Уравнение состояния идеального газа как найти массу - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Уравнение состояния идеального газа

теория по физике 🧲 молекулярная физика, МКТ, газовые законы

Уравнение состояния идеального газа было открыто экспериментально. Оно носит название уравнения Клапейрона — Менделеева. Это уравнение устанавливает математическую зависимость между параметрами идеального газа, находящегося в одном состоянии. Математически его можно записать следующими способами:

Уравнение состояния идеального газа

Внимание! При решении задач важно все единицы измерения переводить в СИ.

Пример №1. Кислород находится в сосуде вместимостью 0,4 м 3 под давлением 8,3∙10 5 Па и при температуре 320 К. Чему равна масса кислорода? Молярная масса кислорода равна 0,032 кг/моль.

Из основного уравнения состояния идеального газа выразим массу:

Уравнение состояния идеального газа следует использовать, если газ переходит из одного состояния в другое и при этом изменяется его масса (количество вещества, число молекул) или молярная масса. В этом случае необходимо составить уравнение Клапейрона — Менделеева отдельно для каждого состояния. Решая систему уравнений, легко найти недостающий параметр.

Подсказки к задачам

Важна только та масса, что осталась в сосуде. Поэтому:

Давление возросло на 15%	p₂ = 1,15p₁
Объем увеличился на 2%	V₂ = 1,02V₁
Масса увеличилась в 3 раза	m₂ = 3m₁
Газ нагрелся до 25 о С	T₂ = 25 + 273 = 298 (К)
Температура уменьшилась на 15 К (15 о С)	T₂ = T₁ – 15
Температура уменьшилась в 2 раза
Масса уменьшилась на 20%	m₂ = 0,8m₁
Выпущено 0,7 начальной массы
Какую массу следует удалить из баллона?	Нужно найти разность начальной и конечной массы:
Газ потерял половину молекул
Молекулы двухатомного газа (например, водорода), диссоциируют на атомы
Озон (трехатомный кислород) при нагревании превращается в кислород (двухатомный газ)	M (O₃) = 3A_r (O)∙10 –3 кг/моль M (O₂) = 2A_r (O)∙10 –3 кг/моль
Открытый сосуд	Объем V и атмосферное давление p_атм остаются постоянными
Закрытый сосуд	Масса m, молярная масса M, количество вещества ν, объем V, число N и концентрация n частиц, плотность ρ— постоянные величины
Нормальные условия	Температура T₀ = 273 К Давление p₀ = 10 5 Па
Единицы измерения давления	1 атм = 10 5 Па

Пример №2. В баллоне содержится газ под давлением 2,8 МПа при температуре 280 К. Удалив половину молекул, баллон перенесли в помещение с другой температурой. Определите конечную температуру газа, если давление уменьшилось до 1,5 МПа.

2,8 МПа = 2,8∙10 6 Па

1,5 МПа = 1,5∙10 6 Па

Так как половина молекул была выпущена, m₂ = 0,5m₁. Объем остается постоянным, как и молярная масса. Учитывая это, запишем уравнение состояния идеального газа для начального и конечного случая:

Преобразим уравнения и получим:

Приравняем правые части и выразим искомую величину:

На графике представлена зависимость объёма постоянного количества молей одноатомного идеального газа от средней кинетической энергии теплового движения молекул газа. Опишите, как изменяются температура и давление газа в процессах 1−2 и 2−3. Укажите, какие закономерности Вы использовали для объяснения.

Алгоритм решения

Решение

График построен в координатах (V;E_k). Процесс 1–2 представляет собой прямую линию, исходящую из начала координат. Это значит, что при увеличении объема растет средняя кинетическая энергия молекул. Но из основного уравнения МКТ идеального газа следует, что мерой кинетической энергии молекул является температура:

Следовательно, когда кинетическая энергия молекул растет, температура тоже растет.

Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона:

Так как количество вещества одинаковое для обоих состояния 1 и 2, запишем:

ν R = p 1 V 1 T 1 . . = p 2 V 2 T 2 . .

Мы уже выяснили, что объем и температура увеличиваются пропорционально. Следовательно, давление в состояниях 1 и 2 равны. Поэтому процесс 1–2 является изобарным, давление во время него не меняется.

Процесс 2–3 имеет график в виде прямой линии, перпендикулярной кинетической энергии. Так как температуры прямо пропорциональна кинетической энергии, она остается постоянной вместе с этой энергией. Следовательно, процесс 2–3 является изотермическим, температура во время него не меняется. Мы видим, что объем при этом процессе уменьшается. Но так как объем и давление — обратно пропорциональные величины, то давление на участке 2–3 увеличивается.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

На высоте 200 км давление воздуха составляет примерно 10 –9 от нормального атмосферного давления, а температура воздуха Т – примерно 1200 К. Оцените плотность воздуха на этой высоте.

Уравнение состояния идеального газа

Содержание:

Уравнение состояния идеального газа получило название «уравнение Менделеева-Клапейрона». Давление смеси химически невзаимодействующих газов равно сумме их парциальных давлений: закон Дальтона.

На странице -> решение задач по физике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам физики.

Уравнение состояния идеального газа

Уравнение состояния идеального газа — это p = nkT называется уравнением Менделеева Клапейрона и оно даёт взаимосвязь трёх важнейших макроскопических параметров, описывающих состояние идеального газа давления, объёма и температуры. Поэтому уравнение Менделеева Клапейрона называется ещё уравнением состояния идеального газа.

Термодинамические параметры газа

В предыдущих главах было показано, что при описании свойств газа можно пользоваться величинами, характеризующими молекулярный мир (микромир), например энергией молекулы, скоростью ее движения, массой и т. п. Числовые значения таких величин мы можем определять только с помощью расчета. Все такие величины принято называть микроскопическими (от греческого «микрос» — малый).

Однако для описания свойств газов можно пользоваться и такими величинами, числовые значения которых находят простым измерением с помощью приборов, например давлением, температурой и объемом газа. Значения таких величин определяются совместным действием огромного числа молекул, поэтому они называются макроскопическими (от греческого «макрос» — большой).

Соотношение (4.1): устанавливает связь между микроскопическими и макроскопическими величинами для газов. Поэтому формулу (4.1) называют основным уравнением молекулярно-кинетической теории газов. Макроскопические величины, однозначно характеризующие состояние газа, называют термодинамическими параметрами газа. Важнейшими термодинамическими параметрами газа являются его объем V, давление р и температура Т.

Если взять определенную массу газа т, то при постоянных р, V и Т газ будет находиться в равновесном состоянии. Когда происходят изменения этих параметров, то в газе протекает тот или иной процесс. Если этот процесс состоит из ряда непрерывно следующих друг за другом равновесных состояний газа, то он называется равновесным процессом. Равновесный процесс должен протекать достаточно медленно, так как при быстром изменении параметров давление и температура не могут иметь соответственно одинаковые значения во всем объеме газа. В этой главе рассматриваются только равновесные процессы в газах, при которых масса газа остается постоянной.

Когда процесс в газе заканчивается, то газ переходит в новое состояние, а его параметры приобретают новые постоянные числовые значения, вообще говоря, отличные от их значений в начале процесса. Если же при постоянной массе газа значения всех его параметров в начале и в конце процесса окажутся одинаковыми, то процесс называется круговым или замкнутым.

Соотношение между значениями тех или иных параметров в начале и конце процесса называется газовым законом. Газовый закон, выражающий связь между всеми тремя параметрами газа, называется объединенным газовым законом.

Отметим еще, что такого процесса в газе, при котором изменялся бы только один параметр газа, не существует, так как значения этих параметров взаимосвязаны. Примером сказанного является закон Шарля, выражающий связь между р и Т.

Объединенный газовый закон. Приведение объема газа к нормальным условиям

Связь между давлением, объемом и температурой определенной массы газа устанавливается с помощью соотношения (4.9):

Поскольку обозначает число молекул в единице объема газа, то , где N — общее число молекул, V — объем газа. Тогда получим

Так как при постоянной массе газа N остается неизменным, — постоянное число, т. е.

Поскольку значения р, V и Т в (5.2) относятся к одному и тому же состоянию газа, можно следующим образом сформулировать объединенный газовый закон: при постоянной массе газа произведение объема на давление, деленное на абсолютную температуру газа, есть величина одинаковая для всех состояний этой массы газа.

Следовательно, если числовые значения параметров в начале процесса, происходящего с какой-либо определенной массой газа, обозначить через р₁ , V₁ и Т₁, а их значения в конце процесса соответственно через р₂ , V₂ и Т₂, то

Формулы (5.2) и (5.3) представляют собой математическое выражение объединенного газового закона.

На практике иногда нужно установить, какой объем V₀ займет имеющаяся масса газа при нормальных условиях, т. е. при Т₀=273 К и при р₀=1,013 . 10 5 Па. Если значения параметров для этой массы газа в каком-либо произвольном состоянии, отличном от нормального, обозначить через р, V и Т, то на основании (5.3) получаем , или

Формула (5.4) позволяет приводить объем заданной массы газа к нормальным условиям.

Молярная газовая постоянная. Определение числового значения постоянной Больцмана

Формула (5.1) справедлива для любой массы газа, в которой содержится N молекул. Если применить эту формулу к одному молю какого-либо газа, то N нужно заменить постоянной Авогадро N_A, а V — объемом одного моля V_моль

Так как в одном моле любого газа содержится одно и то же число молекул N_A, то произведение имеет одинаковое значение для всех газов, т. е. не зависит от природы газа. Произведение обозначается R и называется молярной газовой постоянной. Таким образом,

Числовое значение R можно найти, если применить (5.5) к состоянию одного моля газа при нормальных условиях, так как при этом м 3 /моль (§ 3.6). Действительно,

Это числовое значение R в СИ необходимо запомнить, так как им часто пользуются при расчетах и при решении задач.

Теперь легко найти числовое значение постоянной Больнмана . Из (5.6) получаем . Подставляя сюда числовые значения R и , вычисляем :

Уравнение Клапейрона — Менделеева. Плотность газа

Выясним, как будет выглядеть соотношение (5.1), если в него ввести молярную газовую постоянную R. Так как N — полное число молекул в массе газа т, а — число молекул в одном моле, то

где — число молей в массе газа /т. Поэтому

Поскольку , а равно массе газа т, деленной на массу одного моля газа , то получаем

Соотношение (5.7) называется уравнением Клапейрона — Менделеева или уравнением состояния для произвольной массы идеального газа. Для одного моля идеального газа уравнение Клапейрона — Менделеева принимает вид

С помощью формулы (5.7) легко выяснить, какими величинами определяется плотность газа. Так как , то из (5.7) имеем

Зависимость средней квадратичной скорости молекул газа от температуры

Выясним теперь, как можно с помощью вычислений находить среднюю квадратичную скорость движения молекул газа . Поскольку средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа равна (3/2) , то можно написать , откуда

Отметим, что под т в формуле (5.10) подразумевается масса одной молекулы в кг. Так как , получим . Поскольку а есть масса одного моля газа (§ 3.6), имеем

Наконец, из (5.9) следует, что , поэтому

Среднюю квадратичную скорость можно находить по любой из формул (5.10)—(5.12). Из функции Максвелла можно получить формулы для средней арифметической скорости и наивероятнейшей скорости. Средняя арифметическая скорость

Наконец, наивероятнейшую скорость вычисляют так:

(Используя график функции Максвелла (рис. 3.3), поясните, почему меньше , а меньше

Изохорический процесс

Процессы, при которых масса газа и один из его параметров остаются постоянными, называются изопроцессами (от греческого «изос» — равный, одинаковый). Поскольку имеется три параметра газа, существует три различных изопроцесса. Первый из них (изохорический) рассмотрен выше (§ 4.3). Процесс в газе, который происходит при постоянной массе и неизменном объеме, называется изохорическим (от греческого «хора» — пространство). Графики для этого процесса называются изохорами (рис. 4.3).

Отметим, что к любому изопроцессу применим объединенный газовый закон и формулы (5.3), (5.7) и (5.8) с учетом того, что один из параметров остается постоянным. При изохорическом процессе постоянным остается объем V, поэтому формула (5.3) после сокращения на V принимает вид

Итак, изохорический процесс подчиняется закону Шарля: при постоянной-массе газа и неизменном объеме давление газа прямо пропорционально его абсолютной температуре. Это видно и из уравнения Клапейрона — Менделеева (5.7):

Так как V, т, и R остаются постоянными, то из (5.7) следует, что р пропорционально Т. Отметим, что закон Шарля можно формулировать и так, как это было сделано в § 4.3.

Изобарический- процесс

Процесс в газе, который происходит при постоянной массе и неизменном давлении, называется изобарическим (от греческого «барос» — тяжесть). Этот процесс был изучен французским физиком Л. Гей-Люссаком в 1802 г.

Поскольку при изобарическом процессе р постоянно, то после сокращения на р формула (5.3) принимает вид

Формула (5.16) является математическим выражением закона Гей-Люссака: при постоянной массе газа и неизменном давлении объем газа прямо пропорционален его абсолютной температуре. (Это видно и из уравнения Клапейрона — Менделеева (5.7): так как р, т, и R постоянны, то объем V пропорционален Т.)

На рис. 5.1 схематически изображен опыт Гей-Люссака. Колба с газом помещается в сосуд с водой и льдом.

В пробку вставлена трубка, изогнутая таким образом, что свободный конец ее горизонтален. Газ в колбе отделен от окружающего воздуха небольшим столбиком ртути в трубке. Температуру газа определяют по термометру, а объем — по положению столбика ртути. Для этого на трубке нанесены деления, соответствующие определенному внутреннему объему трубки (при градуировке трубки можно учесть и расширение сосуда при нагревании, но оно сравнительно мало’).

Сначала по положению столбика ртути 1 определяют — объем газа при 0°С. Затем газ нагревают (столбик ртути перемещается в положение 2), в процессе нагревания записывают значения объема и температуры и строят график, который называется изобарой.

Оказывается, что изобара представляет собой прямую линию (рис. 5.2, а), которая пересекается с осью абсцисс в точке А.

Из подобия треугольников на рис. 5.2, а следует

Обозначив через , получим

Здесь — коэффициент объемного расширения газа (гл. 13).

Если повторять этот опыт для разных газов или для разных масс газа, то все графики будут пересекаться в точке А, соответствующей t=—273°С (рис. 5.2, б), т. е. коэффициент одинаков для всех газов. Это означает, что расширение газа при изобарическом процессе не зависит от его природы.

Отметим, что для газов коэффициенты и в формулах (4.2а) и (5.17) численно одинаковы, поэтому обычно пользуются одним .

Изотермический процесс

Процесс в газе, который происходит при постоянной температуре, называется изотермическим.

Изотермический процесс в газе был изучен английским ученым Р. Бойлем и французским ученым Э. Мариоттом. Установленная ими опытным путем связь получается непосредственно из формулы (5.3) после сокращения на Т:

Формула (5.18) является математическим выражением закона Бойля — Мариотта: при постоянной массе газа и неизменной температуре давление газа обратно пропорционально его объему. Иначе говоря, в этих условиях произведение объема газа на соответствующее давление есть величина постоянная:

Соотношение (5.19) можно получить и из (5.7) или (5.8), так как при постоянном Г справа в формулах (5.7) и (5.8) стоит постоянная величина. График зависимости р от V при изотермическом процессе в газе представляет собой гиперболу и называется изотермой. На рис. 5.3 изображены три изотермы для одной и той же массы газа, но при разных температурах Т.

Отметим еще, что из формулы (5.9) непосредственно вытекает, что при изотермическом процессе плотность газа изменяется прямо пропорционально давлению:

(Подумайте, как проверить закон Бойля — Мариотта на опыте.)

Внутренняя энергия идеального газа

Как отмечалось, силы взаимодействия молекул в идеальном газе отсутствуют. Это означает, что молекулярно-потенциальной энергии у идеального газа нет. Кроме того, атомы идеального газа представляют собой материальные точки, т. е. не имеют внутренней структуры, а значит, не имеют и энергии, связанной с движением и взаимодействием частиц внутри атома. Таким образом, внутренняя энергия идеального газа представляет собой только сумму знамений кинетической энергии хаотического движения всех его молекул:

Поскольку у материальной точки вращательного движения быть не может, то у одноатомных газов (молекула состоит из одного атома) молекулы обладают только поступательным движением. Так как среднее значение энергии поступательного движения молекул определяется соотношением(4.8): , то внутренняя энергия одного моля одноатомного идеального газа выразится формулой , где — постоянная Авогадро. Если учесть, что , то получим:

Для произвольной массы одноатомного идеального газа имеем

Если молекула газа состоит из двух жестко связанных атомов (двухатомный газ), то молекулы при хаотическом движении приобретают еще и вращательное движение, которое происходит вокруг двух взаимно перпендикулярных осей. Поэтому при одинаковой температуре внутренняя энергия двухатомного газа больше, чем одноатомного, и выражается формулой

Наконец, внутренняя энергия многоатомного газа (молекула содержит три или больше атомов) в два раза больше, чем у одно-атомного при той же температуре:

поскольку вращение молекулы вокруг трех взаимно перпендикулярных осей вносит в энергию теплового движения такой же вклад, как поступательное движение молекулы по трем взаимно перпендикулярным направлениям.

Отметим, что формулы (5.23) и (5.24) теряют силу для реальных газов при высоких температурах, так как при этом в молекулах возникают еще колебания атомов, что ведет к увеличению внутренней энергии газа. (Почему это не относится к формуле (5.22)?)

Работа газа при изменении его объема

Физический смысл молярной газовой постоянной. Опыт показывает, что сжатый газ в процессе своего расширения может выполнять работу. Приборы и агрегаты, действия которых основаны на этом свойстве газа, называют пневматическими. На этом принципе действуют пневматические молотки, механизмы для закрывания и открывания дверей на транспорте и т. д.

Представим себе цилиндр с подвижным поршнем, заполненный газом (рис. 5.4).

Пока давление газа внутри цилиндра и окружающего наружного воздуха одинаковы, поршень неподвижен. Пусть при этом температура газа и окружающей среды равна а давление равно р.

Будем теперь медленно нагревать газ в цилиндре до температуры . Газ при этом начинает изобарически расширяться (внешнее давление р остается постоянным), и поршень переместится из положения 1 в положение 2 на расстояние . При этом газ совершит работу против внешней силы. Сила F, совершающая эту работу, будет равна рS, где S — площадь сечения цилиндра. Из механики известно, что работа выражается формулой , или . Так как есть приращение объема газа в процессе его изобарического нагревания от до , имеем

Нетрудно сообразить, что при изохорическом процессе работа газа равна нулю, так как никакого изменения объема, занятого газом, в этом случае не происходит. Вообще следует помнить, что газ выполняет работу только в процессе изменения своего объема, т. е. при . Отметим, что при расширении газа работа газа положительна; при сжатии газа положительную работу выполняют внешние силы, а работа газа в этом случае отрицательна.

Выясним, как можно определить работу газа по графику зависимости р от V в том или ином газовом процессе. При изобарическом процессе график зависимости р от V представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс, так как р постоянно. Из рис. 5.5 видно, что работа газа в этом случае численно равна заштрихованной площади.

Выясним, как найти работу газа при изотермическом процессе. На рис. 5.6 изображена изотерма идеального газа. При таком процессе газ выполняет работу, так как в этом случае отлично от нуля. Формулу (5.25) здесь применять нельзя, так как она верна при постоянном давлении р, а в изотермической процессе р изменяется. Однако можно взять такое малое приращение объема , при котором изменением давления можно пренебречь. Тогда приближенно можно считать, что при увеличении объема газа на давление остается постоянным. Работу при этом можно вычислять по формуле . На рис. 5.6 она выражается заштрихованной площадью.

Разбивая интервал на множество интервалов , настолько малых, что работу на каждом из них можно вычислять по формуле , полную работу газа найдем как сумму элементарных работ . Это означает, что работа газа будет равна сумме площадей, подобных заштрихованной площади на рис. 5.6. Следовательно, работа газа при изотермическом процессе выражается площадью, ограниченной двумя ординатами и , отрезком оси абсцисс и графиком зависимости р от V.

Можно строго доказать, что работа газа при любом процессе выражается площадью, ограниченной двумя ординатами, отрезком оси абсцисс и графиком того процесса в координатах V и р.

Выясним теперь физический смысл молярной газовой постоянной R. Применяя формулу (5.25) к одному молю идеального газа, получим

Но из уравнения Клапейрона — Менделеева (5.8) для одного моля можно записать для двух состояний газа:

Подставляя это выражение в (5.26), будем иметь , или

Из (5.27) следует, что молярная газовая постоянная численно равна работе, совершаемой одним молем идеального газа при его изобарическом нагревании на один кельвин.

Из соотношения видно, что постоянная Больцмана показывает, сколько работы в среднем приходится на одну молекулу идеального газа при изобарическом нагревании на один кельвин.

Услуги по физике:

Лекции по физике:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Уравнение Клапейрона-Менделеева

Что такое уравнение Клапейрона-Менделеева

Идеальный газ — это газ, в котором пренебрегают взаимодействием молекул газа между собой.

Идеальными считают разреженные газы. Особенно близкими к идеальным считают гелий и водород.

Идеальный газ — это упрощенная математическая модель, которая широко применяется для описания свойств и поведения реальных газов при атмосферном давлении и комнатной температуре.

Давление, объем и температура — это основные параметры состояния системы, и они связаны друг с другом. Соотношение, при котором определяется данная связь, называется уравнением состояния данного газа.

Существует эквивалентная макроскопическая формулировка идеального газа — это такой газ, который одновременно будет подчиняться закону Бойля-Мариотта и Гей-Люссака, то есть:

p V = c o n s t * T

В представленном выше уравнении состоянии газа под const подразумевается количество молей.

Свойства классического и квазиклассического идеального газа описываются уравнением состояния идеального газа, которое называется уравнением Менделеева-Клапейрона, ниже представлена формула Менделеева-Клапейрона.

p V = m M R T = n R T , где m — масса газа, M — молярная масса газа, R = 8 , 314 Д ж / ( м о л ь * К ) — универсальная газовая постоянная, T — температура (К), n — количество молей газа.

Таким образом давление и объем прямо пропорциональны количеству молей и температуре.

Также уравнение Клапейрона-Менделеева можно записать в ином виде:

p V = N k T , где N — это количество молекул газа массой m , k = 1 , 38 * 10 — 23 Д ж / К — постоянная Больцмана, которая определяет «долю» газовой постоянной, приходящуюся на одну молекулу и определяется по формуле:

N = m N A M , где

N A = 6 . 02 * 10 23 м о л ь — 1 ; — это постоянная Авогадро.

Какое значение имеет универсальная газовая постоянная

Универсальная газовая постоянная (R) — это величина, которая является константой, численно равная работе расширения одного моля идеального газа в изобарном процессе при увеличении температуры на 1 K.

Значение данной константы находится как произведение постоянной Больцмана ( k = 1 , 38 * 10 — 23 Д ж / К ) на число Авогадро ( N A = 6 . 02 * 10 23 м о л ь — 1 ) . Таким образом универсальная газовая постоянная принимает следующее значение: R = 8 , 314 Д ж / ( м о л ь * К ) .

Постоянную Больцмана используют в формулах, описывающих изучаемое явление или поведение рассматриваемого объекта с микроскопической точки зрения, тогда как универсальная газовая постоянная более удобна при расчетах, касающихся макроскопических систем, когда число частиц задано в молях.

Связь с другими законами состояния идеального газа

С помощью уравнения состояния идеального газа можно исследовать процессы, в которых масса и один трех макропараметров (давление, температура или объем) — остаются неизменными.

Количественные зависимости между двумя параметрами газа при фиксированном третьем параметре называют газовыми законами, которые связывают эти параметры.

Изопроцессы — это термодинамические процессы, во время протекания которых количество вещества и один из макропараметров состояния: давление, объем, температура или энтропия — остается неизменным.

В зависимости от того, какой параметр остается неизменным различают разные процессы, которые выражаются законами, являющимися следствием уравнения состояния газа:

изотермический процесс (T=const);
изохорный процесс (V=const);
изобарный процесс (p=const).

Изотермический процесс (T=const)

Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянной температуре называют изотермическим.

Для поддержания температуры газа постоянной необходимо, чтобы он мог обмениваться теплотой с большой системой — термостатом. Им может служить атмосферный воздух, если температура его заметно не меняется на протяжении всего процесса.

Согласно уравнению Клапейрона-Менделеева, в любом состоянии с неизменной температурой произведение давления газа на объем одно и то же, то есть постоянно:

Этот закон был открыт экспериментально английским ученым Бойлем и несколько позднее французским ученым Мариоттом. Именно поэтому он называется закон Бойля-Мариотта.

Закон Бойля-Мариотта справедлив для любых газов, а также для смеси газов (например, для воздуха).

Зависимость давления газа от объема при постоянной температуре изображается графической кривой — изотермой. Изотерма для различных температур представлена в координатах pV на рис.1. и представляет собой гиперболу.

Рис.1. Изотерма в pV — координатах.

Изохорный процесс (V=const)

Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном объеме называют изохорным.

Из уравнения состояния следует, что отношение давлений газа данной массы при постоянно объеме равно отношению его абсолютных температур:

p 1 p 2 = T 1 T 2

Газовый закон был установлен экспериментально в 1787 г. французским физиком Ж. Шарлем и носит название закона Шарля: давление данной массы газа при постоянном объеме прямо пропорционально абсолютной температуре.

Так, если в качестве одного из состояний газа выбрать состояние газа при нормальных условиях, тогда

p = p 0 T T 0 = p 0 γ T

Коэффициент γ называют температурным коэффициентом давления газа. Он одинаков для всех газов.

Зависимость давления газа от температуры при постоянном объеме изображается графически прямой, которая называется изохорой (Рис.2).

Рис.2 Изображение изохоры в pT-координатах.

Изобарный процесс (p=const)

Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном давлении называют изобарным.

Из уравнения Клапейрона-Менделеева вытекает, что отношение объемов газа данной массы при постоянном давлении равно отношению его абсолютных температур.

V 1 V 2 = T 1 T 2

Если в качестве второго состояния газа выбрать состояние при нормальных условиях (нормальном атмосферном давлении, температуре таяния льда) следует:

V = V 0 T T 0 = V 0 α T

Этот газовый закон был установлен экспериментально в 1802 г французским ученым Гей-Люссаком.

Закон Гей-Люссака: объем данной массы газа при постоянном давлении прямо пропорционален абсолютной температуре.

Коэффициент α называют температурным коэффициентом объемного расширения газов.

Зависимость объема газа от температуры при постоянном давлении изображается графической прямой, которая называется изобарой (Рис.3).

Рис. 3. Изобара в VT-координатах.

Использование универсального уравнения для решения задачи

В реальности проводятся различные физико-химические процессы. Рассмотрим каким образом уравнение состояния идеального газа и законы, связанные с ним находят применение для решения физических и химических задач.

Определить давление кислорода в баллоне объемом 1 м 3 при температуре t = 27 C o . Масса кислорода 1 кг.

Так как в уравнении даны объем и температура — два из трех макроскопических параметров, а третий (давление) нужно определить, то мы можем использовать уравнение Клапейрона-Менделеева:

p V = n R T = m M R T

Не забываем перевести температуру в Кельвины:

T = t + 273 = 27 + 273 = 300 K

Молярная масса кислорода известна из таблицы Менделеева:

M ( O 2 ) = 2 * 16 = 32 г / м о л ь = 32 * 10 — 3 к г / м о л ь

Выразим из уравнения состояния давления и поставим все имеющиеся данные:

p = n R T V = m R T M V = 1 * 8 . 31 * 300 32 * 10 — 3 * 1 = 77 . 906 П а = 78 к П а

Ответ: p = 78 кПа.

Каким может быть наименьший объем баллона, содержащего кислород массой 6,4 кг, если его стенки при t = 20 C o выдерживают p = 1568 Н / с м 2 ?

Используем уравнение Менделеева-Клапейрона, из которого выражаем объем кислорода, который нужно найти:

p = n R T V = m R T M V

Молярная масса кислорода предполагается равной:

M ( O 2 ) = 2 * 16 = 32 г / м 3

Не забываем перевести температуру в Кельвины:

T = t + 273 = 20 + 273 = 293 K

Переводим давление: p = 15680000 Па

Выражаем из уравнения Клапейрона-Менделеева объем и подставляем значения, данные в условиях задачи:

V = n R T p = m R T M p = 6 . 4 * 8 . 31 * 293 15680000 * 32 * 10 — 3 = 3 . 1 * 10 — 2 м 3 = 31 л .

Используя уравнение состояния идеального газа, доказать, что плотность любого газа равна половине плотности водорода ( ρ Н 2 ) , взятого при тех же условиях, умноженной на относительную молекулярную массу этого газа M_r, то есть ρ = ρ Н 2 * M r 2 .

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона:

p = n R T V = m R T M V

Плотность — это величина, характеризующая массу некоторого объема и находится по формуле:

ρ = m V и л и V = m ρ

Тогда p m ρ = n R T = m R T M

Откуда выражаем плотность газа:

Для водорода эта формула запишется следующим образом:

ρ H 2 = p M H 2 R T

По условию задачи водород и любой другой газ находятся при одинаковых условиях, откуда следует, что:

ρ H 2 M H 2 = p R T

Поставим последнее выражение в выражение для плотности любого газа:

ρ = M * ρ H 2 M H 2

Молярная масса водорода, исходя из таблицы Менделеева равна 2 г/моль и тогда. Молекулярная масса численно равная молярной и представляет собой массу молекулы в атомных единицах, поэтому в дальнейшем мы совершили переход к молекулярной массе.

ρ = M r * ρ H 2 2

Вывод: плотность любого газа равна половине плотности водорода ( ρ Н 2 ) , взятого при тех же условиях, умноженной на относительную молекулярную массу этого газа M_r, то есть ρ = ρ Н 2 * M r 2 .

Рассмотрим несколько задач на законы, связанные с уравнение Клапейрона-Менделеева, то есть на изотермические, изохорные, изобарные процессы.

При уменьшении давления газа в 2,5 раза его объем увеличился на 12 л. Какой объем занимал газ в начальном состоянии, если температура на протяжении всего процесса оставалась постоянной?

По условию задачи температура в ходе всего процесса оставалась постоянной, откуда следует, что у нас изотермический процесс, и мы можем воспользоваться для решения законом Бойля-Мариотта.

p 1 V 1 = p 2 V 2 , г д е p 1 – давление газа в начальном состоянии (до расширения), V 1 — объем газа в начальном состоянии, p 2 = p 1 2 . 5 — давление газа в конечном состоянии (после расширения), V 2 = V 1 + ∆ V — объем газа в конечном состоянии.

Откуда можем найти начальный объем:

p 1 V 1 = p 1 2 . 5 ( V 1 + ∆ V ) = p 1 2 . 5 V 1 + p 1 2 . 5 ∆ V

V 1 ( p 1 — p 1 2 . 5 ) = p 1 2 . 5 ∆ V

p 1 2 . 5 V 1 ( 2 . 5 — 1 ) = p 1 2 . 5 ∆ V

V 1 = ∆ V 1 , 5 = 8 л

Ответ: первоначальный объем газа был равен 8 л.

Газ находится в баллоне при температуре 400 К. До какой температуры нужно нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в 1,5 раза?

Так как нагревание газа по условиям данной задачи происходит при постоянном объеме, значит перед нами изохорный процесс.

При изохорном процессе:

p 1 T 1 = p 2 T 2

T 2 = p 2 T 1 p 1

p 2 p 1 = 1 . 5 T 2 = 1 . 5 * T 1 = 1 . 5 * 400 = 600 K

При 27°C объем газа равен 600 мл. Какой объем займет газ при 57°C, если давление будет оставаться постоянным?

Так как давление по условию остается постоянным, то можем использовать закон Гей-Люссака.

V 1 V 2 = T 1 T 2

V_2 – искомый объем

Для правильного расчета необходимо перевести температуры из Цельсий в Кельвины:

T 1 = 273 + 27 = 300 K

T 2 = 273 + 57 = 330 K

T 2 V 1 T 1 = V 2

V 2 = ( 600 * 330 ) / 300 = 660 м л

Газ в трубе плавильной печи охлаждается от температуры t 1 = 1150 ° С д о t 2 = 200 ° С . Во сколько раз увеличивается плотность газа при этом? Давление газа не меняется.

Так как по условию задания давления газа не изменяется, значит перед нами изобарный процесс. Для решения воспользуемся законом Гей-Люссака:

V 1 V 2 = T 1 T 2

Перейдем к абсолютной температуре:

T 1 = 1150 + 273 = 1423 K

T 2 = 200 + 273 = 473 K

Масса газа: m = ρ 1 V 1 = ρ 2 V 2

Использование этих формул приводит к следующему:

источники:

http://natalibrilenova.ru/uravnenie-sostoyaniya-idealnogo-gaza/

http://wika.tutoronline.ru/fizika/class/10/uravnenie-klapejronamendeleeva

Источник

Содержание:

Уравнение состояния идеального газа:

Уравнения Клапейрона и Менделеева — клапейрона; законы Шарля, Гей-Люссака, Бойля — Мариотта, Авогадро, Дальтона, — пожалуй, такого количества «именных» законов нет ни в одном разделе физики. за каждым из них — кропотливая работа в лабораториях, тщательные измерения, длительные аналитические размышления и точные расчеты. нам намного проще. Мы уже знаем основные положения теории, и «открыть» все вышеупомянутые законы нам не составит труда.

Уравнение состояния идеального газа

Давление газа полностью определяется его температурой и концентрацией молекул: p=nkT. Запишем данное уравнение в виде: pV = NkT. Если состав и масса газа известны, число молекул газа можно найти из соотношения

Произведение числа Авогадро на постоянную Больцмана k называют универсальной газовой постоянной (R): R=k 8,31 Дж/ (моль⋅К). Заменив в уравнении (*) k на R, получим уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева — Клапейрона):

Обратите внимание! Состояние данного газа некоторой массы однозначно определяется двумя его макроскопическими параметрами; третий параметр можно найти из уравнения Менделеева — Клапейрона.

Уравнение Клапейрона

С помощью уравнения Менделеева — Клапейрона можно установить связь между макроскопическими параметрами газа при его переходе из одного состояния в другое. Пусть газ, имеющий массу m и молярную массу М, переходит из состояния () в состояние () (рис. 30.1).

Для каждого состояния запишем уравнение Менделеева — Клапейрона: Разделив обе части первого уравнения на , а второго — на , получим: . Правые части этих уравнений равны; приравняв левые части, получим уравнение Клапейрона:

Для данного газа некоторой массы отношение произведения давления на объем к температуре газа является неизменным.

Изопроцессы

Процесс, при котором один из макроскопических параметров данного газа некоторой массы остается неизменным, называют изопроцессом. Поскольку состояние газа характеризуется тремя макроскопическими параметрами, возможных изопроцессов тоже три: происходящий при неизменной температуре; происходящий при неизменном давлении; происходящий при неизменном объеме. Рассмотрим их.

Какой процесс называют изотермическим. Закон Бойля — Мариотта

Пузырек воздуха, поднимаясь со дна глубокого водоема, может увеличиться в объеме в несколько раз, при этом давление внутри пузырька падает, поскольку вследствие дополнительного гидростатического давления воды () давление на глубине больше атмосферного. Температура же внутри пузырька практически не изменяется. В данном случае имеем дело с процессом изотермического расширения.

Рис. 30.2. Изотермическое сжатие газа. Если медленно опускать поршень, температура газа под поршнем будет оставаться неизменной и равной температуре окружающей среды. Давление газа при этом будет увеличиваться

Изотермический процесс — процесс изменения состояния данного газа некоторой массы, протекающий при неизменной температуре.

Пусть некий газ переходит из состояния () в состояние (T), то есть температура газа остается неизменной (рис. 30.2). Тогда согласно уравнению Клапейрона имеет место равенство p. После сокращения на T получим: .

Закон Бойля — Мариотта:

Для данного газа некоторой массы произведение давления газа на его объем остается постоянным, если температура газа не изменяется:

Графики изотермических процессов называют изотермами. Как следует из закона Бойля — Мариотта, при неизменной температуре давление газа данной массы обратно пропорционально его объему: . Эту зависимость в координатах p, V можно представить в виде гиперболы (рис. 30.3, а). Поскольку при изотермическом процессе температура газа не изменяется, в координатах p, T и V, T изотермы перпендикулярны оси температур (рис. 30.3, б, в).

Какой процесс называют изобарным. Закон Гей-Люссака

Изобарный процесс — процесс изменения состояния данного газа некоторой массы, протекающий при неизменном давлении.

Пусть некий газ переходит из состояния () в состояние (), то есть давление газа остается неизменным (рис. 30.4). Тогда имеет место равенство . После сокращения на p получим:

Рис. 30.4. Изобарное расширение газа. Если газ находится под тяжелым поршнем массой M и площадью S, который может перемещаться практически без трения, то при увеличении температуры объем газа будет увеличиваться, а давление газа будет оставаться неизменным и равным p

Закон Гей-Люссака

Для данного газа некоторой массы отношение объема газа к температуре остается постоянным, если давление газа не изменяется:

Графики изобарных процессов называют изобарами. Как следует из закона Гей-Люссака, при неизменном давлении объем газа данной массы прямо пропорционален его температуре: V = const⋅T. График данной зависимости — прямая, проходящая через начало координат (рис. 30.5, а). По графику видно, что с приближением к абсолютному нулю объем идеального газа должен уменьшиться до нуля. Понятно, что это невозможно, поскольку реальные газы при низких температурах превращаются в жидкости. В координатах p, V и p, T изобары перпендикулярны оси давления (рис. 30.5, б, в).

Изохорный процесс. Закон Шарля

Если газовый баллон сильно нагреется на солнце, давление в нем повысится настолько, что баллон может взорваться. В данном случае имеем дело с изохорным нагреванием.

Изохорный процесс — процесс изменения состояния данного газа некоторой массы, протекающий при неизменном объеме.

Пусть некий газ переходит из состояния () в состояние (), то есть объем газа не изменяется (рис. 30.6). В этом случае имеет место равенство . После сокращения на V получим:

Рис. 30.6. Изохорное нагревание газа. Если газ находится в цилиндре под закрепленным поршнем, то с увеличением температуры давление газа тоже будет увеличиваться. Опыт показывает, что в любой момент времени отношение давления газа к его температуре неизменно:

Закон Шарля

Для данного газа некоторой массы отношение давления газа к его температуре остается постоянным, если объем газа не изменяется:

Графики изохорных процессов называют изохорами. Из закона Шарля следует, что при неизменном объеме давление газа данной массы прямо пропорционально его температуре: p T = ⋅ const . График этой зависимости — прямая, проходящая через начало координат (рис. 30.7, а). В координатах p, V и V, T изохоры перпендикулярны оси объема (рис. 30.7, б, в).

Пример №1

В вертикальной цилиндрической емкости под легкоподвижным поршнем находится 2 моль гелия и 1 моль молекулярного водорода. Температуру смеси увеличили в 2 раза, и весь водород распался на атомы. Во сколько раз увеличился объем смеси газов?

Анализ физической проблемы. Смесь газов находится под легкоподвижным поршнем, поэтому давление смеси не изменяется:, но использовать закон Бойля — Мариотта нельзя, так как вследствие диссоциации (распада) молярная масса и число молей водорода увеличились в 2 раза:

Решение:

Воспользуемся уравнением состояния идеального газа: pV = νRT. Запишем это уравнение для состояний смеси газов до и после распада: Разделив уравнение (2) на уравнение (1) и учитывая, что получим: где Найдем значение искомой величины:

Ответ: примерно в 2,7 раза.

Пример №2

На рис. 1 представлен график изменения состояния идеального газа неизменной массы в координатах V, T. Представьте график данного процесса в координатах p, V и p, T.

Решение:

1. Выясним, какой изопроцесс соответствует каждому участку графика (рис. 1).

Зная законы, которым подчиняются эти изопроцессы, определим, как изменяются макроскопические параметры газа. Участок 1–2: изотермическое расширение; T = const, V ↑, следовательно, по закону Бойля — Мариотта p ↓. Участок 2–3: изохорное нагревание; V = const, T ↑, следовательно, по закону Шарля p ↑ . Участок 3–1: изобарное охлаждение; p = const , T ↓, следовательно, по закону Гей-Люссака V ↓ .

2. Учитывая, что точки 1 и 2 лежат на одной изотерме, точки 1 и 3 — на одной изобаре, а точки 2 и 3 на одной изохоре, и используя результаты анализа, построим график процесса в координатах p, V и p, T (рис. 2)

Выводы:

Из соотношения p=nkT можно получить ряд важных законов, большинство из которых установлены экспериментально.
Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева — Клапейрона): — универсальная газовая постоянная.
Уравнение Клапейрона:
Законы, которым подчиняются изопроцессы, то есть процессы, при которых один из макроскопических параметров данного газа некоторой массы остается неизменным:

Температура в физике
Парообразование и конденсация
Тепловое равновесие в физике
Изопроцессы в физике
Абсолютно упругие и неупругие столкновения тел
Механизмы, работающие на основе правила моментов
Идеальный газ в физике
Уравнение МКТ идеального газа

Источник

Уравнение состояния идеального газа

Внимание! При решении задач важно все единицы измерения переводить в СИ.

Пример №1. Кислород находится в сосуде вместимостью 0,4 м³ под давлением 8,3∙10⁵ Па и при температуре 320 К. Чему равна масса кислорода? Молярная масса кислорода равна 0,032 кг/моль.

Из основного уравнения состояния идеального газа выразим массу:

Подсказки к задачам

Давление возросло на 15%	p₂ = 1,15p₁
Объем увеличился на 2%	V₂ = 1,02V₁
Масса увеличилась в 3 раза	m₂ = 3m₁
Газ нагрелся до 25 ^оС	T₂ = 25 + 273 = 298 (К)
Температура уменьшилась на 15 К (15 ^оС)	T₂ = T₁ – 15
Температура уменьшилась в 2 раза
Масса уменьшилась на 20%	m₂ = 0,8m₁
Выпущено 0,7 начальной массы	Важна только та масса, что осталась в сосуде. Поэтому: m₂ = 0,3m₁
Какую массу следует удалить из баллона?	Нужно найти разность начальной и конечной массы: m₁ – m₂
Газ потерял половину молекул
Молекулы двухатомного газа (например, водорода), диссоциируют на атомы
Озон (трехатомный кислород) при нагревании превращается в кислород (двухатомный газ)	M (O₃) = 3A_r (O)∙10^–3 кг/моль M (O₂) = 2A_r (O)∙10^–3 кг/моль
Открытый сосуд	Объем V и атмосферное давление p_атм остаются постоянными
Закрытый сосуд	Масса m, молярная масса M, количество вещества ν, объем V, число N и концентрация n частиц, плотность ρ— постоянные величины
Нормальные условия	Температура T₀ = 273 К Давление p₀ = 10⁵ Па
Единицы измерения давления	1 атм = 10⁵ Па

2,8 МПа = 2,8∙10⁶Па

1,5 МПа = 1,5∙10⁶Па

Преобразим уравнения и получим:

Приравняем правые части и выразим искомую величину:

Задание EF19012

Алгоритм решения

1.Указать, в каких координатах построен график.

2.На основании основного уравнения МКТ идеального газа и уравнения Менделеева — Клапейрона выяснить, как меняются указанные физические величины во время процессов 1–2 и 2–3.

Решение

T=2−Ek3

Следовательно, когда кинетическая энергия молекул растет, температура тоже растет.

Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона:

pV=νRT

Так как количество вещества одинаковое для обоих состояния 1 и 2, запишем:

νR=p1V1T1=p2V2T2

Ответ:

• Участок 1–2 — изобарный процесс. Температура увеличивается, давление постоянно.

• Участок 2–3 — изотермический процесс. Температура постоянно, давление увеличивается.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF22473

На высоте 200 км давление воздуха составляет примерно 10^–9 от нормального атмосферного давления, а температура воздуха Т – примерно 1200 К. Оцените плотность воздуха на этой высоте.

Ответ:

а) 8,31⋅ 10^–11 кг/м³

б) 1,38⋅ 10^–9 кг/м³

в) 3⋅ 10^–10кг/м³

г)29⋅ 10^–8 кг/м³

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные.

2.Записать уравнение Менделеева — Клапейрона.

3.Выразить из уравнения плотность.

4.Подставить известные данные и сделать вычисления.

Решение

Запишем исходные данные:

• Давление воздуха на высоте 200 км: p = 10^–9∙10⁵ Па. Или p = 10^–4 Па.

• Температура воздуха на этой же высоте: T = 1200 К.

Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона:

pV=mMRT

Плотность определяется формулой:

ρ=mV

Следовательно, масса равна произведению плотности на объем. Перепишем уравнение состояния идеального газа, учитывая, что объем сократится слева и справа:

p=ρMRT

Молярная масса воздуха — табличная величина, равная 28,97 г/моль. Переведем в СИ и получим 28,97∙10^–3 кг/моль.

Выразим и вычислим плотность:

Ответ: в

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF22749

Одноатомный идеальный газ в количестве ν моль помещают в открытый сверху сосуд под лёгкий подвижный поршень и начинают нагревать. Начальный объём газа V₀, давление p₀. Масса газа в сосуде остаётся неизменной. Трением между поршнем и стенками сосуда пренебречь. R– универсальная газовая постоянная.

Установите соответствие между физическими величинами, характеризующими газ, и формулами, выражающими их зависимость от абсолютной температуры T газа в условиях данной задачи.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

Алгоритм решения

1.Записать уравнение состояния идеального газа и выразить из него объем. Выбрать из таблицы соответствующий номер формулы.

2.Определить, от чего зависит внутренняя энергия идеального газа.

3.Записать основное уравнение МКТ и выразить внутреннюю энергию идеального газа. Выбрать из таблицы соответствующий номер формулы.

Решение

Уравнение состояния идеального газа имеет вид:

pV=mMRT

Учтем, что отношение массы к молярной массе есть количество вещества.Отсюда объем равен:

V=νRTp

Следовательно, первой цифрой ответа будет «1».

Внутренняя энергия идеального газа равна сумме кинетических энергий всех молекул этого газа:

E=N−Ek

Запишем основное уравнение МКТ:

p=nkT

Отсюда температура газа равна:

T=pnk

Но температура прямо пропорциональна средней кинетической энергии молекул газа:

T=2−Ek3k

Следовательно:

pnk=2−Ek3k

−Ek=3p2n

E=N−Ek=N3p2n

Но концентрация определяется отношением количества молекул к объему. Следовательно:

E=N3pV2N=3pV2

А произведение давления на объем можно выразить через уравнение Менделеева — Клапейрона. Следовательно:

E=32νRT

Вторая цифра ответа будет «3».

Ответ: 13

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF22795

На рисунке показан график зависимости давления газа в запаянном сосуде от его температуры. Объём сосуда равен 0,25 м³. Какое приблизительно количество газообразного вещества содержится в этом сосуде? Ответ округлите до целых.

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные.

2.Выбрать любую точку графика и извлечь из нее дополнительные данные.

3.Записать уравнение состояния идеального газа.

4.Выполнить решение задачи в общем виде.

5.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные. Объем сосуда равен: V = 0,25 м³. На графике выберем точку, соответствующую температуре T = 300 К. Ей соответствует давление p = 2∙10⁴ Па.

Запишем уравнение состояния идеального газа:

pV=νRT

Отсюда количества вещества равно:

ν=pVRT=2·104·0,258,31·300≈2 (моль)

Ответ: 2

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF17664

Зависимость объёма идеального газа от температуры показана на VТ-диаграмме (см. рисунок). В какой из точек давление газа максимально? Масса газа постоянна.

Ответ:

Алгоритм решения

1.Записать уравнение состояния идеального газа.

2.Установить, как зависит давление от объема и температуры газа.

3.На основании графика, отображающего изменение температуры и объема газа, установить, в какой точке давление газа максимально.

Решение

Запишем уравнение состояния идеального газа:

pV=νRT

Отсюда видно, что давление прямо пропорционально температуре. Это значит, что с ростом температуры давление увеличивается.

Также видно, что давление обратно пропорционально объему. Следовательно, давление увеличивается с уменьшением объема.

Отсюда следует, что давление будет максимальным в той точке, в которой температура максимальна, а объем минимален. Такой точкой является точка D.

Ответ: D

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18093

В камере, заполненной азотом, при температуре К находится открытый цилиндрический сосуд (см. рис. 1). Высота сосуда см. Сосуд плотно закрывают цилиндрической пробкой и охлаждают до температуры К. В результате расстояние от дна сосуда до низа пробки становится равным h (см. рис. 2). Затем сосуд нагревают до первоначальной температуры T₀. Расстояние от дна сосуда до низа пробки при этой температуре становится равным см (см. рис. 3). Чему равно h? Величину силы трения между пробкой и стенками сосуда считать одинаковой при движении пробки вниз и вверх. Массой пробки пренебречь.

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные и перевести единицы измерения физических величин в СИ.

2.Записать уравнение Менделеева — Клапейрона и применить его ко всем состояниям газа.

3.Определить условие равновесия пробки.

4.Выполнить решение задачи в общем виде.

5.Вычислить искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

• Начальная температура азота: T₀ = 300 К.

• Высота сосуда: L = 50 см.

• Температура азота после охлаждения: T₁ = 240 К.

• Высота столба азота после нагревания: H = 46 см.

50 см = 0,5 м

46 см = 0,46 м

Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона:

pV=νRT

Так как количество азота не меняется, можем принять, что:

pVT=const

Применим уравнение Менделеева — Клапейрона для всех трех состояний азота. Учтем, что

p0V0T0=p1V1T1=p2V2T2

Пусть S — площадь поперечного сечения сосуда. Тогда объемы столба азота для каждого из состояний будут равны:

V0=SL

V1=Sh

V2=SH

Известно, что в состоянии 3 температура азота поднимается до первоначальной. Поэтому уравнение Менделеева — Клапейрона примет вид:

p0SLT0=p1ShT1=p2SHT0

p0LT0=p1hT1=p2HT0

Неизвестными остались только давления. Их можно определить, записав условие равновесия пробки.

В состоянии 1 сила давления азота на пробку определяется формулой:

p0S=pатмS

В состоянии 2 на пробку действует сила давления со стороны азота и атмосферного давления, я а также сила трения, направленная вверх. Следовательно:

p1S=pатмS−Fтр=p0S−Fтр

В состоянии 3 на пробку действуют те же силы, но сила трения теперь действует не вверх, а вниз. Поэтому:

p2S=pатмS+Fтр=p0S+Fтр

Выразим из этих уравнений силу трения:

Fтр=p0S−p1S

Fтр=p2S−p0S

Приравняем правые части и получим:

p0S−p1S=p2S−p0S

Отсюда:

p0−p1=p2−p0

2p0=p2+p1

p0=p2+p12

Подставим это значение в уравнение Менделеева — Клапейрона и получим:

p2+p12LT0=p1hT1=p2HT0

Отсюда:

p2+p12L=p2H

p2L+p1L=2p2H

p1L=2p2H−p2L=p2(2H−L)

p1=p2(2H−L)L

Отсюда:

p2(2H−L)LhT1=p2HT0

Давление слева и справа взаимоуничтожается. Остается:

T0(2H−L)Lh=HT1

Отсюда выразим h:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18873

В сосуде неизменного объёма при комнатной температуре находилась смесь неона и аргона, по 1 моль каждого. Половину содержимого сосуда выпустили, а затем добавили в сосуд 1 моль аргона. Как изменились в результате парциальное давление неона и давление смеси газов, если температура газов в сосуде поддерживалась неизменной?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

увеличилась
уменьшилась
не изменилась

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные.

2.Установить характер изменения парциального давления неона.

3.Применить закон Менделеева — Клапейрона, чтобы установить характер изменения общего давления смеси газов.

Решение

Исходные данные:

• Количество неона: ν₁ = 1 моль.

• Количество аргона: ν₂ = 1 моль.

• Количество впущенного аргона: ν₄ = 1 моль.

Сначала парциальное давление неона и аргона равно. Это объясняется тем, что давление газов при неизменном количестве вещества зависит только от объема и температуры. Эти величины постоянны.

Когда из сосуда выпустили половину газовой смеси, в нем оказалось по половине моля каждого из газов. Затем в сосуд впустили 1 моль аргона. Следовательно, в сосуде стало содержаться 0,5 моль неона и 1,5 моль аргона. Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона:

pV=νRT

Из уравнения видно, что давление и количество вещества — прямо пропорциональные величины. Следовательно, если количество неона уменьшилось, то его парциальное давление тоже уменьшилось.

Общая сумма количества вещества равна сумме количеств вещества 1 (неона) и 2 (аргона): 0,5 + 1,5 = 2 (моль). Изначально в сосуде тоже содержалось 2 моль газа. Так как количество вещества, температура и объем сохранились, давление тоже осталось неизменным.

Ответ: 23

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Алиса Никитина | Просмотров: 6.5k

Источник

Уравнение
состояния идеального
газа (иногда уравнение Клапейрона или уравнение Менделеева — Клапейрона) —
формула, устанавливающая зависимость
между давлением, молярным
объёмом и абсолютной
температурой идеального
газа.
Уравнение имеет вид:

где

— давление,
— молярный
объём,
— универсальная
газовая постоянная
— абсолютная
температура,К.

Так
как ,
где—количество
вещества,
а ,
где—
масса,—молярная
масса,
уравнение состояния можно записать:

Эта
форма записи носит имя уравнения (закона)
Менделеева — Клапейрона.

В
случае постоянной массы газа уравнение
можно записать в виде:

Последнее
уравнение называют объединённым
газовым законом.
Из него получаются законы Бойля —
Мариотта, Шарля и Гей-Люссака:

— закон
Бойля — Мариотта.

— Закон
Гей-Люссака.

— закон Шарля (второй
закон Гей-Люссака, 1808 г.).А
в форме пропорции этот
закон удобен для расчёта перевода газа
из одного состояния в другое. С точки
зрения химика этот закон может звучать
несколько иначе: Объёмы вступающих в
реакцию газов при одинаковых условиях
(температуре, давлении) относятся друг
к другу и к объёмам образующихся
газообразных соединений как простые
целые числа. Например, 1 объёмводородасоединяется
с 1 объёмом хлора,
при этом образуются 2 объёма хлороводорода:

1 Объём азота соединяется с 3 объёмами водорода с образованием 2 объёмов аммиака:

— закон
Бойля — Мариотта.
Закон Бойля — Мариотта назван в честь
ирландского физика, химика и философа Роберта
Бойля (1627—1691),
открывшего его в 1662 г., а также в честь
французского физика Эдма
Мариотта (1620—1684),
который открыл этот закон независимо
от Бойля в 1677 году. В некоторых случаях
(в газовой
динамике)
уравнение состояния идеального газа
удобно записывать в форме

где —показатель
адиабаты, —
внутренняя энергия единицы массы
вещества.Эмиль
Амага обнаружил,
что при высоких давлениях поведение газов отклоняется
от закона Бойля — Мариотта. И это
обстоятельство может быть прояснено
на основании молекулярных представлений.

С
одной стороны, в сильно сжатых газах
размеры самих молекул являются сравнимыми
с расстояниями между молекулами. Таким
образом, свободное пространство, в
котором движутся молекулы, меньше, чем
полный объём газа. Это обстоятельство
увеличивает число ударов молекул в
стенку, так как благодаря ему сокращается
расстояние, которое должна пролететь
молекула, чтобы достигнуть стенки. С
другой стороны, в сильно сжатом и,
следовательно, более плотном газе
молекулы заметно притягиваются к другим
молекулам гораздо большую часть времени,
чем молекулы в разреженном газе. Это,
наоборот, уменьшает число ударов молекул
в стенку, так как при наличии притяжения
к другим молекулам молекулы газа движутся
по направлению к стенке с меньшей
скоростью, чем при отсутствии притяжения.
При не слишком больших давлениях более
существенным является второе обстоятельство
и произведение немного
уменьшается. При очень высоких давлениях
большую роль играет первое обстоятельство
и произведениеувеличивается.

5. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов

Для
вывода основного уравнения
молекулярно-кинетической теории
рассмотрим одноатомный идеальный газ.
Предположим, что молекулы газа
движутся хаотически, число взаимных
столкновений между молекулами газа
пренебрежимо мало по сравнению с числом
ударов о стенки сосуда, а соударения
молекул со стенками сосуда абсолютно
упругие. Выделим на стенке сосуда
некоторую элементарную площадку DS и
вычислим давление, оказываемое на
эту площадку. При каждом соударении
молекула, движущаяся перпендикулярно
площадке, передает ей
импульс m₀v-(-m₀v)=2m₀v, где т₀ —
масса молекулы, v —
ее скорость.

За
время Dt площадки DS достигнут только те
молекулы, которые заключены в объеме
цилиндра с основанием DS и высотой vDt .Число
этих молекул равно nDSvDt (n—концентрация
молекул).

Необходимо,
однако, учитывать, что реально молекулы
движутся к площадке

DS
под разными углами и имеют различные
скорости, причем скорость молекул при
каждом соударении меняется. Для упрощения
расчетов хаотическое движение молекул
заменяют движением вдоль трех взаимно
перпендикулярных направлений, так
что в любой момент времени вдоль каждого
из них движется ¹/₃ молекул,
причем половина молекул (¹/₆)
движется вдоль данного направления
в одну сторону, половина — в противоположную.
Тогда число ударов молекул, движущихся
в заданном направлении, о площадку DS
будет ¹/₆nDSvDt.
При столкновении с площадкой эти
молекулы передадут ей импульс

DР =
2m₀v•¹/₆nDSvDt=¹/₃nm₀v²DSDt.

Тогда
давление газа, оказываемое им на стенку
сосуда,

p=DP/(DtDS)=¹/₃nm₀v².
(3.1)

Если
газ в объеме V содержит N молекул,

движущихся
со скоростями v₁, v₂, …, v_N,
то

целесообразно
рассматривать среднюю
квадратичную скорость

характеризующую
всю совокупность молекул газа.

Уравнение
(3.1) с учетом (3.2) примет вид

р
= ¹/₃пт₀ <v_кв>².
(3.3)

Выражение
(3.3) называется основным
уравнением молекулярно-кинетической
теории идеальных газов. Точный
расчет с учетом движения молекул по
все-

возможным
направлениям дает ту же формулу.

Учитывая,
что n = N/V, получим

где Е —
суммарная кинетическая энергия
поступательного движения всех молекул
газа.

Так
как масса газа m =Nm₀,
то уравнение (3.4) можно переписать в
виде

pV=¹/₃m<v_кв>².

Для
одного моля газа т
= М (М — молярная
масса), поэтому

pV_m=¹/₃M<v_кв>²,

где V_m —
молярный объем. С другой стороны, по
уравнению Клапейрона —
Менделеева, pV_m=RT. Таким
образом,

RT=¹/₃М
<v_кв>²,
откуда

Так
как М = m₀N_A,
где m₀—масса
одной молекулы, а N_А —
постоянная Авогадро, то из уравнения
(3.6) следует, что

где k = R/N_A—постоянная
Больцмана. Отсюда найдем, что при
комнатной температуре молекулы
кислорода имеют среднюю квадратичную
скорость 480 м/с, водорода — 1900 м/с. При
температуре жидкого гелия те же
скорости будут соответственно 40 и
160 м/с.

Средняя
кинетическая энергия поступательного
движения одной молекулы идеального
газа

<e₀)
=E/N = m₀ <v_кв>)²/2
= ³/₂kT(43.8)

(использовали
формулы (3.5) и (3.7)) пропорциональна
термодинамической температуре и
зависит только от нее. Из этого уравнения
следует, что при T=0 <e₀>
=0,,т. е. при 0 К прекращается поступательное
движение молекул газа, а следовательно,
его давление равно нулю. Таким образом,
термодинамическая температура является
мерой средней кинетической энергии
поступательного движения молекул
идеального газа и формула (3.8) раскрывает
молекулярно-кинетическое толкование
температуры.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

to continue to Google Sites

Not your computer? Use Guest mode to sign in privately. Learn more

Источник