Видеоурок как найти производную функции

© 2007 — 2023 Сообщество учителей-предметников «Учительский портал»
Свидетельство о регистрации СМИ: Эл № ФС77-64383 выдано 31.12.2015 г. Роскомнадзором.
Территория распространения: Российская Федерация, зарубежные страны.
Учредитель / главный редактор: Никитенко Е.И.

Сайт является информационным посредником и предоставляет возможность пользователям размещать свои материалы на его страницах.
Публикуя материалы на сайте, пользователи берут на себя всю ответственность за содержание этих материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьими лицами.
При этом администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.
Если вы обнаружили, что на сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору через форму обратной связи — материалы будут удалены.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы пользователями сайта и представлены исключительно в ознакомительных целях. Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.

Фотографии предоставлены

Вспомним основные моменты. Пусть  –
произвольная точка, которая лежит в некоторой окрестности фиксированной точки . Разность  называется приращением
независимой переменной (или приращением аргумента) в точке  и
обозначается .

Таким образом, . Тогда .

Говорят, что первоначальное значение аргумента  получило
приращение .

При этом, если мы изменяем аргумент, то и значение функции  тоже будет
изменяться на величину:

.

Приращением функции  в точке ,
соответствующим приращению , называется
разность  и
обозначается дельта .

Напомним, что производной функции  в точке  называется предел отношения приращения
функции в этой точке  к приращению аргумента  при .

Если функция  имеет
производную в точке , то данная
функция называется дифференцируемой в этой точке.

Если функция  имеет
производную в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что эта функция
дифференцируема на этом промежутке.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Геометрический смысл производной заключается
в том, что значение производной функции  в точке  равно
угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с координатами , то есть , где  – угол между
касательной и осью .

Уравнение касательной к графику
функции ,
дифференцируемой в точке , имеет вид:

.

Физический смысл производной. Если
точка движется вдоль оси  и её
координата изменяется по закону , то
мгновенная скорость точки , а ускорение
.

Напомним правила нахождения производной. Если функции  и  имеют
производные, то:

;

;

;

, .

Также вспомним, как находить производную сложной функции. Если
функция  имеет
производную в точке , а функция  имеет
производную в точке , то сложная
функция  также имеет
производную в точке , причём

.

На следующем слайде приведены производные основных элементарных
функций.

Мы
с вами повторили основные моменты, а теперь давайте перейдём к практической
части занятия.

Задание
первое. Составьте уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой .

Решение.

Задание
второе. Чему равен угловой коэффициент касательной к графику
 в точке с абсциссой ?

Решение.

Задание
третье. Точка движется вдоль оси ,
и её координата изменяется по закону . Найдите скорость точки
в момент времени .

Решение.

Задание
четвёртое. Найдите производные функций:

а)
;

б)
;

в)
;

г)
.

Решение.

Задание
пятое. Найдите производные функций:

а)
;

б)
;

в)
;

г)
.

Решение.