При изучении основ электротехники приходится сталкиваться с необходимостью расчета тех или иных параметров различных схем. И самое простое, что приходится делать – это расчет токов ветвей в цепях постоянного тока.
Существует несколько наиболее применяемых методов расчетов для таких цепей: с помощью законов Кирхгофа, методом контурных токов, узловых потенциалов, методом эквивалентного генератора, эквивалентного источника тока, методом наложения. Для расчета более сложных цепей, например, в нелинейных схемах, могут применяться метод аппроксимации, графические методы и другие.
В данном разделе рассмотрим один из методов определения токов в цепи постоянного тока – метод узловых потенциалов.
Важно отличать метод узловых напряжений (потенциалов) от метода узлового напряжения (метод двух узлов).
Метод узловых потенциалов примеры решения задач
Для того, чтобы лучше разобраться в этом вопросе, рассмотрим конкретный пример схемы, показанной на рис.1.
Для начала обозначают направления токов в ветвях. Направление можно выбирать любым. Если в результате вычислений какой-то из токов получится с отрицательным значением, значит, его направление в действительности будет направлено в противоположную сторону относительно ранее обозначенного. Если в ветви имеется источник, то для удобства лучше обозначить направление тока в этой ветви совпадающим с направлением источника в этой ветви, хотя и не обязательно. Далее один из узлов схемы заземляем. Заземленный узел будет называться опорным, или базисным. Такой метод заземления на общее токораспределение в схеме влияния не оказывает.
Какой именно узел заземлять, значения не имеет. Заземлим, например, узел 4 φ4 = 0.
Каждый из этих узлов будет обладать своим значением потенциала относительно узла 4. Именно значения этих потенциалов для дальнейшего определения токов и находят. Соответственно, для удобства этим потенциалам присваивают номера в соответствии с номером узла, т.е. φ1, φ2, φ3. Далее составляется система уравнений для оставшихся узлов 1, 2, 3.
В общем виде система имеет вид:
Использованные в этой системе уравнений буквенно-цифровые обозначения
имеют следующий смысл:
– сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 1. В данном случае
– сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 2. В данном случае
– сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 3. В данном случае
– сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы 1 и 2, взятая со знаком «минус». Для этого единица и взята с отрицательным знаком:
– сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы 1 и 3, взятая со знаком «минус». Для этого единица и в этом случае взята с отрицательным знаком:
Аналогично находятся и остальные проводимости:
J11 – узловой ток узла 1, в котором участвуют ветви, подходящие именно к этому узлу, и содержащие в своем составе ЭДС. При этом, если ЭДС ветви, входящий в узел, направлена к рассматриваемому узлу (в данном случае к узлу 1), то такой узловой ток записывается с плюсом, если от узла, то с минусом. В данном случае
Аналогично
В результате всех ранее приведенных вычисленных значений исходная система уравнений примет вид:
Решать данную систему можно всеми доступными методами, мы же для упрощения решим ее в пакете Mathcad:
В результате получены следующие значения потенциалов в узлах цепи:
Токи в ветвях находятся в соответствии с законом Ома. Поясним это простыми словами.
В ветви с сопротивлением и источником, учитывая ранее обозначенное направление тока в рассматриваемой ветви, необходимо из потенциала узла, находящегося у начала стрелки направления тока, вычесть потенциал узла, находящегося у конца стрелки направления тока, а затем прибавить значение ЭДС в этой ветви. Далее все это разделить на сопротивление, имеющееся в ветви. Если бы ток и ЭДС в рассматриваемой ветви не совпадали по направлению, тогда значение ЭДС вычиталось. В ветви без ЭДС действует то же самое правило, только ЭДС в числителе, разумеется, отсутствует. В нашем примере получим, что
Значение тока первой ветви, как видно из расчета, получилось отрицательным. Значит, в действительности, этот ток направлен в противоположную сторону относительно его обозначенного направления на рис.1.
Правильность расчетов можно проверить, например, составлением баланса мощностей либо, к примеру, моделированием, схемы. Выполним моделирование в программе Multisim.
Как видим, результаты моделирования совпадают с расчетными значениями. Незначительная разница в тысячных долях из-за округлений промежуточных вычислений.
Содержание:
Метод узловых напряжений:
Метод узловых напряжений (узловых потенциалов) является наиболее общим. Он базируется на первом законе Кирхгофа (ЗТК) и законе Ома. В отличие от методов, рассмотренных в лекции 4, метод позволяет уменьшить число уравнений, описывающих схему, до величины, равной количеству рёбер (ветвей) дерева (2.1)
Идея метода состоит в следующем:
- Выбирается базисный узел — один из узлов цепи, относительно которого рассчитываются напряжения во всех узлах; базисный узел помечается цифрой 0.
