Точки равного потенциала как найти

В литературе описано несколько методов преобразования электрических цепей [1; 2; 3]. В этих статьях описаны и методы упрощения схем, имеющих точки равного потенциала. Но при решении подобных задач авторы обычно пишут так: «Из симметрии ветвей цепи видно, что точки В и D имеют равные потенциалы» [2], хотя эта видимость не совсем очевидна.

Рассмотрим способы нахождения точек одинакового потенциала более подробно. Пусть нам дана электрическая цепь, состоящая из сопротивлений R₁, R₂, …, R₈ (рис. 1 а). Проведем через точки подключения цепи прямую АВ (рис. 1 б).

1 способ. Если схема содержит проводники с одинаковым сопротивлением, расположенные симметрично относительно определенной оси или плоскости, то концы этих проводников имеют одинаковый потенциал. При этом точки будут симметричными относительно прямой АВ, если равны сопротивления участков цепи между данными точками и любыми точками этой прямой.

Используя этой признак, можно сделать вывод, что точки С₁ и С₂ (рис. 1 б) будут симметричны относительно прямой АВ, если R₁ = R₂ (сопротивления между точкой А и С₁ и между точкой А и С₂ равны) и R₅ = R₆ (сопротивления между точкой В и С₁ и между точкой В и С₂ равны). Аналогично, точки С₃ и С₄ будут симметричны относительно прямой АВ, если R₃ = R₄ и R₇ = R₈.

а.

б.
Рис. 1.

2 способ. Точки имеют одинаковый потенциал, если равны отношения сопротивлений между данными точками и точками подключения.

Например, точки С₁ и С₂ (рис. 1 а) имеют одинаковый потенциал, если . Аналогично, точки С₃ и С₄ имеют одинаковый потенциал, если .

Покажем на примерах, как можно использовать эти способы для преобразования электрических цепей.

Метод объединения равнопотенциальных узлов:точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы.

Пример 1. Определите сопротивление электрической цепи (рис. 2), если: а) R₁ = R₃ = 2R, R₂ = R₄ = R, R₅ = 3R; б) R₁ = R₄ = 2R, R₂ = 4R, R₃ = R, R₅ = 5R.

Рис. 2.

а) Если провести через точки подключения прямую АВ (рис. 3 а), то равны сопротивления участков АС₁ и АС₂ (R₁ = R₃), и равны сопротивления участков ВС₁ и ВС₂ (R₂ = R₄). Следовательно, точки С₁ и С₂ симметричны относительно прямой АВ и имеют равные потенциалы.

Точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы (рис. 3, б). Резисторы R₁ и R₃ соединены параллельно, и резисторы R₂ и R₄ – параллельно, участки 1/3 и 2/4 последовательно. Следовательно,

б) Если провести прямую АВ (рис. 3 а), то сопротивления участков АС₁ и АС₂ не равны , следовательно, точки С₁ и С₂ не симметричны относительно прямой АВ. НО точки С₁ и С₂имеют равные потенциалы, т.к. .

Точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы (рис. 3 б). Резисторы R₁ и R₃ соединены параллельно, и резисторы R₂ и R₄ – параллельно, участки 1/3 и 2/4 последовательно. Следовательно,

а

б
Рис. 3.

Пример 2. Найдите сопротивление проволочного куба между точками А₁ и В₃ (рис. 4). Сопротивление каждого ребра R₀.

Рис. 4.

Рис. 5.

Проведем через точки подключения прямую А₁В₃ (рис. 5). Равны сопротивления (равны длины – ребра) участков А₁В₁, А₁А₂ и А₁А₄, и равны сопротивления (равны длины – диагонали) участков В₃В₁, В₃А₂ и В₃А₄. Следовательно точки В₁, А₂ и А₄ симметричны относительно прямой А₁В₃ и имеют равные потенциалы. Равны сопротивления участков А₁А₃, А₁В₂ и А₁В₄, и равны сопротивления участков В₃А₃, В₃В₂ и В₃В₄. Следовательно точки А₃, В₂ и В₄ симметричны относительно прямой А₁В₃ и имеют равные потенциалы.

Точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы (рис. 6). Три резистора R₀ соединены параллельно между точками А₁ и А₂ (В₁, А₄), шесть резисторов R₀ – параллельно между точками А₂ (В₁, А₄) и А₃ (В₂, В₄), три резистора R₀ – параллельно между точками А₃ (В₂, В₄) и В₃, участки между этими точками соединены последовательно. Следовательно,

.

Рис. 6.

Пример 3. Найдите сопротивление проволочного куба между точками А₁ и В₂ (рис. 4). Сопротивление каждого ребра R₀.

Проведем через точки подключения прямую А₁В₂ (рис. 7 а). Равны сопротивления (равны длины – ребра) участков А₁В₁, А₁А₂, и равны сопротивления (равны длины – ребра) участков В₂В₁, В₂А₂. Следовательно точки В₁ и А₂ симметричны относительно прямой А₁В₂ и имеют равные потенциалы. Равны сопротивления участков А₁А₃ и А₁В₄, и равны сопротивления участков В₂А₃ и В₂В₄. Следовательно, точки А₃ и В₄А₁  симметричны относительно прямой В₂ и имеют равные потенциалы.

Точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы (рис. 7 б). Используя рекуррентный метод, схему можно упростить (рис. 7 в или г).

Точки А₂ и В₄имеют равные потенциалы, т.к. . Точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы (рис. 7 д). Резисторы на участке А₁А₂ соединены параллельно, и резисторы на участке А₂В₂ – параллельно, а эти участки соединены последовательно. Следовательно,

а

б

в

г

д
Рис. 7.

Если возможно объединение двух равнопотенциальных узлов, то возможен и обратный переход.

Метод разделения узлов: узел схемы можно разделить на два или несколько узлов, если получившиеся при этом узлы имеют одинаковые потенциалы.

Обязательным условием при этом является проверка получившихся при разделении узлов на равенство потенциалов (симметричность или пропорциональность сопротивлений).

Пример 4. Найдите сопротивление цепи, которая представляет собой каркас из одинаковых отрезков проволоки (рис. сопротивлением R₀ каждый.

Рис. 8.

Разделим узел в середине каркаса на два узла О₁ и О₂ так, как показано на рис. 9 а. Это можно сделать, так как точки О₁ и О₂ имеют равные потенциалы: равны сопротивления участков AO₁, AO₂, и равны сопротивления участков BO₁, BO₂. Перерисуем схему в стандартный вид (рис. 9 б). Используя рекуррентный метод, схему можно упростить (рис. 9 в), т.к. сопротивление участка C₁F₁ равно , аналогично . Тогда общее сопротивление цепи равно .

Обратите внимание. С точки зрения геометрии точки О₃ и О₄ симметричны относительно прямой а (рис. 9 г), но потенциалы этих точек не равны, т.к. сопротивления участков АО₃ и АО₄ не равны, а отношения сопротивлений участков АО₃ и АО₄ не равны отношению сопротивлений участков ВО₃ и ВО₄.

а

б

в

г
Рис. 9.

Пример 5. Найти сопротивление цепи, которая представляет собой каркас из одинаковых отрезков проволоки (рис. 10) сопротивлением R₀ каждый.

Разделим узел в середине каркаса на три узла О₁, О₂ и О₃ так, как показано на рис. 11 а. Это можно сделать, так как точки О₁, О₂ и О₃ имеют равные потенциалы: равны сопротивления участков AO₁ и BO₁, участков AO₂ и BO₂, и участков AO₃ и BO₃, следовательно, отношения сопротивления этих участков равны.

Перерисуем схему в стандартный вид (рис. 11, б). Используя рекуррентный метод, схему можно упростить (рис. 11 в), т.к. сопротивление участка C₁F₁ равно , аналогично , сопротивление . Тогда общее сопротивление цепи равно

а

б

в
Рис. 11.

Литература

1. Зильберман А. Расчет электрических цепей // Квант. – 1988. – № 8. – С. 30-34.
2. Петросян В.Г., Долгополова Л.В., Лихицкая И.В. Методы расчета резисторных схем постоянного тока // Физика. – 2002. – № 14, 18, 22.
3. Хацет А. Методы расчета эквивалентных сопротивлений // Квант. – 1972. – № 2. – С. 54-59.

Определение точек, равноотстоящих по значению потенциала

Эквипотенциальные
линии принято проводить так, чтобы между
любыми соседними линиями разность
потенциалов была одна и та же. Поэтому
вначале необходимо на одной горизонтальной
линии в середине ванны отметить точки,
равноотстоящие друг от друга по
потенциалу. Соседние эквипотенциальные
линии тогда будут проходить через
соседние отмеченные точки.

Проведем
следующие простые манипуляции. Погружаем
в ванну электроды – аналоги заряженных
тел. Подаем на них напряжение. Погружаем
теперь зонды в ванну – один зонд вблизи
левого электрода, другой – вблизи
правого (зонды
следует ставить строго вертикально и
не касаться ими электродов).
При этом цифровой вольтметр покажет
значение U,
несколько отличающееся от величины

.
Положение зондов отмечаем на миллиметровой
бумаге. Приписываем левой точке значение
потенциала 0 вольт, правой точке –
значение U
вольт.

