3. Вектор напряженности электростатического поля
Каким образом заряды действуют друг на
друга на расстоянии и как передаются эти силы от заряда к заряду? Исследования
показали, что силовое действие одного заряда на другое передается через т.н.
электрическое поле. Когда в каком-то месте появляется электрический заряд, то в
окрестности заряда появляется электрическое поле. Особенность этого поля
состоит в том, что на всякий другой заряд, помещенный в это поле, действует
сила. Количественной характеристикой силового воздействия электрического поля
на заряд является векторная величина 
— вектор напряженности электрического
поля. Вектор напряженности в данной точке электрического поля – это величина,
которая выражается отношением вектора силы, действующей на пробный заряд,
помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда
. (3)
Эта
величина не зависит от величины заряда, зависит только от положения точки поля.
Пробный заряд должен быть настолько малым, чтобы его внесение в поле не
вызывало изменения исследуемого поля. Направление вектора напряженности
совпадает с направлением силы, действующей на пробный заряд. Однако пробный
заряд может иметь как положительный, так и отрицательный знак. От этого зависит
направление действующей силы, значит, направление и вектора напряженности. При
произвольном выборе пробного заряда возникает неоднозначность в определении
направления вектора напряженности. Чтобы устранить эту неоднозначность
условились, что пробный заряд должен быть только положительным.
Из формул (2) и
(3) следует формула напряженности поля точечного заряда
.
(4)
Величина вектора напряженности поля
точечного заряда равна
.
Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Линии напряженности электрического поля (силовые линии). Однородное электрическое поле. Напряженность электростатического поля точечного заряда. Принцип суперпозиции полей. Теорема Гаусса. Электростатическое поле равномерно заряженных плоскости, сферы и шара.
Электрическое поле представляет собой векторное поле, существующее вокруг тел или частиц, обладающее электрическим зарядом, а также возникающее при изменении магнитного поля.
Напряженность электрического поля — это отношение вектора силы (vec{F}), с которой поле действует на пробный заряд (q), к самому пробному заряду с учетом его знака.
[vec{E}=dfrac{vec{F}}{q}]
Единицы измерения: (displaystyle [text{В}/text{м}]) (вольт на метр).
всегда начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных.
— такое поле в данной области пространства. если вектор напряженности поля одинаков в каждой точке области.
При равномерном распределении электрического заряда (q) по поверхности площади (S) поверхностная плотность заряда (displaystyle sigma) постоянна и равна
[sigma =dfrac{q}{S}]
Напряженность электростатического поля точечного заряда Q в точке A, удаленной на расстояние (r) от заряда (Q), определяется формулой:
[E=dfrac{kcdot |Q|}{r^2}]
Принцип суперпозиции полей
Пусть заряды (displaystyle q_1, q_2, q_3,… , q_n) по отдельности создают в данной точке поля (vec{E}_1), (vec{E}_2),…,(vec{E}_n). Тогда система этих зарядов создает в данной точке поле (vec{E}), равное векторной сумме напряженностей полей отдельных зарядов.
[vec{E}=vec{E}_1+vec{E}_2+…+vec{E}_n]
Разберемся, что такое принцип суперпозиции на примере электрического поля. Благодаря ему, можно найти напряженность двух точечных зарядов, в каждой точке поля (А). Рассмотрим рисунок:
здесь видно, что для нахождения направления результирующего вектора (vec{E}), нужно сложить вектора (vec{E}_1) и (vec{E}_2) по правилу параллелограмма. Это и есть принцип суперпозиции.
Теорема Гаусса
Поток вектора напряженности электростатического поля (vec{E}) через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную (varepsilon_0).
Заряженная плоскость
Её электрическое поле однородно, то есть его напряжённость одинакова на любом расстоянии от плоскости, линии напряжённости параллельны. По теореме Гаусса:
[E=dfrac{|sigma|}{2varepsilon_0varepsilon}]
Заряженная сфера
Рассмотрим электрическое поле равномерно заряженной сферы. Поток напряжённости через любую замкнутую поверхность внутри сферы равен нуля, так как внутри этой поверхности нет заряда. Отсюда следует, что внутри сферы напряжённость равна нулю.
(E=0) при (r<R).
Проведём сферическую поверхность радиусом (r>R). Пусть её заряд равен (q). По теореме Гаусса:
[E=kdfrac{|q|}{r^2varepsilon}]
Заряженный шар
Рассмотрим электрическое поле равномерно заряженного шара. Напомним, что объём шара равен (V=dfrac{4}{3}pi R^3). Тогда его заряд (q=dfrac{4}{3}pi R^3rho). Напряжённость поля вне шара (r>R) можно найти так же, как и вне сферы:
[E=kdfrac{4pi R^3 rho}{3r^2varepsilon}]
Для нахождения напряжённости внутри шара применим теорему Гаусса для сферической поверхности радиусом (r<R). По теореме Гаусса:
[E=kdfrac{4pi rho r}{3varepsilon}]
Сергей Сергеевич Соев
Эксперт по предмету «Физика»
Задать вопрос автору статьи
В соответствии с теорией близкодействия, взаимодействия между заряженными телами, которые удалены друг от друга, осуществляется посредством полей (электромагнитных), создаваемых этими телами в окружающем их пространстве. Если поля создаются неподвижными частицами (телами), то поле является электростатическим. Если поле не изменяется во времени, то его называют стационарным. Электростатическое поле является стационарным. Это поле — частный случай электромагнитного поля. Силовой характеристикой электрического поля служит вектор напряженности, который можно определить как:
где $overrightarrow{F}$- сила, действующая со стороны поля на неподвижный заряд q, который называют иногда «пробным». При этом необходимо, чтобы «пробный» заряд был мал, чтобы не искажал поле, напряженность которого с его помощью измеряют. Из уравнения (1) видно, что напряженность совпадает по направлению с силой, с которой поле действует на единичный положительный «пробный заряд».
