Вопрос как найти площадь треугольника - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Определение треугольника

Треугольник — это геометрическая фигура, которая образуется в результате пересечения трех отрезков, концы которых не лежат на одной прямой. У любого треугольника есть три стороны, три вершины и три угла.

Онлайн-калькулятор площади треугольника

Треугольники бывают различных видов. Например, существует равносторонний треугольник (тот, у которого все стороны равны), равнобедренный (в нем равны две стороны) и прямоугольный (в котором один из углов прямой, т. е. равен 90 градусам).

Площадь треугольника можно найти различными способами в зависимости от того, какие элементы фигуры известны по условию задачи, будь то углы, длины, либо же вообще радиусы окружностей, связанных с треугольником. Рассмотрим каждый способ отдельно с примерами.

Формула площади треугольника по основанию и высоте

S=12⋅a⋅hS= frac{1}{2}cdot acdot h,

aa — основание треугольника;
hh — высота треугольника, проведенная к данному основанию a.

Пример

Найти площадь треугольника, если известна длина его основания, равная 10 (см.) и высота, проведенная к этому основанию, равная 5 (см.).

Решение

a=10a=10
h=5h=5

Подставляем в формулу для площади и получаем:
S=12⋅10⋅5=25S=frac{1}{2}cdot10cdot 5=25 (см. кв.)

Ответ: 25 (см. кв.)

Формула площади треугольника по длинам всех сторон

S=p⋅(p−a)⋅(p−b)⋅(p−c)S= sqrt{pcdot(p-a)cdot (p-b)cdot (p-c)},

a,b,ca, b, c — длины сторон треугольника;
pp — половина суммы всех сторон треугольника (то есть, половина периметра треугольника):

p=12(a+b+c)p=frac{1}{2}(a+b+c)

Эта формула называется формулой Герона.

Пример

Найти площадь треугольника, если известны длины трех его сторон, равные 3 (см.), 4 (см.), 5 (см.).

Решение

a=3a=3
b=4b=4
c=5c=5

Найдем половину периметра pp:

p=12(3+4+5)=12⋅12=6p=frac{1}{2}(3+4+5)=frac{1}{2}cdot 12=6

Тогда, по формуле Герона, площадь треугольника:

S=6⋅(6−3)⋅(6−4)⋅(6−5)=36=6S=sqrt{6cdot(6-3)cdot(6-4)cdot(6-5)}=sqrt{36}=6 (см. кв.)

Ответ: 6 (см. кв.)

Формула площади треугольника по одной стороне и двум углам

S=a22⋅sin⁡βsin⁡γsin⁡(β+γ)S=frac{a^2}{2}cdot frac{sin{beta}sin{gamma}}{sin(beta+gamma)},

aa — длина стороны треугольника;
β,γbeta, gamma — углы, прилежащие к стороне aa.

Пример

Дано сторону треугольника, равную 10 (см.) и два прилежащих к ней угла по 30 градусов. Найти площадь треугольника.

Решение

a=10a=10
β=30∘beta=30^{circ}
γ=30∘gamma=30^{circ}

По формуле:

S=1022⋅sin⁡30∘sin⁡30∘sin⁡(30∘+30∘)=50⋅123≈14.4S=frac{10^2}{2}cdot frac{sin{30^{circ}}sin{30^{circ}}}{sin(30^{circ}+30^{circ})}=50cdotfrac{1}{2sqrt{3}}approx14.4 (см. кв.)

Ответ: 14.4 (см. кв.)

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

S=a⋅b⋅c4RS=frac{acdot bcdot c}{4R},

a,b,ca, b, c — стороны треугольника;
RR — радиус описанной окружности вокруг треугольника.

Пример

Числа возьмем из второй нашей задачи и добавим к ним радиус RR окружности. Пусть он будет равен 10 (см.).

Решение

a=3a=3
b=4b=4
c=5c=5
R=10R=10

S=3⋅4⋅54⋅10=6040=1.5S=frac{3cdot 4cdot 5}{4cdot 10}=frac{60}{40}=1.5 (см. кв.)

