Мы уже говорили об основах классической механики. Настала пора поговорить о них подробнее и затронуть в обсуждении чуть больше, чем просто основу. В этой статье мы подробно разберем основные законы классической механики. Как вы уже догадались, речь пойдет о законах Ньютона.
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Основные законы классической механики Исаак Ньютон (1642-1727) собрал и опубликовал в 1687 году. Три знаменитых закона были включены в труд, который назывался «Математические начала натуральной философии».
Был долго этот мир глубокой тьмой окутан
Да будет свет, и тут явился Ньютон.
(Эпиграмма 18-го века)
Но сатана недолго ждал реванша —
Пришел Эйнштейн, и стало все как раньше.
(Эпиграмма 20-го века)
Что стало, когда пришел Эйнштейн, читайте в отдельном материале про релятивистскую динамику. А мы пока приведем формулировки и примеры решения задач на каждый закон Ньютона.
Первый закон Ньютона
Первый закон Ньютона гласит:
Существуют такие системы отсчета, называемые инерциальными, в которых тела движутся равномерно и прямолинейно, если на них не действуют никакие силы или действие других сил скомпенсировано.
Проще говоря, суть первого закона Ньютона можно сформулировать так: если мы на абсолютно ровной дороге толкнем тележку и представим, что можно пренебречь силами трения колес и сопротивления воздуха, то она будет катиться с одинаковой скоростью бесконечно долго.
Инерция – это способность тела сохранять скорость как по направлению, так и по величине, при отсутствии воздействий на тело. Первый закон Ньютона еще называют законом инерции.
До Ньютона закон инерции был сформулирован в менее четкой форме Галилео Галилеем. Инерцию ученый называл «неистребимо запечатленным движением». Закон инерции Галилея гласит: при отсутствии внешних сил тело либо покоится, либо движется равномерно. Огромная заслуга Ньютона в том, что он сумел объединить принцип относительности Галилея, собственные труды и работы других ученых в своих «Математических началах натуральной философии».
Понятно, что таких систем, где тележку толкнули, а она покатилась без действия внешних сил, на самом деле не бывает. На тела всегда действуют силы, причем скомпенсировать действие этих сил полностью практически невозможно.
Например, все на Земле находится в постоянном поле силы тяжести. Когда мы передвигаемся (не важно, ходим пешком, ездим на машине или велосипеде), нам нужно преодолевать множество сил: силу трения качения и силу трения скольжения, силу тяжести, силу Кориолиса.
Второй закон Ньютона
Помните пример про тележку? В этот момент мы приложили к ней силу! Интуитивно понятно, что тележка покатится и вскоре остановится. Это значит, ее скорость изменится.
В реальном мире скорость тела чаще всего изменяется, а не остается постоянной. Другими словами, тело движется с ускорением. Если скорость нарастает или убывает равномерно, то говорят, что движение равноускоренное.
Если рояль падает с крыши дома вниз, то он движется равноускоренно под действием постоянного ускорения свободного падения g. Причем любой дугой предмет, выброшенный из окна на нашей планете, будет двигаться с тем же ускорением свободного падения.
Второй закон Ньютона устанавливает связь между массой, ускорением и силой, действующей на тело. Приведем формулировку второго закона Ньютона:
Ускорение тела (материальной точки) в инерциальной системе отсчета прямо пропорционально приложенной к нему силе и обратно пропорционально массе.
Если на тело действует сразу несколько сил, то в данную формулу подставляется равнодействующая всех сил, то есть их векторная сумма.
В такой формулировке второй закон Ньютона применим только для движения со скоростью, много меньшей, чем скорость света.
Существует более универсальная формулировка данного закона, так называемый дифференциальный вид.
В любой бесконечно малый промежуток времени dt сила, действующая на тело, равна производной импульса тела по времени.
Третий закон Ньютона
В чем состоит третий закон Ньютона? Этот закон описывает взаимодействие тел.
