Вертикальные треугольники как найти стороны

Вертикальные углы. Свойства вертикальных углов

Определение 1. Вертикальными углами называются два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

На Рис.1 углы AOB и COD вертикальные. Вертикальные также углы AOD и BOC.

Свойства вертикальных углов

1. Вертикальные углы равны.

2. Две пересекающие прямые образуют две пары вертикальных углов.

Доказательство пункта 1. Поскольку 1, 3 и 2, 3 смежные углы, то имеем

Следовательно . Аналогично доказывается, что .

Задачи и решения

Задание 1. Угол 1 равен 32°. Найти углы 2, 3, 4 (Рис.2).

Решение. Так как углы 1 и 2 вертикальны, то . Углы 1 и 4 смежные. Следовательно . Тогда

Углы 3 и 4 вертикальные. Тогда

Ответ. .

Задание 2. При пересечении двух прямых образовались четыре угла. Сумма двух углов равна 220°. Найти все углы.

Решение. Из образованных четырех углов любые две или смежные, или вертикальные. Поскольку в нашей задаче сумма двух углов равна 220°, то эти углы вертикальные (так как сумма смежных углов равна 180°). Тогда каждый из этих углов равен 220°:2=110°. Смежный по отношению угла 110° , будет угол 180°-110°=70°. Следовательно остальные два угла равны 70°. Отметим, что сумма всех четырех углов равен 360°:

.

Ответ. .

Треугольник. Формулы определения и свойства треугольников.

В данной статье мы расскажем о классификаци и свойствах основной геометрической фигуры — треугольника. А также разберем некоторе примеры решения задач на треугольники.

Содержание:

Определение треугольника

Треугольник — это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами. В геометрических задачах треугольник обычно изображают специальным симовлом — △, после которго пишут названия вершин треугольника напр. △ABC.

Треугольник ABC (△ABC)

• Точки A, B и C — вершины треугольника. Принято писать их большими буквами.
• Отрезки AB, BC и СА — стороны треугольника. Обычно сторонам присваивают свои названия маленькими буквами. Имя выбирают по первой вершине каждой стороны. Напр. у стороны AB первая вершина А поэтому эта сторона называется а. Тоесть AB = a, BC = b, CА = c.
• Стороны треугольника в местах соединения образуют три угла, которым обычно дают названия буквами греческого алфавита α, β, γ. Причем напротив стороны a лежит угол α, b — β, с — γ.

Углы треугольника, также, можно обозначать специальным символом — ∠. После которого пишут вершины треугольника в таком порядке чтобы вершина обозначающегося угла была в серединке. Например:

Классификация треугольников

Все треугольники можно разделить на несколько видов, различающихся между собой величиной углов или длинами сторон. Такая классификация позволяет выделить особенности каждого из них.

1.Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.

2. Равнобедренный – треугольник, у которого длины двух сторон равны. Они называются боковыми сторонами AB и BC. Третья сторона называется основание СА. В данном треугольнике углы при основании равны ∠ α = ∠ β

3.Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.

4.Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°

5.Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.

6. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и BC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (CА).

Свойства треугольника

1.Свойства углов и сторон треугольника.

• Сумма всех углов треугольника равна 180°:

• Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

• В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

2.Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a	=	b	=	c
sin α	sin β	sin γ

3. Теорема косинусов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

4. Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

Медианы треугольника

Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медиан треугольника:

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке O. (Точка пересечения медиан называется центроидом)

2. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

AO	=	BO	=	CO	=	2
OD	OE	OF	1

3. Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие по площади части

4. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

5. Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны:

Вертикальные треугольники в геометрии

Ключевые слова конспекта: углы, биссектриса, виды углов, измерение углов, смежные и вертикальные углы, свойства смежных и вертикальных углов, углы при пересечении двух прямых секущей.

Угол — фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки (вершины).
Биссектриса — луч, который выходит из вершины угла и делит его пополам.

Виды углов. Измерение углов

• Развернутый угол — угoл, стороны которого лежат на одной прямой.
• Прямой угoл — угoл, который равен половине развернутого угла.
• Острый угол — угoл меньше прямого угла.
• Тупой угoл — угoл больше прямого, но меньше развернутого.

Единицы измерения углов:
Градус — величина (градусная мера) угла, равная части развернутого угла.
Минута — часть градуса.
Секунда — часть минуты.

Смежные и вертикальные углы

Смежные углы — два угла, у которых одна сторона общая,а две другие стороны являются дополняющими лучами.
Вертикальные углы — два угла, стороны одного из которых являются дополняющими лучами сторон другого.

