Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.
Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.
Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.
Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.
Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.
В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная
равна нулю.
Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.
Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).
Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?
Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:
У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).
Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).
Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:
— Производная положительна там, где функция возрастает.
— Производная отрицательна там, где функция убывает.
С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.
Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).
Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.
Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после — производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.
(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.
(- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.
(-7): минимум.
(3): максимум.
Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:
— Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
— Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.
Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:
- Найдите производную функции (f'(x)).
- Найдите корни уравнения (f'(x)=0).
- Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
- Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов).
- Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью).
- Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
— если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума;
— если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;
— если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.
Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.
Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.
Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54).
Решение:
1. Найдем производную функции: (y’=15x^4-60x^2).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:
(15x^4-60x^2=0) (|:15)
(x^4-4x^2=0)
(x^2 (x^2-4)=0)
(x=0) (x^2-4=0)
(x=±2)
3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:
Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).
Ответ. (-2).
Смотрите также:
Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов
Скачать статью
Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.
Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:
Нахождение точек максимума и минимума функций
Исследование сложных функций
Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке
Нахождение точек максимума и минимума функций
1. Найдите точку максимума функции
Найдем производную функции.
Приравняем производную к нулю. Получим:
Исследуем знаки производной.
В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции
Ответ: 17.
2. Найдите точку минимума функции
Найдем производную функции.
Приравняем производную к нулю.
Определим знаки производной.
В точке производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции
Ответ: 1.
Исследование сложных функций
3. Найдите точку максимума функции
Перед нами сложная функция Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.
Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции будет при том же , что и точка максимума функции А ее найти легко.
при . В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции .
Заметим, что точку максимума функции можно найти и без производной.
Графиком функции является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы, то есть при
Ответ: — 4.
4. Найдите абсциссу точки максимума функции
Напомним, что абсцисса — это координата по
Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.
Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции является и точкой максимума функции
Это вершина квадратичной параболы
Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке
5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.
Будем искать точку максимума функции с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.
Найдем знаки производной.
В точке производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«. Значит, x = — 2 — точка максимума функции . Поскольку при функция убывает, В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.
Ответ: 12.
6. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.
при
Найдем знаки производной.
Точка — точка минимума функции . Точка не лежит на отрезке Поэтому
и Значит, наименьшее значение функции на отрезке достигается при Найдем это значение.
Ответ: -11.
7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.
Мы применили формулу для логарифма произведения. при
Если то Если , то
Значит, — точка минимума функции . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке
Ответ: 4.
8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Найдем производную функции
Приравняем производную к нулю:
. Поскольку если
Найдем знаки производной на отрезке
При знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции
Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при и
Мы нашли, что
Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.
Ответ: 4.
9. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0;2].
Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:
Найдем производную функции
если Тогда
При знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции
Ответ: -7.
10. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.
По условию, . На этом отрезке условие выполняется только для Найдем знаки производной слева и справа от точки
В точке производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка — точка максимума функции . Других точек экстремума на отрезке функция не имеет, и наибольшее значение функции на отрезке достигается при
Ответ: 12.
11.Найдите наименьшее значение функции на отрезке
Найдем производную функции и приравняем ее к нулю. — нет решений.
Что это значит? Производная функции не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.
Поскольку , получим, что для всех , и функция монотонно возрастает при
Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка , то есть при
Ответ: 6
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
08.05.2023
Тема: Максимумы, минимумы функций
1. Изучить весь предложенный теоритический материал по данной теме и записать в тетрадь.
2. Рассмотреть пример 1,2 и записать в тетрадь.
3. Решить самостоятельно в тетради (отправить мне на эл. почту) – за третий пункт будет выставлена оценка!
1. Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.
2. Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.
Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.
Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.
Иными словами, все пять точек, выделенных на графике ниже, являются экстремумами.
В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю.
Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.
Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. y. Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке ниже, −5 точка минимума, а 1 – минимум (или экстремум — смотрим по ОУ).
3. Как найти точки экстремумов функции по графику производной?
Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:
У нас дан график производной — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки −13, −11, −9,−7 и 3. Количество точек экстремума функции 5.
Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось x).
4. Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной)?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:
— Производная положительна там, где функция возрастает. — Производная отрицательна там, где функция убывает.
С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.
Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди −13, −11, −9,−7 и 3.
Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.
Начнем с−13: до −13 производная положительна т.е. функция растет, после — производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что −13 – точка максимума.
−11: производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что −11 – это минимум.
−9: функция возрастает, а потом убывает – максимум.
−7: минимум.
3: максимум.
Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:
— Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус. — Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.
Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:
- Найдите производную функции f′(x).
- Найдите корни уравнения f′(x)=0.
- Нарисуйте ось x и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью f′(x), а под осью f(x).
- Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов).
- Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью).
- Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2: — если f′(x) изменила знак с «+» на «−», то x1 – точка максимума; — если f′(x) изменила знак с «−» на «+», то x3 – точка минимума; — если f′(x) не изменила знак, то x2 – может быть точкой перегиба.
Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.
Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.
2.Рассмотрим примеры:
Пример 1.
Найдите точку максимума функции y=3x5−20x3−54. Решение:
1.Найдем производную функции: y′=15x4−60x2. 2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:
15x4−60x2=0 |:15 x4−4x2=0 x2(x2−4)=0 x=0 x2−4=0 x=±2
3. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:
Теперь очевидно, что точкой максимума является −2.
Ответ. −2.
Пример 2.
Найдите точку максимума функции
Решение 1. Найдём производную (по правилу производная дроби) и приравниваем её к нулю:
Полученные значения переменных наносим на координатную прямую и высчитываем знак производной на каждом из промежутков. Ну например, для первого возьмём -2, тогда производная будет равна -0,24, для второго возьмём 0, тогда производная будет 2, а для третьего возьмём 2, тогда производная будет -0,24. Проставляем соответствующие знаки.
Видим, что при прохождении через точку -1 производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет точка минимума, а при прохождении через 1 – с плюса на минус, соответственно это точка максимума. Ответ: 1.
3. Исследовать на экстремумы функцию (самостоятельно):
КРИТЕРИИ «5» — все 5 функций
«4» — 3,4 функции
«3» — 2 функции
Решение 3 пункта записываете в тетрадь и предоставляете для проверки, оценка выставляется в ГИС
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок № 16. Экстремумы функции.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) Определение точек максимума и минимума функции
2) Определение точки экстремума функции
3) Условия достаточные для нахождения точек экстремума функции
Глоссарий по теме
Возрастание функции. Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых х1 и х2, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции
Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции
Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).
Точка максимума функции. Точку х0 называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство .
Точка минимума функции. Точку х0 называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство .
Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.
Убывание функции. Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых х1 и х2, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы:
1) Найти область определения функции D(f)
2) Найти f’ (x).
3) Найти стационарные (f'(x) = 0) и критические (f'(x) не
существует) точки функции y = f(x).
4) Отметить стационарные и критические точки на числовой
прямой и определить знаки производной на получившихся
промежутках.
5) Сделать выводы о монотонности функции и точках ее
экстремума.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Точки, в которых происходит изменение характера монотонности функции – это ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА.
- Точку х = х0 называют точкой минимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≥ f(x0).
- Точку х = х0 называют точкой максимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≤ f(x0).
Точки максимума и минимума – точки экстремума.
Функция может иметь неограниченное количество экстремумов.
Критическая точка – это точка, производная в которой равна 0 или не существует.
Важно помнить, что любая точка экстремума является критической точкой, но не всякая критическая является экстремальной.
Алгоритм нахождения максимума/минимума функции на отрезке:
- найти экстремальные точки функции, принадлежащие отрезку,
- найти значение функции в экстремальных точках из пункта 1 и в концах отрезка,
- выбрать из полученных значений максимальное и минимальное.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Определите промежуток монотонности функции у=х2 -8х +5
Решение: Найдем производную заданной функции: у’=2x-8
2x-8=0
х=4
Определяем знак производной функции и изобразим на рисунке, следовательно, функция возрастает при хϵ (4;+∞); убывает при хϵ (-∞;4)
Ответ: возрастает при хϵ (4;+∞); убывает при хϵ (-∞;4)
№2. Найдите точку минимума функции у= 2х-ln(х+3)+9
Решение: Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
х=-2,5
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Ответ: -2,5 точка min
№3. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 10t2 − 48t + 15, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3с.
Решение: Если нас интересует движение автомобиля, то, принимая в качестве функции зависимость пройденного расстояния от времени, с помощью производной мы получим зависимость скорости от времени.
V=х'(t)= 20t – 48. Подставляем вместо t 3c и получаем ответ. V=12 мc
Ответ: V=12 мc
№4. На рисунке изображен график функции. На оси абсцисс отмечены семь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Решение: Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает. В данном случае это точки х3,х5,х7. Следовательно, таких точек 3
Ответ: 3
Математики и Data Science-специалисты должны хорошо разбираться в функциях. Предлагаем попрактиковаться в решении задач на обнаружение максимальных и минимальных значений у заданных функций.
Максимум
Задумываясь над тем, как найти максимальное значение функции, нужно четко понимать, с чем предстоит иметь дело. Для этого нужно запомнить такое определение:
Наибольшее значение функции y = f(x) на промежутке x – это max y = f(x0). Оно будет при любом значении x€ X, x≠x0 делает справедливым неравенство: f(x)≤f(x0).
Максимальное значение (максимум) – это точка на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних «отметках».
Минимум
Наименьшее значение функции находить так же легко, как и наибольшее. Но сначала нужно понимать, что это такое.
Значение функции на отрезке будет считаться минимумом, если оно меньше, чем в соседних «отметках». Здесь действует такое определение:
Наименьшее значение функции y=f(x) на промежутке x – это miny=f(x0), которое при любом значении x€ X, x≠x0 делает справедливым неравенство f(x)≥f(x0).