3 закон Ньютона говорит нам о том, что на любое действие найдется противодействие. Причем, в прямом смысле:
Два тела воздействуют друг на друга с силами, противоположными по направлению, но равными по модулю.
Формула, выражающая третий закон Ньютона:
Другими словами, третий закон Ньютона — это закон действия и противодействия.
Пример задачи на законы Ньютона
Вот типичная задачка на применение законов Ньютона. В ее решении используются первый и второй законы Ньютона.
Десантник раскрыл парашют и опускается вниз с постоянной скоростью. Какова сила сопротивления воздуха? Масса десантника – 100 килограмм.
Решение:
Движение парашютиста – равномерное и прямолинейное, поэтому, по первому закону Ньютона, действие сил на него скомпенсировано.
На десантника действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Силы направлены в противоположные стороны.
По второму закону Ньютона, сила тяжести равна ускорению свободного падения, умноженному на массу десантника.
Ответ: Сила сопротивления воздуха равна силе тяжести по модулю и противоположна направлена.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
А вот еще одна физическая задачка на понимание действия третьего закона Ньютона.
Комар ударяется о лобовое стекло автомобиля. Сравните силы, действующие на автомобиль и комара.
Решение:
По третьему закону Ньютона, силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению. Сила, с которой комар действует на автомобиль, равна силе, с которой автомобиль действует на комара.
Другое дело, что действие этих сил на тела сильно отличаются вследствие различия масс и ускорений.
Исаак Ньютон: мифы и факты из жизни
На момент публикации своего основного труда Ньютону было 45 лет. За свою долгую жизнь ученый внес огромный вклад в науку, заложив фундамент современной физики и определив ее развитие на годы вперед.
Он занимался не только механикой, но и оптикой, химией и другими науками, неплохо рисовал и писал стихи. Неудивительно, что личность Ньютона окружена множеством легенд.
Ниже приведены некоторые факты и мифы из жизни И. Ньютона. Сразу уточним, что миф – это не достоверная информация. Однако мы допускаем, что мифы и легенды не появляются сами по себе и что-то из перечисленного вполне может оказаться правдой.
- Факт. Исаак Ньютон был очень скромным и застенчивым человеком. Он увековечил себя благодаря своим открытиям, однако сам никогда не стремился к славе и даже пытался ее избежать.
- Миф. Существует легенда, согласно которой Ньютона осенило, когда на наго в саду упало яблоко. Это было время чумной эпидемии (1665-1667), и ученый был вынужден покинуть Кембридж, где постоянно трудился. Точно неизвестно, действительно ли падение яблока было таким роковым для науки событием, так как первые упоминания об этом появляются только в биографиях ученого уже после его смерти, а данные разных биографов расходятся.
- Факт. Ньютон учился, а потом много работал в Кембридже. По долгу службы ему нужно было несколько часов в неделю вести занятия у студентов. Несмотря на признанные заслуги ученого, занятия Ньютона посещались плохо. Бывало, что на его лекции вообще никто не приходил. Скорее всего, это связано с тем, что ученый был полностью поглощен своими собственными исследованиями.
- Миф. В 1689 году Ньютон был избран членом Кембриджского парламента. Согласно легенде, более чем за год заседания в парламенте вечно поглощенный своими мыслями ученый взял слово для выступления всего один раз. Он попросил закрыть окно, так как был сквозняк.
- Факт. Неизвестно, как бы сложилась судьба ученого и всей современной науки, если бы он послушался матери и начал заниматься хозяйством на семейной ферме. Только благодаря уговорам учителей и своего дяди юный Исаак отправился учиться дальше вместо того, чтобы сажать свеклу, разбрасывать по полям навоз и по вечерам выпивать в местных пабах.
Дорогие друзья, помните — любую задачу можно решить! Если у вас возникли проблемы с решением задачи по физике, посмотрите на основные физические формулы. Возможно, ответ перед глазами, и его нужно просто рассмотреть. Ну а если времени на самостоятельные занятия совершенно нет, специализированный студенческий сервис всегда к вашим услугам!