Теорема. Сумма смежных углов равна 180°.

Теорема. Вертикальные углы равны.

Свойства смежных и вертикальных углов

Углы при пересечении двух прямых секущей

Вы смотрели конспект по геометрии «Угол. Смежные и вертикальные углы». Использованы цитаты из учебных пособий:

Цитирование указанных пособий произведено в учебных целях (часть 1 статьи 1274 Гражданского кодекса РФ) с указанием авторства, источника заимствования и ссылки на покупку учебного пособия в крупнейшем книжном Интернет-магазине. Выберите дальнейшие действия:

Калькулятор длин сторон треугольника онлайн умеет вычислять длину сторон 14 способами.
Калькулятор может:

1. Найти все стороны треугольника.
2. Найти все углы треугольника.
3. Найти площадь (S) и периметр (P) треугольника.
4. Найти радиус (r) вписанной окружности.
5. Найти радиус (R) описанной окружности.
6. Найти высоту (h) треугольника.

Просто введите любые имеюшиеся данные и, если их достаточно, то калькулятор сам подберет нужные формулы для вычислений и покажет подробный расчет с выводом формул.
 

Сторона треугольника (или длина сторон) может быть найдена различными методами. 
В большинстве случаев достаточно воспользоваться одной из ниже приведенных формул. Однако не редки случаи когда для нахождения искомой стороны понадобиться обратиться к дополнительным материалам или решения в два действия.

Как найти длину стороны треугольника?

Найти длину сторон треугольника очень просто на нашем онлайн калькуляторе. Так же длина может быть найдена самостоятельно по формулам. Выбор нужной формулы зависит от того какие данные известны.

Для прямоугольного треугольника:

1) Найти катет через гипотенузу и другой катет

где a и b — катеты, с — гипотенуза.

2) Найти гипотенузу по двум катетам

где a и b — катеты, с — гипотенуза.

3) Найти катет по гипотенузе и противолежащему углу

где a и b — катеты, с — гипотенуза,α° и β° — углы напротив катетов.

4) Найти гипотенузу через катет и противолежащий угол

где a и b — катеты, с — гипотенуза,α° и β°- углы напротив катетов.

Для равнобедренного треугольника:

1) Найти основание через боковые стороны и угол между ними

где a — искомое основание, b — известная боковая сторона,α° — угол между боковыми сторонами.

2) Найти основание через боковые стороны и угол при основании

где a — искомое основание,b — известная боковая сторона,β° — угол при осноавнии.

3) Найти боковые стороны по углу между ними

где b — искомая боковая сторона, a — основание,α° — угол между боковыми сторонами.

4) Найти боковые стороны по углу при основании

где b — искомая боковая сторона, a — основание,β° — угол при осноавнии.

​​​​​Для равностороннего треугольника:

1) Найти сторону через площадь

где a — искомая сторона, S — площадь треугольника.

2) Найти сторону через высоту

где a — искомая сторона,h — высота треугольника.

3) Найти сторону через радиус вписанной окружности

где a — искомая сторона,r — радиус вписанной окружности.

4) Найти сторону через радиус описанной окружности

где a — искомая сторона,R — радиус описанной окружности.

​​​​​Для произвольного треугольника:

1) Найти сторону через две известные стороны и один угол (теорема косинусов)

где a — искомая сторона, b и с — известные стороны, α° — угол напротив неизвестной стороны.

2) Найти сторону через одну известную сторону и два угла (теорема синусов)

где a — искомая сторона, b — известная сторона, α° и β° известные углы.

Скачать все формулы в формате Word

Рекомендуемые страницы:

lektsia.com

Треугольник как магический символ

Треугольник является одной из первых геометрических фигур, которая стала использоваться в орнаментах древних народов. В Древнем Египте он был прямоугольным и являлся воплощением триады духовной воли, любви и высшего разума человека.

Треугольник — символ триединой природы вселенной: Небо, Земля, Человек; отец, мать, дитя; человек как тело, душа и дух; мистическое число три; тройка, первая из плоских фигур. Отсюда символ поверхности вообще. Поверхность состоит из треугольников (Платон).

Равносторонний треугольник символизирует завершение.

На Древнем Востоке почитали треугольник как символ природы всего сущего. Треугольник с вершиной, соединенной с такой же геометрической фигурой, аптеки использовали в качестве эмблемы временного цикла.

Герменевтической традиции известно множество видов треугольников, имеющих различные толкования.