- Потенциал базисного узла принимается равным нулю.
- Рассчитываются напряжения во всех узлах относительно базисного.
- По закону Ома находятся токи и напряжения в соответствующих ветвях.
Напряжения в узлах цепи, отсчитанные относительно базисного, называют узловыми напряжениями.
Определение:
Метод анализа колебаний в электрических цепях, в котором неизвестными, подлежащими определению, являются узловые напряжения, называется методом узловых напряжений.
В дальнейшем будем полагать, что цепь имеет 
Предварительно покажем, что при известных узловых напряжениях можно найти напряжения на всех элементах цепи, а потому и все токи. Действительно, напряжение на любой ветви определяется по второму закону Кирхгофа (ЗНК) как разность соответствующих узловых напряжений, а токи в элементах найдутся по закону Ома. Для контура, включающего элементы 
(рис. 5.1), по ЗНК имеем:
откуда
Аналогично можно записать
что и требовалось показать.
Составление узловых уравнений
При составлении уравнений для, схемы рис. 5.1 будем полагать, что задающие токи 
и 
источников тока (их на схеме два) известны.
Тогда согласно первому закону Кирхгофа для узлов 1 и 2 в предположении, что в общем случае они связаны со всеми другими узлами, получим:
Выразим токи в уравнениях через узловые напряжения, как показано в разд. 5.1:
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получаем узловые уравнения:
Полученный результат позволяет сделать следующие выводы:
— ый и 
-ый узлы; все эти слагаемые входят в уравнение с отрицательным знаком.
Аналогично записываются узловые уравнения для всех других узлов цепи, в результате чего образуется система узловых уравнений вида:
где:
— собственная проводимость -го узла цепи, являющаяся арифметической суммой проводимостей всех элементов, подключённых одним из зажимов к -му узлу;
— взаимная проводимость -го и -го узлов цепи, являющаяся проводимостью элемента, включённого между -ым и -ым узлами;
— задающий ток -го узла цепи, являющийся алгебраической суммой задающих токов источников тока, подключённых одним из зажимов к -му узлу цепи; слагаемые этой суммы входят в правые части уравнений со знаком «+», если направление отсчёта задающего тока источника ориентировано в сторону к-го узла, и со знаком 
в противном случае.
Систему узловых уравнений принято записывать в канонической форме, а именно:
- токи, как свободные члены, записываются в правых частях уравнений;
- неизвестные напряжения записываются в левых частях уравнений с последовательно возрастающими индексами;
- уравнения располагаются в соответствии с порядковыми номерами узлов. Такая запись применена в (5.2).
Система (5.2) является линейной неоднородной
системой независимых уравнений, поэтому позволяет найти искомые узловые напряжения. Методы решения таких систем широко известны (Крамера, Гаусса, Гаусса—Жордана).
Метод узловых напряжений даёт существенное сокращение необходимого числа уравнений по сравнению с методом токов элементов. Выигрыш оказывается тем значительнее, чем больше независимых контуров имеет цепь.
Система называется неоднородной, если хотя бы один из свободных членов (в данном случае это 
) не равен нулю.
Особенности составления узловых уравнений
Метод узловых напряжений можно применять и в тех случаях, когда в анализируемой цепи имеются источники напряжения. При этом:
- напряжение между любой парой узлов, к которым подключён источник напряжения, известно;
- в качестве базисного желательно выбирать узел, к которому одним из своих зажимов подключён источник напряжения — тогда узловое напряжение, отсчитываемое между базисным узлом и вторым зажимом источника, равно ЭДС источника или отличается от него знаком; кроме того, базисным может быть выбран узел, к которому подключено наибольшее число элементов, если этот выбор не противоречит первой рекомендаций;
- уменьшается число независимых узловых напряжений, а потому понижается и порядок системы, т. е. число входящих в систему независимых уравнений;
- если цепь содержит
источников напряжения, имеющих один общий зажим, то число узловых уравнений, которое можно составить для такой цепи, равно
источников напряжения, имеющих один общий зажим, то число узловых уравнений, которое можно составить для такой цепи, равно
Пример 5.1.
Записать систему узловых уравнений для удлинителя
(рис. 5.2), рассмотренного в лекции 4.
Решение. Удлинитель содержит четыре узла и один источник тока, поэтому согласно (5.3) достаточно составить всего два узловых уравнения
Положим узел 0 базисным, поскольку к нему одним из своих зажимов подключён источник напряжения. Узловое напряжение узла 1 известно и равно. ЭДС источника напряжения 
поэтому остаётся записать уравнения для узлов 2 и 3 по правилам, рассмотренным в разд. 5.1. Предварительно запишем собственные и взаимные проводимости узлов.
Такое обращение справедливо,-поскольку удлинители применяются для построения магазина затуханий, или аттенюатора.
Собственная проводимость второго узла
взаимные проводимости второго узла
собственная проводимость третьего узла
взаимные проводимости третьего узла
Теперь получим систему узловых уравнений, записав узловые уравнения для второго и третьего узлов:
Поскольку 
запишем эту систему уравнений в каноническом виде
Эта система уравнений и является окончательным результатом решения задачи, поставленной в примере.
Если содержащиеся в цепи источники напряжения не имеют общего зажима, то задачу анализа следует решать или методом узловых напряжений в сочетании с принципом наложения или путём эквивалентных преобразований перейти к другой модели цепи.
При составлении узловых уравнений для цепей, содержащих многополюсники (например, транзисторы, операционные усилители
и т. д), следует прежде всего заменить эти многополюсники их схемами замещения.
Метод узлового напряжения
Расчет сложных разветвленных электрических цепей с несколькими источниками и двумя узлам, можно осуществить методом узлового напряжения. Напряжение межи узлами и называется узловым. UAB R3 узловое напряжение цепи (рис. 4.9) Для различных ветвей (рис. 4.9) узловое напряжение UAB можно опредо лить следующим образом.
1. Поскольку для первой ветви источник работает в режиме генератор:
Величина тока определяется как
где 
— проводимость
2.Для второй ветви источник работает в режиме потребителя следовательно
Тогда ток
3.Для третьей ветви
(Потенциал точки В для третьей ветви больше, чем потенций точки А, так как ток направлен из точки с большим потенциалом в точку с меньшим потенциалом)
Величину тока 
можно определить по закону Ома
По первому закону Кирхгофа для узловой точки А (или В):
Подставив в уравнение (4.6) значения токов из уравнений (4.3), .4) и (4.5) для рассматриваемой цепи, можно записать
Решив это уравнение относительно узлового напряжения UAB, можно определить его значение
Следовательно, величина узлового напряжения определяется отношением алгебраической суммы произведений ЭДС и проводимости ветвей с источниками к сумме проводимостей всех ветвей:
Для определения знака алгебраической суммы направление токов во всех ветвях выбирают одинаковым, т.е. от одного узла другому (рис. 4.9). Тогда ЭДС источника, работающего в режиме генератора, берется со знаком «плюс», а источника, работающего в режиме потребителя, со знаком «минус». Таким образом, для определения токов в сложной цепи с двумя узлами вычисляется сначала узловое напряжение по выражению 4.9), а затем значения токов по формулам (4.3), (4.4), (4.5). Узловое напряжение UAB может получиться положительным или отрицательным, как и ток в любой ветви.
Знак «минус» в вычисленном значении тока указывает, что реальное направление тока в данной ветви противоположно словно выбранному.
Пример 4.7
В ветвях схемы (рис. 4.10) требуется определить токи, если: 
Решение
Узловое напряжение 
где 
тогда 
Токи в ветвях будут соответственно равны
Как видно из полученных результатов, направление токов 
противоположно выбранному. Следовательно, источник £ работает в режиме потребителя.
Пример 4.8
Два генератора (рис. 4.11), ЭДС и внутреннее сопротивление которых одинаковы: 
, питают потребитель (нагрузку) с сопротивлением R= 5,85 Ом.
Как изменится ток второго генератора: 1) при увеличении его ЭДС (£2) на 1 %; » 2) при увеличении узлового напряжения (UAB) на 1 %.
Решение
Определяется узловое напряжение UAB цепи (рис. 4.11)
где
=
Тогда ток второго генератора
При увеличении Е2 на 1 %, его величина станет равной
тогда
При этом 
Следовательно, увеличение ЭДС генератора Е2 на 1 % приводит увеличению тока этого генератора на 24 %.
2. При увеличении узлового напряжения на 1% его величины станет равной
При этом 
Таким образом, ток второго генератора при увеличении узлового напряжения на 1 % уменьшится на 23,4 %.
Знак «минус» означает уменьшение, а не увеличение тока 
.
Определение метода узловых напряжений
Метод узловых напряжений заключается в том, что на основании первого закона Кирхгофа определяются потенциалы в узлах электрической цепи относительно некоторого базисного узла. Эти разности потенциалов называются узловыми напряжениями, причем положительное направление их указывается стрелкой от рассматриваемого узла к базисному.
