Удельная теплоемкость водорода как найти

Решение.
Определим удельную теплоемкость водорода при постоянном объеме.

[ begin{align}
  & Q={{Q}_{1}}+{{Q}_{2}}, {{c}_{V}}cdot mcdot Delta T={{c}_{V1}}cdot {{m}_{1}}cdot Delta T+{{c}_{V2}}cdot {{m}_{2}}cdot Delta T,  \
 & {{c}_{V}}cdot ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})={{c}_{V1}}cdot {{m}_{1}}+{{c}_{V2}}cdot {{m}_{2}} (1). \
end{align} ]

Где: m₁ – масса молекул водорода которые остались, m₂ – масса атомов которые получились при распаде молекул водорода.
По условию задачи половина молекул распалась на атомы:

m₁ = m₂   (2).

Подставим (2) в (1).

с_V∙2∙m₂ = с_V1∙m₂ + с_V2∙m₂ , 2∙с_V = с_V1 + с_V2   (3).

с_V1 – удельная теплоемкость молекул водорода при постоянном объеме, с_V2 – удельная теплоемкость атомов водорода при постоянном объеме.

[ {{c}_{V1}}=frac{{{i}_{1}}cdot R}{2cdot {{M}_{1}}} (4), {{c}_{V2}}=frac{{{i}_{2}}cdot R}{2cdot {{M}_{2}}} (5). ]

Для двухатомного газа i₁ = 5, М₁ = 2∙10^-3 кг/моль, М₁ – молярная масса молекулы водорода, i₂ = 3, М₂ = 1∙10^-3 кг/моль, М₂ – молярная масса атома водорода.
(4) и (5) подставим в (3) определим удельные теплоемкости водорода, в котором половина молекул распалась на атомы.

[ begin{align}
  & {{c}_{V}}=frac{Rcdot (frac{5}{2cdot {{M}_{1}}}+frac{3}{2cdot {{M}_{2}}})}{2}=frac{R}{4}cdot (frac{5}{{{M}_{1}}}+frac{3}{{{M}_{2}}})=frac{R}{4}cdot (frac{5cdot {{M}_{2}}+3cdot {{M}_{1}}}{{{M}_{1}}cdot {{M}_{2}}}) (6).  \
 & {{M}_{1}}=2cdot {{M}_{2}} (7). {{c}_{V}}=frac{11cdot R}{8cdot {{M}_{2}}} (8 ).  \
end{align} ]

с_V = 11426,25 Дж/кг∙К.
Определим удельную теплоемкость при постоянном давлении.

[ begin{align}
  & Q={{Q}_{1}}+{{Q}_{2}} (9), {{c}_{p}}cdot mcdot Delta T={{c}_{p1}}cdot {{m}_{1}}cdot Delta T+{{c}_{p2}}cdot {{m}_{2}}cdot Delta T,  \
 & {{c}_{p}}cdot ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})={{c}_{p1}}cdot {{m}_{1}}+{{c}_{p2}}cdot {{m}_{2}} (10). {{m}_{1}}={{m}_{2}}. \
 & {{c}_{p}}=frac{{{c}_{{{p}_{1}}}}+{{c}_{p2}}}{2} (11), {{c}_{p1}}=frac{({{i}_{1}}+2)cdot R}{4cdot {{M}_{2}}} (12), {{c}_{p2}}=frac{({{i}_{2}}+2)cdot R}{2cdot {{M}_{2}}} (13). \
 & {{c}_{p}}=frac{frac{7cdot R}{4cdot {{M}_{2}}}+frac{5cdot R}{2cdot {{M}_{2}}}}{2}=frac{17cdot R}{8cdot {{M}_{2}}} (14). \
end{align} ]

с_р = 17658,75 Дж/кг∙К.

Удельная теплоемкость водорода.

Удельная теплоемкость водорода:

Теплоёмкость – это количество теплоты, поглощаемой (выделяемой) всем телом в процессе нагревания (остывания) на 1 Кельвин.

Удельная теплоёмкость – физическая величина, численно равная количеству теплоты, которое необходимо передать телу массой 1 кг для того, чтобы его температура изменилась на 1 Кельвин.

Удельная теплоемкость обозначается буквой c и измеряется в Дж/(кг·К).

с = Q / (m·ΔT),

где Q – количество теплоты, полученное веществом при нагреве (или выделившееся при охлаждении),

m – масса нагреваемого (охлаждающегося) вещества,

ΔT – разность конечной и начальной температур вещества.

Удельная теплоемкость водорода (с) составляет 14,17 кДж/(кг·К).

Удельная теплоемкость водорода приведена при температуре 15 °C.

Необходимо иметь в виду, что на значение удельной теплоёмкости вещества влияет температура вещества и другие термодинамические параметры (объем, давление  и пр.), а также то, каким образом происходило изменение этих термодинамических параметров (например, при постоянном давлении или при постоянном объеме).

Точное значение удельной теплоемкости неметаллов в зависимости от термодинамических условий (температуры, объема, давления и пр.) необходимо смотреть в справочниках.

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

Коэффициент востребованности
182

Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.

Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.

Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса.
Free xml sitemap generator

 Связь между
молярной (C_m)
и удельной (с) теплоемкостями газа

C_m=cM,
где М
— молярная
масса газа.

 Молярные
теплоемкости*
при
постоянном объеме и постоянном давлении
соответственно равны

C_v=iR/2;
C_p=(i+2)R/2

где i
— число
степеней свободы; R
— молярная
газовая постоян­ная.

 Удельные
теплоемкости при постоянной объеме и
постоянном давлении соответственно
равны

,

.

 Уравнение Майера

Cр—С_v=R.

 Показатель
адиабаты

,
или
,
или.

 Внутренняя
энергия идеального газа

U=N<>
или U=vC_vT,

где <>—средняя
кинетическая энергия молекулы;
N—число
молекул газа;
v
— количество
вещества.

 Работа, связанная
с изменением объема газа, в общем случае
вычисляется по формуле

,

где V₁
— начальный
объем газа; V₂
— его
конечный объем.

Работа газа:

а) при изобарном
процессе (p=const)

A=p(V₂
—
V₁);

б) при изотермическом
процессе (T=const)

;

*
Здесь и далее
в целях упрощения записи в индексах
обозначений молярной теплоемкости при
постоянном давлении и постоянном объеме
букву «m»
будем опускать.

в) при адиабатном
процессе

,
или
,

где T₁
— начальная
температура газа; T₂
— его
конечная темпера­тура.

 Уравнение Пуассона
(уравнение газового состояния при
адиа­батном процессе)

.

 Связь между
начальным и конечным значениями
параметров состояний газа при адиабатном
процессе:

.

 Первое начало
термодинамики в общем случае записывается
в виде

Q=U+A,

где Q
– количество теплоты, сообщённое газу;
U—изменение
его внутренней энергии; А
—
работа, совершаемая газом против внешних
сил.

Первое начало
термодинамики:

а) при изобарном
процессе

б) при изохорном
процессе (A=0)

;

в) при изотермическом
процессе (U=0)

,

г) при адиабатном
процессе (Q=0)

.

 Термический
коэффициент полезного действия (КПД)
цикла
в
общем случае

,

где Q₁—количество
теплоты, полученное рабочим телом
(газом) от нагревателя; Q₂—количество
теплоты, переданное рабочим телом
охладителю.

КПД цикла Карно

,
или

,

где T₁
— температура
нагревателя; T₂
— температура
охладителя.

 Изменение энтропии

где A
и B
— пределы
интегрирования, соответствующие
начально­му и конечному состояниям
системы. Так как процесс равновесный,
то
интегрирование проводится по любому
пути.

 Формула Больцмана

S=klnW,

где
S — энтропия
системы;
W
—
термодинамическая вероятность ее
состояния; k
—
постоянная Больцмана.

Примеры решения задач

Пример
1. Вычислить
удельные теплоемкости неона и водорода
при постоянных объеме (с_v)
и давлении (c_p),
принимая эти газы за идеальные.

Решение.
Удельные теплоемкости идеальных газов
выра­жаются формулами

; (1)

. (2)

Для неона (одноатомный
газ) i₁=3,
M₁=2010^-з
кг/моль.

Подставив в формулы
(1) и
(2) значения
i₁,
M₁
и R
и произведя вычисления, найдем:

с_v1=
624
Дж/(кгК);
с_p1=1,04
кДж/(кгК).

Для водорода
(двухатомный газ) i₂=5,
M₂=210^-3
кг/моль.

Вычисление по
формулам
(1) и
(2) дает
следующие значения удельных теплоемкостей
водорода:

с_v2=10,4
кДж/(кгK);
с_p2=14,6
кДж/(кгK).

Пример
2. Вычислить
удельные теплоемкости с_v
и с_p
смеси неона и водорода. Массовые доли
газов соответственно равны ₁=0,8
и ₂=0,2.
Значения удельных теплоемкостей газов
взять из примера
1.

Решение.
Удельную теплоемкость смеси при
постоянном объеме с_v
найдем из следующих рассуждений. Теплоту,
необходи­мую для нагревания смеси на
T,
выразим двумя соотношениями:

Q=с_v(m₁+m₂)T
(1)

где с_v
— удельная
теплоемкость смеси; m₁
— масса
неона; m₂
— масса
водорода, и

Q=(с_v1m₁+
с_v2m₂)T (2)

где с_v1
и с_v2
— удельные
теплоемкости неона и водорода
соответст­венно.

Приравняв правые
части выражений
(1) и
(2) и разделив
обе части полученного равенства на
T,
найдем

с_v(m₁+m₂)=
с_v1m₁+
с_v2m₂,

откуда

Отношения
₁=m₁/(m₁+m₂)
и ₁=m₂/(m₁+m₂)
выражают мас­совые доли соответственно
неона и водорода. С учетом этих обозна­чений
последняя формула, примет вид

с_v=с_v1₁+
с_v2₂.

Подставив в эту
формулу числовые значения величин,
найдем

с_v=2,58
кДж/(кгК).

Рассуждая
таким
же
образок, получим формулу для вычисления
удельной теплоёмкости смеси при
постоянном давлении:

c_p=с_p1₁+
с_p2₂

Произведя вычисления
по этой формуле, найдем

c_p=3,73
кДж/(кгК).

Пример
3. Определить
количество теплоты, поглощаемой
водоро­дом массой m=0,2
кг при нагревании его от температуры
t₁=0°С
до температуры t₂=100
°С при постоянном давлении. Найти также
изменение внутренней энергии газа и
совершаемую им работу.

Решение.
Количество теплоты Q,
поглощаемое газом при изобарном
нагревании, определяется по формуле

Q=mc_pT,
(1)

где m
— масса
нагреваемого газа; c_p
— его
удельная теплоемкость при постоянном
давлении; T
— изменение температуры газа.

Как известно,
.
Подставив это выражение c_p
в формулу
(1), получим

Произведя вычисления
по этой формуле, найдем

Q=291
кДж.

Внутренняя энергия
выражается формулой
,
сле­довательно, изменение внутренней
энергии

.

После подстановки
в эту формулу числовых значений величин
и вычислений получим U=208
кДж.

Работу расширения газа
определим по формуле, выражающей первое
начало термодинамики: Q=U+A,
откуда

A=Q — U.

Подставив значения
Q и U,
найдем

А
=83 кДж.

Пример
4. Кислород
занимает объем V₁=1
м³
и находится под давлением р₁=200
кПа. Газ нагрели сначала при по­стоянном
давлении до объема V₂=3
м²,
a
затем при постоянном объеме до давления
Рис
11.1 р₂=500
кПа. Построить график процесса и найти:
1) изменение
U
внутренней энер­гии газа; 2)
совершенную им работу A;
3) количество
теплоты
Q,
переданное
газу.

Решение.
Построим график процесса (рис.
11.1). На
графике точками
1, 2, 3
обозначены состояния газа, характеризуемые
пара­метрами (р₁,
V₁,
T₁),
(р₁,
V₂,
T₂),
(р₂,
V₂,
T₃).

1.
Изменение внутренней энергии газа при
переходе его из со­стояния
1 в состояние
3 выражается
формулой

U=c_vmT,

где c_v
— удельная
теплоемкость газа при постоянном объеме;
m
— масса
газа; T
— разность
температур, соответствующих конечному
3 и
начальному 1 состояниям, т. е. T=T₃—
T₁.
Так как

;

где М
— молярная
масса газа, то

.
(1)

Температуры T₁
и T₃
выразим из уравнения Менделеева
— Кла­пейрона
():

С учетом этого
равенство
(1) перепишем
в виде

U=(i/2)(p₂V₂—p₁V₁).

Подставим сюда
значения величин (учтем, что для кислорода,
как двухатомного газа, i=5)
и произведем вычисления:

U=3,25
МДж.

2.
Полная работа, совершаемая газом, равна
A=A₁+A₂,
где A₁
— работа
на участке
1—2; A₂
— работа
на участке
2—3,

На участке
1—2 давление
постоянно (p=const).
Работа в этом случае выражается формулой
A₁=p₁V=p₁(V₂—V₁).
На участке _2—3
объем газа не изменяется и, следовательно,
работа газа на этом участке равна нулю
(A₂=0).
Таким образом,

A=A₁=p₁(V₂—V₁).

Подставив в эту
формулу значения физических величин,
произ­ведем вычисления:

A=0,4
МДж

3.
Согласно первому началу термодинамики,
количество теплоты Q,
переданное газу, равно сумме ра­боты
A,
совершенной газом, и изме­нению U
внутренней энергии:

Q=A+U,
или
Q=3,65 МДж.

Пример
5. Идеальный
двухатом­ный газ, содержащий количество
ве­щества v=l
моль, находится под дав­лением p₁=250кПа
и занимает объем V₁==10
л. Сначала газ изохорно на­гревают до
температуры T₂=400
К. Далее, изотермически расширяя, до­водят
его до первоначального давле­ния.
После этого путем изобарного сжатия
возвращают газ в начальное состояние.
Определить термический КПД 
цикла.

Решение.
Для наглядности построим сначала график
цикла, который состоит из изохоры,
изотермы и изобары. В координатах р,
Vэтот
цикл имеет вид. представленный на рис.
11.2. Характерные
точки цикла обозначим
1, 2, 3.

Термический КПД
любого цикла определяется выражением

=(Q₁
– Q₂)/Q₁,
или =l
– Q₂/Q₁,
(1) где
Q₁
—
количество теплоты, полученное газом
за цикл от нагре­вателя; Q₂
— количество теплоты, отданное газом
за цикл охлади­телю.

Заметим, что разность
количеств теплоты Q₁
– Q₂
равна работе A,
совершаемой газом за цикл.
Эта
работа на графике в координа­тах р,
V (рис.
11.2)
изображается площадью цикла (площадь
цикла заштрихована).

Рабочее вещество
(газ) получает количество теплоты
Q₁
на двух участках: Q_1-2
на участке
1—2 (изохорный
процесс) и Q_2-3
на участке
2—3
(изотермический процесс). Таким образом,

Q₁=Q_1-2+Q_2-3.

Количество теплоты,
полученное газом при изохорном процессе,
равно

Q_1-2=C_vv(T₂
–
T₁),

где C_v
— молярная
теплоемкость газа при постоянном объеме;
v
— количестве вещества. Температуру T₁
начального состояния газа найдем,
воспользовавшись уравнением Клапейрона
— Менде­леева:

T₁=p₁V₁/(vR).

Подставив числовые
значения и произведя вычисления, получим

Количество теплоты,
полученное газом при изотермическом
про­цессе, равно

Q_2-3=vRT₂ln(V₂/V₁),

где V₂
—
объем, занимаемый газом при температуре
T₂
и давлении p₁
(точка
3 на графике).

На участке
3—1 газ
отдает количество теплоты Q₂,
равное

Q₂=Q_3-1=C_pv(T₂
–T₁),
где C_p
— молярная
теплоемкость газа при изобарном процессе.

Подставим найденные
значения
Q₁
и Q₂
в формулу
(1):

В полученном
выражении заменим отношение объемов
V₂/V₁,
со­гласно закону Гей-Люссака, отношением
температур (V₂/V₁=T₂/T₁)
и выразим C_v
и C_p
через число степеней свободы молекулы
[C_v=iR/2,
C_p=(i+2)R/2].
Тогда после сокращения на
v
и R/2
получим

.

Подставив значения
i,
T₁,
T₂
и R
и произведя вычисления, най­дем

Пример 6.
В цилиндре под поршнем находится водород
массой m=0,02
кг при температуре T₁=300K.
Водород начал расширяться адиабатно,
увеличив свой объем в пять раз, а затем
был сжат изо­термически, причем объем
газа уменьшился в пять раз. Найти
тем­пературу Т₂,
в конце адиабатного расширения и работу
А,
совершен­ную газом. Изобразить процесс
графически.

Решение.
Температуры и объемы газа, совершающего
адиа­батный процесс, связаны между
собой соотношением

,

где —
показатель адиабаты (для водорода как
двухатомного газа =1,4).

Отсюда получаем
выражение для конечной температуры T₂:

.

Подставляя числовые
значения заданных величин, находим

.

Прологарифмируем
обе части полученного выражения:

lgT₂=lg300+0,4(lgl
— lg5)=2,477+0,4( -0,699)=2,477—0,280=2,197.

Зная lgT₂,
по таблицам антилогарифмов находим
искомое зна­чение T₂:

T₂=157
К.

Работа A₁
газа при адиабатном расширении
определяется по формуле

.

Подставив сюда
числовые значения величин, после
вычисления получим

Работа A₂
газа при изотермическом сжатии выражается
форму­лой

A₂=RT₂(m/M)ln(V₂/V₁).

Произведя вычисления
по этой формуле, найдем

A₂=
-21 кДж.

Знак минус показывает,
что при сжатии газа работа совершена
внешними силами.

Общая работа,
совершенная газом при рассмотренных
процессах, А=A₁+A₂=29,8кДж
+ (-21 кДж)=8,8 кДж.

График процесса
приведен на рис.
11.3.

Пример
7. Нагреватель
тепловой машины, работающей по обра­тимому
циклу Карно, имеет температуру
t₁==200°С.
Определить температуру Т₂,
охладителя, если при получении от
нагревателя количества теплоты Q₁=
1 Дж машина
совершает работу A=0,4
Дж? Потери на трение и теплоотдачу не
учитывать.

Решение.Температуру охладителя найдем, использовав
выражение для термического КПД ма­шины,
работающей по циклу Карно,=(T₁—
T₂)/T₁.
Отсюда

T₂=
T₁(1-).

(1)

Термический КПД
тепловой машины выражает отношение
количества тепло­ты, которое превращено
в механичес­кою работу A,
к количеству теплоты Q₁,
которое получено рабочим телом тепло­вой
машины из внешней среды (от нагре­вателя),
т. е. =A/Q₁.
Подставив это выражение в формулу
(1), найдем

T₂=
T₁(1-A/Q).
(2)

Учтя, что T₁=473
К, после вычисления по формуле
(2) получим
T₂=284
К.

Пример
8. Найти
изменение S
энтропии при нагревании воды массой
m=100
г от температуры t₁=0°C
до температуры
t₂=100
°С и последующем превращении воды в пар
той же температуры.

Решение.
Найдем отдельно изменение энтропии S’
при нагревании воды и изменение энтропии
S»
при превращении ее в пар. Полное изменение
энтропии выразится суммой S’
и S».

Как известно,
изменение энтропии выражается общей
формулой

(1)

При бесконечно
малом изменении dT
температуры нагреваемого тела
затрачивается количество теплоты
dQ=mcdT,
где m
— масса
тела; с
— его
удельная теплоемкость. Подставив
выражение dQ
в равенство
(1), найдем
формулу для вычисления изменения
энтро­пии при нагревании воды:

.

Вынесем за знак
интеграла постоянные величины и
произведем интегрирование, тогда получим

S’=mcln(T₂/T₁).

После вычислений
найдем S’=132
Дж/К.

При вычислении по
формуле
(1) изменения
энтропии во время превращения воды в
пар той же температуры постоянная
температуpa
T
‘выносится
за знак интеграла. Вычислив интеграл,
найдем

(2)

где Q
—
количество теплоты, переданное при
превращении нагре­той воды в пар той
же температуры.

Подставив в равенство
(2) выражение
количества теплоты Q=m,
где 
— удельная
теплота парообразования, получим

(3)

Произведя вычисления
по формуле
(3), найдем

S»=605
Дж/К.

Полное изменение
энтропии при нагревании воды и последую­щем
превращении ее в пар S=S’+S»=737
Дж/К.

Пример
9. Определить
изменение S
энтропии при изотермиче­ском расширении
кислорода массой m=10
г от объема V₁=25
л до объема V₂=100
л.

Решение.
Так как процесс изотермический, то в
общем выражении энтропии

температуру выносят за знак интеграла.
Выполнив это, получим

(1)

Количество теплоты
Q, полученное
газом, найдем по первому началу
термодинамики: Q=U+A.
Для изотермического процесса U=0,
следовательно,

Q=A,
(2) а
работа А для этого процесса определяется
по формуле

A=(m/M)RT
ln(V₂/V₁).

(3)

С учетом
(2) и
(3) равенство
(1) примет
вид

S=(m/M)R
ln(V₂/V₁).
(4)

Подставив в
(4) числовые
значения и произведя вычисления, по­лучим

S=(1010^-3/(3210^-3))
8,31
ln(10010^-3/(2510^-3))
Дж/К=3,60
Дж/К.