Янтра Тары

Треугольник, обращенный вершиной вниз, является лунным и имеет символику женского начала, матки, воды, холода, природы, тела, йони, шакти. Символизирует Великую Мать как родительницу. Горизонтальная линия — это земля; ее цвет — белый. В символике горы и пещеры гора — это мужской, обращенный вверх треугольник, а пещера — треугольник женский, обращенный вершиной вниз. Во многих янтрах богинь в середине помещен треугольник вершиной вниз с точкой.

Треугольник, обращенный вершиной вверх, является солнечным и имеет символику жизни, огня, пламени, жара (отсюда горизонтальная линия, символизирующая воздух), мужское начало, лингам, шакта, духовный мир; это также троица любви, истины и мудрости. Означает королевское величие и имеет в качестве символа красный цвет.

Гексаграмма. При его наложении на описанный выше знак женского начала мы получим индуистскую эмблему объединения созидающего и порождающего начал — гексаграмму.

В индийской традиции такой символ толковался также и как знак любви богов ко всему земному. В Европе же данная геометрическая фигура была известна как звезда Давида.

Треугольник, вписанный в окружность, олицетворяет собой мир форм, заключенный в круге вечности. Плутарх, описывая эту геометрическую фигуру, называл пространство, ограниченное сторонами треугольника, равниной истины, на которой расположены образы всего, что было и будет. Треугольники могут выступать и в качестве лунного символа, тогда они располагаются горизонтально и соприкасаются своими вершинами. Общая точка этих треугольников символически обозначает смерть и новолуние.

В буддийской традиции два смыкающихся треугольника олицетворяют чистое пламя и Три Драгоценности Будды.

Троица и треугольник

Начиная с ранних христиан треугольник был символом Святой Троицы. Равносторонний треугольник толковался как равенство и единая божественная сущность Бога Отца, Бога Сына и Духа Святого. Иногда этот символ составляли из трех переплетенных между собой рыб. Символ Троицы по католической традиции составлялся из трех малых треугольников, вписанных в один большой с кругами на вершинах. Три этих круга означают триединство, но каждый круг независим и совершенен сам по себе. Эта схема иллюстрировала принцип триединства и вместе с тем индивидуальности каждого составляющего Святой Троицы.

Печать Соломона

Печать Соломона — другое название звезды Давида, образованной наложением друг на друга двух треугольников, т.е. гексаграммы. По преданию, царь Соломон с помощью этого знака управлял духами, заключенными в медный сосуд. Считается, что печать Соломона является мощным амулетом, способным защитить своего обладателя от влияния злых духов.

Треугольник Кеплера

В начале XVII в. знаменитый астроном Кеплер составил диаграмму соединения планет Сатурна и Юпитера. Так в астрономии называют расположение планет, при котором для земного наблюдателя эклиптические долготы равны нулю, а сами небесные тела находятся близко друг к другу или даже перекрываются. Кеплер представил это явление в виде треугольника, который вращается по зодиакальному кругу, совершая полный оборот за 2400 лет.

Треугольник в античной архитектуре

В античной традиции треугольник, обращенный вершиной вверх, символизировал стремление материи к духу. Поэтому фронтоны древнегреческих храмов в самой глубокой древности делали треугольными и всячески украшали. В отличие от поздних, более северных европейских построек наличие двускатной крыши не было вызвано климатическими условиями. В Древней Греции был теплый климат и снега зимой не было.

Треугольники на сосудах

В эпоху неолита у ранних земледельческих народов треугольники в орнаментах символизировали воздух, землю и огонь. Они — одни из самых древних символов, связанных с сельскохозяйственными работами, природой и ее календарными циклами.

Созвездие Треугольника

Точное происхождение названия этого созвездия неизвестно. Свое название оно получило на Древнем Востоке, его знали и использовали в навигации финикийские мореходы. Для них оно символизировало священный камень пирамидальной формы. Треугольник входил в число 48 классических созвездий античности. Древние греки считали, что это — перенесенная на небо дельта Нила, что указывает на египетские корни названия созвездия. Уже в Новое время на звездном небе были выделены созвездия Южного Треугольника и Наугольника.

Глаз в треугольнике

Символ, графически представляющий собой вписанный в треугольник глаз, называемый «глазом провидения» или «всевидящим оком», появился в Европе в XVII веке. Считается, что он восходит к солярному глазу Гора древних египтян. Этот знак получил широкое распространение в барочной архитектуре, украшая фронтоны роскошных католических костелов. В XIX веке он появился и на православных храмах, например, на фронтоне Казанского собора в Санкт-Петербурге. Христианство рассматривало его как символ Святой Троицы. Одновременно этот символ использовался и масонами, которые трактовали его как символ абсолюта, просвещения и высшего знания. У масонов «глаз провидения» располагается над стулом мастера ложи, чтобы таким образом напоминать о всепроникающей во все тайны мудрости Творца.