В самом конце предлагаем посмотреть видеоурок на тему «Законы Ньютона».
На прошлом уроке мы познакомились с первым законом Ньютона. Согласно этому закону, существуют такие системы отсчета, в которых тело находится или в состоянии покоя, или двигается прямолинейно и равномерно, если на него не действуют никакие силы или их действие компенсируется.
А что должно произойти, чтобы тело начало изменять свою скорость (приобрело некое ускорение)? Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно будет вспомнить о том, что является следствием взаимодействием тел, а что — причиной. Разобравшись с этими вопросами и проведя несколько интересных опытов, мы с вами на данном уроке сформулируем второй закон Ньютона.
Причина возникновения ускорения
Из курса 7 класса нам уже известно, что скорость тела (и ее направление, и численное значение) может измениться только под действием другого тела. Иными словами, изменение скорости — это результат взаимодействия нашего тела с каким-то другим телом. Мерой этого взаимодействия является сила ($vec F$).
Например, яблоко падает на землю под действием силы тяжести (рисунок 1, а). Мы можем сказать, что сама Земля действует на яблоко с силой $vec F_{тяж} = m vec g$.
Или Образавр толкает перед собой тележку с продуктами (рисунок 1, б). Тележка движется, потому что Образавр действует на нее с какой-то силой $vec F$.
Итак, скорость тела изменяется. Она либо возрастает, либо уменьшается. Это означает, что в этот момент тело движется с некоторым ускорением.
Что является причиной ускоренного движения тел?
Причиной ускоренного движения тела является действие на это тело других тел с некоторой силой.
Равнодействующая сил и ускорение
Вспомним, какую физическую величину мы называем равнодействующей сил (рисунок 2).
Равнодействующая сил — это сила, которая производит на тело такое же действие, как несколько одновременно действующих сил.
Если равнодействующая всех сил, действующих на тело, будет равна нулю, то в силу вступает первый закон Ньютона. Рассматриваемое тело будет или покоиться, или двигаться равномерно и прямолинейно.
А вот если равнодействующая сил не равна нулю, то скорость тела будет изменяться — тело будет двигаться с неким ускорением.
Ускорение и действующая сила
Получается, что ускорение — это результат действия на тело какой-то силы. Логично предположить, что между этими двумя величинами есть какая-то взаимосвязь.
Давайте приведем примеры из жизни, свидетельствующие о том, что чем больше приложенная к телу сила, тем больше сообщаемое этой силой ускорение.
Например, чем сильнее пнуть лежачий мяч, тем большее ускорение он приобретет. При этом он успеет набрать намного большую скорость за те доли секунды, что взаимодействует с ногой игрока, чем при слабом ударе. Об этой скорости мы можем судить, если посмотрим на расстояние, которое мяч пролетает после удара.
Чем сильнее мы оттолкнемся, катаясь на коньках, тем большее ускорение мы получим и тем большее расстояние мы проедем. Чем сильнее мы толкнем мяч для боулинга, тем большую скорость он сможет набрать до того, как встретится с кеглями.
Также можно провести простой опыт, который даст нам тот же результат, что и предыдущие размышления.
Прикрепим тележку к динамометру. На саму тележку установим специальную конструкцию с подвешенным шариком. Медленно и аккуратно потянем за динамометр, приведя тележку в движение (рисунок 3, а). Зафиксируем совсем небольшое отклонение шарика. Ускорение, которое он получил в момент начала движения, совсем небольшое.
Остановим тележку. Снова потянем за динамометр, но на этот раз сильнее. Динамометр покажет нам большее значение, чем в первый раз. Тележка пришла в движение. Подвешенный шарик отклонился на большее расстояние (рисунок 3, б).
Зафиксируем вывод.
Ускорение, которое тело приобретает в результате действия на него силы, прямо пропорционально величине этой силы.
Ускорение и масса тела
Теперь давайте рассмотрим, как связаны между собой масса тела и его ускорение.
