Три игральные кости как найти вероятность

Решение задач о бросании игральных костей

Еще одна популярная задача теории вероятностей (наравне с задачей о подбрасывании монет) — задача о подбрасывании игральных костей.

Обычно задача звучит так: бросается одна или несколько игральных костей (обычно 2, реже 3). Необходимо найти вероятность того, что число очков равно 4, или сумма очков равна 10, или произведение числа очков делится на 2, или числа очков отличаются на 3 и так далее.

Основной метод решения подобных задач — использование формулы классической вероятности, который мы и разберем на примерах ниже.

Ознакомившись с методами решения, вы сможете скачать супер-полезный Excel-файл для расчета вероятности при бросании 2 игральных костей (с таблицами и примерами).

Одна игральная кость

С одной игральной костью дело обстоит до неприличия просто. Напомню, что вероятность находится по формуле $P=m/n$, где $n$ — число всех равновозможных элементарных исходов эксперимента с подбрасыванием кубика или кости, а $m$ — число тех исходов, которые благоприятствуют событию.

Пример 1. Игральная кость брошена один раз. Какова вероятность, что выпало четное число очков?

Так как игральная кость представляет собой кубик (еще говорят, правильная игральная кость, то есть кубик сбалансированный, так что выпадает на все грани с одинаковой вероятностью), граней у кубика 6 (с числом очков от 1 до 6, обычно обозначаемых точкам), то и общее число исходов в задаче $n=6$. Благоприятствуют событию только такие исходы, когда выпадет грань с 2, 4 или 6 очками (только четные), таких граней $m=3$. Тогда искомая вероятность равна $P=3/6=1/2=0.5$.

Пример 2. Брошен игральный кубик. Найти вероятность выпадения не менее 5 очков.

Рассуждаем также, как и в предыдущем примере. Общее число равновозможных исходов при бросании игрального кубика $n=6$, а условию «выпало не менее 5 очков», то есть «выпало или 5, или 6 очков» удовлетворяют 2 исхода, $m=2$. Нужная вероятность равна $P=2/6=1/3=0.333$.

Даже не вижу смысла приводить еще примеры, переходим к двум игральным костям, где все интереснее и сложнее.

Две игральные кости

Когда речь идет о задачах с бросанием 2 костей, очень удобно использовать таблицу выпадения очков. По горизонтали отложим число очков, которое выпало на первой кости, по вертикали — число очков, выпавшее на второй кости. Получим такую заготовку (обычно я делаю ее в Excel, файл вы сможете скачать ниже):

А что же в ячейках таблицы, спросите вы? А это зависит от того, какую задачу мы будем решать. Будет задача про сумму очков — запишем туда сумму, про разность — запишем разность и так далее. Приступаем?

Пример 3. Одновременно бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет менее 5 очков.

Сначала разберемся с общим числом исходов эксперимента. когда мы бросали одну кость, все было очевидно, 6 граней — 6 исходов. Здесь костей уже две, поэтому исходы можно представлять как упорядоченные пары чисел вида $(x,y)$, где $x$ — сколько очков выпало на первой кости (от 1 до 6), $y$ — сколько очков выпало на второй кости (от 1 до 6). Очевидно, что всего таких пар чисел будет $n=6cdot 6=36$ (и им соответствуют как раз 36 ячеек в таблице исходов).

Вот и пришло время заполнять таблицу. В каждую ячейку занесем сумму числа очков выпавших на первой и второй кости и получим уже вот такую картину:

Теперь эта таблица поможем нам найти число благоприятствующих событию «в сумме выпадет менее 5 очков» исходов. Для этого подсчитаем число ячеек, в которых значение суммы будет меньше 5 (то есть 2, 3 или 4). Для наглядности закрасим эти ячейки, их будет $m=6$:

Тогда вероятность равна: $P=6/36=1/6$.

Пример 4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение числа очков делится на 3.

Составляем таблицу произведений очков, выпавших на первой и второй кости. Сразу выделяем в ней те числа, которые кратны 3:

Остается только записать, что общее число исходов $n=36$ (см. предыдущий пример, рассуждения такие же), а число благоприятствующих исходов (число закрашенных ячеек в таблице выше) $m=20$. Тогда вероятность события будет равной $P=20/36=5/9$.

Как видно, и этот тип задач при должной подготовке (разобрать еще пару тройку задач) решается быстро и просто. Сделаем для разнообразия еще одну задачу с другой таблицей (все таблицы можно будет скачать внизу страницы).

Пример 5. Игральную кость бросают дважды. Найти вероятность того, что разность числа очков на первой и второй кости будет от 2 до 5.

Запишем таблицу разностей очков, выделим в ней ячейки, в которых значение разности будет между 2 и 5:

Итак, что общее число равновозможных элементарных исходов $n=36$, а число благоприятствующих исходов (число закрашенных ячеек в таблице выше) $m=10$. Тогда вероятность события будет равной $P=10/36=5/18$.

Итак, в случае, когда речь идет о бросании 2 костей и простом событии, нужно построить таблицу, выделить в ней нужные ячейки и поделить их число на 36, это и будет вероятностью. Помимо задач на сумму, произведение и разность числа очков, также встречаются задачи на модуль разности, наименьшее и наибольшее выпавшее число очков (подходящие таблицы вы найдете в файле Excel).

Другие задачи про кости и кубики

Конечно, разобранными выше двумя классами задач про бросание костей дело не ограничивается (просто это наиболее часто встречаемые в задачниках и методичках), существуют и другие. Для разнообразия и понимания примерного способа решения разберем еще три типовых примера: на бросание 3 игральных костей, на условную вероятность и на формулу Бернулли.

Пример 6. Бросают 3 игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпало 15 очков.

В случае с 3 игральными костями таблицы составляют уже реже, так как их нужно будет аж 6 штук (а не одна, как выше), обходятся простым перебором нужных комбинаций.

Найдем общее число исходов эксперимента. Исходы можно представлять как упорядоченные тройки чисел вида $(x,y,z)$, где $x$ — сколько очков выпало на первой кости (от 1 до 6), $y$ — сколько очков выпало на второй кости (от 1 до 6), $z$ — сколько очков выпало на третьей кости (от 1 до 6). Очевидно, что всего таких троек чисел будет $n=6cdot 6cdot 6=216$ .

Теперь подберем такие исходы, которые дают в сумме 15 очков.

$$
(3,6,6), (6,3,6), (6,6,3),\
(4,5,6), (4,6,5), (5,4,6), (6,5,4), (5,6,4), (6,4,5),\
(5,5,5).
$$

Получили $m=3+6+1=10$ исходов. Искомая вероятность $P=10/216=0.046$.

Пример 7. Бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что на первой кости выпало не более 4 очков, при условии, что сумма очков четная.

Наиболее простой способ решения этой задачи — снова воспользоваться таблицей (все будет наглядно), как и ранее. Выписываем таблицу сумм очков и выделяем только ячейки с четными значениями:

Получаем, что согласно условию эксперимента, всего есть не 36, а $n=18$ исходов (когда сумма очков четная).

Теперь из этих ячееек выберем только те, которые соответствуют событию «на первой кости выпало не более 4 очков» — то есть фактически ячейки в первых 4 строках таблицы (выделены оранжевым), их будет $m=12$.

Искомая вероятность $P=12/18=2/3.$

Эту же задачу можно решить по-другому, используя формулу условной вероятности. Введем события:
А = Сумма числа очков четная
В = На первой кости выпало не более 4 очков
АВ = Сумма числа очков четная и на первой кости выпало не более 4 очков
Тогда формула для искомой вероятности имеет вид:
$$
P(B|A)=frac{P(AB)}{P(A)}.
$$
Находим вероятности. Общее число исходов $n=36$, для события А число благоприятствующих исходов (см. таблицы выше) $m(A)=18$, а для события АВ — $m(AB)=12$. Получаем:
$$
P(A)=frac{m(A)}{n}=frac{18}{36}=frac{1}{2}; quad P(AB)=frac{m(AB)}{n}=frac{12}{36}=frac{1}{3};\
P(B|A)=frac{P(AB)}{P(A)}=frac{1/3}{1/2}=frac{2}{3}.
$$
Ответы совпали.

Пример 8. Игральный кубик брошен 4 раза. Найти вероятность того, что четное число очков выпадет ровно 3 раза.

В случае, когда игральный кубик бросается несколько раз, а речь в событии идет не о сумме, произведении и т.п. интегральных характеристиках, а лишь о количестве выпадений определенного типа, можно для вычисления вероятности использовать формулу Бернулли.

Итак, имеем $n=4$ независимых испытания (броски кубика), вероятность выпадения четного числа очков в одном испытании (при одном броске кубика) равна $p=3/6=1/2=0.5$ (см. выше задачи для одной игральной кости).

Тогда по формуле Бернулли $P=P_n(k)=C_n^k cdot p^k cdot (1-p)^{n-k}$, подставляя $k=3$, найдем вероятность того, что четное число очков появится 3 раза:
$$
P_4(3)=C_4^3 cdot left(1/2right)^3 cdot left(1-1/2right)^1=4 cdot left(1/2right)^4=1/4=0,25.
$$

Приведем еще пример, решаемый аналогичным образом.

Пример 9. Игральную кость бросают 8 раз. Найти вероятность того, что шестёрка появится хотя бы один раз.

Подставляем в формулу Бернулли следующие значения: $n=8$ (число бросков), $p=1/6$ (вероятность появления 6 при одном броске), $kge 1$ (хотя бы один раз появится шестерка). Прежде чем вычислять эту вероятность, напомню, что практически все задачи с формулировкой «хотя бы один…» удобно решать, переходя к противоположному событию «ни одного…». В нашем примере сначала стоит найти вероятность события «Шестёрка не появится ни разу», то есть $k=0$:
$$
P_8(0)=C_8^0 cdot left(1/6right)^0 cdot left(1-1/6right)^8=left(5/6right)^8.
$$
Тогда искомая вероятность будет равна
$$
P_8(kge 1)=1-P_8(0)=1-left(5/6right)^8=0.767.
$$

А еще у нас есть онлайн калькулятор для формулы Бернулли

Полезные ссылки

Для наглядного и удобного расчета вероятностей в случае бросания двух игральных костей я сделала
Файл с таблицами для расчета вероятности.

В нем приведены таблицы суммы, произведения, разности, минимума, максимума, модуля разности числа очков.

Вводя число благоприятствующих исходов в специальную ячейку вы получите рассчитанную вероятность (в обычных и десятичных дробях). Файл открывается программой Excel.

Еще по теории вероятностей:

Онлайн калькуляторы Онлайн учебник Более 200 примеров Решенные контрольные

Формулы и таблицы Сдача тестов Решение на заказ Онлайн помощь

В решебнике вы найдете более 400 задач о бросании игральных костей и кубиков с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):

Была ли эта статья полезной?

Формулировка задачи: В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет N очков. Результат округлите до сотых.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 10 (Классическое определение вероятности).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере.

Probability is also known as a possibility. This means math of chance, that trade in the happening of a likely event. The value is designated from zero to one. In math, Probability has been shown to guess how likely events are to occur. Basically, the probability is the scope to which something is to be anticipated to happen.

Probability

To understand probability more correctly, take an example as rolling a dice, the possible outcomes are 1, 2, 3, 4, 5, and 6. The possibility of occurring any of the favorable outcomes is 1/6. As the probability of occurring any of the events is the same so there are similar chances of getting any likely number, in this case, it is either 1/6 or 50/3.

Formula of Probability

Probability of an event = {Number of favourable events } ⁄ {number of total events}

P(A) = {Number of ways A occurs} ⁄ {Total number of events}

DICE 

Dice is a small block that has between one and six marks or dots on its edge and is used in games to give a random figure. Dice are small, tossable blocks with marked sides that can pause in several figures. They are used to give rise to random figures, often as part of sideboard games, as well as dice games, board games, role-playing games, and games of chance.

A customary die is a cube with each of its six faces noticeable with a different number of figures from one to six. When tossable or rolled, the die comes to pause appear a random number from one to six on its higher side, with the occurrence of each event being equally likely. Dice may also have concave or uneven shapes and may have faces marked with figures or characters instead of pips. Loaded dice are drawn to service some results over others for escape or entertainment.

How to solve a 3 dice problem?

Solution:

Possibility for throwing six sided three dice will be 1, 2, 3, 4, 5 and 6 dots in each (three) dies.

Three dice are roll at the same time, number of attainable outcome can be 6³ = (6 × 6 × 6) = 216 because each die has 1 to 6 number on its dots.

Now, let’s consider the possible sums from rolling three dice. The smallest attainable sum occur when all of the dice are the smallest, or one each. This gives a sum of three when we are throwing three dice i.e., (1, 1, 1). The greatest number on a die is six, which means that the greatest possible sum happens when all three dice are sixes is 18 i.e., (6, 6, 6). When n dice are rolled, the minimal attainable sum is n and the greatest attainable sum is 6n. There is only one way when three dice can total 3,

• 3 ways for 4
• 6 for 5
• 10 for 6
• 15 for 7
• 21 for 8
• 25 for 9
• 27 for 10
• 27 for 11
• 25 for 12
• 21 for 13
• 15 for 14
• 10 for 15
• 6 for 16
• 3 for 17
• 1 for 18

Forming Sums

As shown above, for three dice the possible sums include every number from three to 18. Calculate probability by using add up plan and acknowledging that we are considering ways to separate a integer into absolutely three whole numbers. For example, to obtain a sum of three there is only one way i.e., 3 = 1 + 1 + 1. Since each die is individualistic from the others, a sum such as four can be acquired in three different ways:

• 1 + 1 + 2
• 1 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1

Forward add up arguments can be used to find the number of ways of creating the other sums. The partitions for each sum follow:

• 3 = 1 + 1 + 1
• 4 = 1 + 1 + 2
• 5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
• 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
• 7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
• 8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
• 9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
• 10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
• 11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
• 12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
• 13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
• 14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
• 15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
• 16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
• 17 = 6 + 6 + 5
• 18 = 6 + 6 + 6

Specific Probabilities

Probability of an event = {Number of favourable events } ⁄ {number of total events},or 216. The results are:

• Possibility of getting a sum of 3: 1/216 = 0.0046 × 100= 0.5%
• Possibility of getting a sum of 4: 3/216 = 0.0138 × 100 = 1.4%
• Possibility of getting a sum of 5: 6/216 = 0.0277 × 100 = 2.8%
• Possibility of getting a sum of 6: 10/216 = 0.0462 × 100 = 4.6%
• Possibility of getting a sum of 7: 15/216 = 0.069 × 100 = 7.0%
• Possibility of getting a sum of 8: 21/216 = 0.097 × 100 = 9.7%
• Possibility of getting a sum of 9: 25/216 = 0.115 × 100 = 11.6%
• Possibility of getting a sum of 10: 27/216 = 0.125 × 100 = 12.5%
• Possibility of getting a sum of 11: 27/216 = 0.125 × 100 = 12.5%
• Possibility of getting a sum of 12: 25/216 = 0.115 × 100 = 11.6%
• Possibility of getting a sum of 13: 21/216 = 0.097 × 100 = 9.7%
• Possibility of getting a sum of 14: 15/216 =0.069 × 100 = 7.0%
• Possibility of getting a sum of 15: 10/216 = 0.0462 × 100 = 4.6%
• Possibility of getting a sum of 16: 6/216 = 0.0277 × 100 = 2.8%
• Possibility of getting a sum of 17: 3/216 = 0.013 × 100 = 1.4%
• Possibility of getting a sum of 18: 1/216 = 0.0046 × 100 = 0.5%

As can be seen, the extreme values of 3 and 18 are least probable. The sums which are in the middle are most probable.

Sample Problems

Question 1: Three dice are thrown together. Find the probability of getting a total of 5.

Solution:

Three dice are roll at the same time, number of attainable outcome can be 6³ = (6 × 6 × 6) = 216 because each die has 1 to 6 number on its dots.

Number of favourable events of getting a total of 5 = 6

i.e., (1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1), (2, 2, 1), (2, 1, 2) and (1, 2, 2)

So, probability of occurring a total of 5

P(A) = {Number of favourable events } ⁄ {number of total events}

= 6/216

= 1/36

Question 2: Three dice are thrown together. Find the probability of getting a total of almost 5.

Solution:

Three dice are roll at the same time, number of attainable outcome can be 6³ = (6 × 6 × 6) = 216 because each die has 1 to 6 number on its dots.

Number of affair of occurring a total of atmost 5 = 10

i.e. (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1), (1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1), (2, 2, 1) and (1, 2, 2).

Therefore, possibility of happening a total of atmost 5

P(E) = {Number of favourable events } ⁄ {number of total events}  

= 10/216

= 5/108

Question 3: Three dice are thrown together. Find the probability of getting a total of at least 5.

Solution:

Three dice are roll at the same time, number of attainable outcome can be 6³ = (6 × 6 × 6) = 216 because each die has 1 to 6 number on its dots.

Number of affair of happening a total of less than 5 = 4

i.e. (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1) and (2, 1, 1).

Therefore, possibility of happening a total of less than 5

P(E) = {Number of favourable events } ⁄ {number of total events}  

= 4/216

= 1/54

Therefore, possibility of occurring a total of at least 5 = 1 – P (occurring a total of less than 5)

= 1 – 1/54

= (54 – 1)/54

= 53/54

Question 4: Three dice are thrown together. Find the probability of getting a total of 6.

Solution:

Three dice are roll at the same time, number of attainable outcome can be 6³ = (6 × 6 × 6) = 216 because each die has 1 to 6 number on its dots.

Number of affair of happening a total of 6 = 10

i.e. (1, 1, 4), (1, 4, 1), (4, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1) and (2, 2, 2).

Therefore, possibility of happening a total of 6

P(E) = {Number of favourable events } ⁄ {number of total events}

= 10/216

= 5/108

Question 5: Three dice are thrown together. Find the probability of getting a total of 8.

Solution:

Three dice are roll at the same time, number of attainable outcome can be 6³ = (6 × 6 × 6) = 216 because each die has 1 to 6 number on its dots.

Number of affair of happening a total of 8 = 21

i.e. (2, 2, 4), (4, 2, 2), (2, 4, 2), (1, 5, 2), (2, 5, 1), (5, 1, 2), (2, 1, 5), (1, 2, 5), (3, 3, 2), (3, 2, 3), (2, 3, 3) and so on…

Therefore, possibility of happening a total of 8

P(E) = {Number of favourable events } ⁄ {number of total events}

= 21/216   

Дорогие друзья! В этой статье мы рассмотрим задачу по теории вероятностей про три игральные кости. Отмечу, что как и в предыдущих статьях, решение будет без формул комбинаторики. Разберём, как говорят в народе, «на пальцах» (для того, чтобы вы понимали, как можно с помощью простых логических рассуждений решать подобные задания). Итак, задача:

Бросают три игральные кости. Какова вероятность того, что  в сумме выпадет 15 очков?

Мы уже знаем, что по определению классической вероятности — вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к количеству всех равновозможных исходов. Количество всевозможных исходов в нашем случае — это количество всех вариантов выпадения трёх игральных костей. Каково оно?

Число возможных исходов для одной кости равно 6 (у кости шесть граней).

Число всевозможных исходов для двух костей 36 (на каждое очко одной кости приходится шесть вариантов выпадения другой кости). В итоге получается  6∙6=36.

Число всевозможных исходов для трёх костей равно 216 (на каждое очко одной кости приходится тридцать шесть вариантов выпадения двух других костей  6∙36=216).

Теперь нам необходимо определить все варианты выпадения очков так, чтобы в сумме получилось 15, это будет количество благоприятных исходов. Можно перебрать эти варианты «вручную», но можно ошибиться.

Лучше составим таблицы сумм для трёх костей, сделаем это следующим образом — для каждой грани одной кости переберём все варианты выпадения очков двух других костей, получится шесть таблиц. Итак, на одной кости выпадает:

*Пример суммы для варианта выпадения 1-1-1, сумма равна 3 и тд.

Вариантов выпадение в сумме 15-ти очков возможно 10 (один в третьей таблице, два в четвёртой, три в пятой, четыре в шестой). Это варианты комбинаций: 3-6-6, 4-6-5, 4-5-6, 5-6-4, 5-5-5, 5-4-6. 6-6-3, 6-5-4. 6-4-5. 6-3-6.

Значит вероятность выпадения такой суммы равна:

Если потребуется округлить, то сделать это несложно.

Задачи в которых будет стоять вопрос о сумме, произведении выпавших очков, а также о количестве четных или нечётных сумм или произведений, можно решать таким способом.

Надо отметить, что если в условии будет фигурировать четыре или больше игральных костей, то при помощи такого подхода задачу будет решить очень проблематично и тогда лучше использовать формулы комбинаторики. *Но на экзамене таких задач не будет (по крайней мере, на момент написания этой статьи не было).

На этом всё. Успехов вам!

С уважением, Александр.

Урок английского языка в деревенской школе.
Учительница: «Иванов, как будет по-английски дверь?»
Иванов: «Dwear»
Учительница: «What eto da!»

P.S: Буду благодарен, если расскажете о сайте в социальных сетях.