Треугольник в круге означает мир форм, заключенный в круге вечности. Область внутри такого треугольника есть общий центр их всех и именуется Равниной Истины, на которой находятся причина, формы и образы всего, что было и что будет; они пребывают там в покое, который не может быть нарушен, и Вечность окружает их; и отсюда время, как струя фонтана, стекает вниз в миры (Плутарх).

Три соединенных треугольника обозначают ненарушимое единство трех лиц Троицы.

Двойной треугольник, шестиконечная звезда, Печать Соломона, Могун Давид, говорит о том, что каждая истинная аналогия должна быть употребима обратно, что вверху, то и внизу. Это союз противоположностей, мужского и женского, положительного и отрицательного, причем верхний треугольник белый, а нижний черный, огонь и вода, эволюция и инволюция, взаимопроникновение, все является образом другого, гермафродит, совершенное равновесие взаимодополняющих сил, андрогинное проявление божества, человек, всматривающийся в свою собственную природу, двойственные силы творения, синтез всех стихий, при обращенном вверх треугольнике как небесном символе, и обращенном вниз — как символе земном, а вместе — символ человека, как объединяющего эти два мира. Как Печать Соломона это изображение Сохраняющего; оно дает духовную власть над материей и является повелителем джиннов.

Два треугольника, лежащие горизонтально и соприкасающиеся вершинам, — это лунный символ, растущая и убывающая Луна, вечное возвращение, смерть и жизнь, умирание и воскрешение. Точка соприкосновения — это новолуние и смерть. У алхимиков два треугольника — сущность и субстанция, forma и materia, дух и душа, сера и ртуть, стабильное и изменчивое, духовная сила и телесное существование.

Треугольники, символизирующие стихии, таковы:

огонь (обращенный вершиной вверх),
воду (обращенный вершиной вниз),
воздух (обращенный усеченной вершиной вверх),
землю (обращенный усеченной вершиной вниз).

У китайцев треугольник с подвешенными мечами символизирует восстановление.

У христиан равносторонний треугольник или треугольник, образованный тремя пересекающимися кругами, символизирует Троицу в единении и равенстве трех составляющих ее лиц. Треугольное сияние — атрибут Бога-Отца.

У египтян треугольник символизирует Триаду. Они сравнивают вертикальную сторону (прямоугольного треугольника) с мужчиной, горизонтальную — с женщиной, а гипотенузу — с их потомком: Озирис как начало, Изида как середина или хранилище и Гор как завершение (Плутарх). Рука Египтян — это союз огня и воды, мужчины и женщины. Фигура из трех двойных треугольников, окруженная концентрическими кругами, символизирует Кхуй, Страну Духов.

У греков дельта символизирует дверь жизни, женское начало, плодородие.

У индийцев обращенные вершинами вверх и вниз треугольники — это шакта и шакти, лингам и йони, Шива и его Шакти.

У пифагорейцев равносторонний треугольник символизирует Афину как богиню мудрости.

Ацтеки использовали изображение треугольника с вершиной наверху, соединенного с перевернутым треугольником, в качестве символа временного цикла, о Треугольник в сочетании с крестом образует алхимический знак Серы. В перевернутом виде он означает завершенное Великое Делание.

Равносторонний треугольник, символизирующий, по древнееврейской традиции, совершенство, у христиан означает Троицу — Отца, Сына и Святого Духа.

У масонов треугольник символизирует Тройственность космоса, а его стороны — Свет, Тьму и Время (основание).

Увиденный во сне треугольник символизирует материнское лоно космоса.

В Древнем Китае треугольник является «символом женского начала», однако не играет значительной роли в умозрительных рассуждениях. В тибетском тантризме комбинация двух равносторонних треугольников в виде гексаграммы представляет собой «проникновение в женственное мужского огня».

Символический знак «Сердце Хрунгнира» из трех переплетенных треугольников. Времена викингов. Остров Готланд .

В иудаизме и христианстве треугольник — знак Бога. Бог христианской Троицы иногда представлен глазом внутри треугольника или фигурой с треугольным нимбом. Алхимики использовали треугольники с вершинами, направленными вверх и вниз, в качестве знаков огня и воды. В более общем смысле линейные треугольники или композиции, имеющие форму треугольника, могут обозначать триады богов или другие тройственные понятия.

Магический треугольник христианских теософов есть знаменитая «абракадабра», которому они приписывали необыкновенные свойства. Употребляясь в качестве магической формулы, это слово обычно вписывалось в или выстраивалась как перевернутый треугольник .

Сань цзяо фу, или «Треугольное Заклинание», представляет собой листок бумаги, на котором написаны заклинания, сложенный в форме треугольника.

Амулеты гностиков были разнообразны по форме: треугольные, прямоугольные, огонь — Теджас — красный — зеленый — треугольник.

Символы союза — все парные оппозиции, совершенный круг, пересекающиеся круги, двойной треугольник, андрогин, деревья с перевившимися ветвями, рог единорога, инь-ян, лингам и йони.

Важную роль в архитектуре играет геометрическая символика космоса: все круглые формы выражают идею неба, квадрат — это земля, треугольник- символизирует взаимодействие между землей и небом.

Готическая архитектура имеет в своей основе треугольник — символ Троицы. Пламенеющая готическая арка — задает тему огня и развивает апокалиптическую тему.

Источник

shuwany.rs

Треугольники

Задача

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K.

Найти площадь параллелограмма, если BC=19,  а расстояние от точки K до стороны AB равно 10.

Дано: ABCD — параллелограмм,

AK, BK — биссектрисы углов BAD и ABC,

AK∩BK=K, KF⊥AB,

KF=10, BC=19

Найти: S_ABCD

Читать далее

Параллелограмм

Задача

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 8.

Найти стороны треугольника ABC.

Дано: ΔABC,

AD — медиана, BE — биссектриса,

AD=BE=8, AD⊥BE

Найти: AB, BC, AC

Читать далее

Решение треугольников

Задача

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно16 и 34, а основание BC равно 2. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB.Найти площадь трапеции.

Дано: ABCD — трапеция, AD || BC, BC=2,

AB=16, CD=34, DF — биссектриса ∠ADC, F — середина AB

Найти: S_ABCD

Решение:

Читать далее

Трапеция

Задача

На стороне BC остроугольного треугольника ABC (AB≠BC) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=49, MD=42, H — точка пересечения высот треугольника ABC.

Найти AH.

Читать далее

Подобие треугольников

Задача

В треугольнике ABC известны длины сторон AB=28, AC=56,  точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найти CD.

Читать далее

Подобие треугольников

Задача

В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 5:4, считая от точки B. Найти радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=12.

Решение:

Пусть биссектриса угла A пересекает высоту BD треугольника ABC в точке F.

По условию, BF:FD=5:4.

Рассмотрим треугольник ABD, ∠ADB=90°.

Читать далее

Элементы треугольника

Задача

Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=5 и MB=10. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найти CD.

Дано: ΔABC вписан в окр.(O;R),

CM — биссектриса ∠ACB, CD — касательная к окр.(O;R),

AM=5, MB=10, CD∩AB=D

Найти: CD

Читать далее

Решение треугольников

www.treugolniki.ru

Треугольник, все про треугольники

Определение треугольника

В любом треугольнике три угла и три стороны.

Против большего угла треугольника лежит большая сторона.

Виды треугольников

Треугольники бывают

Треугольник называется

Основные линии треугольника

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектрисой угла треугольника называется луч, исходящий из вершины треугольника и делящий его пополам.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или ее продолжение).

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника и параллельный третьей стороне.

В любой треугольник можно вписать окружность и около любого треугольника можно описать окружность.

Два треугольника называются равными, если у них равны соответствующие стороны и соответствующие углы.

Признаки равенства треугольников

I признак (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

II признак (по стороне и прилежащим углам). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

III признак (по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Подробнее про признаки равенства треугольников читайте по ссылке.

Признаки подобия треугольников

Треугольники называются подобными, если их стороны пропорциональны.

I признак. Если два угла одного треугольника раны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

II признак. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

III признак. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Подробнее про признаки подобия треугольников читайте по ссылке.

Теоремы треугольников

Для любого треугольника справедливы следующие теоремы.

Подробнее про теорему косинусов читайте по ссылке.

Подробнее про теорему синусов читайте по ссылке.

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

1. Три стороны треугольника.
2. Две стороны треугольника и угол между ними.
3. Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
4. Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем .

Решение:

Из теоремы косинусов имеем:

Откуда

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найти (Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

Используя онлайн калькулятор для arcsin и arccos находим углы A и B:

И, наконец, находим угол C:

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Решение:

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

Далее, из формулы

найдем cosA:

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: и (Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

Вычисления выше легко производить инженерным онлайн калькулятором.

Из формулы (3) найдем cosA:

Используя онлайн калькулятор для arcsin и arccos или инженерный онлайн калькулятор находим угол A:

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Решение:

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Откуда

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: и углы (Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

Ответ: