Угол между плоскостями как найти без координат - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Нахождение угла между плоскостями (двугранный угол)

(blacktriangleright) Двугранный угол – угол, образованный двумя полуплоскостями и прямой (a), которая является их общей границей.

(blacktriangleright) Чтобы найти угол между плоскостями (xi) и (pi), нужно найти линейный угол (причем острый или прямой) двугранного угла, образованного плоскостями (xi) и (pi):

Шаг 1: пусть (xicappi=a) (линия пересечения плоскостей). В плоскости (xi) отметим произвольную точку (F) и проведем (FAperp
a);

Шаг 2: проведем (FGperp pi);

Шаг 3: по ТТП ((FG) – перпендикуляр, (FA) –наклонная, (AG) – проекция) имеем: (AGperp a);

Шаг 4: угол (angle FAG) называется линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями (xi) и (pi).

Заметим, что треугольник (AG) – прямоугольный.
Заметим также, что плоскость (AFG), построенная таким образом, перпендикулярна обеим плоскостям (xi) и (pi). Следовательно, можно сказать по-другому: угол между плоскостями (xi) и (pi) — это угол между двумя пересекающимися прямыми (cin xi) и (binpi), образующими плоскость, перпендикулярную и (xi), и (pi).

Задание
1

#2875

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дана четырехугольная пирамида, все ребра которой равны, причем основание является квадратом. Найдите (6cos alpha), где (alpha) – угол между ее смежными боковыми гранями.

Пусть (SABCD) – данная пирамида ((S) – вершина), ребра которой равны (a). Следовательно, все боковые грани представляют собой равные равносторонние треугольники. Найдем угол между гранями (SAD) и (SCD).

Проведем (CHperp SD). Так как (triangle SAD=triangle SCD), то (AH) также будет высотой в (triangle SAD). Следовательно, по определению (angle AHC=alpha) – линейный угол двугранного угла между гранями (SAD) и (SCD).
Так как в основании лежит квадрат, то (AC=asqrt2). Заметим также, что (CH=AH) – высота равностороннего треугольника со стороной (a), следовательно, (CH=AH=frac{sqrt3}2a).
Тогда по теореме косинусов из (triangle AHC): [cos alpha=dfrac{CH^2+AH^2-AC^2}{2CHcdot AH}=-dfrac13 quadRightarrowquad
6cosalpha=-2.]

Ответ: -2

Задание
2

#2876

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Плоскости (pi_1) и (pi_2) пересекаются под углом, косинус которого равен (0,2). Плоскости (pi_2) и (pi_3) пересекаются под прямым углом, причем линия пересечения плоскостей (pi_1) и (pi_2) параллельна линии пересечения плоскостей (pi_2) и (pi_3). Найдите синус угла между плоскостями (pi_1) и (pi_3).

Пусть линия пересечения (pi_1) и (pi_2) – прямая (a), линия пересечения (pi_2) и (pi_3) – прямая (b), а линия пересечения (pi_3) и (pi_1) – прямая (c). Так как (aparallel b), то (cparallel aparallel b) (по теореме из раздела теоретической справки “Геометрия в пространстве” (rightarrow) “Введение в стереометрию, параллельность”).

Отметим точки (Ain a, Bin b) так, чтобы (ABperp a, ABperp b) (это возможно, так как (aparallel b)). Отметим (Cin c) так, чтобы (BCperp c), следовательно, (BCperp b). Тогда (ACperp c) и (ACperp a).
Действительно, так как (ABperp b, BCperp b), то (b) перпендикулярна плоскости (ABC). Так как (cparallel aparallel b), то прямые (a) и (c) тоже перпендикулярны плоскости (ABC), а значит и любой прямой из этой плоскости, в частности, прямой (AC).

Отсюда следует, что (angle BAC=angle (pi_1, pi_2)), (angle
ABC=angle (pi_2, pi_3)=90^circ), (angle BCA=angle (pi_3,
pi_1)). Получается, что (triangle ABC) прямоугольный, а значит [sin angle BCA=cos angle BAC=0,2.]

Ответ: 0,2

Задание
3

#2877

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Даны прямые (a, b, c), пересекающиеся в одной точке, причем угол между любыми двумя из них равен (60^circ). Найдите (cos^{-1}alpha), где (alpha) – угол между плоскостью, образованной прямыми (a) и (c), и плоскостью, образованной прямыми (b) и (c). Ответ дайте в градусах.

Пусть прямые пересекаются в точке (O). Так как угол между любыми двумя их них равен (60^circ), то все три прямые не могут лежать в одной плоскости. Отметим на прямой (a) точку (A) и проведем (ABperp
b) и (ACperp c). Тогда (triangle AOB=triangle AOC) как прямоугольные по гипотенузе и острому углу. Следовательно, (OB=OC) и (AB=AC).
Проведем (AHperp (BOC)). Тогда по теореме о трех перпендикулярах (HCperp c), (HBperp b). Так как (AB=AC), то (triangle
AHB=triangle AHC) как прямоугольные по гипотенузе и катету. Следовательно, (HB=HC). Значит, (OH) – биссектриса угла (BOC) (так как точка (H) равноудалена от сторон угла).

Заметим, что таким образом мы к тому же построили линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью, образованной прямыми (a) и (c), и плоскостью, образованной прямыми (b) и (c). Это угол (ACH).

