Видеоурок как найти точки пересечения

Математика
– очень интересный и увлекательный предмет. Её иногда называют гимнастикой для
ума. Решение даже простых задач и примеров тренирует наш ум, как физкультура
тренирует наше тело.

Мы
предлагаем вам немного поиграть и выполнить простые задания по математике.

В
первую очередь, вспомним геометрические фигуры. Поможет нам в этом
кроссворд.

Но
сначала разберём правила разгадывания кроссворда. Каждая буква слова
записывается отдельно от других в своей клеточке.

Все
слова кроссворда записываются по горизонтали и по вертикали. По горизонтали –
значит нужно писать слово слева направо, а по вертикали слово записывается
сверху вниз.

Начнём!

Номер
1 по горизонтали.

По
фигуре пролегла

Очень
тонкая игла:

Не
черта и не прямая,

Что
ж за линия такая?

В
математике живуч

Этот
очень ровный…

Правильный
ответ – луч.

Номер
3 по горизонтали.

Если
взял бы я окружность,

С
двух сторон немного сжал,

Отвечайте
дети дружно –

Получился
бы …

Правильный
ответ – овал.

Номер
5 по горизонтали.

Циркуль,
наш надёжный друг,

Вновь
в тетради чертит …

Правильный
ответ – круг.

Номер
6 по горизонтали.

Три
вершины тут видны,

Три
угла, три стороны, —

Ну,
пожалуй, и довольно! —

Что
ты видишь? — …

Правильный
ответ – треугольник.

Номер
8 по горизонтали.

Вновь
берёмся мы за дело,

Изучаем
снова тело:

Может
мячиком он стать

И
немного полетать.

Очень
круглый, не овал.

Догадались?
Это…

Правильный
ответ – шар.

А
мы переходим к вопросам по вертикали. Номер 2.

У
круга есть одна подруга,

Знакома
всем её наружность!

Она
идет по краю круга

И
называется…

Правильный
ответ – окружность.

Вопрос
номер 4 по вертикали.

Хоть
куда её веди,

Это
линия такая,

Без
конца и без начала,

Называется…

Правильный
ответ – прямая.

Вопрос
номер 7 по вертикали.

Растянули
мы квадрат

И
представили на взгляд,

На
кого он стал похожим

Или
с чем-то очень схожим?

Не
кирпич, не треугольник –

Стал
квадрат…

Правильный
ответ – прямоугольник.

И
последний вопрос – номер 9 по вертикали.

Он
давно знакомый мой,

Каждый
угол в нём прямой,

Все
четыре стороны

Одинаковой
длины.

Вам
его представить рад.

А
зовут его…

Правильный
ответ – квадрат.

Отлично!
С кроссвордом вы справились. Перейдём к следующему заданию. Перед вами 10
воздушных шариков, но есть небольшая проблема – они потеряли свой цвет.
Чтобы узнать, какого цвета шарики, необходимо решить примеры, которые в них
записаны. Каждому цвету соответствует цифра, которую вы можете получить в
ответе. Готовы? Начнём!

Первый
шарик и первый пример. 25 минус 16.

Правильный
ответ – 9. И это зелёный цвет.

Переходим
к следующему примеру и шарику. Ноль умножить на 35.

Правильный
ответ – 0. Это красный цвет.

Решим
ещё один пример, чтобы раскрасить шарик. 16 разделить на 4.

Правильный
ответ – 4. Это синий цвет.

Следующий
шарик и следующий пример. 3 плюс 5.

Правильный
ответ – 8. Раскрасим шарик жёлтым цветом.

Раскрасим
ещё один шарик. 18 минус 12

Правильный
ответ – 6. И это салатовый цвет

Переходим
к следующему примеру и шарику. 80 разделить на 40

Правильный
ответ – 2. Раскрашиваем шарик фиолетовым цветом.

Решим
ещё один пример, чтобы раскрасить шарик. 1 плюс 6

Правильный
ответ – 7, которому соответствует коричневый цвет

Следующий
шарик и следующий пример. 100 минус 99

Правильный
ответ – 1. Это оранжевый цвет.

Раскрасим
ещё один шарик. Для этого решим пример. 21 разделить на 7

Правильный
ответ – 3. Это голубой цвет.

Осталось
раскрасить последний шарик. Решим пример. 38 минус 33

Правильный
ответ – 5. Раскрашиваем шарик розовым цветом.

Прекрасно!
Все шарики раскрашены. Нам осталось решить несколько задач. Будьте
внимательны, они мог быть не такими простыми, как покажутся на первый взгляд.

В
магазине стоит очередь. Один и тот же человек оказался пятым с конца и третьим
с начала. Сколько всего человек в очереди?

Верный
ответ – в очереди 7 человек.

В
коробке сидело восемь котят. Сколько коробок нужно ещё взять, чтобы рассадить
их по два в каждую коробку?

Верный
ответ – 3 коробки. У нас уже есть одна коробка, в которой
сидят все котята. В ней мы оставим двоих. Остальных котят рассадим в три
коробки по два котёнка.

У
Кости было 4 апельсина. Он дал четырём друзьям по одному апельсину, а они ему
отдали по половинке. У кого больше апельсинов?

Верный
ответ – у Кости. Давайте проверим. У четырёх друзей есть по
апельсину. Они половину своего апельсина отдали Косте. Значит у каждого из
друзей осталось пол-апельсина. А у Кости четыре половинки.

Яйцо
варится вкрутую четыре минуты. Если бросить пять яиц в кипящую воду в 11 часов,
когда можно выключить плиту?

Верный
ответ – в 11 часов 4 минуты. Так как мы варим яйца вместе,
а не по отдельности, то и сварятся они одновременно, спустя четыре минуты.

Торт
разрезали на четыре одинаковые части, а потом каждую часть разрезали на две
одинаковые части. На сколько человек хватит торта, если каждому положить на
блюдце по одному кусочку?

Верный
ответ – на 8 человек. Давайте проверим. Делим торт на 4
части, а теперь каждую разрезаем пополам. Пересчитаем кусочки – их восемь!

Утром
температура воздуха была минус 9 градусов по Цельсию. Ближе к полудню потеплело
на семь градусов. Стала ли температура воздуха выше нуля?

Верный
ответ – нет. Посмотрим по градуснику. Если к минус девяти
прибавить 7, получится минус два. Температура так и не стала выше нуля.

У
Юли дома живут несколько собак. После прогулки в плохую погоду девочка вымыла
12 лап. Сколько собак у Юли?

Верный
ответ – три собаки. Давайте посчитаем. У каждой собаки 4
лапы. Делим 12 на 4 и получаем ответ 3.

Осталась
последняя загадка.

Аня
и Миша получили по пять пирожных. Аня съела три штуки, а Миша четыре. У кого
пирожных осталось больше?

Верный
ответ – у Ани. Проверим. У Ани было пять пирожных, она
съела три. Значит, у Ани осталось 2 пирожных.

Миша
съел 4 пирожных из пяти. Выходит, что у него осталось одно пирожное.

Молодцы.
Надеемся, что вы смогли решить все задачи правильно.

Учите
математику, решайте примеры и задачи. Не ленитесь, и тогда ваш ум будет
постоянно тренироваться. А это поможет в освоении других предметов. Успехов!

Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут

Координаты точки пересечения графиков функций

Как найти?

1. Чтобы найти координаты точки пересечения графиков функций нужно приравнять обе функции друг к другу, перенести в левую часть все члена, содержащие $ x $, а в правую остальные и найти корни, полученного уравнения.
2. Второй способ заключается в том, что нужно составить систему уравнений и решить её путём подстановки одной функции в другую
3. Третий способ подразумевает графическое построение функций и визуальное определение точки пересечения.

Случай двух линейных функций

Рассмотрим две линейные функции $ f(x) = k_1 x+m_1 $ и $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Эти функции называются прямыми. Построить их достаточно легко, нужно взять любые два значения $ x_1 $ и $ x_2 $ и найти $ f(x_1) $ и $ (x_2) $. Затем повторить тоже самое и с функцией $ g(x) $. Далее визуально найти координату точки пересечения графиков функций.

