В прошлой статье мы немножко разобрались с тем, что такое механика и зачем она нужна. Мы уже знаем, что такое система отсчета, относительность движения и материальная точка. Что ж, пора двигаться дальше! Здесь мы рассмотрим основные понятия кинематики, соберем вместе самые полезные формулы по основам кинематики и приведем практический пример решения задачи.
Присоединяйтесь к нам в телеграм и получайте ежедневную рассылку с полезной информацией по актуальным студенческим вопросам.
Траектория, радиус-вектор, закон движения тела
Кинематикой занимался еще Аристотель. Правда, тогда это не называлось кинематикой. Затем очень большой вклад в развитие механики, и кинематики в частности, внес Галилео Галилей, изучавший свободное падение и инерцию тел.
Итак, кинематика решает вопрос: как тело движется. Причины, по которым оно пришло в движение, ее не интересуют. Кинематике не важно, сама поехала машина, или ее толкнул гигантский динозавр. Абсолютно все равно.
Сейчас мы будем рассматривать самую простую кинематику – кинематику точки. Представим, что тело (материальная точка) движется. Не важно, что это за тело, все равно мы рассматриваем его, как материальную точку. Может быть, это НЛО в небе, а может быть, бумажный самолетик, который мы запустили из окна. А еще лучше, пусть это будет новая машина, на которой мы едем в путешествие. Перемещаясь из точки А в точку Б, наша точка описывает воображаемую линию, которая называется траекторией движения. Другое определение траектории – годограф радиус вектора, то есть линия, которую описывает конец радиус-вектора материальной точки при движении.
Радиус-вектор – вектор, задающий положение точки в пространстве.
Для того, чтобы узнать положение тела в пространстве в любой момент времени, нужно знать закон движения тела – зависимость координат (или радиус-вектора точки) от времени.
Перемещение и путь
Тело переместилось из точки А в точку Б. При этом перемещение тела – отрезок, соединяющий данные точки напрямую – векторная величина. Путь, пройденный телом – длина его траектории. Очевидно, перемещение и путь не стоит путать. Модуль вектора перемещения и длина пути совпадают лишь в случае прямолинейного движения.
В системе СИ перемещение и длина пути измеряются в метрах.
Перемещение равно разнице радиус-векторов в начальный и конечный моменты времени. Другими словами, это приращение радиус вектора.
Скорость и ускорение
Средняя скорость – векторная физическая величина, равная отношению вектора перемещения к промежутку времени, за которое оно произошло
А теперь представим, что промежуток времени уменьшается, уменьшается, и становится совсем коротким, стремится к нулю. В таком случае о средней скорости говорить на приходится, скорость становится мгновенной. Те, кто помнит основы математического анализа, тут же поймут, что в дальнейшем нам не обойтись без производной.
Мгновенная скорость – векторная физическая величина, равная производной от радиус вектора по времени. Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории.
В системе СИ скорость измеряется в метрах в секунду
Если тело движется не равномерно и прямолинейно, то у него есть не только скорость, но и ускорение.
Ускорение (или мгновенное ускорение) – векторная физическая величина, вторая производная от радиус-вектора по времени, и, соответственно, первая производная от мгновенной скорости
Ускорение показывает, как быстро изменяется скорость тела. В случае прямолинейного движения, направления векторов скорости и ускорения совпадают. В случае же криволинейного движения, вектор ускорения можно разложить на две составляющие: ускорение тангенциальное, и ускорение нормальное.
Тангенциальное ускорение показывает, как быстро изменяется скорость тела по модулю и направлено по касательной к траектории
Нормальное же ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Векторы нормального и тангенциального ускорения взаимно перпендикулярны, а вектор нормального ускорения направлен к центру окружности, по которой движется точка.
Здесь R – радиус окружности, по которой движется тело.
Закон равноускоренного движения
Рассмотрим далее закон равноускоренного движения, то есть движения с постоянным ускорением. Будем рассматривать простейший случай, когда тело движется вдоль оси x.
Здесь — x нулевое- начальная координата. v нулевое — начальная скорость. Продифференцируем по времени, и получим скорость
Производная по скорости от времени даст значение ускорения a, которое является константой.
Пример решения задачи
Теперь, когда мы рассмотрели физические основы кинематики, пора закрепить знания на практике и решить какую-нибудь задачу. Причем, чем быстрее, тем лучше.
Кстати! Для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы.
Решим такую задачу: точка движется по окружности радиусом 4 метра. Закон ее движения выражается уравнением S=A+Bt^2. А=8м, В=-2м/с^2. В какой момент времени нормальное ускорение точки равно 9 м/с^2? Найти скорость, тангенциальное и полное ускорение точки для этого момента времени.
Решение: мы знаем, что для того, чтобы найти скорость нужно взять первую производную по времени от закона движения, а нормальное ускорение равняется частному квадрата скорости и радиуса окружности, по которой точка движется. Вооружившись этими знаниями, найдем искомые величины.
Нужна помощь в решении задач? Профессиональный студенческий сервис готов оказать ее.
С древних времен людей беспокоит мысль о достижении сверх скоростей, так же как не дают покоя раздумья о высотах, летательных аппаратах. На самом деле это два очень сильно связанных между собой понятия. То, насколько быстро можно добраться из одного пункта в другой на летательном аппарате в наше время, зависит полностью от скорости. Рассмотрим же способы и формулы расчета этого показателя, а также времени и расстояния.
Как же рассчитать скорость?
На самом деле, рассчитать ее можно несколькими способами:
- через формулу нахождения мощности;
- через дифференциальные исчисления;
- по угловым параметрам и так далее.
В этой статье рассматривается самый простой способ с самой простой формулой — нахождение значения этого параметра через расстояние и время. Кстати, в формулах дифференциального расчета также присутствуют эти показатели. Формула выглядит следующим образом:
v=S/t, где
- v — скорость объекта,
- S — расстояние, которое пройдено или должно быть пройдено объектом,
- t — время, за которое пройдено или должно быть пройдено расстояние.
Как видите, в формуле первого класса средней школы нет ничего сложного. Подставив соответствующие значения вместо буквенных обозначений, можно рассчитать быстроту передвижения объекта. Например, найдем значение скорости передвижения автомобиля, если он проехал 100 км за 1 час 30 минут. Сначала требуется перевести 1 час 30 минут в часы, так как в большинстве случаев единицей измерения рассматриваемого параметра считается километр в час (км/ч). Итак, 1 час 30 минут равно 1,5 часа, потому что 30 минут есть половина или 1/2 или 0,5 часа. Сложив вместе 1 час и 0,5 часа получим 1,5 часа.
Теперь нужно подставить имеющиеся значения вместо буквенных символов:
v=100 км/1,5 ч=66,66 км/ч
Здесь v=66,66 км/ч, и это значение очень приблизительное (незнающим людям об этом лучше прочитать в специальной литературе), S=100 км, t=1,5 ч.
Таким нехитрым способом можно найти скорость через время и расстояние.
А что делать, если нужно найти среднее значение? В принципе, вычисления, показанные выше, и дают в итоге результат среднего значение искомого нами параметра. Однако можно вывести и более точное значение, если известно, что на некоторых участках по сравнению с другими скорость объекта была непостоянной. Тогда пользуются таким видом формулы:
vср=(v1+v2+v3+…+vn)/n, где v1, v2, v3, vn — значения скоростей объекта на отдельных участках пути S, n — количество этих участков, vср — средняя скорость объекта на всем протяжении всего пути.
Эту же формулу можно записать иначе, используя путь и время, за которое объект прошел этот путь:
- vср=(S1+S2+…+Sn)/t, где vср — средняя скорость объекта на всем протяжении пути,
- S1, S2, Sn — отдельные неравномерные участки всего пути,
- t — общее время, за которое объект прошел все участки.
Можно записать использовать и такой вид вычислений:
- vср=S/(t1+t2+…+tn), где S — общее пройденное расстояние,
- t1, t2, tn — время прохождения отдельных участков расстояния S.
Но можно записать эту же формулу и в более точном варианте:
vср=S1/t1+S2/t2+…+Sn/tn, где S1/t1, S2/t2, Sn/tn — формулы вычисления скорости на каждом отдельном участке всего пути S.
Таким образом, очень легко найти искомый параметр, используя данные выше формулы. Они очень просты, и как уже было указано, используются в начальных классах. Более сложные формулы базируются на этих же формулах и на тех же принципах построения и вычисления, но имеют другой, более сложный вид, больше переменных и разных коэффициентов. Это нужно для получения наиболее точного значения показателей.
Другие способы вычисления
Существую и другие способы и методы, которые помогают вычислить значения рассматриваемого параметра. В пример можно привести формулу вычисления мощности:
N=F*v*cos α , где N — механическая мощность,
F — сила,
v — скорость,
cos α — косинус угла между векторами силы и скорости.
Способы вычисления расстояния и времени
Можно и наоборот, зная скорость, найти значение расстояния или времени. Например:
S=v*t, где v — понятно что такое,
S — расстояние, которое требуется найти,
t — время, за которое объект прошел это расстояние.
Таким образом вычисляется значение расстояния.
Или вычисляем значение времени, за которое пройдено расстояние:
t=S/v, где v — все та же скорость,
S — расстояние, пройденный путь,
t — время, значение которого в данном случае нужно найти.
Для нахождения средних значений этих параметров существует довольно много представлений как данной формулы, так и всех остальных. Главное, знать основные правила перестановок и вычислений. А еще главнее знать сами формулы и лучше наизусть. Если же запомнить не получается, тогда лучше записывать. Это поможет, не сомневайтесь.
Пользуясь такими перестановками можно с легкостью найти время, расстояние и другие параметры, используя нужные, правильные способы их вычисления.
И это еще не предел!
Видео
В нашем видео вы найдете интересные примеры решения задач на нахождение скорости, времени и расстояния.
Содержание:
- Определение и формула скорости
- Скорость в разных системах координат
- Частные случаи формул для вычисления скорости
- Единицы измерения скорости
- Примеры решения задач
Определение и формула скорости
Определение
Мгновенной скоростью (или чаще просто скоростью) материальной точки называется физическая величина равная первой производной от радиус–вектора
$bar{r}$ точки по времени (t). Обозначают скорость обычно буквой v.