Теперь
правый зонд приставляем к левому и,
перемещая его от левого зонда по выбранной
горизонтальной линии в середине ванны,
отмечаем точки, соответствующие
напряжениям в 1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 5/6 от значения
U.
В итоге мы получаем семь точек,
равноотстоящих по потенциалу.

Примечание.
При погружении электродов в проводящую
среду (воду) вследствие ограниченности
размера ванны и различия в уровнях воды
в разных ее местах картина электрического
поля в ней может отличаться от картины
в отсутствие ванны. Это следует учесть
при сопоставлении теоретических и
экспериментальных схем силовых и
эквипотенциальных линий.

Определение эквипотенциальных линий

Для
заданной пары электродов мы будем
определять пять эквипотенциальных
линий, соответствующих значениям
U/6…5U/6
в.
Для построения каждой из этих пяти линий
найдем не менее 10 точек равного потенциала
вдоль ожидаемой эквипотенциальной
линии.

Определим,
к примеру, эквипотенциальную линию,
соответствующую значению потенциала
U/6
в.
Для этого один зонд (например, левый)
ставим в уже отмеченную точку этого
потенциала и в дальнейшем все время
удерживаем в данном месте, не перемещая
и не вынимая его из ванны. Вторым зондом
будем вести поиск других точек того же
потенциала, т.е. точек, напряжение между
которыми равно нулю. Для этого удобно
вторым (правым) зондом водить поперек
ожидаемой эквипотенциальной линии
вблизи второй, третьей и т. д. ожидаемой
точки того же потенциала. В искомых
точках вольтметр должен показывать
минимально
возможное значение
напряжения (нулевого значения напряжения
иногда невозможно добиться из-за наличия
наводок и других несовершенств методики
эксперимента).

После
того как первая эквипотенциальная линия
вычерчена, переходим к нахождению второй
эквипотенциальной линии. Для этого
первый (левый) зонд помещаем в точку
потенциала 2/6U
в
и вторым зондом ведем поиск других точек
того же потенциала и т. д. Зонды следует
ставить строго
вертикально.
Особенно следите за неподвижностью
левого, неперемещаемого зонда.

Возможен,
конечно, и иной способ определения
эквипотенциальных точек. Например,
левый зонд ставим в точку, которой
приписан потенциал 0 в,
а вторым зондом по всей ванне ищем точки
потенциала U/6
в.
Так мы находим эквипотенциальную линию
с данным значением потенциала. Затем
аналогично ищем эквипотенциальную
линию со значением потенциала 2/6U
в
и т. д. Однако точность определения
эквипотенциальных точек этим способом
несколько ниже, чем первым способом.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

8.  Включить источник питания IV (ТЕС – 42).
Переключатели (кнопки) устано­вить предварительно для измерения напряжения.

9.  Остановить на источнике питания, напряжение 10В.

10.  Найти точки равного потенциала. Порядок нахождения
точек:

a)  ведем зондом
по электропроводящей бумаге, постепенно удаляясь от ну­левого электрода и
наблюдая за показанием индикатора;

b)  найдя точку с потенциалом j = 2В, нажимаем в этой точке
зондом так, чтобы на белом листе получился отпечаток точки. Наличие отпечатка
можно про­верить, отогнув листы электропроводящей и копировальной бумаги. Таким
обра­зом, находим 6-8 точек с потенциалом j = 2В в различных направлениях от элек­трода;

c)  аналогично находим точки с потенциалом j = 4В, j = 6В, j = 8В, при­чем поиск точек j =  6В и j = 8В необходимо вести от Электрода 10В.

11.  Выключить источник
питания и стенд. Отсоединить проводники от электродов.

12.  Открутить гайки и снять с панели лист белой бумаги.

13.  Листы копировальной и
электропроводящей бумаги, а также электроды вновь установить на панель и слегка
закрепить гайками.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ.

1.  По найденным экспериментальным точкам построить
эквипотенциали. Эквипотенциалью является аппроксимированная кривая, плавно
проходящая сквозь ряд точек с одинаковым потенциалом. Не следует стремиться,
чтобы эквипотенциаль проходила обязательно через все экспериментальные точки.
Количество точек, не попавших на эквипотенциаль должно быть примерно одинаково
по одну и по другую стороны эквипотенциали.

2.  Построить силовые линии, соблюдая условия:

a)  в местах
пересечения силовой линии и эквипотенциали, касательные к ним должны быть
перпендикулярны;

b)  эквипотенциали и силовые линии должны, образовывать
при пересечении «криволинейные квадраты». Среднее расстояние между
эквипотенциалями а и среднее расстояние между силовыми линиями h каждого «криволинейного квад­рата», образуемого между двумя
эквипотенциалями и двумя силовыми линиями, должны быть равны, т.е. а ≈ h (рис.1).

c)  «густота» силовых линий должна быть
пропорциональна «густоте» эквипотенциалей.