Напряжение на какой-либо ветви равно, очевидно, разности узловых напряжений концов данной ветви; произведение же этого напряжения на комплексную проводимость данной ветви равно току в этой ветви. Таким образом, зная узловые напряжения в электрической цепи, можно найти токи в ветвях.
Если принять потенциал базисного узла равным нулю, то напряжения между остальными узлами и базисным узлом будут равны также потенциалам этих узлов. Поэтому данный метод называется также методом узловых потенциалов.
На рис. 7-7 в виде примера изображена электрическая схема с двумя источниками тока, имеющая три узла: 1, 2 и 3. Выберем в данной схеме в качестве базиса узел 3 и
обозначим узловые напряжения точек 1 и 2 через 
Согласно принятым на рис. 7-7 обозначениям комплексные проводимости ветвей равны соответственно:
Для заданной электрической цепи с тремя узлами могут быть записаны два уравнения по первому закону Кирхгофа, а именно: для узла 1
для узла 2
Величина 
представляющая собой сумму комплексных проводимостей ветвей, сходящихся в узле 1, называется собственной проводимостью узла 1 величина 
равная комплексной проводимости ветви между узлами 1 и 2, входящая в уравнения со знаком минус, называется об-, щей проводимостью между узлами 1 и 2.
Если заданы токи источников тока и комплексные проводимости ветвей, то узловые напряжения находятся совместным решением уравнений.
В общем случае если электрическая схема содержит q узлов, то на основании первого закона Кирхгофа получается система из q — 1 уравнений (узел q принят за базисный):
Здесь ток источника тока, подходящий к узлу, берется со знаком плюс, а отходящий от узла — со знаком минус;
— собственная проводимость всех ветвей, сходящихся в данном узле 
— общая проводимость между узламп 
входящая со знаком минус при выбранном направлении всех узловых напряжений к базису, независимо от того, является ли данная электрическая цепь планарной или непланарной.
Решив систему уравнений (7-5) при помощи определителей
получим формулу для 
узлового напряжения относительно базиса:
где
— определитель системы
— алгебраическое дополнение элемента 
данного определителя.
Первый индекс i алгебраического дополнения, обозначающий номер строки, вычеркиваемой в определителе системы, соответствует номеру узла, заданный ток источника тока которого умножается на данное алгебраическое дополнение. Второй индекс 
обозначающий номер столбца, вычеркиваемого в определителе системы, соответствует номеру узла, для которого вычисляется узловое напряжение.
Уравнения (7-5), выражающие первый закон Кирхгофа, записаны в предположении, что в качестве источников электрической энергии служат источники тока. При наличии в электрической схеме источников э. д. с. последние должны быть заменены эквивалентными источниками тока.
Если в схеме имеются ветви, содержащие только э. д, с. (проводимости таких ветвей бесконечно велики), то эти ветви следует рассматривать как источники неизвестных токов, которые затем исключаются при сложении соответствующих уравнений. Дополнительными связями между неизвестными узловыми напряжениями будут являться известные напряжения между узлами, равные заданным э. д. с.
Определитель снабжен индексом у, так как его элементами являются комплексные проводимости.
При наличии только одной ветви с э. д. с. и бесконечной проводимостью целесообразно принять за базисный узел один из узлов, к которому примыкает данная ветвь; тогда напряжение другого узла становится известным и число неизвестных сокращается на одно.
Метод узловых напряжений имеет преимущество перед методом контурных токов в том случае, когда число уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа, меньше числа уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа. Если заданная электрическая схема имеет q узлов и р ветвей, то в соответствии со сказанным выше, метод узловых напряжений представляет преимущество при q — 1 < р — q + 1. или, что то же, при 2 (q — 1) < р.
Здесь имеется в виду общий случай, когда число уравнений не сокращается за счет известных контурных токов
или узловых напряжении.
Пример 7-3.
Пользуясь методом узловых напряжений определить ток в диагонали мостовой схемы (см. рис. 7-6).