Опыт №1
Для начала проведем более простой и наглядный опыт. Возьмем два идентичных воздушных шарика. В один из них положим маленькую бусинку, чей вес все же позволит шару взлететь. Наполним шары гелием до одинакового объема.
Теперь запустим эти два шарика с одинаковой высоты (рисунок 4, а). Посмотрим, какой из них быстрее достигнет потолка.
Мы увидим, что шарик без бусинки достигнет потолка первым (рисунок 4, б).
На шарики действовали одинаковые равнодействующие сил $F$ (рисунок 5). Эта равнодействующая в обоих случаях равна разности архимедовой силы и силы сопротивления воздуха: $F = R = F_А space − space F_{сопр}$.
Получается, что под действием одной и той же равнодействующей сил шарик без груза внутри получил большее ускорение.
Как мы можем здесь судить о величине ускорения? Шарик без груза прошел фиксированное расстояние за меньшее время, чем шарик с грузом внутри, масса которого больше. Это значит, что скорость шарика без груза возрастала быстрее. То есть он имел большее ускорение, чем шарик большей массы.
Опыт №2
Перейдем к следующему опыту.
Возьмем легкую тележку. Установим на ней маленькую капельницу и два вентилятора. Масса этой конструкции равна $0.4 space кг$.
Теперь возьмем нить. Один ее конец привяжем к тележке. Другой конец перекинем через блок и привяжем к нему груз. Он скомпенсирует силу трения, которая будет действовать на тележку при движении.
Вдоль линии движения тележки положим бумажную ленту. На ней будут оставаться капли из капельницы, чтобы мы могли фиксировать пройденное тележкой расстояние.
Открываем кран и включаем вентиляторы. Они начинают толкать тележку с постоянной силой. На бумажной ленте остаются следы капель, которые падают через равные промежутки времени $t = 1 space с$ (рисунок 6).
После того, как тележка упрется в ограничитель, выключим вентиляторы. Измерим расстояния между соседними каплями на ленте:
$s_1 = 2 space см$,
$s_2 = 6 space см$,
$s_3 = 10 space см$,
$s_4 = 14 space см$,
$s_5 = 18 space см$.
Получается, что эти расстояния относятся как ряд нечетных последовательных чисел:
$s_1 : s_2 : s_3 : s_4 : s_5 = 1 : 3 : 5 : 7 : 9$.
Как вы помните, это одна из закономерностей равноускоренного движения. Значит, наша тележка двигалась равноускоренно.
Все движение тележки заняло ровно $5 space с$. Расстояние, которое она прошла с начала движения, равно $0.5 space м$.
Теперь запишем формулу для модуля перемещения при равноускоренном прямолинейном движении без начальной скорости:
$s = frac{at^2}{2}$.
Выразим отсюда модуль ускорения и рассчитаем его:
$a = frac{2s}{t^2}$,
$a = frac{2 cdot 0.5 space м}{{5 space с}^2} = 0.04 frac{м}{с^2}$.
А теперь удвоим массу нашей конструкции. Поставим на тележку гирю, а также прикрепим дополнительный груз к правому концу нити (для компенсации возросшей силы трения). Включим вентиляторы (рисунок 7).
Тележка двигалась то же время, что и в предыдущем опыте: $t = 5 space с$. А вот расстояние прошла меньшее: $s = 0.25 space м$.
Рассчитаем ускорение:
$a = frac{2s}{t^2}$,
$a = frac{2 cdot 0.25 space м}{{5 space с}^2} = 0.02 frac{м}{с^2}$.
Сравним это ускорение с ускорением, полученным в предыдущим опыте:
$frac{0.04 frac{м}{с^2}}{0.02 frac{м}{с^2}} = 2$.
Получается, что при действии одной и той же силы система тел, масса которой стала вдвое больше, приобрела в 2 раза меньшее ускорение, то есть $frac{a}{2}$.
Сделаем вывод.
