Зная длину ребер тетраэдра, необходимо вычислить в первую очередь длину одного ребра, разделив периметр тетраэдра на количество ребер – 6.
a=P/6
Через периметр тетраэдра, выраженный в ребро, можно найти площадь одной грани тетраэдра, а затем площадь полной поверхности тетраэдра, умножив площадь одной грани на четыре.
S_1=P^2/(48√3)
S_(п.п.)=4S_1=P^2/(12√3)
Радиус вписанной окружности в грань тетраэдра, представленную как равносторонний треугольник, равно как и радиус, окружности описанной около нее, выражаются через ребро тетраэдра, которое можно заменить на уменьшенную в шесть раз длину ребер тетраэдра.
r=P/(12√3)
R=P/(6√3)
Высота и апофема тетраэдра связаны через основание с боковым ребром радиусами вписанной и описанной окружностей около основания. Поэтому их формулы выведены через теорему Пифагора для прямоугольного треугольника во внутреннем пространстве тетраэдра.
h=(√(2/3) P)/6
l=(√3 P)/12
Чтобы найти объем тетраэдра через длину всех его ребер, нужно возвести периметр тетраэдра в третью степень и разделить на 1296 корней из двух.
V=P^3/(1296√2)
В тетраэдр можно вписать сферу так, чтобы она касалась всех его граней, так как тетраэдр является правильной пирамидой, а также можно описать сферу около него. Радиус вписанной и описанной сферы можно найти по формулам, приведенным ниже. (рис.60.2, 60.3)
r_1=P/(12√6)
R_1=(√3 P)/(12√2)
Этот калькулятор поможет быстро найти ребро тетраэдра. Для этого нужно заполнить всего лишь одну ячейку – остальные значения определятся автоматически. Таким образом можно найти не только ребро тетраэдра, но и высоту, объем, площадь, длину всех ребер, площадь грани тетраэдра и другие значения. Также решению задач помогут формулы расчетов, которые будут даны в ответе.
Введите данные:
Достаточно ввести только одно значение, остальное калькулятор посчитает сам.
Радиус вписанной сферы (r)
Радиус описанной сферы (R)
Высота грани тетраэдра (Hg)
Площадь грани тэтраэдра (Sg)
Округление:
* — обязательно заполнить
Аналитическая геометрия — задача на расчет пирамиды (тетраэдра)
Краткая теория
Вузовская аналитическая геометрия отличается от курса школьной геометрии. Главное отличие состоит в том, что она основным своим инструментом имеет набор алгебраических формул и методов вычислений. В основе аналитической геометрии лежит метод координат.
Аналитическая геометрия имеет набор формул, готовых уравнений и алгоритмов действия. Для успешного и правильного решения главное — разобраться и уделить задаче достаточно времени.
Данная задача является типовой в курсе аналитической геометрии и требует использования различных методов и знаний, таких как декартовые прямоугольные координаты и вектора в пространстве.
Пример решения задачи
Задача
Даны координаты
вершин пирамиды
. Найти:
Сделать чертеж.
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Решение
Длина ребра
Длину ребра
найдем по
формуле расстояния между 2-мя точками:
Угол между ребрами
Угол между ребрами
и
найдем как угол
между направляющими векторами
и
:
Косинус угла между
векторами:
Угол между ребром и гранью. Векторное произведение
Вычислим угол между
ребром
и гранью
.
Для этого вычислим
координаты нормального вектора плоскости
–им будет
векторное произведение векторов
и
.
Найдем векторное произведение. Для этого
вычислим определитель:
Нормальный вектор
плоскости:
Синус угла:
Площадь грани
Вычислим площадь
грани
. Она будет численно равна половине модуля векторного
произведения векторов
и
:
Искомая площадь:
Объем пирамиды. Смешанное произведение векторов
Вычислим объем
пирамиды. Он будет равен шестой части модуля смешанного произведения векторов
и
:
Для того чтобы вычислить смешанное произведение, необходимо
найти определитель квадратной матрицы, составленной из координат векторов:
Искомый объем
пирамиды:
Уравнение прямой в пространстве
Вычислим уравнение
прямой
. Направляющим
вектором искомой прямой является вектор
. Кроме того, прямая проходит через точку
Уравнение искомой
прямой:
Уравнение плоскости
Вычислим уравнение
плоскости
. Нормальный вектор плоскости
. кроме того, плоскость проходит через точку
-уравнение
грани
Уравнение высоты, опущенной на грань
Составим уравнение
высоты, опущенной на грань
из вершины
:
Нормальный вектор
является
направляющим вектором высоты, кроме того, высота проходит через точку
Искомое уравнение
высоты:
Сделаем схематический чертеж:
Как найти рёбра основания тетраэдра
Четверка — «тетра» — в названии объемной геометрической фигуры указывает на количество образующих ее граней. А число граней правильного тетраэдра, в свою очередь, однозначно определяет конфигурацию каждой из них — четыре поверхности могут составить объемную фигуру, только имея форму правильного треугольника. Вычисление длин ребер составленной из правильных треугольников фигуры особой сложности не представляет.
Инструкция
В фигуре, составленной из абсолютно одинаковых граней, основанием можно считать любое из них, поэтому задача сводится к вычислению длины произвольно выбранного ребра. Если вам известна полная площадь поверхности тетраэдра (S), для вычисления длины ребра (a) извлеките из нее квадратный корень и разделите полученный результат на кубический корень из тройки: a = √S/³√3.
Площадь одной грани (s), очевидно, должна быть вчетверо меньше полной площади поверхности. Поэтому для расчета длины грани по этому параметру трансформируйте формулу из предыдущего шага к такому виду: a = 2*√s/³√3.
Если в условиях дана только высота (H) тетраэдра, для нахождения длины стороны (а), составляющей каждую грань, утройте это единственное известное значение, а затем разделите на квадратный корень из шестерки: a = 3*H/√6.
При известном из условий задачи объеме (V) тетраэдра для вычисления длины ребра (a) придется извлекать кубический корень из этой величины, увеличенной в двенадцать раз. Рассчитав эту величину, разделите ее еще и на корень четвертой степени из двойки: a = ³√(12*V)/⁴√2.
Зная диаметр описанной около тетраэдра сферы (D) тоже можно найти длину ее ребра (a). Чтобы это сделать, увеличьте диаметр вдвое, а затем разделите на квадратный корень из шестерки: a = 2*D/√6.
По диаметру вписанной в эту фигуру сферы (d) длина ребра определяется почти так же, разница лишь в том, что диаметр надо увеличивать не вдвое, а в целых шесть раз: a = 6*d/√6.
Радиус окружности (r), вписанной в любую грань этой фигуры, тоже позволяет вычислить нужную величину — умножьте его на шестерку и разделите на квадратный корень из тройки: a = r*6/√3.
Если в условиях задачи дана суммарная длина всех ребер правильного тетраэдра (P), для нахождения длины каждого из них просто разделите это число на шесть — именно столько ребер имеет эта объемная фигура: a = P/6.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Как найти ребро тетраэдра
Объемная геометрическая фигура, которую образуют четыре грани, называется тетраэдром. Каждая из граней такой фигуры может иметь только треугольную форму. Любая из четырех вершин многогранника образуется тремя ребрами, а общее число ребер равно шести. Возможность рассчитать длину ребра существует не всегда, но если она есть, то конкретный способ вычислений зависит от имеющихся исходных данных.
Инструкция
Если рассматриваемая фигура является «правильным» тетраэдром, то она составлена из граней, имеющих форму равносторонних треугольников. Все ребра такого многогранника имеют одинаковую длину. Если вам известен объем (V) правильного тетраэдра, то для расчета длины любого его ребра (a) извлеките кубический корень из частного от деления увеличенного в двенадцать раз объема на квадратный корень из двойки: a=?v(12*V/v2). Например, при объеме в 450см? правильный тетраэдр должен иметь ребро, длиной ?v(12*450/v2) ? ?v(5400/1,41) ? ?v3829,79 ? 15,65см.
Если из условий задачи известна площадь поверхности (S) правильного тетраэдра, то для нахождения длины ребра (a) тоже не обойтись без извлечения корней. Поделите единственную известную величину на квадратный корень из тройки, а из полученного значения тоже извлеките квадратный корень: a=v(S/v3). Например, правильный тетраэдр, площадь поверхности которого составляет 4200см?, должен иметь длину ребра, равную v(4200/v3) ? v(4200/1,73) ? V2427,75 ? 49,27см.
Если известна высота (H), проведенная из любой вершины правильного тетраэдра, то этого тоже достаточно для расчета длины ребра (a). Поделите утроенную высоту фигуры на квадратный корень из шестерки: a=3*H/v6. Например, при высоте правильного тетраэдра в 35см длина его ребра должна быть равна 3*35/v6 ? 105/2,45 ? 42,86см.
Если никаких исходных данных самой фигуры нет, но известен радиус вписанной в правильный тетраэдр сферы (r), то найти длину ребра (a) этого многогранника тоже возможно. Чтобы это сделать увеличьте радиус в двенадцать раз и разделите на квадратный корень из шестерки: a=12*r/v6. Например, если радиус равен 25см, то длина ребра будет составлять 12*25/v6 ? 300/2,45 ? 122,45см.
Если известен радиус не вписанной, а описанной около правильного тетраэдра сферы (R), то длина ребра (a) должна быть в три раза меньше. Увеличьте радиус на этот раз только в четыре раза и снова разделите на квадратный корень из шести: a=4*r/v6. Например, чтобы радиус описанной сферы был равен 40см, длина ребра должна иметь величину в 4*40/v6 ? 160/2,45 ? 65,31см.
Источники:
- Правильная четырёхугольная пирамида
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.