Это векторная величина. Математически определение вектора мгновенной скорости записывается как:
$$bar{v}=frac{d bar{r}}{d t}=dot{bar{r}}(1)$$
Скорость имеет направление указывающее направление движения материальной точки и лежит на касательной к траектории ее движения.
Модуль скорости можно определить как первую производную от длины пути (s) по времени:
$$v=frac{d s}{d t}=dot{s}(2)$$
Скорость характеризует быстроту перемещения в направлении движения точки по отношениюк рассматриваемой системе координат.
Скорость в разных системах координат
Проекции скорости на оси декартовой системы координат запишутся как:
$$v_{x}=dot{x} ; v_{y}=dot{y} ; v_{z}=dot{z}(3)$$
Следовательно, вектор скоростив декартовых координатах можно представить:
$$bar{v}=dot{x} bar{i}+dot{y} bar{j}+dot{z} bar{k}(4)$$
где $bar{i}, bar{j}, bar{k}$ единичные орты. При этом модуль вектора скорости находят при помощи формулы:
$$v=sqrt{(dot{x})^{2}+(dot{y})^{2}+(dot{z})^{2}}(5)$$
В цилиндрических координатах модуль скорости вычисляют при помощи формулы:
$$v=sqrt{(dot{rho})^{2}+(rho dot{varphi})^{2}+(dot{z})^{2}}(6)$$
в сферической системе координат:
$$v=sqrt{(r)^{2}+(r dot{theta})^{2}+(r dot{varphi} sin theta)^{2}}(7)$$
Частные случаи формул для вычисления скорости
Если модуль скорости не изменяется во времени, то такое движение называют равномерным (v=const).
При равномерном движении скорость можно вычислить, применяя формулу:
$$v=frac{s}{t}(8)$$
где s– длина пути, t – время, за которое материальная точка преодолела путь s.
При ускоренном движении скорость можно найти как:
$$bar{v}=int_{t_{1}}^{t_{2}} bar{a} d t(9)$$
где $bar{a}$ – ускорение точки,
$t_{1} leq t leq t_{2}$ – отрезок времени, в течение которого рассматривается скорость.
Если движение является равнопеременным, то применяется следующая формула для вычисления скорости:
$$bar{v}=bar{v}_{0}+bar{a} t$$
где $bar{v}_0$ – начальная скорость движения,
$bar{a} = const$ .
Единицы измерения скорости
Основной единицей измерения скорости в системе СИ является: [v]=м/с2
В СГС: [v]=см/с2
Примеры решения задач
Пример
Задание. Движение материальной точки А задано уравнением:
$x=2 t^{2}-4 t^{3}$ . Точка начала свое движение при
t0=0 c.Как будет двигаться рассматриваемая точка по отношению к оси X в момент времени t=0,5 с.
Решение. Найдем уравнение, которое будет задавать скорость рассматриваемой материальной точки, для
этого от функции x=x(t), которая задана в условиях задачи, возьмем первую производную по времени, получим:
$$v=frac{d x}{d t}=4 t-12 t^{2}(1.1)$$
Для определения направления движения подставим в полученную нами функцию для скорости v=v(t) в (1.1) указанный в условии момент
времении сравним результат с нулем:
$$v(t=0,5)=4 cdot 0,5-12(0,5)^{2}=-1 lt 0$$
Так как мы получили, что скорость в указанный момент времени отрицательна, следовательно, материальная точка движется против оси X.
Ответ. Против оси X.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Скорость материальной точки является функцией от времени вида:
$$v=10left(1-frac{t}{5}right)$$
где скорость в м/с, время в c. Какова координата точки в момент времени равный 10 с, в какой момент времени точка будет на расстоянии
10 м от начала координат? Считайте, что при t=0 c точка началадвижение из начала координат по оси X.
Решение. Точка движется по оси X, cвязь координаты x и скорости движения определена формулой:
$$x=int_{0}^{t} v d t=int_{0}^{t} 10left(1-frac{t}{5}right) d t=10 t-frac{10 t^{2}}{2 cdot 5}=10 t-t^{2}(2.1)$$
Для ответа на первый вопрос задачи подставим в выражение (2.1) время t=10 c, имеем:
$$x=10 cdot 10-(10)^{2}=0(m)$$
Для того чтобы определить в какой момент времени точка будет находиться на расстоянии 10 м от начала координат
приравняем выражение (2.1) к 10 и решим, полученное квадратное уравнение:
$$
begin{array}{c}
10 t-t^{2}=10(2.2) \
t_{1}=5+sqrt{15} approx 8,8(c) ; t_{2}=5-sqrt{15} approx 1,13(c)
end{array}
$$
Рассмотрим второй вариант нахождения точки на расстоянии 10 м от начала координат, когда x=-10. Решим квадратное уравнение:
$$10 t-t^{2}=-10(2.3)$$
При решении уравнения (2.3) нам подойдет корень равный:
$$t_{3}=5+6=11 (c)$$
Ответ. 1) $x=0 mathrm{~m}$ 2) $t_{1}=8,8 mathrm{c}, t_{2}=1,13 c, t_{3}=11 c$
Читать дальше: Формула средней скорости.
Кинематика
Механика — это раздел физики, изучающий механическое движение тел.
Кинематика — это раздел механики, в котором изучается механическое движение тел без учета причин, вызывающих это движение.
Материальная точка — тело, обладающее массой, размерами которого в данной задаче можно пренебречь, если
- расстояние, которое проходит тело, много больше его размера;
- расстояние от данного тела до другого тела много больше его размера;
- тело движется поступательно.
Система отсчета — это тело отсчета, связанная с ним система координат и прибор для измерения времени.
Траектория — это линия, которую описывает тело при своем движении.
Путь — это скалярная величина, равная длине траектории.
Перемещение — это вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением за данный промежуток времени.
Важно!
В процессе движения путь может только увеличиваться, а перемещение как увеличиваться, так и уменьшаться, например, когда тело поворачивает обратно.
При прямолинейном движении в одном направлении путь равен модулю перемещения, а при криволинейном — путь больше перемещения.
Перемещение на замкнутой траектории равно нулю.
Основная задача механики — определить положение тела в пространстве в любой момент времени.
Содержание
- Механическое движение и его виды
- Относительность механического движения
- Правило сложения перемещений
- Правило сложения скоростей
- Относительная скорость
- Скорость
- Ускорение
- Равномерное движение
- График скорости (проекции скорости)
- График перемещения (проекции перемещения)
- Прямолинейное равноускоренное движение
- Свободное падение (ускорение свободного падения)
- Движение тела по вертикали
- Движение тела, брошенного горизонтально
- Движение тела, брошенного под углом к горизонту (баллистическое движение)
- Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью
- Основные формулы по теме «Кинематика»
Механическое движение и его виды
Механическое движение — это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.
Механическое движение может быть:
1. по характеру движения
- поступательным — это движение, при котором все точки тела движутся одинаково и любая прямая, мысленно проведенная в теле, остается параллельна сама себе;
- вращательным — это движение, при котором все точки твердого тела движутся по окружностям, расположенным в параллельных плоскостях;
- колебательным — это движение, которое повторяется в двух взаимно противоположных направлениях;
2. по виду траектории
- прямолинейным — это движение, траектория которого прямая линия;
- криволинейным — это движение, траектория которого кривая линия;
3. по скорости
- равномерным — движение, при котором скорость тела с течением времени не изменяется;
- неравномерным — это движение, при котором скорость тела с течением времени изменяется;
4. по ускорению
- равноускоренным — это движение, при котором скорость тела увеличивается с течением времени на одну и ту же величину;
- равнозамедленным — это движение, при котором скорость тела уменьшается с течением времени на одну и ту же величину.
Относительность механического движения
Относительность движения — это зависимость характеристик механического движения от выбора системы отсчета.
Правило сложения перемещений
Перемещение тела относительно неподвижной системы отсчета равно векторной сумме перемещения тела относительно подвижной системы отсчета и перемещения подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета:
где ( S ) — перемещение тела относительно неподвижной системы отсчета;
( S_1 ) — перемещение тела относительно подвижной системы отсчета;
( S_2 ) — перемещение подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета.
Правило сложения скоростей
Скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скорости тела относительно подвижной системы отсчета и скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета:
где ( v ) — скорость тела относительно неподвижной системы отсчета;
( v_1 ) — скорость тела относительно подвижной системы отсчета;
( v_2 ) — скорость подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета.
Относительная скорость
Важно! Чтобы определить скорость одного тела относительно другого, надо мысленно остановить то тело, которое мы принимаем за тело отсчета, а к скорости оставшегося тела прибавить скорость остановленного, изменив направление его скорости на противоположное.
Пусть ( v_1 ) — скорость первого тела, а ( v_2 ) — скорость второго тела.
Определим скорость первого тела относительно второго ( v_{12} ):
Определим скорость второго тела относительно первого ( v_{21} ):
Следует помнить, что траектория движения тела и пройденный путь тоже относительны.
Если скорости направлены перпендикулярно друг к другу, то относительная скорость рассчитывается по теореме Пифагора:
Если скорости направлены под углом ( alpha ) друг к другу, то относительная скорость рассчитывается по теореме косинусов:
Скорость
Скорость — это векторная величина, характеризующая изменение перемещения данного тела относительно тела отсчета с течением времени.
Обозначение — ( v ), единицы измерения — м/с (км/ч).
Средняя скорость — это векторная величина, равная отношению всего перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло:
Средняя путевая скорость — это скалярная величина, равная отношению всего пути, пройденного телом, к промежутку времени, за которое этот путь пройден:
Важно! Чтобы определить среднюю скорость на всем участке пути, надо время разделить на отдельные промежутки и все время представить в виде суммы этих промежутков.
Чтобы определить среднюю скорость за все время движения, надо путь разделить на отдельные участки и весь путь представить как сумму этих участков.
Мгновенная скорость — это скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории.
Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории движения.
Ускорение
Ускорение – это векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости.
Обозначение — ( a ), единица измерения — м/с2.
В векторном виде:
где ( v ) – конечная скорость; ( v_0 ) – начальная скорость;
( t ) – промежуток времени, за который произошло изменение скорости.
В проекциях на ось ОХ:
где ( a_n ) – нормальное ускорение, ( a_{tau} ) – тангенциальное ускорение.
Тангенциальное ускорение сонаправлено с вектором линейной скорости, а значит, направлено вдоль касательной к кривой:
Нормальное ускорение перпендикулярно направлению вектора линейной скорости, а значит, и касательной к кривой:
Ускорение характеризует быстроту изменения скорости, а скорость – векторная величина, которая имеет модуль (числовое значение) и направление.
Важно!
Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения модуля скорости. Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения направления скорости.
Если ( a_{tau} ) ≠ 0, ( a_n ) = 0, то тело движется по прямой;
если ( a_{tau} ) = 0, ( a_n ) = 0, ( v ) ≠ 0, то тело движется равномерно по прямой;
если ( a_{tau} ) = 0, ( a_n ) ≠ 0, тело движется равномерно по кривой;
если ( a_{tau} ) = 0, ( a_n ) = const, то тело движется равномерно по окружности;
если ( a_{tau} ) ≠ 0, ( a_n ) ≠ 0, то тело движется неравномерно по окружности.
Равномерное движение
Равномерное движение – это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения.
Скорость при равномерном движении – величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло:
Проекция вектора скорости на ось ОХ:
Проекция вектора скорости на координатную ось равна быстроте изменения данной координаты:
График скорости (проекции скорости)
График скорости (проекции скорости) представляет собой зависимость скорости от времени:
График скорости при равномерном движении – прямая, параллельная оси времени.
График 1 лежит над осью ( t ), тело движется по направлению оси ОХ.
Графики 2 и 3 лежат под осью ( t ), тело движется против оси ОХ.
Перемещение при равномерном движении – это величина, равная произведению скорости на время:
Проекция вектора перемещения на ось ОХ:
График перемещения (проекции перемещения)
График перемещения (проекции перемещения) представляет собой зависимость перемещения от времени:
График перемещения при равномерном движении – прямая, выходящая из начала координат.
График 1 лежит над осью ( t ), тело движется по направлению оси ОХ.
Графики 2 и 3 лежат под осью ( t ), тело движется против оси ОХ.
По графику зависимости скорости от времени можно определить перемещение, пройденное телом за время ( t ). Для этого необходимо определить площадь фигуры под графиком (заштрихованной фигуры).
Координата тела при равномерном движении рассчитывается по формуле:
График координаты представляет собой зависимость координаты от времени: ( x=x(t) ).
График координаты при равномерном движении – прямая.
График 1 направлен вверх, тело движется по направлению оси ОХ:
График 2 параллелен оси ОХ, тело покоится.
График 3 направлен вниз, тело движется против оси ОХ:
Прямолинейное равноускоренное движение
Прямолинейное равноускоренное движение – это движение по прямой, при котором тело движется с постоянным ускорением:
При движении с ускорением скорость может как увеличиваться, так и уменьшаться.
Скорость тела при равноускоренном движении рассчитывается по формуле:
При разгоне (в проекциях на ось ОХ):
При торможении (в проекциях на ось ОХ):
График ускорения (проекции ускорения) при равноускоренном движении представляет собой зависимость ускорения от времени:
График ускорения при равноускоренном движении – прямая, параллельная оси времени.
График 1 лежит над осью t, тело разгоняется, ( a_x ) > 0.
График 2 лежит под осью t, тело тормозит, ( a_x ) < 0.
График скорости (проекции скорости) представляет собой зависимость скорости от времени:
График скорости при равноускоренном движении – прямая.
График 1 направлен вверх, тело движется равноускоренно в положительном направлении оси ОХ, ( v_{0x} ) > 0, ( a_x ) > 0.
График 2 направлен вниз, тело движется равнозамедленно в положительном направлении оси ОХ, ( v_{0x} ) > 0, ( a_x ) < 0,
График 3 направлен вниз, тело движется равноускоренно против оси ОХ, ( v_{0x} ) < 0, ( a_x ) < 0. По графику зависимости скорости от времени можно определить перемещение, пройденное телом за промежуток времени ( t_2-t_1 ). Для этого необходимо определить площадь фигуры под графиком (заштрихованной фигуры).
Перемещение при равноускоренном движении рассчитывается по формулам:
Перемещение в ( n )-ую секунду при равноускоренном движении рассчитывается по формуле:
Координата тела при равноускоренном движении рассчитывается по формуле:
Свободное падение (ускорение свободного падения)
Свободное падение – это движение тела в безвоздушном пространстве под действием только силы тяжести.
Все тела при свободном падении независимо от массы падают с одинаковым ускорением, называемым ускорением свободного падения.
Ускорение свободного падения всегда направлено к центру Земли (вертикально вниз).
Обозначение – ( g ), единицы измерения – м/с2.
Важно! ( g ) = 9,8 м/с2, но при решении задач считается, что ( g ) = 10 м/с2.