В результате замены заданного источника э. д. с. .эквивалентным источником тока получается схема (рис. 7-8), содержащая четыре узла. Для этой схемы по первому закону Кирхгофа записывают 4—1 = 3 уравнения (по числу независимых узлов). Если выбрать в данной схеме в качестве базиса узел 4 и направить узловые напряжения к базису, то уравнения примут вид:
для узла 1
для узла 2
для узла 3
Решение полученной системы уравнений относительно 
даст
где
Умножив найденное узловое напряжение 
на проводимость 
диагональной ветви мостовой схемы и изменив знак в соответствии с выбранным ранее направлением тока 
(см. рис. 7,-3), найдем искомый ток:
- Метод узловых потенциалов
- Принцип и метод наложения
- Входные и взаимные проводимости
- Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду
- Электрическая цепь
- Электрический ток
- Электрические цепи постоянного тока
- Методы анализа сложных электрических цепей
Главная
→
Примеры решения задач ТОЭ
→
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
→
1 Методы расчета электрических цепей при постоянных токах и напряжениях
→
1.4 Метод узловых потенциалов. Метод узлового напряжения (метод двух узлов)
1.4 Метод узловых потенциалов. Метод узлового напряжения (метод двух узлов)
Методы и примеры решения задач ТОЭ
→
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
→
1 Методы расчета электрических цепей при постоянных токах и напряжениях
1.4 Метод узловых потенциалов. Метод узлового напряжения (метод двух узлов)
В методе узловых потенциалов за вспомогательные расчетные величины принимают потенциалы узлов схемы. При этом потенциалом одного из узлов задаются, обычно считая его равным нулю (заземляют). Этот узел называют опорным узлом. Затем для каждого узла схемы, кроме опорного узла, составляют систему уравнений методом узловых потенциалов. По найденным потенциалам узлов находят токи ветвей по обобщенному закону Ома (закону Ома для ветви с ЭДС).
Отметим, что метод узловых потенциалов без предварительного преобразования схемы не применим к схемам с взаимной индукцией.
Для схем, содержащих несколько ветвей только с идеальными источниками ЭДС (без пассивных элементов), не имеющих общего узла нужно применять особые способы составления системы уравнений метода узловых потенциалов.
Для схем, содержащих несколько ветвей только с идеальными источниками ЭДС (без пассивных элементов), имеющих общий узел, этот общий узел принимают за опорный узел (заземляют). Тогда потенциалы узлов, соединенных этими идеальными источниками ЭДС без пассивных элементов с опорным узлом, равны ЭДС этих идеальных источников (+E, если идеальный источник ЭДС направлен от опорного узла и –E в противном случае).
Метод двух узлов является частным случаем метода узловых потенциалов. Он применяется для определения токов в ветвях схемы с двумя узлами и произвольным числом параллельных активных и пассивных ветвей.
Решение задач методом узловых потенциалов и методом двух узлов
Задача 1.4.1 Рассчитать цепь рис. 1.4.1 методом узловых, потенциалов.
Рис. 1.4.1
Решение. В рассматриваемой схеме четыре узла. Заземлим узел 4 (опорный узел)
φ 4 =0.
Тогда
φ 3 = φ 4 + E 2 =200 B.
Необходимо найти потенциалы узлов 1 и 2. Составим систему уравнений по методу узловых потенциалов для узлов 1 и 2.
Рассматривая узел 1, получим
φ 1 ⋅ g 11 − φ 2 ⋅ g 12 − φ 3 ⋅ g 13 =J+ E 1 R 1 + R ′ 1
или
φ 1 ⋅ g 11 − φ 2 ⋅ g 12 =J+ E 1 R 1 + R ′ 1 + E 1 ⋅ g 13 .
В правой части этого уравнения оба слагаемых учтены со знаком плюс, так как J и E1 направлены к узлу 1.
Рассматривая узел 2 (правая часть уравнения равна нулю, так как в ветвях, подсоединенных к узлу 2, нет источников энергии), получим
Индивидуалка Лиза (25 лет) т.8 929 529-57-81 Москва, метро Полянка.
− φ 1 ⋅ g 21 + φ 2 ⋅ g 22 − φ 3 ⋅ g 23 =0
или
− φ 1 ⋅ g 21 + φ 2 ⋅ g 22 = E 2 ⋅ g 23 .
Найдем собственную проводимость первого узла
g 11 = 1 R 6 + 1 R 1 + R ′ 1 + 1 R ИТ + 1 R 2 + 1 R 5 = 1 20 + 1 25 + 1 25 + 1 40 =0,155 См.
Проводимость ветви с идеальным источником тока равна нулю, так как внутреннее сопротивление идеального источника тока RИТ равно бесконечности.
Собственная проводимость узла 2
g 22 = 1 R 2 + 1 R 3 + 1 R 4 = 1 25 + 1 30 + 1 35 =0,102 См.
Взаимные проводимости между узлами
g 13 = 1 R 6 + 1 R 1 + R ′ 1 = 1 20 + 1 25 =0,09 См; g 21 = g 12 = 1 R 2 = 1 25 =0,04 См; g 23 = 1 R 3 = 1 30 =0,033 См.
Подставив в уравнения известные величины, получим
{ φ 1 ⋅0,155− φ 2 ⋅0,04=39 − φ 1 ⋅0,04+ φ 2 ⋅0,102=6,6
Для решения этой системы используем метод определителей. Главный определитель системы
Δ=| 0,155 −0,04 −0,04 0,102 |=0,01421.
Частные определители
Δ 1 =| 39 −0,04 6,6 0,102 |=4,242; Δ 2 =| 0,155 39 −0,04 6,6 |=2,583.
Находим потенциалы узлов
φ 1 = Δ 1 Δ = 4,242 0,01421 =298,6 В; φ 2 = Δ 2 Δ = 2,583 0,01421 =181,8 В.
Определяем токи в ветвях (положительные направления токов в ветвях с ЭДС выбираем по направлению ЭДС, в остальных ветвях произвольно)
I 1 = φ 3 − φ 1 + E 1 R 1 + R ′ 1 = 200−298,6+150 10+15 =2,056 А.
В числителе этого выражения от потенциала узла 3, из которого вытекает ток I1, вычитается потенциал узла 1, к которому ток подтекает. Если ЭДС ветви совпадает (не совпадает) с выбранным направлением тока, то она учитывается со знаком плюс (минус). В знаменателе выражения учитываются сопротивления ветви.
Аналогично определяем другие токи (направления токов указаны на схеме рис. 1.4.1)
I 1 = φ 3 − φ 1 R 6 = 200−298,6 20 =−4,93 А; I 2 = φ 1 − φ 2 R 2 = 298,6−181,8 25 =4,67 А; I 3 = φ 3 − φ 2 R 3 = 200−181,8 30 =0,607 А; I 4 = φ 2 − φ 4 R 4 = 181,8−0 35 =5,194 А.
Для определения тока в ветви с идеальной ЭДС зададимся направлением тока I7. По первому закону Кирхгофа для узла 3 составим уравнение
− I 7 + I 3 + I 1 + I 6 =0.
Откуда
I 7 = I 3 + I 1 + I 6 =0,607+2,056−4,98=−2,317 A.
Задача 1.4.2 Определить токи в схеме рис. 1.4.2 методом узлового напряжения.
Рис. 1.4.2
Решение
1 Находим напряжение между двумя узлами по методу двух узлов
U ab = φ a − φ b = E 1 ⋅ g 1 +J g 1 + g 2 + g 3 = 32⋅ 1 1 +18 1 1 + 1 6 + 1 2 =30 B.
При составлении этого уравнения по методу двух узлов в числителе необходимо брать произведение ЭДС на проводимость своей ветви со знаком плюс, если ЭДС направлена к узлу a, и минус — если направлена от узла a к узлу b.
Аналогичное правило определяет и знаки токов источников тока.
2 Находим токи по закону Ома (по закону Ома для ветви с ЭДС)
I 1 = E 1 + φ b − φ a R 1 = E 1 − U ab R 1 = 32−30 1 =2 А; I 2 = U ab R 2 = 30 6 =5 А; I 3 = U ab R 3 = 30 2 =15 А.
Правильность решения проверим по первому закону Кирхгофа
I 1 − I 2 + I 3 +J=0; 2−5−15+18=0.
Метод узловых потенциалов в статье ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА. Основные положения и соотношения. Упражнения и задачи
опорный узел,
метод двух узлов,
метод узловых напряжений,
метод узловых потенциалов,
собственная проводимость,
взаимная проводимость
-
Метод узловых потенциалов
Метод узловых
потенциалов
основан на первом законе Кирхгофа.
Потенциал одного из узлов цепи принимают
равным нулю, поэтому число уравнений,
составляемых по методу узловых
потенциалов, равно (Y
— 1), где (Y)
– число узлов схемы.
Для того чтобы
рассчитать электрическую цепь методом
узловых потенциалов необходимо:
-
Обозначить в
расчетной схеме все узлы, потенциал
одного из узлов принять равным нулю,
задать произвольно направления токов. -
Составить систему
уравнений по методу узловых потенциалов:
Где:
— потенциал i
–го узла:
— сумма проводимостей
ветвей, сходящихся в узле i;
— сумма
проводимостей ветвей, непосредственно
соединяющих узел i
и узел j;
— узловой ток i-го
узла, равный сумме произведений
проводимостей ветвей, сходящихся в узле
i
на ЭДС, действующие в этих ветвях. Причем
ЭДС считается положительной, если
направлена к узлу i,
и отрицательной, если направлена от
узла i.
-
Определить токи
в ветвях цепи, используя обобщенный
закон Ома (закон Ома для участка цепи,
содержащего источник ЭДС).
-
Пример 3
|
Дано:
Е1=20
Е2=5
Е3=30
R1=10
R2=5
R3=10/3
R4=10
R5=5 Определить |
|
|
Рис. 1.7
Решение.
-
Обозначим в
расчетной схеме все узлы, потенциал
узла 3 примем равным нулю (φ33=
0), зададим произвольно направления
токов в ветвях (рис 1.8).
Рис.1.8
-
Составим систему
уравнений по методу узловых потенциалов:
Подставим
численные значения и решим систему:
-
Определим токи в
ветвях цепи, используя обобщенный закон
Ома:
-
Метод эквивалентного генератора
Метод эквивалентного
генератора
основан на применении теоремы об
эквивалентном источнике (генераторе)
и служит для расчета тока в отдельной
ветви разветвленной цепи. В любой
электрической цепи можно выделить одну
ветвь, а всю остальную часть цепи
независимо от ее структуры и сложности
можно рассматривать по отношению к
удаленной ветви как двухполюсник —
активный, если внутри двухполюсника
имеется источник энергии, или пассивный,
если источник энергии отсутствует.
Для расчета
электрической цепи методом эквивалентного
генератора необходимо:
-
Выделить в расчетной
цепи ветвь, ток которой необходимо
определить. Остальную часть цепи
представить в виде двухполюсника. -
Выбрать положительное
направление тока ветви и изобразить
его на схеме. -
Отсоединив
выделенную ветвь, определить направление
на зажимах двухполюсника – напряжение
холостого хода одним из известных
методов расчета. -
Определить
эквивалентное (входное) сопротивление
двухполюсника по отношению к зажимам
выделенной ветви. При этом считать
сопротивление идеальных источников
ЭДС равным нулю. Предварительно
изобразить схему двухполюсника без
источников энергии. -
Изобразить
неразветвленную цепь, введя в нее ветвь,
ток которой определяется и эквивалентный
источник с найденными параметрами —
ЭДС (согласовав ее направление с
положительным направлением напряжения
холостого хода) и эквивалентным
сопротивлением. -
Определить по
закону Ома ток полученной неразветвленной
цепи, это есть искомый ток ветви сложной
цепи. Для цепи постоянного тока:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
На практике часто встречаются задачи по расчётам параметров токов и напряжений в различных разветвлённых цепях. В качестве инструмента для расчётов используют правила Кирхгофа (в некоторой литературе их называют еще законами, хотя это не совсем корректно) – одни из фундаментальных правил, которые совместно с законами Ома позволяет определять параметры независимых контуров в самых сложных цепях.
Учёный Густав Киргхоф сформулировал два правила [1], для понимания которых введено понятие узла, ветви, контура. В нашей ситуации ветвью будем называть участок, по которому протекает один и тот же ток. Точки соединения ветвей образуют узлы. Ветви вместе с узлами образуют контуры – замкнутые пути, по которым течёт ток.
Первое правило Кирхгофа
Первое правило Густава Кирхгофа сформулировано исходя из закона сохранения заряда. Физик понимал, что заряд не может задерживаться в узле, а распределяется по ветвям контура, образующим это соединение.
Кирхгоф предположил, а впоследствии обосновал на основании экспериментов, что количество зарядов зашедших в узел такое же, как и количество тока вытекающего из него.
На рисунке 1 изображена простая схема, состоящая из контуров. Точками A, B, C, D обозначены узлы контура в центре схемы.
Ток I1 входит в узел A, образованный ветвями контура. На схеме электрический заряд распределяется в двух направлениях – по ветвям AB и AD. Согласно правилу Кирхгофа, входящий ток равен сумме выходящих: I1 = I2 + I3.
На рисунке 2 представлен абстрактный узел, по ветвям которого течёт ток в разных направлениях. Если сложить векторы i1, i2, i3, i4 то, согласно первому правилу Кирхгофа, векторная сумма будет равняться 0: i1 + i2 + i3 + i4 = 0. Ветвей может быть сколько угодно много, но равенство всегда будет справедливым, с учётом направления векторов.
Запишем наши выводы в алгебраической форме, для общего случая:
Для использования этой формулы, требуется учитывать знаки. Для этого необходимо выбрать направление одного из векторов тока (не важно, какого) и обозначить его знаком «плюс». При этом знаки всех других величин определить, исходя от их направления, по отношению к выбранному вектору.
Чтобы избежать путаницы, ток, направленный в точку узла, принято считать положительным, а векторы, направленные от узла – отрицательными.
Изложим первое правило Кирхгофа, выраженное приведённой выше формулой: «Алгебраическая сумма сходящихся в определённом узле токов, равна нулю, если считать входящие токи положительными, а отходящими – отрицательными».
Первое правило дополняет второе правило, сформулированное Кирхгофом. Перейдём к его рассмотрению.
Второе правило Киргхофа
Из третьего уравнения Максвелла вытекает правило Кирхгофа для напряжений. Его ещё называют вторым законом.
Это правило гласит, что в замкнутом контуре, на резистивных элементах, алгебраическая сумма напряжений (включая внутренние), равна сумме ЭДС, присутствующих в этом же замкнутом контуре.
При этом токи и ЭДС, векторы которых совпадают с направлением (выбирается произвольно) обхода контура, считаются положительными, а встречные к обходу токи – отрицательными.
Формулы, которые изображены на рисунке применяются в частных случаях для вычисления параметров простых схем.
Формулировки уравнений общего характера:
, где где Lk и Ck – это индуктивности и ёмкости, соответственно.
Линейные уравнения справедливы как для линейных, так и для нелинейных линеаризованных цепей. Они применяются при любом характере временных изменений токов и напряжений, для разных источников ЭДС. При этом законы Кирхгофа справедливы и для магнитных цепей. Это позволяет выполнять вычисления для поиска соответствующие параметров.
Закон Кирхгофа для магнитной цепи
Применение независимых уравнений возможно и при расчётах магнитных цепей. Сформулированные выше правила Кирхгофа справедливы и для вычисления параметров магнитных потоков и намагничивающих сил.
В частности: ∑Ф=0.
То есть, для магнитных потоков первое правило Кирхгофа можно выразить словами: «Алгебраическая сумма всевозможных магнитных потоков относительно узла магнитной цепи равняется нулю.
Сформулируем второе правило для намагничивающих сил F: «В замкнутом магнитном контуре алгебраическая сумма намагничивающих сил приравнивается к сумме магнитных напряжений». Данное утверждение выражается формулой: ∑F=∑U или ∑Iω = ∑НL, где ω – количество витков, H – напряжённость магнитного поля, символ L обозначает длину средней линии магнитопровода. ( Условно принимается, что каждая точка этой линии совпадает с линиями магнитной индукции).
Второе правило, применяемое для вычисления магнитных цепей, есть не что иное, как альтернативная форма представления закона полного тока.
Примечание: Составляя уравнения с использованием формул, вытекающих из правил Кирхгофа, надо прежде определиться с положительным направлением потоков, функционирующих в ветвях, сопоставив их с направлением обходов существующих контуров.
При совпадении векторов магнитного потока с направлениями обхода (на некоторых участках), падение напряжения на этих ветвях берём со знаком « + », а встречные ему – со знаком « – ».
Примеры расчета цепей
Рассмотрим ещё раз рисунок 3. На нём изображено 4 разнонаправленных вектора: i1, i2, i3, i4. Из них – два входящие ( i2, i3) и два исходящие из узла (i1, i4). Положительными будем считать те векторы, которые направлены в точку соединения ветвей, а остальные – отрицательными.
Тогда, по формуле Кирхгофа, составим уравнение и запишем его в следующем виде: – i1 + i2 + i3 – i4 = 0.
На практике такие узлы являются частью контуров, обходя которые можно составить ещё несколько линейных уравнений с этими же неизвестными. Количество уравнений всегда достаточно для решения задачи.
Рассмотрим алгоритм решения на примере рис. 5.
Схема содержит 3 ветви и два узла, которые образуют три пары по два независимых контура:
- 1 и 2.
- 1 и 3.
- 2 и 3.
Запишем независимое уравнение, выполняющееся, например, в точке а. Из первого правила Кирхгофа вытекает: I1 + I2 – I3 = 0.
Воспользуемся вторым правилом Кирхгофа. Для составления уравнений можно выбрать любой из контуров, но нам необходимы контуры с узлом а, так как для него мы уже составили уравнение. Это будут контуры 1 и 2.
Пишем уравнения:
- I1R1 + I3 R3 = E1;
- I2R2 + I3R3 = E2.
Решаем систему уравнений:
Так как значения R и E известны (см. рисунок 5), мы придём к системе уравнений:
Решая эту систему, получим:
- I1 = 1,36 (значения в миллиамперах).
- I2 = 2,19 мА.;
- I3 = 3,55 мА.
Потенциал узла а равен: Ua = I3*R3 = 3,55 × 3 = 10,65 В. Чтобы убедиться в верности наших расчётов, проверим выполнение второго правила по отношению к контуру 3:
E1 – E2 + I1R1+ I2R2 = 12 – 15 + 1,36 – 4,38 = – 0,02 ≈ 0 (с учётом погрешностей, связанных с округлениями чисел при вычислениях).
Если проверка выполнения второго правила успешно завершена, то расчёты сделаны правильно, а полученные данные являются достоверными.
Применяя правила (законы) Кирхгофа можно вычислять параметры электрической энергии для магнитных цепей.