Ускорения, сообщаемые телам одной и той же постоянной силой, обратно пропорциональны массам этих тел.
Второй закон Ньютона
Как вы уже догадываетесь, этот закон как раз и отражает количественную взаимосвязь между массой тела, ускорением, с которым оно движется, и равнодействующей приложенных к телу сил, вызывающих это ускорение.
Сформулируем второй закон Ньютона.
Ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально его массе.
Точно так же, как и в первом законе Ньютона, здесь под телом мы подразумеваем материальную точку, а ее движение мы рассматриваем в инерциальной системе отсчета.
Какой математической формулой выражается второй закон Ньютона?
$vec a = frac{vec F}{m}$.
Что можно сказать о направлении вектора ускорения и вектора равнодействующей приложенных к телу сил?
Из этой формулы мы видим, что вектор ускорения будет совпадать по направлению с вектором равнодействующей приложенных к телу сил.
Запишем второй закон Ньютона в скалярной форме.
$a_x = frac{F_x}{m}$ или $a = frac{F}{m}$,
где $a_x$ и $F_x$ — это проекции векторов ускорении и силы на ось OX,
$a$ и $F$ — модули этих векторов.
Единицы измерения силы
В СИ сила всегда измеряется в ньютонах ($Н$).
Дадим определение этой единицы, используя второй закон Ньютона. Выразим из него модуль силы:
$F = ma$.
Перепишем это выражение для единиц измерения:
$1 space Н = 1 space кг cdot 1 frac{м}{с^2}$.
Единица силы — это сила, сообщающая телу массой $1 space кг$ ускорение $1 frac{м}{с^2}$ в направлении действия силы:
$1 space Н = 1 space кг cdot frac{м}{с^2}$.
Упражнения
Упражнение №1
Определите силу, под действием которой велосипедист скатывается с горки с ускорением, равным $0.8 frac{м}{с^2}$, если масса велосипедиста вместе с велосипедом равна $50 space кг$.
Дано
$a = 0.8 frac{м}{с^2}$
$m = 50 space кг$
$F — ?$
Посмотреть решение и ответ
Скрыть
Решение
Выразим из второго закона Ньютона модуль силы и рассчитаем его:
$a = frac{F}{m}$,
$F = ma$,
$F = 50 space кг cdot 0.8 frac{м}{с^2} = 40 space Н$.
Ответ: $F = 40 space Н$.
Упражнение №2
Через $20 space с$ после начала движения электровоз развил скорость $4 frac{м}{с}$. Найдите силу, сообщающую ускорение, если масса электровоза равна $184 space т$.
Дано:
$m = 184 space т$
$t = 20 space с$
$upsilon = 4 frac{м}{с}$
$upsilon_0 = 0 frac{м}{с}$
СИ:
$m = 184 cdot 10^3 space кг$
Посмотреть решение и ответ
Скрыть
Решение:
Запишем второй закон Ньютона и выразим из него модуль силы:
$a = frac{F}{m}$,
$F = ma$.
Ускорение по определению:
$a = frac{upsilon — upsilon_0}{t} = frac{upsilon}{t}$.
Подставим это выражение в формулу для силы и рассчитаем ее:
$F = m cdot frac{upsilon}{t}$,
$F = 184 cdot 10^3 space кг cdot frac{4 frac{м}{с}}{20 space с} = 184 cdot 10^3 space кг cdot 0.2 frac{м}{с^2} = 36 space 800 space Н = 36.8 space кН$.
Ответ: $F = 36.8 space кН$.
Упражнение №3
Два тела равной массы движутся с ускорениями $0.08 frac{м}{с^2}$ и $0.64 frac{м}{с^2}$ соответственно. Равны ли модули действующих на тела сил? Чему равна сила, действующая на второе тело, если на первое действует сила $1.2 space Н$?