Ответ: 1.5 (см.кв.)

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

S=p⋅rS=pcdot r,

pp — половина периметра треугольника:

p=a+b+c2p=frac{a+b+c}{2},

a,b,ca, b, c — стороны треугольника;
rr — радиус вписанной в треугольник окружности.

Пример

Пусть радиус вписанной окружности равен 2 (см.). Длины сторон возьмем из предыдущей задачи.

Решение

a=3a=3
b=4b=4
c=5c=5
r=2r=2

p=3+4+52=6p=frac{3+4+5}{2}=6

S=6⋅2=12S=6cdot 2=12 (см. кв.)

Ответ: 12 (см. кв.)

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

S=12⋅b⋅c⋅sin⁡(α)S=frac{1}{2}cdot bcdot ccdotsin(alpha),

b,cb, c — стороны треугольника;

αalpha — угол между сторонами bb и cc.

Пример

Стороны треугольника равны 5 (см.) и 6 (см.), угол между ними равен 30 градусов. Найти площадь треугольника.

Решение

b=5b=5
c=6c=6
α=30∘alpha=30^{circ}

S=12⋅5⋅6⋅sin⁡(30∘)=7.5S=frac{1}{2}cdot 5cdot 6cdotsin(30^{circ})=7.5 (см. кв.)

Ответ: 7.5 (см. кв.)

Контрольная по геометрии недорого на сервисе Студворк от профильных экспертов!

Тест на тему “Плошадь треугольника”

Источник

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона
Через основание и высоту
Через две стороны и угол
Через сторону и два прилежащих угла
Площадь прямоугольного треугольника
Площадь равнобедренного треугольника через стороны
Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол
Площадь равностороннего треугольника через стороны
Площадь равностороннего треугольника через высоту
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

— полупериметр треугольника; a,b,c — стороны треугольника.

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

a — основание треугольника; h — высота треугольника.

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

a,b — стороны треугольника; α — угол между сторонами.

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:
<

a— сторона треугольника; α и β — прилежащие углы.

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

a, b — катеты треугольника.

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

a, b — стороны треугольника.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

a — основание равнобедренного треугольника; α — угол между сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник — треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

a — сторона равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

h — высота равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

r — радиус вписанной окружности равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

r — радиус описанной окружности равностороннего треугольника.

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

a, b, c — стороны треугольника; r — радиус описанной окружности треугольника.

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

p — полупериметр треугольника;a, b, c — стороны треугольника; r — радиус вписанной окружности треугольника.

Источник

Как найти площадь любого треугольника

Вспоминаем геометрию: формулы для произвольных, прямоугольных, равнобедренных и равносторонних фигур.

Как найти площадь любого треугольника

Посчитать площадь треугольника можно разными способами. Выбирайте формулу в зависимости от известных вам величин.

Зная сторону и высоту

Умножьте сторону треугольника на высоту, проведённую к этой стороне.
Поделите результат на два.

S — искомая площадь треугольника.
a — сторона треугольника.
h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на сторону или её продолжение из противоположной вершины.

Зная две стороны и угол между ними

Посчитайте произведение двух известных сторон треугольника.
Найдите синус угла между выбранными сторонами.
Перемножьте полученные числа.
Поделите результат на два.

S — искомая площадь треугольника.
a и b — стороны треугольника.
α — угол между сторонами a и b.

Зная три стороны (формула Герона)

Посчитайте разности полупериметра треугольника и каждой из его сторон.
Найдите произведение полученных чисел.
Умножьте результат на полупериметр.
Найдите корень из полученного числа.

S — искомая площадь треугольника.
a, b, c — стороны треугольника.
p — полупериметр (равен половине от суммы всех сторон треугольника).

Зная три стороны и радиус описанной окружности

Найдите произведение всех сторон треугольника.
Поделите результат на четыре радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника.

S — искомая площадь треугольника.
R — радиус описанной окружности.
a, b, c — стороны треугольника.

Зная радиус вписанной окружности и полупериметр

Умножьте радиус окружности, вписанной в треугольник, на полупериметр.

S — искомая площадь треугольника.
r — радиус вписанной окружности.
p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).

Как найти площадь прямоугольного треугольника

Посчитайте произведение катетов треугольника.
Поделите результат на два.

S — искомая площадь треугольника.
a, b — катеты треугольника, то есть стороны, которые пересекаются под прямым углом.

Как найти площадь равнобедренного треугольника

Умножьте основание на высоту треугольника.
Поделите результат на два.

S — искомая площадь треугольника.
a — основание треугольника. Это та сторона, которая не равняется двум другим. Напомним, в равнобедренном треугольнике две из трёх сторон имеют одинаковую длину.
h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на основание из противоположной вершины.

Как найти площадь равностороннего треугольника

Умножьте квадрат стороны треугольника на корень из трёх.
Поделите результат на четыре.

S — искомая площадь треугольника.
a — сторона треугольника. Напомним, в равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину.

Читайте также 🧠👨🏻‍🎓✍🏻

7 причин полюбить математику
ТЕСТ: Помните ли вы геометрию?
10 хитрых головоломок со спичками для тренировки воображения
Интересные математические факты для тех, кто хочет больше узнать о мире вокруг
ТЕСТ: Сможете ли вы решить простые математические примеры?

Источник

Download Article

The most common way to find the area of a triangle is to take half of the base times the height. Numerous other formulas exist, however, for finding the area of a triangle, depending on what information you know. Using information about the sides and angles of a triangle, it is possible to calculate the area without knowing the height.

1
Find the base and height of the triangle. The base is one side of the triangle. The height is the measure of the tallest point on a triangle. It is found by drawing a perpendicular line from the base to the opposite vertex. This information should be given to you, or you should be able to measure the lengths.
- For example, you might have a triangle with a base measuring 5 cm long, and a height measuring 3 cm long.
2

Set up the formula for the area of a triangle. The formula is ${text{Area}}={frac {1}{2}}(bh)$ , where is the length of the triangle’s base, and is the height of the triangle.^[1]

Advertisement
3

Plug the base and height into the formula. Multiply the two values together, then multiply their product by ${frac {1}{2}}$ . This will give you the area of the triangle in square units.
4

Find the area of a right triangle. Since two sides of a right triangle are perpendicular, one of the perpendicular sides will be the height of the triangle. The other side will be the base. So, even if the height and/or base is unstated, you are given them if you know the side lengths. Thus you can use the ${text{Area}}={frac {1}{2}}(bh)$ formula to find the area.

1

Calculate the semiperimeter of the triangle. The semi-perimeter of a figure is equal to half its perimeter. To find the semiperimeter, first calculate the perimeter of a triangle by adding up the length of its three sides. Then, multiply by ${frac {1}{2}}$ .^[2]
2

Set up Heron’s formula. The formula is , where is the semiperimeter of the triangle, and , , and are the side lengths of the triangle.^[3]
3

Plug the semiperimeter and side lengths into the formula. Make sure you substitute the semiperimeter for each instance of in the formula.
4

Calculate the values in parentheses. Subtract the length of each side from the semiperimeter. Then, multiply these three values together.
5

Multiply the two values under the radical sign. Then, find their square root. This will give you the area of the triangle in square units.

1
Find the length of one side of the triangle. An equilateral triangle has three equal side lengths and three equal angle measurements, so if you know the length of one side, you know the length of all three sides.^[4]
- For example, you might have a triangle with three sides that are 6 cm long.
2

Set up the formula for the area of an equilateral triangle. The formula is ${text{Area}}=(s^{{2}}){frac {{sqrt {3}}}{4}}$ , where equals the length of one side of the equilateral triangle.^[5]
3

Plug the side length into the formula. Make sure you substitute for the variable , and then square the value.
4

Multiply the square by . It’s best to use the square root function on your calculator for a more precise answer. Otherwise, you can use 1.732 for the rounded value of .
5

Divide the product by 4. This will give you the area of the triangle in square units.