Соответствующие определения являются достаточными и очевидными. Если говорить простыми словами, то максимум функции – это ее самое большое значение на заданном промежутке (участке) при абсциссе x0, а минимум – самое маленькое.
Стационарные точки
При решении вопроса о том, как найти наибольшее или наименьшее значение функции, стоит обратить внимание на так называемые «стационарные точки». Это – значения аргумента функции, при которых ее производная будет равняться нулю.
Стационарная точка – это «отметка», в которой расположен экстремум дифференцируемой функции. А именно – локальный минимум или максимум. В одной из таких «отметок» записанное выражение будет достигать своих предельных параметров.
Здесь рекомендуется запомнить следующее:
- Экстремум функции – это минимумы и максимумы.
- Если определить производную в точках экстремумов, она будет равно 0.
- Когда говорят «экстремумы», подразумевается значение функции. Если же речь идет об «отметках» экстремумов, рассматривать стоит x, в которых достигаются соответствующие пределы.
Этого достаточно для того, чтобы разобраться, как найти наибольшее на заданном отрезке у выражения. Для реализации поставленной задачи вовсе не обязательно составлять график. Поэтому сначала воспользуемся записями формул и вычислений.
План действий
Пример – дана функция f(x) на отрезке [a, b]. Наибольшее и наименьшее значение такой непрерывной функции достигаются в определенных местах. Это – критические точки. Там, где производная записанного выражения будет равно нулю.
Для того, чтобы найти наибольшие значения уравнения, потребуется придерживаться следующего алгоритма:
- Узнайте, какая перед вами функция. Для этого нужно проверить ее на непрерывность. В расчет обязательно берется заданный отрезок.
- Если запись непрерывная – ищем производную.
- После того, как найдем производную, приравниваем ее к нулю. Это поможет найти точки экстремумов. В результате получаются корни.
- Образовавшиеся корни – это критические точки. Нужно выбрать те «параметры», что относятся к промежутку [a, b].
- Вычислить значения функции на концах отрезка [a, b].
- Определить значения имеющегося выражения в критических «отметках».
Теперь понятно, как найти наибольшие функции на заданном отрезке. После произведенных подсчетов остается выбрать из результатов M (максимум) и m (минимум).
На отрезке
Разобравшись в тем, как найти наибольшие «параметры» выражения «на бумаге», стоит рассмотреть соответствующий процесс на графиках. Определять максимумы/минимумы в данном случае будет проще.
Первый график указывает на выражение, у которого точка минимума и максимума находятся в стационарных точках на промежутке [-6;6]. Соответствующие «пределы» обозначены жирным.
Второй график указывает на изменение отрезка. Теперь он будет [1;6]. Минимальное значение останется прежним. А вот максимальное – изменится. Оно образуется в правой части в точке с абсциссой. Поиск минимального «параметра» окажется в критической точке.
Задумываясь, как найти наименьшие или «самые крупные» параметры выражения на графике, можно также рассмотреть третий рисунок. Здесь функция принадлежала промежутку [-3;2]. Чтобы найти наибольшее и наименьшее в таком случае, предстоит учитывать абсциссы. В них достигаются соответствующие пределы.
Открытый интервал
Если промежуток задан конкретным числом, определить экстремумы будет не так сложно. Иначе происходит, если интервал открыт.
Здесь:
- Функция будет принимать максимум/минимум по значению в стационарных точках на открытом интервале от -6 до 6. Ответ – на 4 рисунке.
- Если взять отрезок [1;6), минимум будет достигнут в стационарной точке. А вот максимум – неизвестен. Связано это с тем, что 6 не принадлежит к заданному интервалу. Если бы «шестерка» относилась к соответствующему промежутку, ответ на вопрос относительно определения максимума оказался понятным. Максимальный параметр был бы в точке с абсциссой 6.
- На рисунке 6, задумываясь, как найти наименьшие «параметры», нужно обратить внимание на заданный интервал. Он равен (-3;2]. Минимум будет достигнут в правой границе. А вот максимум – не определен.
Найти значения на графиках обычно проще, чем «в чистых формулах». Соответствующие задания можно отыскать тут.
Бесконечность
Иногда значения функций нужно найти на бесконечном промежутке. Графически возможны такие ситуации:
На 7 рисунке функция достигает максимума в стационарной точке с абсциссой 1. Минимум окажется на границе интервала справа. На минус бесконечности значения приближаются к y=3 асимптотически.
Если взять интервал от 2-х до «плюс бесконечности», заданная функция не будет иметь ни максимумов, ни минимумов. Значения здесь стремятся к бесконечности. Связано это с тем, что x=2 является вертикальной асимптотой. Если абсцисса стремится к плюс бесконечности, значения будут асимптотически подходить к y=3. Соответствующий пример показан на рисунке 8.
Чтобы не приходилось долго разбираться с тем, как найти наименьшее у заданной функции, не путаться с тем, какие знаки производной использовать, а также легко строить графики, можно воспользоваться специальными онлайн калькуляторами. А еще – закончить тематические дистанционные онлайн курсы.