Дано:
$m_1 = m_2 = m$
$a_1 = 0.08 frac{м}{с^2}$
$a_2 = 0.64 frac{м}{с^2}$
$F_1 = 1.2 space Н$
$F_2 — ?$
Посмотреть решение и ответ
Скрыть
Решение:
Выразим из второго закона Ньютона модуль силы:
$a = frac{F}{m}$,
$F = ma$.
Теперь запишем эту формулу для каждого тела:
$F_1 = m_1 a_1 = ma_1$,
$F_2 = m_2 a_2 = ma_2$.
Посмотрев на два этих уравнения, мы можем сказать, что модули сил, действующих на тела не могут быть равны друг другу, так как при одинаковой массе тела имеют разные ускорения.
Выразим из предыдущих формул массу:
$m = frac{F_1}{a_1}$,
$m = frac{F_2}{a_2}$.
Так как левые части этих уравнений равны друг другу, мы можем приравнять правые:
$frac{F_1}{a_1} = frac{F_2}{a_2}$.
Выразим отсюда модуль силы, действующей на второе тело, и рассчитаем его:
$F_2 = frac{a_2 cdot F_1}{a_1}$,
$F_2 = frac{ 0.64 frac{м}{с^2} cdot 1.2 space Н}{0.08 frac{м}{с^2}} = 9.6 space Н$.
Ответ: $F_1 neq F_2$, $F_2 = 9.6 space Н$.
Упражнение №4
С каким ускорением будет всплывать находящийся под водой мяч массой $0.5 space кг$, если действующая на него сила тяжести равна $5 space Н$, архимедова сила — $10 space Н$, а средняя сила сопротивления движению — $2 space Н$?
Дано:
$m = 0.5 space кг$
$F_{тяж} = 5 space Н$
$F_А = 10 space Н$
$F_{сопр} = 2 space Н$
$a_x — ?$
Для наглядности удобно использовать чертеж (рисунок 8), на котором мы обозначили все силы, действующие на мяч, и их равнодействующую. Ось OX мы направили наверх по ходу движения мяча.
Посмотреть решение и ответ
Скрыть
Решение:
Запишем формулу для равнодействующей всех сил, действующих на всплывающий мяч:
$vec F = vec F_{тяж} space + space vec F_А space + space vec F_{сопр}$.
Теперь возьмем проекции на ось OX и рассчитаем равнодействующую (проекции сил будут равны их модулям с соответствующими знаками):
$F_x = F_А space − space F_{тяж} space − space F_{сопр}$,
$F_x = 10 space Н space − space 2 space Н space − space 5 space Н = 3 space Н$.
Запишем второй закон Ньютона и рассчитаем ускорение, с которым всплывает мяч:
$a_x = frac{F_x}{m}$,
$a_x = frac{3 space Н}{0.5 space кг} = 6 frac{м}{с^2}$.
Ответ: $a_x = 6 frac{м}{с^2}$.
Упражнение №5
Баскетбольный мяч, пройдя сквозь кольцо и сетку, под действием силы тяжести сначала движется вниз с возрастающей скоростью, а после удара о пол — вверх с уменьшающейся скоростью. Как направлены векторы ускорения, скорости и перемещения мяча по отношению к силе тяжести при его движении вниз; вверх?
Посмотреть ответ
Скрыть
Ответ:
После прохождения через кольцо мяч движется к полу с возрастающей скоростью. В этот момент векторы ускорения, скорости и перемещения направлены вниз (рисунок 9, а).
После удара об пол мяч движется вверх (рисунок 9, б). Значит, вверх будут направлены векторы скорости и перемещения. Но скорость мяча уменьшается. Значит, вектор ускорения направлен противоположно вектору скорости, то есть вниз.
Упражнение №6
Тело движется прямолинейно с постоянным ускорением. Какая величина, характеризующая движение этого тела, всегда сонаправлена равнодействующей приложенных к телу сил, а какие величины могут быть направлены противоположно равнодействующей?
Посмотреть ответ
Скрыть
Ответ:
Пользуясь вторым законом Ньютона ($vec a = frac{vec F}{m}$), мы можем сказать, что ускорение у нас всегда будет сонаправлено равнодействующей сил, действующих на тело.