1
Find the length of two adjacent sides and the included angle. Adjacent sides are two sides of a triangle that meet at a vertex.^[6] The included angle is the angle between these two sides.
- For example, you might have a triangle with two adjacent sides measuring 150 cm and 231 cm in length. The angle between them is 123 degrees.
2

Set up the trigonometry formula for the area of a triangle. The formula is ${text{Area}}={frac {bc}{2}}sin A$ , where and are the adjacent sides of the triangle, and is the angle between them.^[7]
3

Plug the side lengths into the formula. Make sure you substitute for the variables and . Multiply their values, then divide by 2.
4

Plug the sine of the angle into the formula. You can find the sine using a scientific calculator by typing in the angle measurement then hitting the “SIN” button.
5

Multiply the two values. This will give you the area of the triangle in square units.

Practice Problems

Add New Question

Question

How do I find the length and width of a triangle before calculating the area?

It should be included in the problem. If it is a right triangle, use the Pythagorean Theorem (A squared + B squared = C squared) to find the missing side.
Question

How can I calculate the area of an equilateral triangle?

If you know the base and height, you can use the standard formula A = 1/2bh. If you know the three side lengths, you can use the method for equilateral triangles described in this article.
Question

How can I find the area of an isosceles right triangle?

The legs must be the sides that are equal, so you just square the length of one of the legs and divide by 2. If you only have the hypotenuse: since isosceles right triangles come in the ratio 1-1-(square root of 2), you just divide the hypotenuse by sqrt(2), square what you get, and divide by 2.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Video

If you’re not exactly sure why the base-height formula works this way, here’s a quick explanation. If you make a second, identical triangle and fit the two copies together, it will either form a rectangle (two right triangles) or a parallelogram (two non-right triangles). To find the area of a rectangle or parallelogram, simply multiply base by height. Since a triangle is half of a rectangle or parallelogram, you must therefore solve for half of base times height.

About This Article

Article SummaryX

To calculate the area of a triangle, start by measuring 1 side of the triangle to get the triangle’s base. Then, measure the height of the triangle by measuring from the center of the base to the point directly across from it. Once you have the triangle’s height and base, plug them into the formula: area = 1/2(bh), where «b» is the base and «h» is the height. To learn how to calculate the area of a triangle using the lengths of each side, read the article!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 3,101,527 times.

Did this article help you?

Источник

В этой статье собраны наиболее популярные формулы для нахождения площади треугольника.

Как найти площадь треугольника по высоте?

Если известно основание и высота, проведенная к основанию треугольника, можно вычислить площадь треугольника.

(S=frac{1}{2}a*h)

Калькулятор площади треугольника по высоте и основанию

Основание треугольника:

Высота треугольника:

Как найти площадь треугольника: формула Герона

Формула площади треугольника Герона помогает вычислить ее по трем сторонам фигуры:

Треугольник

(S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)})

где (a,b,c) – стороны треугольника, (p=frac{a+b+c}{2}) – его полупериметр.

Калькулятор площади треугольника по трем сторонам

Первая сторона треугольника:

Вторая сторона треугольника:

Третья сторона треугольника:

Формула нахождения площади треугольника по окружности

Как вычислить площадь треугольника, если известна окружность и три его стороны?

Как узнать площадь треугольника по окружности

(S=frac{a*b*c}{4R})

Калькулятор площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

Первая сторона треугольника:

Вторая сторона треугольника:

Третья сторона треугольника:

Радиус описанной окружности R:

Как найти площадь прямоугольного треугольника

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, необходимо знать длины двух катетов. После этого можно воспользоваться формулой:

S = (a * b) / 2

, где a и b — длины катетов. Просто перемножьте значения длин катетов и разделите результат на два, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника.

