Угол между прямыми 10 класс как найти

Рис. (1). Дороги на земле и на эстакадах не пересекаются.

Рис. (2). Скрещивающиеся прямые.

1. Допустим, что прямые (AB) и (CD) всё-таки лежат в одной плоскости.
2. Значит, эта плоскость идёт через прямую (AB) и точку (D), то есть, она совпадает с плоскостью (α).
3. Это противоречит условиям теоремы, по которым прямая (CD) не находится в плоскости (α), а пересекает её.
Теорема доказана.

В пространстве прямые могут пересекаться, скрещиваться или быть параллельными.
 

Рис. (3). Параллельные прямые.

Рис. (4). Пересекающиеся прямые.

Рис. (5). Скрещивающиеся прямые.

4. Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через (CD), будет пересекаться с (DE) и (AB), которая ей параллельна.
 Теорема доказана.

Вопросы занятия:

·     рассмотрим углы между пересекающимися и
скрещивающимися прямыми в пространстве.

Материал урока.

Напомню, что два луча
ОА и O₁A₁ в пространстве, не лежащие на одной прямой,
называются сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной
полуплоскости с границей ОO₁. Если
стороны двух углов соответственно сонаправленны, то такие углы равны.

Как вы уже знаете, любые
две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и образуют четыре
неразвернутых угла. Если известен
один из этих углов, то можно найти и другие три угла.

Определение. Если пересекающиеся прямые образуют тупые и острые
углы, то углом между этими прямыми называется тот, который не
превосходит любой из трех остальных углов, т.е. наименьший из углов.

Если пересекающиеся
прямые образуют четыре равных угла, то угол между этими прямыми равен девяносто
градусов.

Пусть α – тот из углов,
который не превосходит любого из трех остальных углов. Тогда говорят, что угол
между пересекающимися прямыми равен α. Очевидно, что угол альфа между двумя пересекающимися
прямыми удовлетворяет условию: .

Теперь введем понятие угла
между скрещивающимися прямыми. Пусть нам даны две скрещивающиеся прямые а и
b. Возьмем произвольную точку М₁ в
пространстве и проведем через нее прямые A₁B₁, параллельные прямым а и b
соответственно.

Тогда углом между
скрещивающимися прямыми а и b называется угол между построенными пересекающимися
прямыми A₁B₁. Т. е. если угол между прямыми A₁B₁ равен φ, то будем говорить, что угол между скрещивающимися
прямыми а и b равен φ.

Докажем, что угол
между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки М₁.

Возьмем любую другую
точку М₂ и проведем через нее прямые a₂ и b₂,
параллельные прямым а и b соответственно. Пусть угол между прямыми a₁ и b₁ равен α₁, а угол между прямыми a₂ и b₂ равен α₂.

Если прямые a₁, b₁, a₂, b₂ лежат в
одной плоскости, то по свойству накрест лежащих углов при параллельных прямых
угол α₁ равен
углу φ и равен углу α₂.

Пусть теперь прямые a₁ и b₁,
пересекающиеся в точке М₁, лежат в одной плоскости. А прямые a₂ и b₂,
пересекающиеся в точке М₂ лежат в другой плоскости.

Так как прямая a₁ параллельна прямой а и прямая a₂ параллельна прямой а, то по признаку параллельности
прямых в пространстве прямые a₁ и a₂ также параллельны. Так как прямая b₁ параллельна прямой b и прямая b₂ параллельна прямой b, то по
признаку параллельности прямых в пространстве прямые b₁ и b₂ параллельны.

Отметим на прямых a₁ и a₂ точки A₁ и A₂ так, чтобы
отрезки М₁А₁ и М₂А₂ были равны. На
прямых b₁ и b₂ отметим точки B₁ и B₂ так,
чтобы отрезки M₁B₁и M₂B₂ были равны.

Угол A₁M₁B₁ равен углу α₁, угол A₂M₂B₂ равен α₂.

Тогда стороны угла A₁M₁B₁ и угла A₂M₂B₂ попарно сонаправлены. По теореме о равенстве углов с
сонаправленными сторонами получаем, что угол A₁M₁B₁ равен углу A₂M₂B₂. Т. е. имеем, что угол α₁ равен углу α₂.

Таким образом, величина
угла между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки M₁.

Замечание. Угол между параллельными прямыми в пространстве считается
равным 0º.

Рассмотрим пример. Пусть у нас есть треугольная пирамида DABC.
На ее ребре DB взята точка Т.

Тогда угол между
скрещивающимися прямыми BC и АТ равен углу между прямой АТ и прямой TF,
которая проходит через точку Т параллельно прямой BC в плоскости BDC.

Рассмотрим еще
пример. Пусть есть параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. И пусть точка О – точка пересечения диагоналей грани
A₁B₁C₁D₁, а точка F – точка пересечения диагоналей
грани AA₁B₁B.

Тогда угол между
скрещивающимися прямыми C₁D и OF равен углу между прямыми OF и прямой OK,
проходящей через точку О и параллельной прямой C₁D в плоскости C₁DA₁.

Задача. Дана правильная пирамида .  – средняя линия грани
. Найдите угол между
прямыми  и
.

Решение.

Запишем ответ: 90º

Задача. Дан куб . Найдите угол между
прямыми  и
.

Решение.

Ответ: 60º.

Подведем итоги
урока. На этом уроке мы рассмотрели
углы между пересекающимися и скрещивающимися прямыми. А также решили несколько
задач на нахождение скрещивающихся углов.

Геометрия, 10 класс

Урок №5. Взаимное расположение прямых в пространстве

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1. признаки скрещивающихся прямых;
2. определение углов с сонаправленными сторонами;
3. доказательство теоремы о плоскости, проходящей через одну из скрещивающихся прямых;
4. доказательство теоремы о равенстве углов с сонаправленными сторонами.

Глоссарий по теме

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.

Основная литература:

1. Учебник Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. Геометрия 10-11 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

1. Зив Б.Г. Дидактические материалы Геометрия 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
2. Глазков Ю.А., Юдина И.И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь Геометрия 10 кл.-М.: Просвещение, 2013.

Открытый электронный ресурс:

1. https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мы уже знаем, что прямы в пространстве могут располагаться параллельно или пересекаться. Существует еще один вид- скрещивающиеся прямые. С ним мы мимолетно познакомились на предыдущем уроке. А сегодня нам предстоит разобраться с этой темой более подробно.

Определение. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости. (рис. 1)

Рисунок 1 – скрещивающиеся прямые

На прошлом уроке в качестве наглядного примера нами был приведен куб.

Сегодня предлагаем вам обратить внимание на окружающую вас обстановку и найти в ней скрещивающиеся прямые.

Примеры скрещивающихся прямых вокруг нас:

Одна дорога проходит по эстакаде, а другая под эстакадой
Кабели моста
Горизонтальные линии крыши и вертикальные линии стен

Разберем и докажем теорему, которая выражает признак скрещивающихся прямых.

Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости). 

Доказательство.
Рассмотрим прямую AB лежащую в плоскости и прямую CD, которая пересекает плоскoсть в точке D, не лежащей на прямой AB (рис. 2).

1. Допустим, что прямые AB и CD всё-таки лежат в одной плоскости.
   2. Значит эта плоскость идёт через прямую AB и точку D, то есть она совпадает с плоскостью α.
   3. Это противоречит условиям теоремы, что прямая CD не находится в плоскости α, а пересекает её.
   Теорема доказана.

Рисунок 2 – скрещивающиеся прямые АВ и СD

Итак, возможны три случая расположения прямых в пространстве:

параллельно
пересекаются
скрещиваются

Разберем и докажем еще одну теорему о скрещивающихся прямых.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Доказательство
Рассмотрим скрещивающиеся прямые AB и CD.(рис. 3)

1. Через точку D можно провести прямую DE параллельную AB. 
2. Через пересекающиеся прямые CD и DE можно провести плоскость α
3. Так как прямая АB не лежит в этой плоскости и параллельна прямой DE, то она параллельна плоскости.

4. Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через CD, будет пересекаться с DE и AB, которая ей параллельна.
 Теорема доказана.

Рисунок 3 – прямые АВ, СD, DЕ

Любая прямая, например ОО₁, рассекает плоскость на две полуплоскости. Если лучи ОА и О₁А₁ параллельны и лежат в одной полуплоскости, то они называются сонаправленными.

Лучи О₁А₁ и ОА не являются сонаправленными. Они параллельны, но не лежат в одной полуплоскости. (рис. 4)

Рисунок 4 – сонаправленные лучи

Теорема.Если стороны двух углов соответственно сонаправленны, то такие углы равны. (рис. 5)

Доказательство:

при доказательстве  ограничимся случаем, когда углы лежат в разных плоскостях.

1. Стороны углов сонаправлены, а, значит, параллельны. Проведем через них плоскости-   как показано на чертеже.

Отметим на сторонах угла O произвольные точки A и B.

На соответствующих сторонах угла O₁ отложим отрезки OA₁ и O₁B₁ равные соответственно ОA и OB.

2. В плоскости    рассмотрим четырехугольник OAA₁O₁.

Так как противолежащие стороны OA и O₁A₁ этого четырехугольника равны и параллельны по условию, то этот четырехугольник– параллелограмм и, следовательно, равны и параллельны стороны  AA₁  и OO₁.

3. В плоскости, аналогично можно доказать, что OBB₁O₁ параллелограмм, поэтому равны и параллельны стороны ВВ₁ и OO₁.

4. Если две отрезка AA₁ и BB₁ равны параллельны третьему отрезку OO₁, значит, они равны и параллельны, т. е. АА₁||BB₁ и AA₁ = BB₁.

По определению четырехугольник АВВ₁А₁ – параллелограмм и из этого получаем АВ=А₁В₁.

5.Из выше построенного и доказанного АВ=А₁В₁, ОA =O₁A₁ и OB =O₁B₁ следует, что треугольники AOB и A₁ O₁ B₁. равны по трем сторонам, и поэтому  О= О₁.

Рисунок 5 – равные углы с сонаправленными сторонами

Любые две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и образуют четыре неразвернутых угла. Если известен один из этих углов, то можно найти и другие три угла. Пусть а — тот из углов, который не превосходит любого из трех остальных углов. Тогда говорят, что угол между пересекающимися прямыми равен а. Очевидно, 0° < а ≤ 90°.

Введем теперь понятие угла между скрещивающимися прямыми(рис. 6, 7).Пусть АВ и СD- две скрещивающиеся прямые (рис. а.) Через произвольную точку М₁ проведем прямые А₁В₁ и С₁D₁, соответственно параллельные прямым АВ и СВ (рис. б). Если угол между прямыми А₁В₁ и C₁D₁ равен φ, то будем говорить, что угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD равен φ. Докажем, что угол между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки М₁.

Действительно, возьмем любую другую точку М₂ и проведем через нее прямые А₁В₁ и С₁D₁, соответственно параллельные прямым АВ и СD (рис. б).

Так как А₁В₁||А₁В₁, C₁D₁|| С₁D₁, то стороны углов с вершинами М₁ и М₁ попарно сонаправлены (рис. б, такими углами являются ∟A₁M₁C₁ и ∟A₁M₁C₁, ∟A₁M₁D₁ и ∟A₁M₁D₁ и т.д.) Поэтому эти углы соответственно равны. Отсюда следует, что угол между прямыми А₁В₁ и С₁D₁ также равен φ. В качестве точки М, можно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых.

На рисунке в на прямой СD отмечена точка М и через нее проведена прямая А’В’, параллельная АВ. Угол между прямыми А’В’ и СD также равен φ.

Рисунок 6 – угол между скрещивающимися прямыми

Рисунок 7 – угол между скрещивающимися прямыми

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Прямая с пересекает прямую а и не пересекает прямую b, параллельна прямой а. Докажите, что b и с- скрещивающиеся прямые .

Доказательство:

1. a||b- через a и b проведем плоскость α (эта плоскость существует по определению параллельных прямых);
2. пусть с пересекает а в точке М. a||b⇒ М ∉b.
3. по теореме о признаке скрещивающихся прямых, с и b скрещиваются.

Пример 2. Выделите цветом верный ответ:

Дано: ОВ||CD

ОА и CD- скрещивающиеся

∟АОВ= 40°

Найти: угол между ОА и CD

1. 50°
2. 40°
3. 140°

Решение:

1. D ∈ A₁D, A₁D||AO
2. угол между ОА и CD=∟A₁DC
3. ∟A₁DC=∟AOB=40°.

Ответ: ∟A₁DC=40°.

Правильный ответ:

1. 50°
2. 40°
3. 140°