При этом противоположно равнодействующей могут быть направлены векторы скорости и перемещения. В этом случае тело будет двигаться в направлении, противоположном направлению векторов равнодействующей и ускорения — оно будет замедляться.
Часто задаваемые вопросы
Что является причиной ускоренного движения тел?
Действие на это тело других тел с некоторой силой.
Приведите примеры из жизни, свидетельствующие о том, что чем больше приложенная к телу сила, тем больше сообщаемое этой силой ускорение.
Чем сильнее ударить по мячу, тем быстрее он полетит. Чем быстрее крутить педали велосипеда, тем быстрее он разгоняется. Чем сильнее кинуть снежок, тем быстрее он достигнет цели.
Сформулируйте второй закон Ньютона. Какой математической формулой он выражается?
Ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально его массе: $vec a = frac{vec F}{m}$.
Что можно сказать о направлении вектора ускорения и вектора равнодействующей приложенных к телу сил?
Вектор ускорения всегда будет совпадать по направлению с вектором равнодействующей приложенных к телу сил.
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Ускорение характеризует быстроту изменения скорости движущегося тела.[1]
Если скорость тела остается постоянной, то оно не ускоряется. Ускорение имеет место только в том случае, когда скорость тела меняется. Если скорость тела увеличивается или уменьшается на некоторую постоянную величину, то такое тело движется с постоянным ускорением. [2]
Ускорение измеряется в метрах в секунду за секунду (м/с2) и вычисляется по значениям двух скоростей и времени или по значению силы, приложенной к телу.
-
1
Формула для вычисления среднего ускорения. Среднее ускорение тела вычисляется по его начальной и конечной скоростям (скорость – это быстрота передвижения в определенном направлении) и времени, которое необходимо телу для достижения конечной скорости. Формула для вычисления ускорения: a = Δv / Δt, где а – ускорение, Δv – изменение скорости, Δt – время, необходимое для достижения конечной скорости.[3]
- Единицами измерения ускорения являются метры в секунду за секунду, то есть м/с2.
- Ускорение является векторной величиной, то есть задается как значением, так и направлением.[4]
Значение – это числовая характеристика ускорения, а направление – это направление движения тела. Если тело замедляется, то ускорение будет отрицательным.
-
2
Определение переменных. Вы можете вычислить Δv и Δt следующим образом: Δv = vк — vн и Δt = tк — tн, где vк – конечная скорость, vн – начальная скорость, tк – конечное время, tн – начальное время.[5]
- Так как ускорение имеет направление, всегда вычитайте начальную скорость из конечной скорости; в противно случае направление вычисленного ускорения будет неверным.
- Если в задаче начальное время не дано, то подразумевается, что tн = 0.
-
3
Найдите ускорение при помощи формулы. Для начала напишите формулу и данные вам переменные. Формула: a = Δv / Δt = (vк — vн)/(tк — tн). Вычтите начальную скорость из конечной скорости, а затем разделите результат на промежуток времени (изменение времени). Вы получите среднее ускорение за данный промежуток времени.
- Если конечная скорость меньше начальной, то ускорение имеет отрицательное значение, то есть тело замедляется.
- Пример 1: автомобиль разгоняется с 18,5 м/с до 46,1 м/с за 2,47 с. Найдите среднее ускорение.
- Напишите формулу: a = Δv / Δt = (vк — vн)/(tк — tн)
- Напишите переменные: vк = 46,1 м/с, vн = 18,5 м/с, tк = 2,47 с, tн = 0 с.
- Вычисление: a = (46,1 — 18,5)/2,47 = 11,17 м/с2.
- Пример 2: мотоцикл начинает торможение при скорости 22,4 м/с и останавливается через 2,55 с. Найдите среднее ускорение.