Напряженность электростатического поля не зависит от времени. Если напряженность во всех точках поля одинакова, то поле называют однородным. В противном случае поле неоднородно.
Силовые линии
Для графического изображения электростатических полей используют понятие силовых линий.
Определение
Силовыми линиями или линиями напряженности поля, называются линии, касательные к которым в каждой точке поля совпадают с направлениями векторов напряженности в этих точках.
Силовые линии электростатического поля являются разомкнутыми. Они начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. Иногда они могут уходить в бесконечность или приходить из бесконечности. Силовые линии поля не пересекаются.
Вектор напряженности электрического поля подчиняется принципу суперпозиции, а именно:
[overrightarrow{E}=sumlimits^n_{i=1}{{overrightarrow{E}}_i(2)}.]
Результирующий вектор напряженности поля может быть найден как векторная сумма напряженностей составляющих его «отдельных» полей. Если заряд распределен непрерывно (нет необходимости учитывать дискретность), то суммарная напряженность поля найдется как:
[overrightarrow{E}=int{doverrightarrow{E}} left(3right).]
В уравнении (3) интегрирование проводят по области распределения зарядов. Если заряды распределены по линии ($tau =frac{dq }{dl}$ -линейная плотность распределения заряда), то интегрирование в (3) проводят по линии. Если заряды распределены по поверхности и поверхностная плотность распределения $sigma=frac{dq }{dS}$, то интегрируют по поверхности. Интегрирование проводят по объему, если имеют дело с объемным распределением заряда: $rho =frac{dq }{dV}$, где $rho $ — объемная плотность распределения заряда.
Напряженность поля
«Вектор напряженности электрического поля» 👇
Напряжённость поля в диэлектрике равна векторной сумме напряженностей полей, которые создают свободные заряды ($overrightarrow{E_0}$) и связанные заряды ($overrightarrow{E_p}$):
[overrightarrow{E}=overrightarrow{E_0}+overrightarrow{E_p}left(4right).]
Очень часто в примерах мы сталкиваемся с тем, что диэлектрик является изотропным. В таком случае, напряжённость поля может быть записана как:
[overrightarrow{E}=frac{overrightarrow{E_0}}{varepsilon } left(5right),]
где $varepsilon $- относительная диэлектрическая проницаемость среды в рассматриваемой точке поля. Таким образом, из (5) очевидно, что однородном в изотропном диэлектрике напряженность электрического поля в $varepsilon $ раз меньше, чем в вакууме.
Напряженность электростатического поля системы точечных зарядов равна:
[overrightarrow{E}=frac{1}{4pi {varepsilon }_0}sumlimits^n_{i=1}{frac{q_i}{varepsilon r^3_i}}overrightarrow{r_i} left(6right).]
В системе СГС напряженность поля точечного заряда в вакууме равна:
[overrightarrow{E}=frac{qoverrightarrow{r}}{r^3}left(7right).]
Пример 1
Задание: Заряд равномерно распределен по четверти окружности радиуса R с линейной плотностью $tau $. Найти напряженность поля в точке (А), которая была бы центром окружности.
Решение:
Рис. 1
Выделим на заряженной части окружности элементарный участок ($dl$), который будет создавать элемент поля в точке А, для него запишем выражение для напряженности (будем использовать систему СГС), в таком случае выражение для $doverrightarrow{E}$ имеет вид:
[doverrightarrow{E}=frac{dq}{R^3}frac{overrightarrow{R}}{R} left(1.1right).]
Проекция вектора $doverrightarrow{E}$ на ось OX имеет вид:
[{dE}_x=dEcosvarphi =frac{dqcosvarphi }{R^2}left(1.2right).]
Выразим dq через линейную плотность заряда $tau $:
[dq=tau dl=tau cdot 2pi RdR left(1.3right).]
Используя (1.3) преобразуем (1.2), получим:
[{dE}_x=frac{2pi Rtau dRcosvarphi }{R^2}=frac{2pi tau dRcosvarphi }{R}=frac{tau cosvarphi dvarphi }{R} left(1.4right),]
где $2pi dR=dvarphi $.
Найдем полную проекцию $E_x$, интегрированием выражения (1.4) по $dvarphi $, где угол изменяется $0le varphi le 2pi $.
[E_x=intlimits^{2pi }_0{frac{tau cosvarphi d varphi }{R}}=frac{tau }{R}intlimits^{2 pi}_0{cosvarphi d varphi=}frac{tau}{R}left({left.sinvarphi right|}^{2pi }_0right)=frac{tau }{R} left(1.5right).]
Займемся проекцией вектора напряженности на ос OY, по аналогии без особых пояснений запишем:
[{dE}_y=dEsinvarphi =frac{tau }{R}sinvarphi d varphi left(1.6right).]
Интегрируем выражение (1.6), угол изменяется $frac{pi }{2}le varphi le 0$, получаем:
[E_y=intlimits^0_{frac{pi }{2}}{frac{tau }{R}sinvarphi dvarphi =frac{tau }{R}intlimits^0_{frac{pi }{2}}{sinvarphi dvarphi =- frac{tau }{R}} }{left.cosvarphi right|}^0_{frac{pi }{2}}=- frac{tau }{R} left(1.7right).]
Найдем модуль вектора напряженности в точке А, используя теорему Пифагора:
[E=sqrt{{E_x}^2+{E_y}^2}=sqrt{{left(frac{tau }{R}right)}^2+{left(-frac{tau }{R}right)}^2}=frac{tau }{R}sqrt{2}]
Ответ: Напряженность поля в точке (А) равна $E=frac{tau }{R}sqrt{2}.$
Пример 2
Задание: Найдите напряженность электростатического поля равномерно заряженной полусферы, радиус которой равен R. Поверхностная плотность заряда равна $sigma$.