3.  На картине поля провести координатную ось X от потенциала 0
к 10В и разметить ее в сантиметрах.

4.  Записать в таблицу 1 потенциалы j и соответствующие координаты X для каждой эквипотенциали.

5.  Указать на картине поля величины Х_ср
между каждой парой эквипотенциалей:

Х_ср. = (Х_n + X_n-1)/2

6.  Рассчитать величины ∆j = j_n — j_n-1
и ∆х = x_n – x_n-1.
Результаты занести в таблицу 2.

_7. 
Рассчитать среднее значение
напряженности Е_{ср. ∆х} в точках координатной оси Х_ср.

Е_{ср. ∆х} = |∆j/∆x|

8.  Построить графики зависимости j = f(x), Е_ср._∆х = f(x_cp).

Таблица 1

Таблица 2

Расчет

5.  Х_ср1 = (0 + 1,5) см / 2 = 0,75 см

Х_ср2 = (1,5 + 5,7) см / 2 =
3,6 см

Х_ср3 = (5,7 + 11,7) см / 2
= 8,7 см

Х_ср4 = (11,7 + 15,5) см / 2
= 13,6 см

Х_ср5 = (15,5 + 16,5) см / 2
= 16 см

6.  ∆j₁ = 2В – 0В = 2В     ∆Х₁ = 1,5см –
0см = 1,5см

∆j₂ = 4В – 2В = 2В     ∆Х₂ = 5,7см –
1,5см = 4,2см

∆j₃ = 6В – 4В = 2В     ∆Х₃ = 11,7см –
5,7см = 6см

∆j₄ = 8В – 6В = 2В     ∆Х₄ = 15,5см –
11,7см = 3,8см

∆j₅ = 10В – 8В = 2В   ∆Х₅ = 16,5см –
15,5см = 1см.

7.  Е_ср∆х1 = 2В/1,5см = 1,33 В/см

Е_ср∆х2 = 2В/4,2см = 0,48
В/см

Е_ср∆х3 = 2В/6см = 0,33
В/см

Е_ср∆х4 = 2В/3,8см = 0,53
В/см

Е_ср∆х5 = 2В/1см = 2 В/см

График зависимости j = f(x)

График зависимости Е_ср.∆х = f(x_ср)

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.

1. Как графически изображается электрическое поле?
2. Что называется силовыми линиями электрического
   поля?
3. Что называется эквипотенциалями электрического
   поля?
4. Что такое напряженность электрического поля?
5. Какая связь между напряженностью и потенциалом
   электрического поля?
6. Как меняется напряженность между двумя зарядами?
7. Что называется потенциалом электрического поля?

Уважаемый посетитель!

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Ссылка на скачивание — внизу страницы.

Методы расчета резисторных схем постоянного тока

1.3.2. Метод объединения равнопотенциальных узлов

Задача 9. Найти сопротивление цепи, которая представляет собой каркас из одинаковых отрезков проволоки (рис. а) сопротивлением R каждый.

Решение. Точки 2, 3, 5 совершенно равнозначны и имеют одинаковые потенциалы, т.к. расположены симметрично относительно оси АВ, так что токи, идущие по ветвям 1-2, 1-3, 1-5 равны. Аналогично точки 4, 6 и 7 также имеют одинаковые потенциалы. Объединим точки с равными потенциалами и получим простую схему (рис. б)

из трех последовательных звеньев с параллельными резисторами. Общее сопротивление цепи равно 5R/6.

Задача 10. Найти сопротивление цепи, которая представляет собой каркас из одинаковых отрезков проволоки (рис. а) сопротивлением R каждый.

Решение. Преобразуем схему (рис. б).

Из ее симметрии следует, что потенциалы точек 4 и 6; 3 и 5 попарно равны, что позволяет объединить попарно узлы 4 и 6, 3 и 5 и получить сначала схему, изображенную на рис. в, а затем изображенную на рис. г.

Легко видеть, что общее сопротивление цепи АВ равно 7R/12.

1.1. Шаговый (рекуррентный) метод

1.2. Метод преобразования

1.3. Метод равнопотенциальных узлов

1.3.1. Метод исключения «пассивных» участков цепи

1.3.2. Метод объединения равнопотенциальных узлов

1.3.3. Метод разделения узлов

1.3.4. Метод расщепления ветвей

1.4.1 Расчет эквивалентных сопротивлений линейных бесконечных цепей

1.4.2. Расчет эквивалентных сопротивлений плоскостных бесконечных цепей

1.4.3. Расчет эквивалентных сопротивлений объемных бесконечных цепей

2. Расчет цепей по правилам Кирхгофа

3. Преобразование и расчет цепей с помощью перехода «звезда» — «треугольник»