Как узнать площадь треугольника по радиусу и полупериметру

Можно найти площадь треугольника, когда мы знаем полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника: формулы по вписанной окружности

(S=pr)

где r — радиус вписанной окружности, (p=frac{a+b+c}{2})– его полупериметр.

Калькулятор площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

Первая сторона треугольника:

Вторая сторона треугольника:

Третья сторона треугольника:

Радиус вписанной окружности R:

Как найти площадь треугольника по стороне и тангенсу: формула

Формула нахождения площади по стороне и тангенсу углов треугольника:

S треугольника

(S=frac{c^2}{2(ctgA+ctgB)})

Основные формулы площади треугольника для учащихся 5-6 классов

Для ученика 5-6 класса обычно достаточно знать две формулы для вычисления площади треугольника:

Формула площади произвольного треугольника по основанию и высоте:

S = (a * h) / 2

где S — площадь треугольника, a — длина основания треугольника, h — высота треугольника, опущенная на это основание.
Формула Герона:

S = sqrt(p * (p — a) * (p — b) * (p — c))

где S — площадь треугольника, a, b, c — длины сторон треугольника, p — полупериметр треугольника, равный половине суммы длин сторон:

p = (a + b + c) / 2

Здесь sqrt означает извлечение квадратного корня. Обе формулы могут быть использованы для вычисления площади треугольника в зависимости от имеющихся данных.

Как найти площадь равнобедренного и равностороннего треугольника

Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника, необходимо знать длину боковой стороны и высоту, проведенную к основанию. После этого можно воспользоваться формулой:

S = (a * h) / 2

, где a — длина основания, а h — высота, опущенная на основание.

Чтобы найти площадь равностороннего треугольника, необходимо знать длину любой стороны. После этого можно воспользоваться формулой:

S = (a^2 * sqrt(3)) / 4

, где a — длина любой стороны. Также можно использовать формулу через высоту:

S = (a * h) / 2

, где h — высота, опущенная из вершины на основание, а a — длина любой стороны.

Все формулы площади треугольника

Не знаете, как посчитать площадь треугольника? Собрали для вас все возможные формулы. как находить площадь треугольника:

Формула площади треугольника по основанию и высоте:

S = (a * h) / 2

где S — площадь треугольника, a — длина основания треугольника, h — высота треугольника, опущенная на это основание.
Формула Герона:

S = sqrt(p * (p — a) * (p — b) * (p — c))

где S — площадь треугольника, a, b, c — длины сторон треугольника, p — полупериметр треугольника, равный половине суммы длин сторон:

p = (a + b + c) / 2
Формула площади треугольника через две стороны и угол между ними:

S = (a * b * sin(C)) / 2

где S — площадь треугольника, a и b — длины двух сторон треугольника, C — угол между этими сторонами (в радианах), sin — функция синуса.
Формула площади треугольника через радиус вписанной окружности:

S = (a * b * c) / (4 * R)

где S — площадь треугольника, a, b, c — длины сторон треугольника, R — радиус вписанной в треугольник окружности.
Формула площади треугольника через радиус описанной окружности:

S = (a * b * c) / (4 * R)

где S — площадь треугольника, a, b, c — длины сторон треугольника, R — радиус описанной вокруг треугольника окружности.

Часто задаваемые вопросы

✅ Какие есть формулы площади треугольника?

↪ Формула площади треугольника по основанию и высоте: S = (a * h) / 2
Формула Герона: S = sqrt(p * (p — a) * (p — b) * (p — c)), где p = (a + b + c) / 2
Формула площади треугольника через две стороны и угол между ними: S = (a * b * sin(C)) / 2
Формула площади треугольника через радиус вписанной окружности: S = (a * b * c) / (4 * R)
Формула площади треугольника через радиус описанной окружности: S = (a * b * c) / (4 * R)

✅ Как найти площадь треугольника формуле Герона?

↪ Формула площади треугольника Герона помогает вычислить ее по трем сторонам фигуры.

Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе «Альфа». Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Источник