Решение:
Рис. 2
Выделим на поверхности заряженной сферы элементарный заряд $dq$, который расположен на элементе площади $dS.$ В сферических координатах $dS$ равен:
[dS=R^2sintheta dtheta dvarphi left(2.1right),]
где $0le varphi le 2pi , 0le theta le frac{pi }{2}.$
Запишем выражение для элементарной напряженности поля точечного заряда в системе СИ:
[doverrightarrow{E}=frac{dq}{{4pi {varepsilon }_0R}^3}frac{overrightarrow{R}}{R} left(2.2right).]
Проектируем вектор напряженности на ось OX, получим:
[{dE}_x=frac{dqcostheta }{4 pi varepsilon_0R^2}left(2.3right).]
Элементарный заряд выразим через поверхностную плотность заряда, получим:
[dq=sigma dS left(2.4right).]
Подставляем (2.4) в (2.3), используем (2.1) интегрируем, получаем:
[E_x=frac{sigma R^2}{4pi {varepsilon }_0R^2}intlimits^{2pi }_0{dvarphi intlimits^{frac{pi }{2}}_0{costheta }}sintheta dtheta =frac{sigma}{4pi {varepsilon }_0}left(2pi cdot frac{1}{2}right)=frac{sigma}{4{varepsilon }_0}.]
Легко получить, что $E_Y=0.$
Следовательно, $E=E_x.$
Ответ: Напряженность поля полусферы заряженной по поверхности в ее центре равна $E=frac{sigma}{4{varepsilon }_0}.$
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Электростатика: элементы учебной физики
Лекция 5. Напряжённость электрического поля
Продолжение. См. № 17,
18, 19, 20/07
В.В.МАЙЕР,
ГОУ ВПО ГГПИ им. В.Г.Короленко, г. Глазов,
Республика Удмуртия
varaksina_ei@list.ru
Электростатика: элементы учебной
физики
Понятие электрического поля оказалось
плодотворным потому, что удалось ввести
количественные характеристики, которые
позволяют решать конкретные физические задачи. К
ним в первую очередь относятся напряжённость и
потенциал электрического поля.
Экспериментальные исследования
учащихся должны показать, что напряжённость
реально может быть измерена и что эта величина
действительно характеризует электрическое поле.
Относительно новое для школьников – один и тот
же прибор, электростатический динамометр, при
соответствующей градуировке может быть
использован в качестве измерителя и силы, и
напряжённости. Однако это вовсе не значит, что
этим прибором можно измерить любую
электростатическую величину: ни при какой
градуировке электростатического динамометра не
удастся получить прибор, измеряющий, скажем,
потенциал электрического поля.
Принципиально важно
экспериментальное обоснование принципа
суперпозиции электрических полей. Такое
обоснование можно было бы осуществить уже при
введении понятия электрического поля, но
предпочтительнее сделать это, когда учащиеся
будут ознакомлены с понятием напряжённости.
5.1. Напряжённость электрического
поля. Силовой характеристикой
электрического поля является вектор
напряжённости электрического поля E,
равный отношению вектора силы, действующей в
данной точке поля на пробный положительный
заряд, к величине этого заряда:
( 5.1)
Напряжённость в системе единиц СИ
выражается в ньютонах на кулон (Н/Кл).
5.2. Напряжённость электрического
поля точечного заряда. Во многих задачах
электростатики размерами заряженных тел по
сравнению с расстояниями до точек наблюдения
можно пренебречь. В таких случаях говорят о
точечных зарядах. Понятно, что на самом деле
никаких точечных зарядов или заряженных точек в
природе не существует, — это просто удобная
абстракция.
Закон Кулона, как вы знаете, справедлив
именно для точечных зарядов. Непосредственно из
закона Кулона следует, что модуль вектора
напряжённости электрического поля точечного
заряда Q:
(5.2)
где R – расстояние до точки
наблюдения, q – пробный положительный заряд.
5.3. Силовые линии
электростатического поля. Фарадей, который
ввёл понятие электрического поля, внутренним
взором видел заряды, окружённые полями.
Изображать их он стал линиями, вдоль которых на
пробный заряд со стороны поля действуют силы. Силовые
линии электростатического поля часто
называют линиями напряжённости, т.к. вектор
напряжённости электрического поля в любой точке
такой линии касателен к ней. Вместо пробного
заряда для построения силовых линий удобнее
использовать электрический диполь.
Введя в электрическое поле
положительный пробный заряд на нити, по его
отклонению от положения равновесия определим
направление напряжённости поля. Уберём заряд и
вместо него в ту же точку внесём диполь. При
этом обнаружим, что он повернулся своим
положительным полюсом в направлении вектора
напряжённости электрического поля. Используя
диполь, нетрудно экспериментально доказать, что
электрическое поле можно характеризовать
силовыми линиями, т.е. такими линиями, в каждой
точке которых напряжённость поля является
касательной к ним.
Для этого создадим произвольное
электрическое поле, введём в него диполь и
отметим положение его положительного и
отрицательного полюсов. Переместим диполь так,
чтобы его, например, отрицательный полюс совпал с
точкой, в которой находился положительный.
Многократно повторяя эту операцию, получим
совокупность точек. Соединив эти точки плавной
линией, получим силовую линию исследуемого
электростатического поля.
Опыт показывает, что через каждую
точку поля проходит только одна силовая линия.
Если бы было не так, то в точке пересечения двух
силовых линий одного поля на заряд действовали
бы разные силы.
Повторяя описанные выше действия,
построим семейство силовых линий так, чтобы их
начальные точки находились на поверхности
заряженного тела на равных расстояниях друг от
друга. Обнаружим, что силовые линии
располагаются с различной густотой. Внесём в
поле пробный заряд на нити в области с
максимальной и минимальной густотой силовых
линий и обнаружим, что в этих областях
напряжённость электрического поля
соответственно максимальна и минимальна.
Силовые линии сгущаются возле зарядов,
т.е. там, где модуль вектора напряжённости
электрического поля больше. Значит, густота
силовых линий определяется напряжённостью поля.
Семейство силовых линий в принципе может
полностью охарактеризовать электрическое поле.
Проделанные опыты показывают, что
силовые линии начинаются или заканчиваются на
зарядах, идут в бесконечность или выходят из неё.
В электростатическом поле замкнутых силовых
линий нет.
5.4. Принцип суперпозиции
напряжённостей электростатических полей.
Из принципа суперпозиции полей следует, что сила,
действующая на пробный заряд со стороны других
зарядов, равна геометрической сумме всех
действующих на заряд сил по отдельности. Но если
это так, то напряжённости электрических полей,
равные отношениям сил к величине пробного
заряда, складываются подобно силам.
Таким образом, для электрических полей
справедлив принцип суперпозиции в
следующей формулировке: напряжённость
результирующего электрического поля есть
геометрическая (векторная) сумма напряжённостей
полей, создаваемых отдельными зарядами:
E = E1 + E2 + E3 + …
(5.3)
Применение принципа суперпозиции для
напряжённостей позволяет существенно облегчить
решение многих задач электростатики.
5.5. Поток вектора напряжённости
электрического поля. Представим себе
точечный положительный заряд Q, находящийся
в центре сферической поверхности 1 радиусом r.
В точках этой поверхности напряжённость
электрического поля 
Так как площадь
поверхности сферы S = 4
r2, то её
произведение на напряжённость электрического
поля не зависит ни от чего, кроме заряда:
(5.4)
поэтому характеризует электрическое
поле в целом. Эта величина получила название потока
вектора напряжённости электрического поля.
Поток напряжённости через
концентрические сферические поверхности 1 и
2 одинаков. Так как он характеризует поле
заряда в целом, нужно, чтобы он оставался тем же и
для произвольной замкнутой поверхности 3. Но
для неё вектор напряжённости уже не является
нормалью к элементу поверхности. Поэтому для
определения потока вектора E через
элемент поверхности вместо площади этого
элемента следует брать площадь его проекции на
плоскость, перпендикулярную вектору E.
Условимся поток считать положительным, если
вектор напряжённости выходит из замкнутой
поверхности, и отрицательным, если он входит в
неё. Если заряд находится вне замкнутой
поверхности 4, то поток напряжённости через
неё равен нулю. Дело в том, что входящий внутрь
области поток по модулю равен выходящему.
5.6. Теорема Гаусса. Мысленно
переместим заряд из центра сферической
поверхности в любую точку внутри неё. Очевидно,
поток вектора напряжённости электрического поля
от этого не изменится, т.к., по самому определению,
он один и тот же для любой замкнутой поверхности,
окружающей заряд. Разместим внутри этой
поверхности не один, а несколько в общем случае
различных зарядов. По принципу суперпозиции
электрические поля этих зарядов не влияют друг
на друга, значит, потоки, созданные каждым
зарядом по отдельности, остаются неизменными.
Результирующий поток, очевидно, равен сумме
потоков от всех зарядов.
Это и есть теорема Гаусса: поток
вектора напряжённости через произвольную
замкнутую поверхность равен алгебраической
сумме зарядов, расположенных внутри этой
поверхности, делённой на электрическую
постоянную:
(5.5)
Если алгебраическая сумма зарядов
внутри замкнутой поверхности равна нулю, то
поток напряжённости электрического поля через
эту поверхность также равен нулю. Это понятно,
поскольку положительные заряды внутри
поверхности создают положительный поток, а
отрицательные – равный ему по модулю
отрицательный.
5.7. Поверхностная плотность
заряда. Если проводящему телу сообщить
заряд, то он будет распределён по его
поверхности. В общем случае на участках
поверхности одинаковой площади окажутся разные
заряды. Отношение заряда 
Q к площади поверхности S, на которой
он распределён, называется поверхностной
плотностью заряда
(5.6)
Поверхностная плотность заряда
выражается в кулонах на квадратный метр (Кл/м2).
5.8. Напряжённость электрического
поля заряженного шара. Используя теорему
Гаусса, нетрудно определить напряжённость
электрического поля, созданного заряженным
проводящим шаром. Действительно, если на
поверхности сферы радиусом r > R, центр
которой совпадает с центром шара, равномерно
распределён заряд Q, то поток вектора E
через сферическую поверхность радиусом r,
согласно теореме Гаусса, равен:
Отсюда напряжённость электрического
поля на расстоянии r от центра заряженной сферы
равна
(5.7)
Сравнивая (5.7) с (5.2), приходим к выводу,
что напряжённость электрического поля
заряженного шара равна напряжённости такого же
точечного заряда, расположенного в центре шара.
5.9. Напряжённость электрического поля
заряженной плоскости. Рассмотрим
бесконечную плоскость, заряженную равномерно с
поверхностной плотностью заряда 
. Электрическое поле такой
поверхности однородно, причём силовые линии
перпендикулярны поверхности. Чтобы найти
напряжённость поля, воспользуемся теоремой
Гаусса. Для этого построим замкнутую
цилиндрическую поверхность, ось которой
параллельна силовым линиям поля, а основания
площадью S находятся по разные стороны от
поверхности. Поток напряжённости через боковую
поверхность цилиндра равен нулю, т.к. силовые
линии её не пересекают. Поэтому полный поток
напряжённости через выбранную поверхность равен
сумме потоков через основания цилиндра: N = 2 • ЕS.
Полный заряд внутри цилиндра равен Q = S. Согласно
теореме Гаусса, 
Отсюда напряжённость электрического поля
(5.8)
Итак, напряжённость электрического
поля заряженной плоскости равна поверхностной
плотности заряда, делённой на удвоенное значение
электрической постоянной.
5.10. Напряжённость электрического
поля разноимённо заряженных параллельных
плоскостей. Пусть некоторая плоскость
заряжена равномерно с плотностью заряда . Параллельно этой
плоскости расположим вторую, с такой же
плотностью заряда противоположного знака.
Найдём напряжённость электрического поля в этом
случае.
Каждая плоскость создаёт поле
напряжённостью E’ = /(2
0).
Согласно принципу суперпозиции, напряжённость
результирующего электрического поля равна сумме
напряжённостей этих полей. Так как между
плоскостями напряжённости полей имеют
одинаковое направление, то результирующая
напряжённость Е = 2E’:
(5.9)
Следовательно, напряжённость
электрического поля между параллельными
плоскостями, несущими равные по модулю
разноимённые заряды, равна поверхностной
плотности заряда одной из плоскостей, делённой
на электрическую постоянную. Вне плоскостей
векторы напряжённостей направлены
противоположно и, поскольку их модули равны, поле
вообще отсутствует. Обратите внимание, что не
важно, проводят плоскости электричество или нет.
Исследование 5.1. Напряжённость
электрического поля
Проблема. Возможна ли в доступном
учебном эксперименте количественная оценка
напряжённости электрического поля, создаваемого
зарядами на наэлектризованных телах? 
Задание. Используя
электростатический динамометр, разработайте
методику введения понятия напряжённости
электрического поля и предложите прибор для
измерения напряжённостей.
Вариант выполнения. Проводящему
шару сообщите заряд, для определённости
положительный. На пробный шарик
электростатического динамометра (см.
исследование 3.4) также нанесите некоторый заряд.
Введите динамометр в электрическое поле
заряженного шара и разверните так, чтобы его
показания стали максимальны. Это означает, что
пробный шарик электростатического динамометра
отклоняется в ту же сторону, куда направлена
сила, действующая на него со стороны
электрического поля.
Прикоснитесь к пробному шарику таким
же незаряженным шариком и уберите его: пробный
заряд уменьшится в два раза, показания
динамометра для того же расстояния до точки
наблюдения тоже уменьшаются в два раза.
Повторяя опыт с разными зарядами,
убедитесь, что отношение силы f, действующей
на пробный заряд q, к величине этого заряда в
данной точке поля остаётся постоянным, а при
переходе от одной точки к другой, вообще говоря,
меняется. Значит, это отношение может
характеризовать электрическое поле. Оно и
получило название напряжённости
электрического поля. Шкалу
электростатического динамометра, которым вы
пользовались для измерения силы
электростатического взаимодействия, можно
отградуировать в единицах напряжённости. Тогда
допустимо считать этот прибор измерителем
напряжённости электрического поля.
Градуировку нетрудно осуществить в единицах
Н/Кл, если предварительно измерить величину
пробного заряда (см. исследование 3.6).
Учащиеся должны понять, каким образом
один и тот же прибор превратился из измерителя
силы в измеритель напряжённости.
Исследование 5.2. Зависимость
напряжённости электрического поля от радиуса
заряженного шара
Задание. Разработайте
демонстрационный эксперимент, который может
служить обоснованием справедливости теоремы
Гаусса для электростатических полей.
Вариант выполнения.
Зарядите стоящий на диэлектрической
подставке небольшой проводящий шар. К нему
подведите измеритель напряжённости
электрического поля, пробный шарик которого
несёт такой же по знаку заряд, как заряд,
создающий исследуемое поле. Запомните
отклонение стрелки измерителя.
Первый шар с зарядом опустите в
полость второго проводящего шара значительно
большего диаметра, установленного на
диэлектрической подставке. Приближайте этот
второй шар к пробному шарику измерителя
напряжённости. Оказывается, когда центр второго
шара совпадает с точкой, в которой находился
центр первого шара, стрелка измерителя
отклоняется на первоначальное число делений.
Отсюда следует, что независимо от
радиуса заряженного шара на одном и том же
расстоянии от его центра напряжённость
электрического поля одна и та же. Тем самым
теорема Гаусса получила подтверждение в
демонстрационном эксперименте.
Понятно, что теорема Гаусса носит
общий характер и, строго говоря, не нуждается в
обоснованиях, подобных здесь рассмотренному. Но
в дидактических целях такое обоснование
совершенно необходимо, поскольку оно
способствует укреплению в сознании учащихся
неразрывной связи физической теории с
объективной реальностью.
Исследование 5.3. Суперпозиция
электрических полей
Информация. Чтобы убедиться в
справедливости принципа суперпозиции
электрических полей, нужно уметь определять не
только модули сил, действующих на заряды, но и их
направления. Делать это с помощью
электростатического динамометра неудобно. Кроме
того, он не позволяет графически изображать
векторы сил. Если на нити подвесить лёгкое
заряженное тело, то силу, действующую на него в
электрическом поле, можно оценить по отклонению
тела из положения равновесия. Но для измерения
этого отклонения воспользоваться линейкой не
удастся: приближение её к заряженному телу
вызывает изменение его положения. Чтобы
устранить эту трудность, можно спроецировать
заряженное тело на горизонтальную плоскость.
Задание. Разработайте и выполните
эксперимент, доказывающий справедливость
принципа суперпозиции электрических полей.
Вариант выполнения. К стеклянному
баллону маленькой лампочки приклейте тонкую
нить с лёгким проводящим шариком небольшого
радиуса на конце. Нанесите на шарик пробный
заряд. Лампочку закрепите над листом бумаги и
включите её. На листе бумаги цифрой 0
отметьте положение тени от шарика, находящегося
в положении равновесия. Приблизьте к пробному
заряду заряд Q1 и цифрой 1 отметьте
на листе положение тени отклонившегося шарика.
Уберите заряд Q1 и вместо него вблизи
пробного шарика расположите заряд Q2.
При этом тень от шарика займёт новое положение 2.
Верните заряд Q1 в
первоначальное положение. Теперь пробный шарик
находится в поле сразу двух зарядов и
отклоняется от положения равновесия так, что его
тень занимает положение 3. Проанализируйте
результат эксперимента. Очевидно, при смещении
шарика из положения равновесия его тень
смещается на величину, пропорциональную силе,
действующей на шарик в новом положении
равновесия (см. исследование 3.5). При малых
отклонениях пробного шарика эту силу
приближённо можно считать равной силе,
действующей на шарик в исходном положении. Длины
отрезков, соединяющих точку 0 с точками 1,
2 и 3, пропорциональны модулям
соответствующих сил. Соединив указанные точки
векторами, вы обнаружите, что вектор
результирующей силы, действующей на пробный
заряд, примерно равен сумме векторов сил,
действующих на него со стороны каждого заряда по
отдельности. Понятно, что точные измерения,
выполненные с более совершенными приборами,
вместо приближённого дадут точное равенство.
Поразительно единство природы: силы,
созданные электрическими полями, складываются
так же, как механические! Но если это так, то
напряжённости электрических полей, равные
отношениям сил к величине пробного заряда,
складываются подобно силам. Оставив шары
неподвижными, изменяйте их заряды в одинаковое
число раз (см. п. 2.6). При этом вы обнаружите, что
направление напряжённости результирующего поля
остаётся неизменным.
Таким образом, принцип суперпозиции
электростатических полей экспериментально
обоснован.
Исследование 5.4. Демонстрация
принципа суперпозиции напряжённостей
Проблема. Индивидуальный опыт,
выполненный в результате предыдущего
исследования, не позволяет убедиться в
справедливости принципа суперпозиции
напряжённостей электростатических полей всему
классу непосредственно на уроке. Как решить эту
проблему?
Задание. Учитывая возможности
кодоскопа, разработайте демонстрационный
вариант эксперимента, обосновывающего
справедливость принципа суперпозиции, и
методику проведения его на уроке.
Вариант выполнения. Из толстой
алюминиевой проволоки в изоляции выгните
специальный штатив высотой примерно 30 см и
поставьте его на конденсор кодоскопа. К верхнему
концу штатива привяжите конец тонкой нейлоновой
нити длиной примерно 20 см. На нижнем конце нити
закрепите шарик диаметром около 3 мм из тонкой
алюминиевой фольги. На конденсор кодоскопа на
стойках высотой 10 см, изготовленных из
полиэтиленовых трубок, поставьте пенопластовые
шары диаметром 15–20 мм, обёрнутые тонкой фольгой.
Основания стоек лучше сделать из прозрачного
оргстекла.
Уберите с конденсора стойки с шарами,
включите осветитель кодоскопа и на классной
доске получите изображение висящего на нити
пробного шарика. Одноимёнными зарядами зарядите
пробный шарик и два шара на стойках. На доске
мелом отметьте положение пробного шарика.
Поставьте на конденсор один из заряженных шаров,
отметьте его положение и положение пробного
шарика. Уберите первый заряженный шар и в
произвольное место поставьте второй, отметив на
доске новое положение пробного шарика. Верните в
первоначальное положение первый шар, обозначьте
результирующее положение пробного шарика, мелом
на доске нарисуйте соответствующие векторы сил и
предложите учащимся сделать вывод из
продемонстрированного опыта.
Исследование 5.5. Плотность заряда
на поверхности проводника 
Задание. Докажите, что плотность
заряда на поверхности проводника, вообще говоря,
различна.
Вариант выполнения. Зарядите
расположенный на изолирующей подставке
проводник цилиндрической формы с остриём и
коническим углублением. Пробным шариком на
изолирующей ручке, предварительно заземлённым,
коснитесь цилиндрической поверхности
проводника и поместите его внутрь полого шара,
соединённого с электрометром. Если угол
отклонения стрелки мал, повторите перенос заряда
несколько раз. Запомните показания электрометра,
разрядите его и пробный шарик. Попробуйте снять
заряд из конического углубления в поверхности
проводника, и вы убедитесь, что там он
практически отсутствует. Повторите опыт, касаясь
пробным шариком теперь уже точки поверхности,
расположенной на острие проводника. В этом
случае угол отклонения стрелки электрометра
будет значительно больше, чем в первом опыте. Так
как вблизи острия пробный шарик заряжается до
большей величины, то в этой области плотность
распределения заряда по поверхности проводника
больше.
Зарядите металлический диск,
закреплённый за изолирующую ручку в штативе.
Проведя опыты, аналогичные описанным, покажите,
что плотность заряда во всех точках плоской
поверхности диска вдали от его края одинакова, а
на краю возрастает.
Исследование 5.6. Напряжённость
электрического поля вблизи заряженного
проводника
Задание. Поставьте опыт,
показывающий, что напряжённость электрического
поля вблизи заряженного проводника определяется
поверхностной плотностью заряда.
Вариант выполнения. Вблизи
проводника сложной формы расположите
электростатический динамометр и перемещайте его
так, чтобы расстояние до поверхности проводника
оставалось постоянным, а сила действовала на
шарик динамометра по нормали к поверхности. Опыт
должен показать, что там, где на поверхности
проводника плотность заряда больше, вблизи этой
поверхности больше и напряжённость
электрического поля (см. исследование 5.5).
Проанализируйте полученные результаты и
сделайте соответствующие выводы.
Исследование 5.7. Электрическое
поле вблизи заряженных плоскостей
Задание. Прямым экспериментом
подтвердите, что равномерно заряженная
плоскость даёт электрическое поле по обе стороны
от неё, а две параллельно установленные
плоскости, несущие равные заряды
противоположных знаков, создают электрическое
поле только в области между ними.
Вариант выполнения. На нитях
подвесьте два одинаковых обёрнутых алюминиевой
фольгой пенопластовых шарика так, чтобы они
касались металлического диска с противоположных
сторон. Зарядите диск от пьезоэлектрического или
иного источника. При этом шарики отойдут от диска
на равные расстояния, свидетельствуя о том, что
электрическое поле существует по обе стороны от
заряженного диска.
Точно такой же диск зарядите равным по
модулю и противоположным по знаку зарядом.
Постепенно приближайте второй диск к первому
так, чтобы они оставались параллельными. Вы
заметите, что отклонение шарика, находящегося
вне дисков, уменьшается, а находящегося между
дисками – увеличивается. Наконец, первый шарик
касается диска, показывая, что поле вне дисков
практически исчезло, а второй шарик отклоняется
на угол, примерно в два раза превышающий
первоначальный.
Исследование 5.8. Точное
подтверждение закона Кулона
Информация.
На диэлектрической стойке закрепите
металлический шар и заключите его между двумя
проводящими полусферами, одна из которых имеет
отверстие. Через отверстие проводником на
изолированной нити соедините шар с полусферами.
Зарядите полусферы. За нить удалите проводник.
Разомкнув шар и полусферы, разведите полусферы в
стороны, разрядите их, а к шару подсоедините
чувствительный электрометр: никакого заряда на
шаре вы не обнаружите. Значит, эксперимент ещё
раз показывает, что на проводнике, находящемся
внутри другого проводника, заряда нет.
Это справедливо потому, что справедлив
закон Кулона. Действительно, внутри проводящей
равномерно заряженной сферы выберем
произвольную точку А и вертикальными
конусами вырежем на сфере площадки S1 и S2. Из геометрии
известно, что 
Но
эти площадки имеют заряды, пропорциональные их
величинам: 
Небольшие площадки создают в точке А поля
напряжённостями 
и 
отношение
которых
Значит, поскольку напряжённости полей,
созданных любыми подобными парами площадок на
сфере, равны по модулю и противоположно
направлены, результирующая напряжённость поля,
созданного в точке А всей заряженной сферой,
должна быть равна нулю.
Это и показывает эксперимент. Если бы
на опыте был обнаружен хотя бы слабый заряд на
внутреннем шаре, то оказалась бы неверной
формула для напряжённости поля точечного заряда
(5.2) и, следовательно, в законе Кулона (3.1) сила
взаимодействия между зарядами не была бы обратно
пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Так как заряд можно измерить с гораздо более
высокой точностью, чем силу взаимодействия между
зарядами, а из закона Кулона следует, что поле
внутри тела отсутствует независимо от его формы,
то рассмотренный эксперимент корректнее
доказывает справедливость закона Кулона, чем
ранее описанные опыты. 
Задание. Разработайте и поставьте
доступный вариант рассмотренного эксперимента,
с максимальной убедительностью показывающий,
что внутри заряженного полого проводника
электрическое поле отсутствует.
Вариант выполнения. Чтобы
обнаружить электрическое поле, можно
воспользоваться явлением электростатической
индукции. Внесём в поле два соприкасающихся
проводящих тела на изолированных ручках. В них
произойдёт перераспределение зарядов. Не удаляя
из поля, разъединим эти тела – на них останутся
заряды противоположных знаков. Эти заряды можно
измерить электрометром, находящимся вне
исследуемого поля.
Эксперимент можно поставить так. На
подставке из диэлектрика закрепите полый
металлический шар. Проводником в хорошей
изоляции соедините его с одним из кондукторов
электрофорной машины. К шару приблизьте второй
кондуктор и приведите машину в действие. При этом
возникнут мощные искровые разряды длиной до 10 см.
Аккуратно введите внутрь шара одинаковые
металлические пластинки на ручках из оргстекла.
Приведите пластинки в соприкосновение, затем
разъедините, аккуратно достаньте из полости шара
и по очереди введите в шар электрометра. Вы
обнаружите, что никакого заряда на пластинках
нет! Значит, внутри проводящего шара
электрическое поле отсутствует, несмотря на то,
что шар в целом несёт значительный заряд,
сообщаемый ему работающей электрофорной
машиной. Повторите опыт, прикоснувшись пробным
шариком изнутри к металлу заряженного шара, – вы
вновь не обнаружите никакого заряда. Таким
образом, весь электрический заряд сосредоточен
на поверхности проводящего тела. Объясняется
этот результат тем, что справедлив закон Кулона.
В свою очередь, этот экспериментальный факт с
высокой точностью подтверждает справедливость
закона Кулона.
Вопросы для самоконтроля
1. В чём суть методики введения и
формирования понятия напряжённости
электрического поля?
2. Сравните метод построения силовых
линий посредством диполя с методом визуализации
электростатического поля мелким порошком,
взвешенным в жидком диэлектрике.
3. Изложите методику демонстрации на
уроке принципа суперпозиции электростатических
полей.
4. Каким экспериментом можно
подтвердить справедливость теоремы Гаусса?
5. Как зависят плотность заряда и
напряжённость электрического поля от формы
проводника?
6. Предложите демонстрационный опыт,
прямо показывающий зависимость плотности заряда
от площади проводника.
7. В чём дидактическая ценность
опыта с обнаружением электрического поля вблизи
одной и двух параллельных заряженных проводящих
пластин?
8. Нужно ли в школе рассматривать
метод точного подтверждения закона Кулона?
Литература
Бутиков Е.И., Кондратьев А.С.
Физика: Учеб. пособие: В 3-х кн. Кн. 2.
Электродинамика. Оптика. – М.: Физматлит, 2004.
Демонстрационный эксперимент по
физике в старших классах средней школы: Т. 2.
Электричество. Оптика. Физика атома: Под ред.
А.А.Покровского. – М.: Просвещение, 1972.
Кабардин О.Ф., Орлов В.А., Эвенчик
Э.Е. Физика: Учеб. для 10 кл. шк. и кл. с углубл.
изуч. физики: Под ред. А.А.Пинского. – М.:
Просвещение, 1997.
Учебное оборудование для кабинетов физики
общеобразовательных учреждений: Под ред.
Г.Г.Никифорова. — М.: Дрофа, 2005. (Cм. также «Физика»
(«ПС») № 10/2005; № 4/2007.)
Продолжение см. в № 22/07
Г
рафически
электростатическое поле изображают с
помощьюлиний
напряженности —
линий, касательные к которым в каждой
точке совпадают с направлением вектора
Е
(рис. 119). Линиям напряженности
приписывается направление, совпадающее
с направлением вектора напряженности.
Так как в каждой данной точке пространства
вектор напряженности имеет лишь одно
направление, то линии напряженности
никогда не пересекаются. Для однородного
поля (когда
вектор напряженности в любой точке
постоянен по
в
еличине
и направлению) линии напряженности
параллельны вектору напряженности.
Если поле создается точечным зарядом,
то линии напряженности — радиальные
прямые, выходящие из заряда, если он
положителен (рис. 120, а), и входящие в
него, если заряд отрицателен (рис. 120,
б). Вследствие большой наглядности
графический способ представления
электрического поля широко применяется
в электротехнике.
Чтобы
с помощью линий напряженности можно
было характеризовать не только
направление, но и значение напряженности
электростатического поля, условились
проводить их с определенной густотой
(см. рис. 119): число линий напряженности,
пронизывающих единицу площади поверхности,
перпендикулярную линиям напряженности,
должно быть равно модулю вектора Е.
Тогда число линий напряженности,
пронизывающих элементарную площадку
dS,
нормаль n
которой образует угол
с вектором Е,
равно ЕdScos=
Еп
dS,
где
Еn
— проекция
вектора Е
на нормаль n
к площадке dS
(рис. 121). Величина
dФE=EndS
= EdS
называется
потоком вектора напряженности через
площадку dS.
Здесь dS
== dSn
— вектор, модуль которого равен dS,
а направление совпадает с направлением
нормали n
к площадке.
Выбор
направления вектора n
(а следовательно, и dS)
условен, так как его можно направить
в любую сторону.
Единица потока
вектора напряженности электростатического
поля— 1 В•м..
Для
произвольной замкнутой поверхности
S
поток
вектора Е
через эту поверхность
5.Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля.
Вычисление
напряженности поля системы электрических
зарядов с помощью принципа суперпозиции
электростатических полей можно
значительно упростить, используя
выведенную немецким ученым К. Гауссом
(1777—1855) теорему, определяющую поток
вектора напряженности электрического
поля через произвольную замкнутую
поверхность.
В
соответствии с формулой (79.3) поток
вектора напряженности сквозь сферическую
поверхность радиусаr,
охватывающую
точечный заряд Q,
находящийся в ее центре (рис. 124),
Этот результат
справедлив для замкнутой поверхности
любой формы. Действительно, если
окружить сферу (рис. 124) произвольной
замкнутой поверхностью, то каждая линия
напряженности, пронизывающая сферу,
пройдет и сквозь эту поверхность.
Е
сли
замкнутая поверхность произвольной
формы охватывает заряд (рис. 125), то при
пересечении любой выбранной линии
напряженности с поверхностью она то
входит в нее, то выходит из нее. Нечетное
число пересечений при вычислении
потока в конечном счете сводится к
одному пересечению, так как поток
считается положительным, если линии
напряженности выходят из поверхности,
и отрицательным для линий, входящих
в поверхность.
Если замкнутая поверхность не
охватывает заряда, то поток сквозь нее
равен нулю, так как число линий
напряженности, входящих в поверхность,
равно числу линий напряженности,
выходящих из нее.
Таким
образом, для поверхности любой формы,
если она замкнута и заключает в себя
точечный заряд Q,
поток
вектора Е
будет равен Q/0,
т. е.
Знак
потока совпадает со знаком заряда Q.
Рассмотрим
общий случай произвольной поверхности,
окружающей n
зарядов.
В соответствии с принципом суперпозиции
(80.2) напряженность Е
поля, создаваемого всеми зарядами,
равна сумме напря-женностей Еi,
создаваемых каждым зарядом в
отдельности:
;.
Поэтому
Согласно
(81.1), каждый из интегралов, стоящий под
знаком суммы, равен Qi/0.
Следовательно,
Формула
(81.2) выражает теорему Гаусса
для электростатического поля в вакууме:
поток
вектора напряженности электростатического
поля в вакууме сквозь произвольную
замкнутую поверхность равен
алгебраической сумме заключенных внутри
этой поверхности зарядов, деленной
на 0.
Эта теорема выведена математически
для векторного поля любой природы
русским математиком М. В. Остроградским
(1801 —1862), а затем независимо от него
применительно к электростатическому
полю — К. Гауссом.
В общем случае
электрические заряды могут быть
«размазаны» с некоторой
объемной
плотностью =dQ/dV,
различной
в
разных местах пространства. Тогда
суммарный заряд, заключенный внутри
замкнутой поверхности S,
охватывающей некоторый объем V,
Используя
формулу (81.3), теорему Гаусса (81.2) можно
записать так:
Соседние файлы в предмете Физика
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #