). Сначала разберемся, как найти нок для положительных чисел. Сделать это можно и онлайн или на калькуляторе, но лучше научиться самостоятельно.
Поиск наименьшего общего кратного через наибольший общий делитель можно по формуле НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b).
Необходимо найти НОК чисел 126 и 70.
Решение
Начнем решать. Примем a=126, b=70. Подставим значения в формулу вычисления наименьшего общего кратного через наибольший общий делитель НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b).
Найдем НОД чисел 70 и 126. Для этого нам понадобится алгоритм Евклида: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, следовательно, NOD(126, 70)=14.
Вычислим НОК: НОК(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)=126·70:14=630.
Ответ: NOC(126, 70)=630.
Найдите нок чисел 68 и 34.
Решение
Как находить нод? НОД в данном случае нейти несложно, так как 68 делится на 34. Вычислим самое маленькое общее кратное по формуле: НОК(68, 34)=68·34:НОД(68, 34)=68·34:34=68.
Ответ: НОК(68, 34)=68.
В этом примере мы использовали правило нахождения наименьшего общего кратного для целых положительных чисел a и b: если первое число делится на второе, что НОК этих чисел будет равно первому числу.
Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители
Теперь давайте рассмотрим способ нахождения НОК, который основан на разложении чисел на простые множители. Перед тем, как это узнавать, дадим небольшое определение.
Для нахождения наименьшего общего кратного нам понадобится выполнить ряд несложных действий:
- составляем произведение всех простых множителей чисел, для которых нам нужно найти НОК;
- исключаем их полученных произведений все простые множители;
- полученное после исключения общих простых множителей произведение будет равно НОК данных чисел.
Этот способ нахождения наименьшего общего кратного основан на равенстве НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b). Если посмотреть на формулу, то станет понятно: произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, которые участвуют в разложении этих двух чисел. При этом НОД двух чисел равен произведению всех простых множителей, которые одновременно присутствуют в разложениях на множители данных двух чисел.
У нас есть два числа 75 и 210. Мы можем разложить их на множители следующим образом: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. Если составить произведение всех множителей двух исходных чисел, то получится: 2·3·3·5·5·5·7.
Если исключить общие для обоих чисел множители 3 и 5, мы получим произведение следующего вида: 2·3·5·5·7=1050. Это произведение и будет нашим НОК для чисел 75 и 210.
Найдите НОК чисел 441 и 700, разложив оба числа на простые множители.
Решение
Найдем все простые множители чисел, данных в условии:
44114749713377
700350175357122557
Получаем две цепочки чисел: 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7.
Произведение всех множителей, которые участвовали в разложении данных чисел, будет иметь вид: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Найдем общие множители. Это число 7. Исключим его из общего произведения: 2·2·3·3·5·5·7·7. Получается, что НОК(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Ответ: НОК(441, 700)= 44 100.
Дадим еще одну формулировку метода нахождения НОК путем разложения чисел на простые множители.
Раньше мы исключали из всего количества множителей общие для обоих чисел. Теперь мы сделаем иначе:
- разложим оба числа на простые множители:
- добавим к произведению простых множителей первого числа недостающие множители второго числа;
- получим произведение, которое и будет искомым НОК двух чисел.
Вернемся к числам 75 и 210, для которых мы уже пробовали искать НОК в одном из прошлых примеров. Разложим их на простые множители: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. К произведению множителей 3, 5 и 5 числа 75 добавим недостающие множители 2 и 7 числа 210. Получаем: 2·3·5·5·7. Это и есть НОК чисел 75 и 210.
Необходимо вычислить НОК чисел 84 и 648.
Решение
Разложим числа из условия на простые множители: 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3. Добавим к произведению множителей 2, 2, 3 и 7 числа 84 недостающие множители 2, 3, 3 и
3 числа 648. Получаем произведение 2·2·2·3·3·3·3·7=4536. Это и есть наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 .
Ответ: НОК(84, 648)=4 536.
Нахождение НОК трех и большего количества чисел
Независимо от того, с каким количеством чисел мы имеем дело, алгоритм наших действий всегда будет одинаковым: мы будем последовательно находить НОК двух чисел. На этот случай есть теорема.
Предположим, что у нас есть целые числа a1, a2, …, ak. НОК mk этих чисел находится при последовательном вычислении m2=НОК(a1, a2), m3=НОК(m2, a3), …, mk=НОК(mk−1, ak).
Теперь рассмотрим, как можно применять теорему для решения конкретных задач.
Необходимо вычислить наименьшее общее кратное четырех чисел 140, 9, 54 и 250.
Решение задания
Введем обозначения: a1=140, a2=9, a3=54, a4=250.
Начнем с того, что вычислим m2=НОК(a1, a2)=НОК(140, 9). Применим алгоритм Евклида для вычисления НОД чисел 140 и 9: 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4. Получаем: НОД(140, 9)=1, НОК(140, 9)=140·9:НОД(140, 9)=140·9:1=1 260. Следовательно, m2=1 260.
Теперь вычислим по тому е алгоритму m3=НОК(m2, a3)=НОК(1 260, 54). В ходе вычислений получаем m3=3 780.
Нам осталось вычислить m4=НОК(m3, a4)=НОК(3 780, 250). Действуем по тому же алгоритму. Получаем m4=94 500.
НОК четырех чисел из условия примера равно 94500.
Ответ: НОК(140, 9, 54, 250)=94 500.
Как видите, вычисления получаются несложными, но достаточно трудоемкими. Чтобы сэкономить время, можно пойти другим путем.
Предлагаем вам следующий алгоритм действий:
- раскладываем все числа на простые множители;
- к произведению множителей первого числа добавляем недостающие множители из произведения второго числа;
- к полученному на предыдущем этапе произведению добавляем недостающие множители третьего числа и т.д.;
- полученное произведение будет наименьшим общим кратным всех чисел из условия.
Необходимо найти НОК пяти чисел 84, 6, 48, 7, 143.
Решение
Разложим все пять чисел на простые множители: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7, 143=11·13. Простые числа, которым является число 7, на простые множители не раскладываются. Такие числа совпадают со своим разложением на простые множители.
Теперь возьмем произведение простых множителей 2, 2, 3 и 7 числа 84 и добавим к ним недостающие множители второго числа. Мы разложили число 6 на 2 и 3. Эти множители уже есть в произведении первого числа. Следовательно, их опускаем.
Продолжаем добавлять недостающие множители. Переходим к числу 48, из произведения простых множителей которого берем 2 и 2. Затем добавляем простой множитель 7 от четвертого числа и множители 11 и 13 пятого. Получаем: 2·2·2·2·3·7·11·13=48 048. Это и есть наименьшее общее кратное пяти исходных чисел.
Ответ: НОК(84, 6, 48, 7, 143)=48 048.
Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел
Для того чтобы найти наименьшее общее кратное отрицательных чисел, эти числа необходимо сначала заменить на числа с противоположным знаком, а затем провести вычисления по приведенным выше алгоритмам.
НОК(54, −34)=НОК(54, 34), а НОК(−622, −46, −54, −888)=НОК(622, 46, 54, 888).
Такие действия допустимы в связи с тем, что если принять, что a и −a – противоположные числа,
то множество кратных числа a совпадает со множеством кратных числа −a.
Необходимо вычислить НОК отрицательных чисел −145 и −45.
Решение
Произведем замену чисел −145 и −45 на противоположные им числа 145 и 45. Теперь по алгоритму вычислим НОК(145, 45)=145·45:НОД(145, 45)=145·45:5=1 305, предварительно определив НОД по алгоритму Евклида.
Получим, что НОК чисел −145 и −45 равно 1 305.
Ответ: НОК(−145, −45)=1 305.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Математика
5 класс
Урок № 44
Наименьшее общее кратное (НОК)
Перечень рассматриваемых вопросов:
– делители числа;
– кратные числа;
– признаки делимости;
– разложение на простые множители;
– НОК.
Тезаурус
Кратное число – это число, делящееся на данное целое число без остатка.
Простое число – это такое натуральное число, которое больше 1 и делится только на 1 и само на себя.
Составные числа – это непростые натуральные числа, большие 1.
Взаимно простые числа – это числа, которые не имеют общих простых делителей
Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел m и n – это наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка.
Обязательная литература
1. Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.
Дополнительная литература
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Ранее мы узнали, что такое кратное, ввели понятие делителя, научились находить наибольший общий делитель, а можно ли каким-либо способом найти общее кратное нескольких чисел? Оказывается, можно, этим сегодня мы и будем заниматься. Но находить не просто общее кратное нескольких чисел, а их наименьшее общее кратное – НОК.
Итак, для начала вспомним, что называется кратным. Это число, делящееся на данное натуральное число без остатка.
Теперь найдём, например, общие кратные чисел 12 и 15. Для этого выпишем все кратные чисел 12 и 15.
12 – его кратные 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, …
15 – его кратные 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, …
Из представленных чисел общие кратные – это числа 60 и 120. Меньшее из них – 60. Это и есть наименьшее общее кратное чисел.
Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел m и n – это наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка.
Для нахождения наименьшего общего кратного двух чисел можно использовать несколько способов. Один из них мы рассмотрели на примере нахождения НОК 12 и 15. Этот способ заключается в том, что выписываются все кратные двух чисел и затем находится наименьший общий из них.
Узнаем ещё одно правило нахождения НОК.
Во-первых, разложим числа на простые множители. Далее подчеркнём одинаковые множители этих чисел. Затем перемножим общие множители одного из чисел и добавим произведение всех остальных множителей от каждого числа. Это и будет НОК заданных чисел.
Найдём НОК (15; 16). Разложим числа на простые множители:
Видно, что из всех множителей общий лишь единица, значит, это взаимно простые числа.
НОК взаимно простых чисел – это произведение всех их множителей или произведение этих чисел.
В данном случае НОК равен 240.
Т. е. НОК любых двух простых чисел или двух соседних натуральных чисел будет равен произведению этих чисел.
Найдём НОК (10; 100). Разложим числа на простые множители:
Выделим общие делители у этих чисел, это 2 и 5.
Умножим их, а результат умножим ещё на оставшиеся простые множители от чисел 100 и 10.
НОК (10; 100) = 2 · 5 · 2 · 5 = 100
Обратите внимание на то, что 100 делится нацело на 10, и НОК тоже равен 100. Поэтому можно сделать вывод: если одно из двух чисел делится нацело на другое, то НОК этих чисел равен большему из них.
Некоторые задачи можно решить при помощи НОК проще, чем каким-либо другим способом. Например, рассмотрим такую задачу.
Девочка решила купить несколько плиток шоколада по 38 руб. , но у неё только 5-рублёвые монеты, а в магазине нет сдачи. Какое наименьшее количество плиток шоколада она сможет купить?
Решение: чтобы решить эту задачу, нужно найти НОК (5;38).
Разложим числа на множители:
Мы видим, что НОК (5; 38) = 5 · 38 = 190 – это будет сумма покупки за шоколад.
Теперь найдём, сколько девочка купит плиток.
Для этого сумму покупки разделим на стоимость одной плитки шоколада.
190 : 38 руб. = 5 – наименьшее количество плиток шоколада, которые сможет купить девочка.
Ответ: 5 плиток.
Тренировочные задания
№ 1. Какую цифру нужно подставить в число НОК (7; 2_) вместо пропуска, чтобы получить НОК = 21?
Варианты ответов: 1; 2; 3.
Решение: для решения этой задачи, надо разложить на множители оба числа, при этом вместо пропуска нужно подставить по порядку все цифры. А далее найти подходящий НОК этих чисел, равный 21.
Из всех разложений на множители под НОК (7; 2_) = 21 подходит только число 21.
НОК (7; 21) =21
НОК (7; 22) =154
НОК (7; 23) =161
Ответ: искомая цифра – 1.
№ 2. Какой наименьшей длины должен быть рулон ткани, чтобы от него без остатка можно было отрезать куски по 3 м и 7 м?
Решение: чтобы решить эту задачу, нужно найти НОК заданных чисел, он и будет являться искомым ответом, т. е. наименьшей длиной рулона ткани.
НОД (3; 7) = 7 · 3 = 21 м
Ответ: 21 м.
Наименьшее о́бщее кратное (HOK) двух целых чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба без остатка, то есть кратно им обоим. К примеру, для чисел 6 и 4, наименьшим общим кратным будет 12.
Как найти НОК?
Способов найти НОК несколько. Мы рассмотрим один из часто используемых в математике — это нахождение НОК при помощи разложения чисел на простые множители. В общем случае алгоритм будет выглядеть следующим образом:
- разложить оба числа на простые множители;
- выбрать одну группу множителей;
- добавить к ним множители из второй группы, которые отсутствуют в выбранной;
- найти их произведение.
Примеры нахождения наименьшего общего кратного
Рассмотрим приведенный алгоритм на конкретных примерах:
Пример 1: найти НОК 4 и 6
1. Раскладываем 6 и 4 на простые множители:
2. Возьмем первую группу множителей: 2 · 3.
3. Смотрим вторую группу (2 · 2) и видим, что из двух двоек, одна присутствует в первом разложении. Таким образом, берем только одну двойку. Добавляем к первому разложению и получаем: 2 · 3 · 2
4. Вычисляем произведение: 2 · 3 · 2 = 12.
Ответ: НОК (6; 4) = 12
Пример 2: найти НОК 32 и 20
1. Раскладываем 32 и 20 на простые множители:
2. Возьмем первую группу множителей: 2 · 2 · 2 · 2 · 2.
3. Смотрим вторую группу (2 · 2 · 5) и видим, что из двух двоек и пятерки, обе двойки присутствуют в первом разложении. Таким образом, берем только пятерку. Добавляем к первому разложению и получаем: 2 · 3 · 2
4. Вычисляем произведение: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5 = 160.
Ответ: НОК (32; 20) = 160
Наименьшее общее кратное: как найти
Содержание:
- Наименьшее общее кратное — что это такое
- Вычисление НОК, правила в математике
- Как найти НОК через НОД
- Как найти НОК через разложение чисел
- Нахождение НОК трех и большего количества чисел
Наименьшее общее кратное — что это такое
Определение
Число, которое можно без остатка разделить на выбранные числа, является их общим кратным. Наименьшее из таких чисел — наименьшее общее кратное или сокращенно «нок».
Действия с дробями, имеющими различный знаменатель, можно значительно облегчить, если найти наименьшее общее кратное (НОК). Это такое число, например, кратное числу а, которое можно разделить на это а целиком, без остатка.
Пример
К числам, кратным 8, относятся 16, 24, 32, 40 и т.п. Кратными 9-ти являются 9, 18, 27, 36 и т.п.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Существует бесчисленное множество чисел, делящихся на а без остатка, т.е. кратных ему. В то же время, этого нельзя сказать о числе делителей. Так, делителями для 9-ти являются 9, 3, 1.
Если для двух или более натуральных чисел существует число, делящееся на оба без остатка, то оно является наименьшим общим кратным. А то из, них, которое самое маленькое, является нок.
Вычисление НОК, правила в математике
Для нахождения нок в математике существует несколько правил или алгоритмов. Самый простой вариант — вычисление НОК для двух чисел-участников. Способ легкий, но приемлем для маленьких натуральных чисел.
Нужно составить ряды чисел, кратных каждому из выбранных значений.
Пример
К (4) — 4, 8, 12, 16, 20, 24;
К (6) — 6, 12, 18, 24, 30.
Из рядов видно, что в обоих рядах встречаются числа 12 и 24. Это общие кратные. Однако 12 из них — меньшее число.
Поэтому НОК (4, 6) — 12.
Как найти НОК через НОД
Определение НОК можно провести с использованием НОД (наибольшего общего делителя).
В этом блоке изложения материала следует уточнить некоторые понятия.
Определение
Простым называется такое натуральное число, которое целиком можно разделить только само на себя либо на единицу.
Наименьшим простым числом является двойка. Она же — единственное четное натуральное простое число. Все остальные — нечетные.
Множество чисел делятся не только на 1 и на себя, но и на другие целые натуральные числа:
8 делится на 1, 2, 4, 8;
36 — на 1, 2, 3, 4, 6, 8 и т.д.
Эти числа — делители восьми и тридцати шести (делимых). Именно они могут разделить 8 и 36 без остатка. В обоих приведенных примерах делимые (8, 36) являются составными числами, поскольку имеют более двух делителей.
В приведенных рядах существуют одинаковые делители. Это 1, 2, 4, 8.
Самое большое число — 8. Оно и является наибольшим общим делителем.
Определение
Наибольший общий делитель (НОД) — число, на которое без остатка делится выбранная пара (либо больше) чисел.
Пример
НОД (9, 45)=9
НОД (12, 48)=12
Бывают пары чисел, которые из общих делителей имеют только единицу. Тогда они называются взаимно простыми: НОД (9, 8)=1, НОД (12, 10)=1.
На следующем примере показаны пары чисел со значениями их НОД и НОК.
Решение задачи по нахождению НОК через НОД сводится к следующей формуле:
НОК чисел a,b равняется частному произведения a и b на наибольший общий делитель чисел a и b (по-другому НОД (a, b).
Исходя из этого заключения получается, что НОК и НОД взаимосвязаны друг с другом. Наименьшее общее кратное можно легко найти через наибольший общий делитель для двух или более натуральных чисел.
Как найти НОК через разложение чисел
Кроме составления рядов значений, кратных каждому из двух выбранных натуральных чисел, для правильного определения НОК пользуются методом разложения на множители.
Найденные простые множители первого разложения сравниваются с аналогичными из второго разложения, после чего они перемножаются.
Пример
После разложения числа 9 на простые множители получается ряд:
1, 3, 9.
После разложения 12-ти получается ряд:
1, 2, 3, 4, 6, 12.
После разложения на множители числа 9 получаем: 3*3. После разложения на множители 12-ти получаем: 2*2*3. Объединяя множители обеих вариантов, получаем произведение: 3*3*2*2=36.
Наименьшее общее кратное чисел 9 и 12 — 36.
В качестве проверки произведем действия:
- 36/12=3
- 9/3=3
На практике записывают: НОК (9, 12)=36.
Такими действиями можно найти НОК более сложных чисел.
Пример
Найти НОК чисел 50 и 180.
Число 50 делится на 1, 2, 5, 10, 25, 50.
Число 180 на: 1, 5, 15, 30, 45, 90, 180.
Разложив на множители 50, получаем: 2, 5, 5.
Разложив 180, получаем: 2, 2, 3, 3, 5.
Из первого разложения выписываем: 2*5*5. Сравнивая со вторым разложением, описываем одну двойку и две тройки. После перемножения полученного ряда получается произведение: 2*5*5*2*3*3=900. Это и есть наименьшее общее кратное чисел 50 и 180.
Следовательно, НОК (50, 180)=900.
Существует еще один быстрый способ находить НОК. Он приемлем для вариантов, когда одно число нацело делится на другое. Например: НОК (15, 30)=30, НОК (20, 80)=80, НОК (16, 48)=48.
Для случаев, когда у двух чисел не имеется общих делителей, их можно просто перемножить и получить НОК. Например, НОК (7, 8)=56, НОК (4, 9)=36, НОК (7, 9)=63.
Нахождение НОК трех и большего количества чисел
Если предстоит найти НОК для большего, чем 2, количества чисел, их нужно разложить на простые множители. Например,
32=2*2*2*2*2;
40=2*2*2*5;
80=2*2*2*2*5
Сравнивая множители в каждом случае разложения натуральных чисел и выстраивая их в один ряд для умножения, получаем, что НОК (32, 40, 80) = 2*2*2*2*2*5 = 160.
В математике принято для нахождения НОК трех и более чисел применять следующую теорему:
Если имеется ряд чисел (а1, а2, а3…аk), можно найти НОК mk этих чисел производя последовательные вычисления: m2=НОК (а1, а2), m3=НОК (а2, а3)… mk=НОК (mk-1, аk)
Пример
Дано задание вычислить НОК для чисел 140 (a1), 9 (a2), 54 (а3), 250 (а4).
Тогда m2=НОК (a1, a2)=НОК (140, 9).
Для нахождения НОК (140, 9) производим действия. 140=15*9+5; 9=5*1+4.
Последующее разложение: 5=4*1+1, 4=4*1.
Следовательно, НОД (140, 9)=1. НОК (140, 9)=140*9/НОД (140, 9)=140*9/1=1260.
Ответ: m2=1260
По аналогии вычисляем m3 (=3780) и m4 (=94500). Это и есть ответ решения задачи по нахождению НОК чисел 140, 9, 54, 250.
Решим такую задачу.
Пример:
два маршрутных такси отвозят пассажиров из аэропорта в ближайшие населённые пункты. Одно маршрутное такси возвращается в аэропорт через (25) минут, другое — через (35) минут. После возвращения в аэропорт они сразу же снова уезжают. Если сейчас маршрутные такси отправятся одновременно в рейс, то через сколько часов они вновь вместе окажутся в аэропорту?
Решая задачу, приходим к выводу, что число часов, через которое они вновь вместе уйдут в рейс, должно делиться без остатка на (25) и на (35), т. е. должно быть кратным этим числам.
Выпишем числа, кратные (25). Получим: (25); (50); (75); (100); (125); (150); (175); (200); (225); (250); (275); (300); (325); (350); (375)…
Выпишем числа, кратные (35). Получим: (35); (70); (105); (140); (175); (210); (245); (280); (315); (350); (385)…
Общими кратными чисел (25) и (35) будут числа: (175); (350)…
Наименьшим из них является число (175), т. е. впервые маршрутные такси вновь вместе уйдут в рейс только через (175) минут.
Число (175) называют наименьшим общим кратным чисел (25) и (35).
Наименьшим общим кратным натуральных чисел (m) и (n) называют наименьшее натуральное число, которое кратно и (m), и (n).
Наименьшее общее кратное обозначаем (НОК(m; n)).
(НОК(25; 35) = 175).
Нахождение наименьшего общего кратного применяется при выполнении действий сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.
Выполняя эти действия, обычно стараются найти наименьшее из общих кратных знаменателей.
Наименьшее общее кратное нескольких чисел можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел.
Правило нахождения (НОК) нескольких чисел:
1. разложить данные числа на простые множители.
2. Выписать все простые числа, которые входят хотя бы в одно из полученных разложений.
3. Каждое из выписанных простых чисел взять с наибольшим из показателей степени, с которыми оно входит в разложения данных чисел.
4. Записать произведение полученных степеней.
Пример:
В этих разложениях встречаются числа (5), (7).
С наибольшими показателями — это числа
52;71
.
Поэтому
НОК(25;35)=52⋅7=175
.
Для любых натуральных чисел (a) и (b) справедливо равенство:
Пример:
покажем это свойство на конкретном примере:
56=23⋅7;196=22⋅72;НОД(56;196)=22⋅7=28;НОК(56;196)=23⋅72=392;НОД⋅НОК=28⋅392=56⋅196=10976.