Движение тела по вертикали
Тело падает вниз, вектор скорости направлен в одну сторону с вектором ускорения свободного падения:
Если тело падает вниз без начальной скорости, то ( v_0 ) = 0.
Время падения рассчитывается по формуле:
Тело брошено вверх:
Если брошенное вверх тело достигло максимальной высоты, то ( v ) = 0.
Время подъема рассчитывается по формуле:
Движение тела, брошенного горизонтально
Движение тела, брошенного горизонтально, можно представить как суперпозицию двух движений:
- равномерного движения по горизонтали со скоростью ( v_0=v_{0x} );
- равноускоренного движения по вертикали с ускорением свободного падения ( g ) и без начальной скорости ( v_{0y}=0 ).
Уравнение скорости:
Уравнение координаты:
Скорость тела в любой момент времени:
Дальность полета:
Угол между вектором скорости и осью ОХ:
Движение тела, брошенного под углом к горизонту (баллистическое движение)
Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно представить как суперпозицию двух движений:
- равномерного движения по горизонтали;
- равноускоренного движения по вертикали с ускорением свободного падения.
Уравнение скорости:
Уравнение координаты:
Скорость тела в любой момент времени:
Угол между вектором скорости и осью ОХ:
Время подъема на максимальную высоту:
Максимальная высота подъема:
Время полета:
Максимальная дальность полета:
Важно!
При движении вверх вертикальная составляющая скорости будет уменьшаться, т. е. тело вдоль вертикальной оси движется равнозамедленно.
При движении вниз вертикальная составляющая скорости будет увеличиваться, т. е. тело вдоль вертикальной оси движется равноускоренно.
Скорость ( v_0 ), с которой тело брошено с Земли, будет равна скорости, с которой оно упадет на Землю. Угол ( alpha ), под которым тело брошено, будет равен углу, под которым оно упадет.
При решении задач на движение тела, брошенного под углом к горизонту, важно помнить, что в точке максимального подъема проекция скорости на ось ОУ равна нулю:
Это облегчает решение задач:
Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью
Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью – простейший вид криволинейного движения.
Траектория движения – окружность. Вектор скорости направлен по касательной к окружности.
Модуль скорости тела с течением времени не изменяется, а ее направление при движении по окружности в каждой точке изменяется, поэтому движение по окружности – это движение с ускорением.
Ускорение, которое изменяет направление скорости, называется центростремительным.
Центростремительное ускорение направлено по радиусу окружности к ее центру.
Центростремительное ускорение – это ускорение, характеризующее быстроту изменения направления вектора линейной скорости.
Обозначение – ( a_{цс} ), единицы измерения – м/с2.
Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью является периодическим движением, т. е. его координата повторяется через равные промежутки времени.
Период – это время, за которое тело совершает один полный оборот.
Обозначение – ( T ), единицы измерения – с.
где ( N ) – количество оборотов, ( t ) – время, за которое эти обороты совершены.
Частота вращения – это число оборотов за единицу времени.
Обозначение – ( nu ), единицы измерения – с–1 (Гц).
Период и частота – взаимно обратные величины:
Линейная скорость – это скорость, с которой тело движется по окружности.
Обозначение – ( v ), единицы измерения – м/с.
Линейная скорость направлена по касательной к окружности:
Угловая скорость – это физическая величина, равная отношению угла поворота к времени, за которое поворот произошел.
Обозначение – ( omega ), единицы измерения – рад/с .
Направление угловой скорости можно определить по правилу правого винта (буравчика).
Если вращательное движение винта совпадает с направлением движения тела по окружности, то поступательное движение винта совпадает с направлением угловой скорости.
Связь различных величин, характеризующих движение по окружности с постоянной по модулю скоростью:
Важно!
При равномерном движении тела по окружности точки, лежащие на радиусе, движутся с одинаковой угловой скоростью, т. к. радиус за одинаковое время поворачивается на одинаковый угол. А вот линейная скорость разных точек радиуса различна в зависимости от того, насколько близко или далеко от центра они располагаются:
Если рассматривать равномерное движение двух сцепленных тел, то в этом случае одинаковыми будут линейные скорости, а угловые скорости тел будут различны в зависимости от радиуса тела:
Когда колесо катится равномерно по дороге, двигаясь относительно нее с линейной скоростью ( v_1 ), и все точки обода колеса движутся относительно его центра с такой же линейной скоростью ( v_1 ), то относительно дороги мгновенная скорость разных точек колеса различна.
Мгновенная скорость нижней точки ( (m) ) равна нулю, мгновенная скорость в верхней точке ( (n) ) равна удвоенной скорости ( v_1 ), мгновенная скорость точки ( (p) ), лежащей на горизонтальном радиусе, рассчитывается по теореме Пифагора, а мгновенная скорость в любой другой точке ( (c) ) – по теореме косинусов.
Основные формулы по теме «Кинематика»
Кинематика
3 (59.86%) 146 votes
Содержание материала
- Закон сложения скоростей
- Видео
- Угловая скорость
- Перемещение и путь
- Скорость
- Как найти начальную скорость с ускорением и временем?
- Скорость выраженная через ускорение и время
- Равноускоренное движение
- Равномерное движение точки по окружности
- Центростремительное ускорение
Закон сложения скоростей
Как уже упоминалось в предыдущем уроке, скорость тела зависит от выбранной наблюдателем системы отсчета. Разберем следующий пример: в безветренную погоду пчела летит со скоростью 
относительно земли. Это будет собственная скорость пчелы. Затем погода меняется и начинает дуть ветер, перпендикулярный скорости пчелы. Скорость ветра обозначена 
(см. рисунок 1).
Рисунок 1 – Первоначальная скорость пчелы и ветра
Естественно, что ветер начнет сдувать пчелу с первоначального курса. Собственная скорость не изменяется, так как это характеристика самой пчелы, но ее скорость относительно земли (по модулю и направлению) изменится и станет (см. рисунок 2):
Рисунок 2 – Изменившаяся скорость пчелы
Систему отсчета, связанную с землей, можно считать неподвижной. Если же рассматривать движение пчелы относительно воздуха, можно говорить о движущейся со скоростью v2 системе отсчета.
Рисунок 3 – Векторы скорости и перемещений при движении пчелы при ветре
Видео
Угловая скорость
Проявляется этот вид при вращении тела вокруг оси. Траектория представляет собой круговое движение. Основным параметром, учитывающимся при его нахождении, является угол поворота (f). Все элементарные угловые движения являются векторами. Обычный поворот равен углу вращения тела df за небольшой отрезок времени dt в противоположную сторону от хода часовой стрелки.
В математике формулу для нахождения углового параметра записывают как w = df/dt. Угловая скорость — аксиальная величина, располагающаяся вдоль мгновенной оси и совпадающая с поступательным вращением правого винта. Равномерное вращение, то есть движение, при котором происходит поворот на один и тот же угол, называют равномерным. Модуль угловой скорости определяют по формуле: w = f/t, где f — угол поворота, t — время, в течение которого происходило вращение. Учитывая, что Δf = 2p, формулу можно переписать до вида: w = 2p/T, то есть с использованием периода.
Существует связь между угловой скоростью и числом оборотов: w = 2*p*v. Это понятие используется для решения заданий при описании неравномерного вращения. Есть также выражение, связывающее линейную скорость с угловой: v = [w*R], где R — компонента, проведённая перпендикулярно к радиус-вектору. В качестве единицы измерения параметра используется радиан, делённый на секунду (рад/с).
Например, необходимо определить угловую скорость вариатора в тот момент, когда подвешенная масса пройдёт расстояние, равное 10 метрам. Радиус плеча составляет 40 сантиметров. В начальный момент подвес находится в состоянии покоя, а затем начинает опускаться с ускорением A = 0,04 м/с2.
Учитывая, что линейная скорость вариатора совпадает с движением груза по прямой, можно записать: V = (2*a*S)½. Должен получится ответ: V = (4*0,04*10)½ = 1,26 м/с. Угловую же скорость находят по формуле: w = v/R, так как R = 40 см = 0,4 м, то W = 1,26/0,4 = 3,15 рад/с.
Перемещение и путь
Тело переместилось из точки А в точку Б. При этом перемещение тела – отрезок, соединяющий данные точки напрямую – векторная величина. Путь, пройденный телом – длина его траектории. Очевидно, перемещение и путь не стоит путать. Модуль вектора перемещения и длина пути совпадают лишь в случае прямолинейного движения.
В системе СИ перемещение и длина пути измеряются в метрах.
Перемещение равно разнице радиус-векторов в начальный и конечный моменты времени. Другими словами, это приращение радиус вектора.
Скорость
Двигаться со скоростью черепахи — значит медленно, а со скоростью света — значит очень быстро. Сейчас узнаем, как пишется скорость в математике и как ее найти по формуле.
Скорость определяет путь, который преодолеет объект за единицу времени. Скорость обозначается латинской буквой v.
Проще говоря, скоростью называют расстояние, пройденное телом за единицу времени.
Впервые формулу скорости проходят на математике в 5 классе. Сейчас мы ее сформулируем и покажем, как ее использовать.
Формула скорости
Чтобы найти скорость, нужно разделить путь на время:
v = s : t
Показатели скорости чаще всего выражаются в м/сек или км/час.
Скорость сближения — это расстояние, на которое сблизились два объекта за единицу времени. Чтобы найти скорость сближения двух объектов, которые движутся навстречу друг другу, надо сложить скорости этих объектов.
Скорость удаления — расстояние, на которое отдалились друг от друга два объекта за единицу времени.
Чтобы найти скорость удаления объектов, которые движутся в противоположных направлениях, нужно сложить скорости этих объектов.
Чтобы найти скорость удаления при движении с отставанием или скорость сближения при движении вдогонку, нужно из большей скорости вычесть меньшую.
Онлайн-курсы по математике для детей — отличный способ разобраться в сложных темах под руководством внимательного преподавателя.
Как найти начальную скорость с ускорением и временем?
Когда тело начинает перемещаться из одной точки в другую, сначала оно обладает некоторой скоростью. Тело не нуждается в постоянной скорости, пока оно не достигнет своего конечного пункта назначения. Скорость тела изменяется со временем, когда оно движется, и, следовательно, тело приобретает ускорение.
Из приведенного выше объяснения ясно, что движущееся тело может иметь разные скорости. Тела скорость на начальном этапе может отличаться от финального. Давайте обсудим нахождение скорости с ускорением и временем в начальной точке.
Рассмотрим сначала автомобиль, движущийся со скоростью vi, а его скорость изменится через некоторое время t. Теперь тело ускоряется с ускорением «а», и, наконец, когда оно достигает конечной точки, оно имеет скорость vf.
Начальную скорость можно рассчитать тремя способами.
Используя алгебраический метод:
Ускорение из-за изменения скорости определяется выражением
а * т = vf — vi
О перестановке
vi = Vf — в
Вышеприведенное уравнение дает начальную скорость движущегося тела.
По расчетам:
Исходя из определения ускорения, уравнение имеет вид
Изменение условий;
адт = дв
Интегрируя приведенное выше уравнение, выбирая пределы в качестве начальной скорости vi в момент времени t = 0 и конечной скорости vf в момент t.
а (t — 0) = (vf — vi)
при = vf — vi
Преобразуя приведенное выше уравнение, мы получаем начальную скорость.
vi = Vf — в
Графическим методом:
Построен график зависимости скорости от времени, наклон которого дает ускорение — затем, найдя наклон, можно вычислить начальную скорость.
Исходя из приведенного выше графика, мы можем сказать это.
- В единый интервал времени скорость тела изменяется.
- OD — время, затрачиваемое телом на путешествие, а BD — конечная скорость тела.
- Перпендикулярные линии от BD к A проводятся параллельно OD. Таким же образом проводится линия BE параллельно OD.
На приведенном выше графике показано, что
Начальная скорость тела vi = ОА
Конечная скорость тела vf = БД
На графике BD = BC + DC
Следовательно, vf = ВС + ПОС
Но DC = OA = vi
vf = до нашей эры + ви
На графике наклон = ускорение a
Но AC = t (из графика)
при = BC
Подставляя значение BC
vf = при + vi
vi = Vf — в
Скорость выраженная через ускорение и время
| Поскольку движение начинается из состояния покоя, то изменение скорости равно величине скорости, достигнутой к моменту времени t, и скорость вычисляется по следующей формуле:
[u = at] |
 График ускорения — Равномерно ускоренное движение без начальной скорости |
Равноускоренное движение
Если в течение времени положение тела изменяется относительно предметов, находящихся в покое, то считается, что оно движется. При этом в качестве основного параметра, описывающего перемещение, используется скорость. Движение тела или точки можно представить в виде линии, повторяющей путь прохождения. Называется она траекторией. Если линия прямая, то движение считается прямолинейным.
Неравномерное движение характеризуется перемещением по различной траектории с непостоянной величиной скорости. При этом изменение положения может быть равноускоренным, то есть параметр на одинаковых промежутках увеличивается или уменьшается на одно и то же значение. В качестве примера можно привести падение камня.
В произвольно взятой точке скорость перемещения равна ускорению свободного падения.
Таким образом, если векторы V и ускорения A лежат вдоль прямой, то в проекциях такое направление можно рассматривать как алгебраические величины. При равноускоренном движении по прямой траектории скорость точки вычисляется по формуле: V = V0 + A*t. Где:
- V0 — начальная скорость;
- A — ускорение (имеет постоянное значение);
- t — время движения.
Это основная формула в физике. На графике она изображается как прямая линия v (t). По оси ординат откладывается время, а абсцисс — скорость. Построив график, по наклону прямой можно определить ускорение точки A. Для этого используется формула нахождения сторон треугольника: A = (v-v0) / t.
Если на оси времени выделить промежуток Δt, то можно предположить, что движение будет равномерным и описываться некоторым параметром, равным мгновенному значению в середине отрезка. Эта моментальная величина является векторной. Она численно равна пределу, который пытается достигнуть скорость за промежуток времени, стремящийся к нулю. В физике это состояние описывается формулой мгновенной скорости: V = lim (Δ s/ Δ t) = r-1(t). То есть, с математической точки зрения, это первая производная.
Исходя из этого можно утверждать, что движение Δs = v*Δt. Так как произведение ускорения на время определяется разницей V -V0, то верной будет запись: S = V0*t + A*t2/2 = (V2 — V20) /2*A.
Из этой формулы можно вывести выражение для нахождения конечной скорости материальной точки: V = (V20 — 2* A * s)½. Если же в начальный момент V0 = 0, то формулу можно упростить до вида: V = (2* A * s)½.
Равномерное движение точки по окружности
Центростремительное ускорение
Представим себе равномерное движение по окружности: во время этого типа движения скорость не меняется по модулю, однако меняется по направлению (см. рисунок 12).
Рисунок 12 – Изменение направления скорости при равномерном движении по окружности
За изменение направления скорости отвечает центростремительное ускорение ( Оно, так же как и скорость, постоянно по модулю, но меняется по направлению – в любой точке окружности оно направлено к ее центру. Центростремительное ускорение можно найти по формуле:
где R – радиус окружности, по которой циклически движется тело.