Следует знать, что линейные функции имеют только одну точку пересечения и только тогда, когда $ k_1 neq k_2 $. Иначе, в случае $ k_1=k_2 $ функции параллельны друг другу, так как $ k $ — это коэффициент угла наклона. Если $ k_1 neq k_2 $, но $ m_1=m_2 $, тогда точкой пересечения будет $ M(0;m) $. Это правило желательно запомнить для ускоренного решения задач.

Пример 1

Пусть даны $ f(x) = 2x-5 $ и $ g(x)=x+3 $. Найти координаты точки пересечения графиков функций.

Решение

Как это сделать? Так как представлены две линейные функции, то первым делом смотрим на коэффициент угла наклона обеих функций $ k_1 = 2 $ и $ k_2 = 1 $. Замечаем, что $ k_1 neq k_2 $, поэтому существует одна точка пересечения. Найдём её с помощью уравнения $ f(x)=g(x) $: $$ 2x-5 = x+3 $$ Переносим слагаемые с $ x $ в левую часть, а остальные в правую: $$ 2x — x = 3+5 $$ $$ x = 8 $$ Получили $ x=8 $ абциссу точки пересечения графиков, а теперь найдём ординату. Для этого подставим $ x = 8 $ в любое из уравнений хоть в $ f(x) $, либо в $ g(x) $: $$ f(8) = 2cdot 8 — 5 = 16 — 5 = 11 $$ Итак, $ M (8;11) $ — является точкой пересечения графиков двух линейных функций. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ M (8;11) $$

Пример 2

Дано $ f(x)=2x-1 $ и $ g(x) = 2x-4 $. Найти точки пересечения графиков функций.

Решение

Как найти? Опять же обращаем внимание на то, что угловые коэффициенты равны $ k_1 = k_2 = 2 $. Это означает, что линейные функции параллельны между собой, поэтому у них нет точек пересечения!

Ответы

Графики функций параллельны, нет точек пересечения.

 Случай двух нелинейных функций 

Пример 3

Найти координаты точки пересечения графиков функций: $ f(x)=x^2-2x+1 $ и $ g(x)=x^2+1 $

Решение

Как быть с двумя нелинейными функциями? Алгоритм простой: приравниваем уравнения друг к другу и находим корни: $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ Разносим по разным сторонам уравнения члены с $ x $ и без него: $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ $$ -2x=0 $$ $$ x=0 $$ Найдена абцисса искомой точки, но её недостаточно. Ещё нехватает ординаты $ y $. Подставляем $ x = 0 $ в любое из двух уравнений условия задачи. Например: $$ f(0)=0^2-2cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ — точка пересечения графиков функций

Ответ

$$ M (0;1) $$

В данной публикации мы рассмотрим, что такое точка пересечения двух прямых, и как найти ее координаты разными способами. Также разберем пример решения задачи по этой теме.

• Нахождение координат точки пересечения

• Пример задачи

Нахождение координат точки пересечения

Пересекающимися называются прямые, которые имеют одну общую точку.

M – точка пересечения прямых. Она принадлежит им обоим, значит ее координаты одновременно должны удовлетворять обоим их уравнениях.

Для нахождения координат этой точки на плоскости можно использовать два способа:

• графический – чертим графики прямых на координатой плоскости и находим их точку пересечения (не всегда применимо);
• аналитический – более универсальный метод. Мы объединяем уравнения прямых в систему. Затем решаем ее и получаем требуемые координаты. От количества решений зависит то, каким образом ведут себя прямые по отношению друг к другу:
  • одно решение – пересекаются;
  • множество решений – совпадают;
  • нет решений – параллельны, т.е. не пересекаются.

Пример задачи

Найдем координаты точки пересечения прямых y = x + 6 и y = 2x – 8.

Решение

Составим систему уравнений и решим ее:

В первом уравнении выразим x через y:
x = y – 6

Теперь подставим полученное выражение во второе уравнение вместо x:
y = 2 (y – 6) – 8
y = 2y – 12 – 8
y – 2y = -12 – 8
-y = -20
y = 20

Значит, x = 20 – 6 = 14

Таким образом, общая точка пересечения заданных прямых имеет координаты (14, 20).