Найдем этот угол. Так как точку (A) мы выбирали произвольно, то пусть мы выбрали ее так, что (OA=2). Тогда в прямоугольном (triangle AOC): [sin 60^circ=dfrac{AC}{OA}
quadRightarrowquad AC=sqrt3 quadRightarrowquad
OC=sqrt{OA^2-AC^2}=1.] Так как (OH) – биссектриса, то (angle
HOC=30^circ), следовательно, в прямоугольном (triangle HOC): [mathrm{tg},30^circ=dfrac{HC}{OC}quadRightarrowquad HC=dfrac1{sqrt3}.] Тогда из прямоугольного (triangle ACH): [cosangle alpha=cosangle ACH=dfrac{HC}{AC}=dfrac13 quadRightarrowquad
cos^{-1}alpha=3.]

Ответ: 3

Задание
4

#2910

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Плоскости (pi_1) и (pi_2) пересекаются по прямой (l), на которой лежат точки (M) и (N). Отрезки (MA) и (MB) перпендикулярны прямой (l) и лежат в плоскостях (pi_1) и (pi_2) соответственно, причем (MN = 15), (AN = 39), (BN = 17), (AB = 40). Найдите (3cosalpha), где (alpha) – угол между плоскостями (pi_1) и (pi_2).

Треугольник (AMN) прямоугольный, (AN^2 = AM^2 + MN^2), откуда [AM^2 = 39^2 — 15^2 = 36^2.] Треугольник (BMN) прямоугольный, (BN^2 = BM^2 + MN^2), откуда [BM^2 = 17^2 — 15^2 = 8^2.] Запишем для треугольника (AMB) теорему косинусов: [AB^2 = AM^2 + MB^2 — 2cdot AMcdot MBcdotcosangle AMB.] Тогда [40^2 = 36^2 + 8^2 — 2cdot 36cdot 8cdotcosangle AMBqquadLeftrightarrowqquad cosangle AMB = -dfrac{5}{12}] Так как угол (alpha) между плоскостями – это острый угол, а (angle AMB) получился тупым, то (cosalpha=dfrac5{12}). Тогда [3cosalpha = dfrac54=1,25.]

Ответ: 1,25

Задание
5

#2911

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

(ABCDA_1B_1C_1D_1) – параллелепипед, (ABCD) – квадрат со стороной (a), точка (M) – основание перпендикуляра, опущенного из точки (A_1) на плоскость ((ABCD)), кроме того (M) – точка пересечения диагоналей квадрата (ABCD). Известно, что (A_1M = dfrac{sqrt{3}}{2}a). Найдите угол между плоскостями ((ABCD)) и ((AA_1B_1B)). Ответ дайте в градусах.

Построим (MN) перпендикулярно (AB) как показано на рисунке.

Так как (ABCD) – квадрат со стороной (a) и (MNperp AB) и (BCperp AB), то (MNparallel BC). Так как (M) – точка пересечения диагоналей квадрата, то (M) – середина (AC), следовательно, (MN) – средняя линия и (MN =frac12BC= frac{1}{2}a).
(MN) – проекция (A_1N) на плоскость ((ABCD)), причем (MN) перпендикулярен (AB), тогда по теореме о трех перпендикулярах (A_1N) перпендикулярен (AB) и угол между плоскостями ((ABCD)) и ((AA_1B_1B)) есть (angle A_1NM).
[mathrm{tg}, angle A_1NM = dfrac{A_1M}{NM} = dfrac{frac{sqrt{3}}{2}a}{frac{1}{2}a} = sqrt{3}qquadRightarrowqquadangle A_1NM = 60^{circ}]

Ответ: 60

Задание
6

#1854

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В квадрате (ABCD): (O) – точка пересечения диагоналей; (S) – не лежит в плоскости квадрата, (SO perp ABC). Найдите угол между плоскостями (ASD) и (ABC), если (SO = 5), а (AB = 10).

Прямоугольные треугольники (triangle SAO) и (triangle SDO) равны по двум сторонам и углу между ними ((SO perp ABC) (Rightarrow) (angle SOA = angle SOD = 90^circ); (AO = DO), т.к. (O) – точка пересечения диагоналей квадрата, (SO) – общая сторона) (Rightarrow) (AS = SD) (Rightarrow) (triangle ASD) – равнобедренный. Точка (K) – середина (AD), тогда (SK) – высота в треугольнике (triangle ASD), а (OK) – высота в треугольнике (AOD) (Rightarrow) плоскость (SOK) перпендикулярна плоскостям (ASD) и (ABC) (Rightarrow) (angle SKO) – линейный угол, равный искомому двугранному углу.

В (triangle SKO): (OK = frac{1}{2}cdot AB = frac{1}{2}cdot 10 = 5 = SO) (Rightarrow) (triangle SOK) – равнобедренный прямоугольный треугольник (Rightarrow) (angle SKO = 45^circ).

Ответ: 45

Задание
7

#1855

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В квадрате (ABCD): (O) – точка пересечения диагоналей; (S) – не лежит в плоскости квадрата, (SO perp ABC). Найдите угол между плоскостями (ASD) и (BSC), если (SO = 5), а (AB = 10).

Прямоугольные треугольники (triangle SAO), (triangle SDO), (triangle SOB) и (triangle SOC) равны по двум сторонам и углу между ними ((SO perp ABC) (Rightarrow) (angle SOA = angle SOD = angle SOB = angle SOC = 90^circ); (AO = OD = OB = OC), т.к. (O) – точка пересечения диагоналей квадрата, (SO) – общая сторона) (Rightarrow) (AS = DS = BS = CS) (Rightarrow) (triangle ASD) и (triangle BSC) – равнобедренные. Точка (K) – середина (AD), тогда (SK) – высота в треугольнике (triangle ASD), а (OK) – высота в треугольнике (AOD) (Rightarrow) плоскость (SOK) перпендикулярна плоскости (ASD). Точка (L) – середина (BC), тогда (SL) – высота в треугольнике (triangle BSC), а (OL) – высота в треугольнике (BOC) (Rightarrow) плоскость (SOL) (она же плоскость (SOK)) перпендикулярна плоскости (BSC). Таким образом получаем, что (angle KSL) – линейный угол, равный искомому двугранному углу.

(KL = KO + OL = 2cdot OL = AB = 10) (Rightarrow) (OL = 5); (SK = SL) – высоты в равных равнобедренных треугольниках, которые можно найти по теореме Пифагора: (SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50). Можно заметить, что (SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2) (Rightarrow) для треугольника (triangle KSL) выполняется обратная теорема Пифагора (Rightarrow) (triangle KSL) – прямоугольный треугольник (Rightarrow) (angle KSL = 90^circ).

Ответ: 90

Подготовка учащихся к сдаче ЕГЭ по математике, как правило, начинается с повторения основных формул, в том числе и тех, которые позволяют определить угол между плоскостями. Несмотря на то, что этот раздел геометрии достаточно подробно освещается в рамках школьной программы, многие выпускники нуждаются в повторении базового материала. Понимая, как найти угол между плоскостями, старшеклассники смогут оперативно вычислить правильный ответ в ходе решения задачи и рассчитывать на получение достойных баллов по итогам сдачи единого государственного экзамена.

Основные нюансы

Чтобы вопрос, как найти двугранный угол, не вызывал затруднений, рекомендуем следовать алгоритму решения, который поможет справиться с заданиями ЕГЭ.
Вначале необходимо определить прямую, по которой пересекаются плоскости.
Затем на этой прямой нужно выбрать точку и провести к ней два перпендикуляра.
Следующий шаг — нахождение тригонометрической функции двугранного угла, который образован перпендикулярами. Делать это удобнее всего при помощи получившегося треугольника, частью которого является угол.
Ответом будет значение угла или его тригонометрической функции.

Подготовка к экзаменационному испытанию вместе со «Школково» — залог вашего успеха

В процессе занятий накануне сдачи ЕГЭ многие школьники сталкиваются с проблемой поиска определений и формул, которые позволяют вычислить угол между 2 плоскостями. Школьный учебник не всегда есть под рукой именно тогда, когда это необходимо. А чтобы найти нужные формулы и примеры их правильного применения, в том числе и для нахождения угла между плоскостями в Интернете в режиме онлайн, порой требуется потратить немало времени.

Математический портал «Школково» предлагает новый подход к подготовке к госэкзамену. Занятия на нашем сайте помогут ученикам определить наиболее сложные для себя разделы и восполнить пробелы в знаниях.

Мы подготовили и понятно изложили весь необходимый материал. Базовые определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».

Для того чтобы лучше усвоить материал, предлагаем также попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка задач различной степени сложности, например, на нахождение угла между прямой и плоскостью, представлена в разделе «Каталог». Все задания содержат подробный алгоритм нахождения правильного ответа. Перечень упражнений на сайте постоянно дополняется и обновляется.

Практикуясь в решении задач, в которых требуется найти угол между двумя плоскостями, учащиеся имеют возможность в онлайн-режиме сохранить любое задание в «Избранное». Благодаря этому они смогут вернуться к нему необходимое количество раз и обсудить ход его решения со школьным учителем или репетитором.

УСТАЛ? Просто отдохни

Источник

При решении стереометрических задач, где ключевым моментом является построение правильного чертежа, ученику необходимо иметь знания в области планиметрии и стереометрии.

При решении задач традиционным (геометрическим) методом у учеников возникают сложности в построении предполагаемого чертежа, дополнительных элементов, трудности в доказательных рассуждениях. Традиционный способ требует более точного построения и определения угла между плоскостями.

Использование «метода координат» при решении стереометрических задач на нахождение угла между двумя плоскостями

Встречаются такие задачи, в которых сложно построить сечения (плоскости) и определить линию пересечения плоскостей и найти такие прямые в данных плоскостях, которые будут перпендикулярны этой линии. В таких случаях на помощь приходит «метод координат».

В рамках данной статьи рассмотрим решение задач «методом координат» на нахождение угла между плоскостями. Данный метод алгоритмизирован и не требует построения искомого угла между плоскостями.

Для решения стереометрических задач ученик должен иметь теоретическую базу. Определения, теоремы и т.д. можно изучить в учебнике по геометрии Атанасяна Л.С. для 10-11 классов и Погорелова А.В. для 10-11 классов [1; 2]. Вспомним по данной теме основное определение:

Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.

Определение подсказывает традиционный метод нахождения угла между плоскостями. Для решения этим методом:

1) необходимо увидеть или построить линию пересечения плоскостей;
2) построить прямые в плоскостях, перпендикулярные этой линии. Угол между этими прямыми будет искомым.

Но встречаются такие задачи, в которых сложно построить выше перечисленные элементы. «Метод координат» не требует построения угла между плоскостями и является универсальным методом, в котором заложен алгоритм нахождения данного угла.

Для этого необходимо составить уравнения плоскостей, для того чтобы найти их нормальные векторы. Далее находим косинус между этими векторами. Угол между этими векторами будет искомой величиной угла между плоскостями.

Пусть даны уравнения двух плоскостей

Найдем нормальные векторы данных плоскостей:

При решении данных задач, необходимо знать основную формулу. Она определят угол между плоскостями, как угол между нормалями данных плоскостей.

Источник: https://sibac.info/studconf/science/lvii/123130

Двугранный угол. Подробная теория с примерами

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой.

Вот так:

При этом прямая – это ребро двугранного угла, а полуплоскости и — стороны или грани двугранного угла.
Двугранный угол получает обозначение по своему ребру: «двугранный угол ».
С понятием двугранного угла тесно связано понятия: угол между плоскостями.

Угол между плоскостями – наименьший из двугранных углов, образованных при пересечении плоскостей.

Итак, внимание! Различие между двугранным углом и углом между плоскостями в том, что:

Двугранный угол может быть и острым, и тупым, а угол между плоскостями только острым! НЕ ПУТАЙ!

Как найти угол между плоскостями

Найти угол между плоскостями (можно двумя способами: геометрическим и алгебраическим).

При геометрическом способе нужно сначала построить угол двугранного угла, а потом искать этот линейный угол с помощью знаний из планиметрии.

Алгебраический способ – это применение метода координат – там есть формула для нахождения угла между плоскостями.

Если нужно найти, скажем, двугранный угол при основании правильной , то проще использовать геометрический способ, а если линейный угол двугранного угла никак не хочет проходить ни через какие удобные точки, то можно использовать метод координат как палочку выручалочку.

Источник: https://youclever.org/book/dvugrannyj-ugol-2

Нахождение угла между плоскостями (двугранный угол)

Подготовка учащихся к сдаче ЕГЭ по математике, как правило, начинается с повторения основных формул, в том числе и тех, которые позволяют определить угол между плоскостями.

Несмотря на то, что этот раздел геометрии достаточно подробно освещается в рамках школьной программы, многие выпускники нуждаются в повторении базового материала.

Понимая, как найти угол между плоскостями, старшеклассники смогут оперативно вычислить правильный ответ в ходе решения задачи и рассчитывать на получение достойных баллов по итогам сдачи единого государственного экзамена.

Основные нюансы

Чтобы вопрос, как найти двугранный угол, не вызывал затруднений, рекомендуем следовать алгоритму решения, который поможет справиться с заданиями ЕГЭ. Вначале необходимо определить прямую, по которой пересекаются плоскости.

Затем на этой прямой нужно выбрать точку и провести к ней два перпендикуляра. Следующий шаг — нахождение тригонометрической функции двугранного угла, который образован перпендикулярами. Делать это удобнее всего при помощи получившегося треугольника, частью которого является угол. Ответом будет значение угла или его тригонометрической функции.

Подготовка к экзаменационному испытанию вместе со «Школково» — залог вашего успеха

В процессе занятий накануне сдачи ЕГЭ многие школьники сталкиваются с проблемой поиска определений и формул, которые позволяют вычислить угол между 2 плоскостями.

Школьный учебник не всегда есть под рукой именно тогда, когда это необходимо.

А чтобы найти нужные формулы и примеры их правильного применения, в том числе и для нахождения угла между плоскостями в Интернете в режиме онлайн, порой требуется потратить немало времени.

Источник: https://shkolkovo.net/catalog/geometriya_v_prostranstve_stereometriya/nahozhdenie_ugla_mezhdu_ploskostyami_dvugrannyj_ugol

Угол между двумя пересекающимися плоскостями: определение, примеры нахождения, как найти угол между плоскостями

Статья рассказывает о нахождении угла между плоскостями. После приведения определения зададим графическую иллюстрацию, рассмотрим подробный способ нахождения методом координат. Получим формулу для пересекающихся плоскостей, в которую входят координаты нормальных векторов.

Угол между плоскостями – определение

В материале будут использованы данные и понятия, которые ранее были изучены в статьях про плоскость и прямую в пространстве. Для начала необходимо перейти к рассуждениям, позволяющим иметь определенный подход к определению угла между двумя пересекающимися плоскостями.

Заданы две пересекающиеся плоскости γ1 и γ2. Их пересечение примет обозначение c. Построение плоскости χ связано с пересечением этих плоскостей. Плоскость χ проходит через точку М в качестве прямой c.

Будет производиться пересечение плоскостей γ1 и γ2 с помощью плоскости χ. Принимаем обозначения прямой, пересекающей γ1 и χ за прямую a, а пересекающую γ2 и χ за прямую b.

Получаем, что пересечение прямых a и b дает точку M. Расположение точки M не влияет на угол между пересекающимися прямыми a и b, а точка M располагается на прямой c, через которую проходит плоскость χ.

Необходимо построить плоскость χ1 с перпендикулярностью к прямой c и отличную от плоскости χ. Пересечение плоскостей γ1 и γ2 с помощью χ1 примет обозначение прямых а1 и b1.

Видно, что при построении χ и χ1 прямые a и b перпендикулярны прямой c, тогда и а1, b1 располагаются перпендикулярно прямой c. Нахождение прямых a и а1 в плоскости γ1 с перпендикулярностью к прямой c, тогда их можно считать параллельными.

Таки же образом расположение b и b1 в плоскости γ2 с перпендикулярностью прямой c говорит об их параллельности. Значит, необходимо сделать параллельный перенос плоскости χ1 на χ, где получим две совпадающие прямые a и а1, b и b1.

Получаем, что угол между пересекающимися прямыми a и b1 равен углу пересекающихся прямых a и b. Рассмотрим не рисунке, приведенном ниже.

Данное суждение доказывается тем, что между пересекающимися прямыми a и b имеется угол, который не зависит от расположения точки M, то есть точки пересечения. Эти прямые располагаются в плоскостях γ1 и γ2. Фактически, получившийся угол можно считать углом между двумя пересекающимися плоскостями.

Перейдем к определению угла между имеющимися пересекающимися плоскостями γ1 и γ2.

Углом между двумя пересекающимися плоскостями γ1 и γ2 называют угол, образовавшийся путем пересечения прямых a и b, где плоскости γ1 и γ2 имеют пересечение с плоскостью χ, перпендикулярной прямой c. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Определение может быть подано в другой форме. При пересечении плоскостей γ1 и γ2, где c – прямая, на которой они пересеклись, отметить точку M, через которую провести прямые a и b, перпендикулярные прямой c и лежащие в плоскостях γ1 и γ2, тогда угол между прямыми a и b будет являться углом между плоскостями. Практически это применимо для построения угла между плоскостями.

При пересечении образуется угол, который по значению меньше 90 градусов, то есть градусная мера угла действительна на промежутке такого вида (0, 90]. Одновременно данные плоскости называют перпендикулярнымив случае, если при пересечении образуется прямой угол. Угол между параллельными плоскостями считается равным нулю.

Нахождение угла между двумя пересекающимися плоскостями

Обычный способ для нахождения угла между пересекающимися плоскостями – это выполнение дополнительных построений. Это способствует определять его с точностью, причем делать это можно с помощью признаков равенства или подобия треугольника, синусов, косинусов угла.

Рассмотрим решение задач на примере из задач ЕГЭ блока C2.

Пример 1

Задан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1, где сторона АВ=2, AD=3, АА1=7, точка E разделяет сторону АА1 в отношении 4:3. Найти угол между плоскостями АВС и ВED1.

Решение

Для наглядности необходимо выполнить чертеж. Получим, что наглядное представление необходимо для того, чтобы было удобней работать с углом между плоскостями.

Производим определение прямой линии, по которой происходит пересечение плоскостей АВС и ВED1. Точка B является общей точкой. Следует найти еще одну общую точку пересечения. Рассмотрим прямые DA и D1E, которые располагаются в одной плоскости ADD1. Их расположение не говорит о параллельности, значит, они имеют общую точку пересечения.

Однако, прямая DA расположена в плоскости АВС, а D1E в BED1. Отсюда получаем, что прямые DA и D1E имеют общую точку пересечения, которая является общей и для плоскостей АВС и BED1. Обозначает точку пересечения прямых DA и D1Eбуквой F. Отсюда получаем, что BF является прямой, по которой пересекаются плоскости АВС и ВED1.

Для получения ответа необходимо произвести построение прямых, расположенных в плоскостях АВС и ВED1 с прохождением через точку, находящуюся на прямой BF и перпендикулярной ей. Тогда получившийся угол между этими прямыми считается искомым углом между плоскостями АВС и ВED1.

Отсюда видно, что точка A – проекция точки E на плоскость АВС. Необходимо провести прямую, пересекающую под прямым углом прямую BF в точке М. Видно, что прямая АМ – проекция прямой ЕМ на плоскость АВС, исходя из теоремы о тех перпендикулярах AM⊥BF. Рассмотрим рисунок, изображенный ниже.

∠AME — это искомый угол, образованный плоскостями АВС и ВED1. Из получившегося треугольника АЕМ можем найти синус, косинус или тангенс угла, после чего и сам угол, только при известных двух сторонах его.

По условию имеем, что длина АЕ находится таким образом: прямая АА1 разделена точкой E в отношении 4:3, то означает полную длину прямой – 7 частей, тогда АЕ= 4 частям. Находим АМ.

Необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник АВF. Имеем прямой угол A с высотой АМ. Из условия АВ=2, тогда можем найти длину AF по подобию треугольников DD1F и AEF. Получаем, что AEDD1=AFDF⇔AEDD1=AFDA+AF⇒47=AF3+AF⇔AF=4

Необходимо найти длину стороны BF из треугольника ABF, используя теорему Пифагора. Получаем, что BF =AB2+AF2=22+42=25. Длина стороны АМ находится через площадь треугольника ABF. Имеем, что площадь может равняться как SABC=12·AB·AF, так и SABC=12·BF·AM.

Получаем, что AM=AB·AFBF=2·425=455. Тогда можем найти значение тангенса угла треугольника АЕМ. Получим:

tg∠AME=AEAM=4455=5

Искомый угол, получаемый пересечением плоскостей АВС и BED1 равняется arctg5, тогда при упрощении получим arctg5=arcsin 306=arccos66.

Ответ: arctg5=arcsin 306=arccos66.

Некоторые случаи нахождения угла между пересекающимися прямыми задаются при помощи координатной плоскости Охуz и методом координат. Рассмотрим подробней.

Если дана задача, где необходимо найти угол между пересекающимися плоскостями γ1 и γ2, искомый угол обозначим за α.

Тогда заданная система координат показывает, что имеем координаты нормальных векторов пересекающихся плоскостей γ1 и γ2. Тогда обозначим, что n1→=n1x, n1y, n1z является нормальным вектором плоскости γ1, а n2→=(n2x, n2y, n2z) — для плоскости γ2. Рассмотрим подробное нахождение угла, расположенного между этими плоскостями по координатам векторов.

Необходимо обозначить прямую, по которой происходит пересечение плоскостей γ1 и γ2 буквой c. На прямой с имеем точку M, через которую проводим плоскость χ, перпендикулярную c. Плоскость χ по прямым a и b производит пересечение плоскостей γ1 и γ2 в точке M.

из определения следует, что угол между пересекающимися плоскостями γ1 и γ2 равен углу пересекающихся прямых a и b, принадлежащих этим плоскостям соответственно.

В плоскости χ откладываем от точки M нормальные векторы и обозначаем их n1→ и n2→. Вектор n1→ располагается на прямой, перпендикулярной прямой a, а вектор n2→ на прямой, перпендикулярной прямой b. Отсюда получаем, что заданная плоскость χ имеет нормальный вектор прямой a, равный n1→ и для прямой b, равный n2→. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Отсюда получаем формулу, по которой можем вычислить синус угла пересекающихся прямых при помощи координат векторов.

Получили, что косинусом угла между прямыми a и b то же, что и косинус между пересекающимися плоскостями γ1 и γ2 выводится из формулы cos α=cosn1→, n2→^=n1x·n2x+n1y·n2y+n1z·n2zn1x2+n1y2+n1z2·n2x2+n2y2+n2z2, где имеем, что n1→=(n1x, n1y, n1z) и n2→=(n2x, n2y, n2z) являются координатами векторов представленных плоскостей. Вычисление угла между пересекающимися прямыми производится по формуле:

α=arccosn1x·n2x+n1y·n2y+n1z·n2zn1x2+n1y2+n1z2·n2x2+n2y2+n2z2

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/ugol-mezhdu-dvumja-peresekajuschimisja-ploskostjam/

Источник

Угол между плоскостями.

Определение.

Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному нормальными векторами этих плоскостей.

Определение.

Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному прямыми l₁ и l₂, лежащими в соответствующих плоскостях и перпендикулярными линии пересечения плоскостей.

Формула для вычисления угла между плоскостями

Если заданы уравнения плоскостей A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0, то угол между плоскостями можно найти, используя следующую формулу

cos α =	\|A₁·A₂ + B₁·B₂ + C₁·C₂\|
√A₁² + B₁² + C₁²√A₂² + B₂² + C₂²

Примеры задач на вычисление угла между плоскостями

Пример 1.

Найти угол между плоскостями 2x + 4y — 4z — 6 = 0 и 4x + 3y + 9 = 0.

Решение. Подставим в формулу вычисления угла между плоскостями соответствующие коэффициенты:

cos α =

|2·4 + 4·3 + (-4)·0|√2² + 4² + (-4)²√4² + 3² + 0²

|8 + 12|√36√25

2030

Ответ: косинус угла между плоскостями равен cos α = 23.

Источник

Определение

Диагональным называют двугранный угол, образованный двумя полуплоскостями и прямой линией, являющейся их общей границей.

Чтобы находить угол между пересекающимися плоскостями, необходимо понимать основные значения специальных терминов и понятий, которые используются в теме плоскостей и прямых.

Сначала дадим определение того, что называется углом между пересекающимися плоскостями. Если в пространстве две плоскости пересекаются, то между ними образуется угол.

Угол между пересекающейся прямой и плоскостью

Если в пространстве имеются пересекающиеся плоскости Y₁ и Y₂, то точку пересечения обозначим буквой С. Для построения некой плоскости Х, необходимо рассмотреть заданные пересекающиеся плоскости подробнее.

Новая плоскость Х будет образована вследствие пересечения плоскостей Y₁ и Y₂. Примем обозначение для прямой, которая будет пересекать Y₁ и Х, как прямая а. А другую прямую, которая пересечет Y₂ и Х, обозначим как b.

Получаем две пересекающиеся прямые, а и b, которые дадут нам точку M.

Понять, что называется углом между двумя пересекающимися плоскостями, поможет рисунок.

Место расположения точки М не может повлиять на величину угла между a и b, но если М находится на прямой С, то она проходит через плоскость Х.

Для более ясного представления того, что означает угол между двумя пересекающимися плоскостями, нужно:

Построить перпендикулярную прямую к прямой С, а также лежащую на плоскости Х₁.
При пересечении плоскости Y₁ с Y₂ и прямой Х₁ получаем прямые а₁ и b.
Если при Х и Х₁, прямые, а и b перпендикулярны к прямой С, то прямые а₁ и b₁ также будут перпендикулярны прямой С.
Построение прямых a и а₁, лежащих на плоскости Y₁, будет считаться параллельным.
Прямые b и b₁ принадлежат плоскости Y₂, имеющей перпендикуляр, то они параллельны.

Как найти угол между двумя пересекающимися плоскостями

Чтобы найти значение, чему равен угол между пересекающимися плоскостями, необходимо сделать дополнительные построения:

Перенести параллельно плоскость Х₁ на плоскость Х.
Получить совпадающие прямые a и а₁, b и b₁.

Дадим определение угла между двумя плоскостями.

Угол между прямыми a₁ и b₁ будет равен углу между пересекающимися прямыми a и b.
Это определение хорошо видно на рисунке.

Доказательство:

Если между прямыми a и b, которые пересекаются, имеем угол между пересекающейся прямой и плоскости, то он не будет зависеть от точки пересечение М.
Данные прямые принадлежат плоскостям Y₁ и Y₁, поэтому готовый угол и является углом между пересекающимися плоскостями.

Итак, между двумя плоскостями, которые пересекаются между собой и имеют принадлежащие им прямые линии, в точке третьей плоскости пересечения Х образуется угол, перпендикулярный прямой С.
Чтобы понять это определение, обратимся к рисунку.

Данное понятие можно сформулировать иначе:

При пересечении Y₁ и Y₂ получаем прямую с точкой М.
Проводим прямые a и b в данных плоскостях, которые будут перпендикулярны прямой c.
Полученный между двумя прямыми угол будет называться углом между плоскостями.

Этот метод применяют и для построения заданного угла между двумя плоскостями.

Для этого нужно знать следующие правила:

Угол между плоскостями всегда меньше 90⁰С.
Плоскости являются перпендикулярными только в том случае, если угол между ними прямой.
Между двумя параллельными плоскостями угол равен 0 градусов С.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Методы вычисления угла между плоскостями

Существует несколько методов, позволяющих вычислить угол с максимальной точностью.

Вычислить угол можно несколькими способами:

используя признаки равенства;
с помощью треугольников;
применяя синусы и косинусы;
используя систему координат.

Необходимо понимать, как найти угол между пересекающимися плоскостями, применяя различные методы. Тогда решение любой задачи покажется легким для выполнения.

Примеры

Дан один параллелепипед [A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}].
Сторона [A D=3, A B=2, A A_{1}=7].
Точка E делит сторону [АА_{1}] в пропорции 4 : 3.
Задание: необходимо найти угол между плоскостями АВС и [ВED_{1}].
Решение:
Сначала сделаем чертеж исходного задания.

Теперь необходимо обозначить прямую линию пересечения двух плоскостей АВС и [ВED_{1}].
Точка B будет общей, далее необходимо найти еще одну точку пересечения.
Поскольку прямые DA и [D_{1}E] располагаются в плоскости [ADD_{1}] и не могут быть параллельны, значит они пересекаются.
Если прямая DA расположена в плоскости АВС, а [D_{1}E] в BED1, то прямые DA и D1E однозначно пересекаются в общей точке, которая лежит на обеих плоскостях. Обозначим эту точку буквой F.
На рисунке хорошо видно, что прямая BF является общей для двух исходных плоскостей.

Теперь постараемся найти угол между этими плоскостями:

Построим прямые в обеих плоскостях, проходящие через общую точку, лежащую на прямой BF и
перпендикулярные ей.
Получился угол между плоскостями.
Точка А, лежащая на плоскости АВС, является проекцией точки Е.
Проводим перпендикулярную прямую к BF в точке М.
Теперь хорошо видно, что ЕМ является проекцией на плоскость АВС в АМ.
Применяем теорему о перпендикулярах AM ⊥ BF.

Искомым является ∠AME, который образован пересечением плоскостей АВС и [ВED_{1}]. Из полученного треугольника АЕМ находим тангенс, синус или косинус. Теперь, если известны стороны треугольника, можно вычислить угол между двумя пересекающимися плоскостями.
Для этого выполняем несколько дополнительных действий:
В условии задачи сказано, что АА₁ разделена точкой Е в пропорции 4 : 3. Это значит, что прямая имеет 7 частей, а отрезок АЕ равен 4 частям.

Чтобы определить АМ, нужно рассмотреть треугольник АВF, где угол A прямой, а АМ является его высотой.

Если АВ = 2, то длину AF можно вычислить по принципу подобия треугольников DD₁F и AEF:

[frac{A E}{D D 1}=frac{A F}{D F} Leftrightarrow frac{A E}{D D 1}=frac{A F}{D A+A F} Rightarrow
frac{4}{7}=frac{A F}{3+A F} Leftrightarrow A F=4]
С помощью теоремы Пифагора находим длину BF в треугольнике ABF:
[mathrm{BF}=sqrt{(}left(mathrm{AB}^{2}+mathrm{AF}^{2}right)=sqrt{left(2^{2}+4^{2}right)}=2
sqrt{5}]
Находим длину отрезка АМ через площадь треугольника ABF:
S треугольника [mathrm{ABC}=frac{1}{2} cdot mathrm{AB} cdot mathrm{AF}] или S треугольника
[mathrm{ABC}=frac{1}{2} cdot mathrm{BF} cdot AM]. Тогда [mathrm{AM}=frac{A B cdot A F}{B
F}=frac{2 cdot 4}{2 sqrt{5}}=frac{4 sqrt{5}}{5}].
Находим тангенс угла в треугольнике АЕМ:
[operatorname{tg} angle mathrm{AME}=frac{A E}{A M}=frac{4}{4 sqrt{5}}: 5=sqrt{5}]
В итоге угол между пересекающимися плоскостями arc равен arctg√5. Или [operatorname{arctg} sqrt{5}=arcsin
frac{sqrt{30}}{6}=arccos frac{sqrt{6}}{6}].
Ответ: [operatorname{arctg} sqrt{5}=arccos frac{sqrt{6}}{6}].

B единичном кубе [A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}] найдите угол между плоскостями [left(A D_{1}
Eright)] и [left(D_{1} F Cright)], где точки E и F — середины ребер [A_{1} B_{1}] и [B_{1} C_{1}] соответственно.

Решение:
Введем прямоугольную систему координат и определим координаты точек:[A(1 ; 0 ; 0), C(0 ;
1 ; 0), D_{1}(1 ; 1 ; 1), Eleft(frac{1}{2} ; 0 ; 1right), Fleft(0 ; frac{1}{2} ; 1right)]
Составим уравнение плоскости [left(A D_{1} Eright)]:
[2 x-y+z-2=0\overrightarrow{n_{1}}{2 ;-1 ;
1}] — нормальный вектор плоскости [(AD_{1} E)].
Составим уравнение плоскости [left(D_{1} F Cright)]:
[x-2 y-z+2=0\overrightarrow{n_{2}}{1 ;-2
;-1}] — нормальный вектор плоскости [(D_{1}FC)].

Отрезок, соединяющий центр основания правильной треугольной пирамиды с серединой бокового ребра,
равен стороне основания. Найти угол между смежными боковыми гранями пирамиды.

Решение: [R O=frac{1}{3}; C R=frac{sqrt{3}}{6}; E O=frac{1}{2}]
SO найдем из [triangle O S B]:
[begin{aligned}&S B=2, quad B O=frac{sqrt{3}}{3} \&S O=sqrt{S B^{2}-O B^{2}} \&S
O=sqrt{4-frac{1}{3}}=frac{sqrt{11}}{sqrt{3}} \&Sleft(frac{sqrt{3}}{6} ; frac{1}{2} ;
frac{sqrt{11}}{sqrt{3}}right)end{aligned}]

Источник

Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут

Как найти угол между двумя плоскостями?

Пусть заданы уравнениями две плоскости $$A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0$$ $$A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0$$

Запишем нормальные векторы этих плоскостей, каждая координата которых равна соответствующим коэффициентам в уравнениях плоскостей $$overline{n}_1 = (A_1,B_1,C_1)$$$$overline{n}_2 = (A_2,B_2,C_2)$$

Угол между плоскостями – это угол между двумя нормальными векторами этих плоскостей, вычисляемый по формуле: $$cos varphi = frac{(overline{n}_1,overline{n}_2)}{|overline{n}_2| cdot |overline{n}_2|}$$

В числителе формулы стоит скалярное произведение векторов, вычисляемое путем суммирования произведений соответствующих координат

$$(overline{n}_1,overline{n}_2) = A_1 cdot A_2 + B_1 cdot B_2 + C_1 cdot C_2$$

В знаменателе расположено произведение длин векторов, вычисляемых извлечением квадратного корня из суммы квадратов соответствующих координат векторов

$$|overline{n}_1| = sqrt{A_1 ^2 + B_1 ^2 + C_1 ^2}$$

$$|overline{n}_2| = sqrt{A_2 ^2 + B_2 ^2 + C_2 ^2}$$

Вычисляем скалярное произведение нормальных векторов $(overline{n}_1,overline{n}_2)$
Находим произведение модулей нормальных векторов $ |overline{n}_1| cdot |overline{n}_2| $
Подставляем найденные значения в формулу косинуса угла между плоскостями $ cos varphi $

Примеры решений

Пример 1

Найти угол между плоскостями $3x-y+3=0$ и $x-2y+5z-10=0$

Решение

Записываем нормальные векторы каждой из плоскостей. В качестве координат векторов подставляем коэффициенты из уравнений плоскостей

$$ overline{n}_1 = (3,-1,0) $$ $$ overline{n}_2 = (1,-2,5) $$

Вычисляем скалярное произведение, полученных векторов $overline{n}_1$ и $ overline{n}_2$. Выполняем сложение произведений соответствующих координат

$$(overline{n}_1,overline{n}_2) = 3cdot 1 + (-1)cdot (-2) + 0cdot 5 = 5$$

Находим модули каждого из векторов. Извлекаем квадратный корень из суммы квадратов соответствующих координат

$$|overline{n}_1| = sqrt{3^2 + (-1)^2 + 0^2} = sqrt{10}$$

$$|overline{n}_2| = sqrt{1^2+(-2)^2+5^2} = sqrt{30}$$

Подставляем полученные значения в формулу нахождения угла между плоскостями

$$cos varphi = frac{5}{sqrt{10} cdot sqrt{30}} = frac{1}{sqrt{12}}$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$varphi = arccosfrac{1}{sqrt{12}}$$

Источник