Треугольник вписанный в окружность как найти сторону

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — не диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известна площадь и все стороны:
   

   [ r = frac{S}{(a+b+c)/2} ]

2. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известны площадь и периметр:
   

   [ r = frac{S}{frac{1}{2}P} ]

3. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известны полупериметр и все стороны:
   

   [ r = sqrt{frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}} ]

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

1. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:
   

   [ R = frac{AC}{2 sin angle B} ]

2. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известны все стороны и площадь:
   

   [ R = frac{abc}{4S} ]

3. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известны все стороны и полупериметр:

   [ R = frac{abc}{4sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} ]

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

   [ S = pr ]

2. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен полупериметр:

   [ S = sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} ]

3. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен высота и основание:

   [ S = frac{1}2 ah ]

4. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

   [ S = frac{a^2}{2cdot (sin(α)⋅sin(β)) : sin(180 — (α + β))} ]

5. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и синус угла между ними:

   [ S = frac{1}{2}ab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

1.  Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известны все стороны:
   

   [ P = a + b + c ]

2. Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известна площадь и радиус вписанной окружности:
   

   [ P = frac{2S}{r} ]

3. Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и угол между ними:

   [ P = sqrt{ b2 + с2 — 2 * b * с * cosα} + (b + с) ]

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и косинус угла между ними:

   [ a = sqrt{b^2+c^2 -2bc cdot cos alpha} ]

2. Сторона треугольника вписанного в
   окружность, если известна сторона и два угла:
   

   [ a = frac{b · sin alpha }{sin β} ]

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

1. Средняя линия треугольника вписанного
   в окружность, если известно основание:
   

   [ l = frac{AB}{2} ]

2. Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны, ни одна из них не является
   основанием, и косинус угла между ними:
   

   [ l = frac{sqrt{b^2+c^2-2bc cdot cos alpha}}{2} ]

Высота треугольника

h — высота треугольника.

1. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известна площадь и основание:

   [ h = frac{2S}{a} ]

2. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известен сторона и синус угла прилежащего
   к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

   [ h = b cdot sin alpha ]

3. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известен радиус описанной окружности и
   две стороны, ни одна из которых не является основанием:

   [ h = frac{bc}{2R} ]

Свойства

• Центр вписанной в треугольник окружности
  находится на пересечении биссектрис.
• В треугольник, вписанный в окружность,
  можно вписать окружность, причем только одну.
• Для треугольника, вписанного в окружность,
  справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
  и Теорема Пифагора.
• Центр описанной около треугольника окружности
  находится на пересечении серединных перпендикуляров.
• Все вершины треугольника, вписанного
  в окружность, лежат на окружности.
• Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
• Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
  треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
  формуле Герона.

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

Дано: окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

Доказать: окружность описана
около треугольника.

Доказательство:

1.  Проведем серединные
   перпендикуляры — HO, FO, EO.
2.  O — точка пересечения серединных
   перпендикуляров равноудалена от
   всех вершин треугольника.
3. Центр окружности — точка пересечения
   серединных перпендикуляров — около
   треугольника описана окружность — O,
   от центра окружности к вершинам можно
   провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

Следовательно: окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Треугольником называется фигура, которая состоит их трех точек (вершины), которые не лежат на одной
прямой и трех попарно соединяющих эти точки отрезков (стороны). Треугольники бывают остроугольными,
тупоугольными, прямоугольными, равнобедренными, равносторонними, разносторонними. С данной фигурой
связано много формул, теорем, правил. Ниже приведены формулы и примеры по нахождению стороны
треугольника.

Сторона равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Для того чтобы найти сторону равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
необходимо ее радиус умножить на корень квадратный из трех. Таким образом, формула будет выглядеть
следующим образом:

a = R * √3

где а — сторона треугольника, R — радиус описанной окружности.

Пример. Пусть дан равносторонний треугольник с радиусом описанной окружности 10см. Подставим в
формулу и получится: a = 10*√3 = 10 * 1,732 ≈ 17,3 см.

Сторона равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Для нахождения стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности следует
использовать формулу радиуса r= a (√3 / 6). Отсюда можно вывести формулу следующим образом: a = r (6
/ √3) = r *(6√3 / √3√3) = r * (6√3 / 3). Формула будет следующая (удвоенный радиус умножить на
квадратный корень из трех):

a = 2r * √3

где а — сторона треугольника, R — радиус вписанной окружности.

Пример. Пусть дан равносторонний треугольник с радиусом вписанной окружности 23см. Подставим в
формулу и получится: a = 2 * 23 * √3 = 2 * 23 * 1,732 ≈ 79,7см.

Сторона равностороннего треугольника через высоту

Для того чтобы найти сторону равностороннего треугольника через высоту следует применить теорему
Пифагора. Сторона равностороннего треугольника a² будет равна сумме квадратов высоты и половины
основания, которое также является стороной a: a² = h² + (a/2)² ⇒ a² = h² + a²/4 ⇒ a² — a²/4
=h² ⇒ (4a² — a²) / 4 = h² ⇒ 3a²/4 = h² ⇒ a² = 4*h²/3 ⇒a = √(4h²/3). Отсюда можно вывести
формулу для нахождения стороны через высоту:

a = 2h / √3

где а — сторона, h —  высота равностороннего треугольника.

Пример. Пусть дан равносторонний треугольник с высотой 45см. Подставим в формулу и получится: a = 2 *
45 / √3 = 2 * 45 / 1,732 ≈ 51,963 см.

Сторона равностороннего треугольника через площадь

Для того чтобы найти сторону равностороннего треугольника через площадь нужно применить следующую
формулу

a = √(4S / √3)

где а — сторона, S —  площадь равностороннего треугольника.

Пример. Пусть дан равносторонний треугольник с площадью 64м². Подставим в формулу и получится: a =
√(4*64 / √3)= √(4 * 64 / 1,732) ≈ 12,157 см.

Основание равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол между ними

Равнобедренным называется треугольник, у которого есть две равные стороны, называемые ребрами, а
третья сторона основанием. Для того чтобы найти основание нужно знать или один из углов, или высоту
треугольника, приводящаяся к основанию. Его можно вычислить по данной формуле:

a = 2b * sin (α/2)

где a — длина основания треугольника, b — длина стороны треугольника; α — это угол,
который противоположен основанию.

Пример. Если сторона a = 10 см, а ∠β = 12°, то: a = 2⋅10⋅sin 12/2 = 2⋅10⋅0,1045 =2,09 см.

Основание равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол при основании

Угол при основании равнобедренного треугольника равен разности 90º и половины угла при его вершине и
чем больше угол при вершине равнобедренного треугольника, тем он меньше. Может быть только острым,
то есть прямым или тупым он быть не может. Если известен угол при основании и боковые стороны, то
можно найти основание равнобедренного треугольника по следующей формуле:

a = 2b + cos β

где b — боковая сторона, β — угол при основании.

Пример. Если сторона a = 10 см, а ∠β = 40°, то: a = 2⋅10⋅cos 40 = 2⋅10⋅0,766 =15.32 см.

Боковая сторона равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами

В равнобедренном треугольнике углы при основании (т.е. между боковыми сторонами и основанием) равны,
из чего можно сделать вывод что если углы при основании треугольника одинаковы по значению, значит
он является равнобедренным.  Это значит, что α = β.

Формула, выражающая боковую сторону равнобедренного треугольника через основание и угол боковыми
сторонами:

b = a / (2 * sin(α/2))

где d — основание равнобедренного треугольника, α — угол между боковыми сторонами.

Пример. Если сторона a = 17 см, а ∠α = 50°, то: a = 17 / 2 * sin (50/2) = 17 / 2 * sin 25 = 20.11
см.

Боковая сторона равнобедренного треугольника через основание и угол при основании

Если известно основание и угол при нем, то формула боковой стороны равнобедренного треугольника будет
выглядеть следующим образом:

b = a / 2 * cos β

где a — это основание, β — угол при основании равнобедренного треугольника.

Здесь длина боковых сторон будет равно b: AB=BC=b, длина основания a: AC=a. Для доказательства
формулы боковой стороны применяется теорема косинусов, вернее, ее следствие.

Пример. Пусть основание (a) равно 35мм, а угол β — 60º, тогда подставив в формулу получим b =
35 / 2 * 0,5=35 мм.

Катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол

Катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол выражается данным образом: катет,
противолежащий углу α, равен произведению гипотенузы на sin α, то есть формула будет выглядеть
следующим образом:

a = c * sin α

где c — гипотенуза, α — острый угол прямоугольного треугольника.

Пример. Пусть гипотенуза с равна 77см, а острый угол 80º, тогда подставив в формулу значения получим
следующее:  a = 77 * 0,98 = 75,8см.

Катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и другой известный катет

Если известен один катет и гипотенузу, то можно найти другой катет. Для этого необходимо
воспользоваться формулой:

a = √(c² — b²)

где c — гипотенуза, b — катет который известен прямоугольного треугольника.

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а
катет b = 4 см: a = √(5² — 4)² = √(25 — 16) = √9 = 3 см

Гипотенуза прямоугольного треугольника через катет и острый угол

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему
угол можно узнать по формуле:

c = a / sin(β)

где a — катет, β — острый угол прямоугольного треугольника.

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 4 см, а
противолежащий к нему ∠β =60°: c = 4 / sin(60) = 4 / 0,87 = 8,04 см.

Гипотенуза прямоугольного треугольника через катеты

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b) можно рассчитать по
формуле используя теорему Пифагора. Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов
катетов: c² = a² + b² следовательно:

c = √(a² + b²)

где c — гипотенуза, a и b — катеты.

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет
b = 4 см: c = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5 см

Сторона треугольника через две известные стороны и угол между ними

По стороне и двум углам или по двум сторонам и углу можно тоже вычислить длину стороны
треугольника:

a = b² + c² — 2bc * cos α

где a, b, c — стороны произвольного треугольника, α — угол между сторонами который
известен.

Обязательно обратите внимание что при подстановке в формулу, для тупого угла (α>90), cosα
принимает отрицательное значение.

Пример. Пусть сторона с равна 10 см, сторона b — 7, угол α — 60 градусов. Таким образом
получим подставив в формулу:
a = 7² + 10² — 2 * 7 * 10 * cos 60 = 8,89 см.

Сторона треугольника через известную сторону и два угла

Для нахождения стороны треугольника через известную сторону и два угла необходимо воспользоваться
теоремой синусов и формула будут следующая:

a = (b * sin α) / sin β

где b — сторона треугольника; β, α — углы треугольника.

Пример. Пусть сторона треугольника b равна 10, угол β  = 30º, угол α = 35º. Тогда получим подставив в
формулу следующие значения: Сторона (a) = (10 * sin 35) / sin 30   = 8.71723 мм.

Геометрия – это раздел математики, который занимается решением вопросов, связанных с размером, формой, относительным положением фигур и свойствами пространства. Человек постоянно сталкивается с ней в повседневной жизни, ведь все, что его окружает – это геометрические фигуры (стены, потолок, техника и прочее). Поэтому необходимо иметь хотя бы минимальное представление о ее ключевых законах и фигурах. Вписанный треугольник в окружность – это треугольник, все вершины которого располагаются на окружности. Его также можно встретить в жизни. Например, по типу этого геометрического элемента создаются детали для машин.

Геометрия как систематическая и точная наука появилась в Древней Греции. Ее первые аксиоматические построения описаны в «Началах» Евклида. В то время эта наука занималась преимущественно изучением простейших фигур в пространстве и на плоскости, определением их площади и объема.

В 1637 году Декарт представил свой координатный метод, который стал фундаментом для дифференциальной и аналитической геометрии. Несколько позже были созданы еще 2 вида – проективная и начертательная. Но существенных изменений или отклонений от аксиоматического подхода Евклида в это время не происходило. Лишь в 1829 году произошли коренные изменения. Ученый Лобачевский отказался от аксиомы параллельности и создал совершенно инновационную неевклидовую геометрию. Именно это послужило толчком к дальнейшему развитию геометрии как науки и созданию новых теорий. Одна из таких касается вписанного треугольника в окружность.

Какая окружность вписана, а какая описана

Прежде всего вспомним, что окружностью называется бесконечное множество точек, удаленных на одинаковом расстоянии от центра. Если внутри многоугольника допускается построить окружность, которая с каждой стороной будет иметь только одну общую точку пересечения, то она будет называться вписанной (ВО). Описанной окружностью (ОО) называется такое геометрическое место точек, при котором у построенной фигуры с заданным многоугольником общими точками будут только вершины многоугольника.

На изображении построены две фигуры большого и малого диаметров, центры которых находятся G и I. Окружность большего значения называется описанной окр-тью Δ ABC, а малого – наоборот, вписанной в Δ ABC. С помощью такого наглядного примера проще разобраться с данными геометрическими фигурами и их основными свойствами. В целом же, геометрия — это более наглядная наука. Это говорит о том, что намного легче воспринимать информацию, формулы, теоремы, если видеть их изображение или даже чертить самому. Все же зрительная память у большей части людей развита лучше, чем, например, слуховая.

Для того чтобы описать вокруг треугольника окр-ть, требуется провести через середину каждой стороны перпендикулярную прямую – это точка пересечения, она играет ключевую роль. Перед тем как найти окр-ть, ее центр в многоугольнике, требуется построить для каждого угла биссектрису, после чего выделить точку пересечения прямых. Она в свою очередь будет центром ВО, а ее радиус (R) при любых условиях будет перпендикулярен любой из сторон.

[warning]В любой треугольник можно вписать окр-ть, притом только одну. Потому что существует только одна точка пересечения всех биссектрис и перпендикуляров, исходящих из середин сторон.[/warning]

Свойство окружности, которой принадлежат вершины треугольника

Описанная окр-ть, которая зависит от длин сторон при основании, имеет свои свойства. Укажем свойства описанной окружности:

1. Центр ОО для прямоугольного треугольника находится на середине гипотенузы, у острого – внутри самого треугольника, а для тупоугольного – за ее пределами.
2. Диаметр любой ОО равен половине отношения стороны и синуса угла, который принадлежит ей, в виде формулы можно представить следующим образом:
   
3. Зная радиус ОО и значения углов, можно найти площадь, не прибегая к использованию длин сторон:
   

Для того чтобы более наглядно понять принцип ОО, решим простое задание. Допустим, что дан Δ ABC, стороны которого 10, 15, 8,5 см. Радиус ОО около треугольника (FB) составляет 7,9 см. Найти градусные меры каждого угла и через них площадь (S) фигуры.

Решение: опираясь на ранее указанную теорему синусов, найдем синус каждого угла. По условию известно, что сторона АВ равна 10 см. Определяем значение С:

Используя таблицу Брадиса, узнаем, что градусная мера С равна 39°. Таким же методом найдем и остальные меры:

Откуда узнаем, что CAB = 33°, а ABC = 108°. Теперь, зная значения синусов каждого из углов и R, найдем S:

Ответ: S фигуры равна 40,31 см², а углы равны соответственно 33°, 108° и 39°.

[stop]Решая задачи подобного плана, будет нелишним всегда иметь таблицы Брадиса либо соответствующее приложение на смартфоне, так как вручную процесс может затянуться на длительное время. Также для большей экономии времени не требуется обязательно строить все три середины перпендикуляра либо три биссектрисы. Любая третья из них всегда будет пересекаться в месте пересечения первых двух. Этот совет можно взять на вооружение школьникам и студентам.[/stop]

Исчисление радиуса вписанной окружности

Все точки окружности одинаково удалены от ее центра на одинаковом расстоянии. Длину этого отрезка называют радиусом (R). В зависимости от того, какую окружность мы имеем, различают два вида – внутренний и внешний. Каждый из них вычисляется по собственной формуле, имеет прямое отношение к вычислению таких параметров, как:

• площадь (S);
• градусная мера каждого угла;
• длины сторон, периметр.

Вычислить длину расстояния от центра до точки соприкосновения с любой из сторон можно такими способами: через стороны, высоты, боковые стороны, углы (для равнобокого треугольника).

Использование полупериметра

Полупериметром называется половина суммы длин всех сторон. Такой способ считается самым популярным и универсальным, потому как независимо от того, какой тип треугольника дан по условию, он подходит для всех. К тому же, формулу запомнить легко. Порядок вычисления имеет следующий вид:

Если дан «правильный»

У равностороннего треугольника есть одна интересная особенность – у него совпадают медианы, высоты и биссектрисы. То есть, именно те отрезки, которые выступают также серединными перпендикулярами. Это означает, что центры, как вписанной, так и описанной окружности совпадают.  Это удобно при построении фигур и проведении вычислений. Однако в 80% случаев ответ получается «некрасивым». Тут имеется ввиду, что очень редко радиус ВО будет целым натуральным числом, скорее наоборот. Для упрощенного исчисления используется формула R ВО в треугольник:

Если боковины одинаковой длины

Одним из подтипов задач на гос. экзаменах будет нахождение радиуса ВО треугольника, две стороны которого равны между собой, а третья нет. В таком случае рекомендуем использовать этот алгоритм, который даст ощутимую экономию времени на поиск диаметра. R вписанной окружности в треугольник с равными «боковыми» вычисляется так:

Более наглядное применение указанных формул продемонстрируем на следующем задании. Пускай имеем треугольник (Δ HJI), в который вписана окр-ть в точке K. Длина HJ = 16 см, JI = 9,5 см и HI равна 19 см (рисунок ниже). Определить R вписанной окр-ти, зная стороны.

Решение: для нахождения R найдем полупериметр:

Отсюда, зная механизм вычисления, узнаем следующий показатель. Для этого понадобятся длины каждой из сторон (дано по условию), а также половину периметра, получается:

Отсюда следует, что искомый R равен 3,63 см. Согласно условию, все стороны равны, тогда искомый R будет:

При условии, если многоугольник равнобокий (например, i = h = 10 см, j = 8 см), диаметр внутренней окр-ти с центром в точке K будет:

В условии задачи может даваться треугольник с углом 90°, в таком случае гипотенуза фигуры будет равна диаметру. Более наглядно это выглядит так:

[stop] Если задано задание на поиск внутреннего R, не рекомендуем проводить вычисления через значения синусов и косинусов углов, табличное значение которых точно не известно. В случае, если иначе узнать длину невозможно, не пытайтесь «вытащить» значение из-под корня. В 40% заданий полученное значение будет трансцендентным (т. е. бесконечным), а комиссия может не засчитать ответ (даже если он будет правильным) из-за его неточности или неправильной формы подачи. Особое внимание уделите тому, как может видоизменяться формула R описанной окружности многоугольника в зависимости от предложенных данных.[/stop]

Радиус внутренней окружности и площадь

Для того чтобы вычислить S треугольника, вписанного в окружность, используют лишь R и длины сторон многоугольника:

Если в условии напрямую не дана величина радиуса, а только S, то указанная формула трансформируется в следующую:

Рассмотрим действие последней формулы на более конкретном примере. Предположим, что дан треугольник, в который вписана окр-ть. Площадь вписанной окр-ти составляет 4π, а стороны равны соответственно 4, 5 и 6 см. Вычислим S заданного многоугольника при помощи полупериметра.

Используя вышеуказанный алгоритм, определим S через R вписанной окр-ти:

В силу того, что в любой многоугольник можно вписать окружность, число вариаций нахождения площади значительно увеличивается. Т.е. поиск его S, включает в себя обязательное знание длины каждой стороны, а также величину радиуса.

Треугольник, вписанный в окружность геометрия 7 класс:

Прямоугольные треугольники, вписанные в окружность:



Из указанных примеров можно убедиться, что сложность любого задания с использованием ВО и ОО заключается только в дополнительных действиях по поиску требуемых значений. Задачи подобного типа требуют только досконально понимания сути формул, а также рациональности их применения.

Итак, мы смогли доказать, что в любой треугольник можно вписать окружность, центр которой будет совпадать с точкой пересечения биссектрис этого самого треугольника. Также доказали, что около любого многоугольника также можно описать окружность и ее центр совпадет с точкой пересечения серединных перпендикуляров. В изучении такой точной науки, как геометрия, важно не просто следовать предоставленным формулам и заучивать теоремы. Безусловно, формулы важны и без них проводить правильные расчеты просто не будет никакой возможности. Но все же необходимо вникнуть и понять, как располагаются фигуры на плоскости и в пространстве, как к ним применима та или иная формула.