- Напишите формулу: a = Δv / Δt = (vк — vн)/(tк — tн)
- Напишите переменные: vк = 0 м/с, vн = 22,4 м/с, tк = 2,55 с, tн = 0 с.
- Вычисление: а = (0 — 22,4)/2,55 = -8,78 м/с2.
Реклама
-
1
Второй закон Ньютона. Согласно второму закону Ньютона тело будет ускоряться, если силы, действующие на него, не уравновешивают друг друга. Такое ускорение зависит от результирующей силы, действующей на тело.[6]
Используя второй закон Ньютона, вы можете найти ускорение тела, если вам известна его масса и сила, действующая на это тело.- Второй закон Ньютона описывается формулой: Fрез = m x a, где Fрез – результирующая сила, действующая на тело, m – масса тела, a – ускорение тела.
- Работая с этой формулой, используйте единицы измерения метрической системы, в которой масса измеряется в килограммах (кг), сила в ньютонах (Н), а ускорение в метрах в секунду за секунду (м/с2).
-
2
Найдите массу тела. Для этого положите тело на весы и найдите его массу в граммах. Если вы рассматриваете очень большое тело, поищите его массу в справочниках или в интернете. Масса больших тел измеряется в килограммах.
- Для вычисления ускорения по приведенной формуле необходимо преобразовать граммы в килограммы. Разделите массу в граммах на 1000, чтобы получить массу в килограммах.
-
3
Найдите результирующую силу, действующую на тело. Результирующая сила не уравновешивается другими силами. Если на тело действуют две разнонаправленные силы, причем одна из них больше другой, то направление результирующей силы совпадает с направлением большей силы.[7]
Ускорение возникает тогда, когда на тело действует сила, которая не уравновешена другими силами и которая приводит к изменению скорости тела в направлении действия этой силы.- Например, вы с братом перетягиваете канат. Вы тянете канат с силой 5 Н, а ваш брат тянет канат (в противоположном направлении) с силой 7 Н. Результирующая сила равна 2 Н и направлена в сторону вашего брата.
- Помните, что 1 Н = 1 кг∙м/с2.[8]
-
4
Преобразуйте формулу F = ma так, чтобы вычислить ускорение. Для этого разделите обе стороны этой формулы на m (массу) и получите: a = F/m. Таким образом, для нахождения ускорения разделите силу на массу ускоряющегося тела.
- Сила прямо пропорциональна ускорению, то есть чем больше сила, действующая на тело, тем быстрее оно ускоряется.
- Масса обратно пропорциональна ускорению, то есть чем больше масса тела, тем медленнее оно ускоряется.
-
5
Вычислите ускорение по полученной формуле. Ускорение равно частному от деления результирующей силы, действующей на тело, на его массу. Подставьте данные вам значения в эту формулу, чтобы вычислить ускорение тела.
- Например: сила, равная 10 Н, действует на тело массой 2 кг. Найдите ускорение тела.
- a = F/m = 10/2 = 5 м/с2
Реклама
-
1
Направление ускорения. Научная концепция ускорения не всегда совпадает с использованием этой величины в повседневной жизни. Помните, что у ускорения есть направление; ускорение имеет положительное значение, если оно направлено вверх или вправо; ускорение имеет отрицательное значение, если оно направлено вниз или влево. Проверьте правильность вашего решения, основываясь на следующей таблице:
Движение автомобиля Изменение скорости Значение и направление ускорения Движется вправо (+) и ускоряется + → ++ (более положительное) Положительное Движется вправо (+) и замедляется ++ → + (менее положительное) Отрицательное Движется влево (-) и ускоряется — → — (более отрицательное) Отрицательное Движется влево (-) и замедляется — → — (менее отрицательное) Положительное Движется с постоянной скоростью Не меняется Равно 0 -
2
Направление силы. Помните, что ускорение всегда сонаправлено силе, действующей на тело. В некоторых задачах даются данные, цель которых заключается в том, чтобы ввести вас в заблуждение.
- Пример: игрушечная лодка массой 10 кг движется на север с ускорением 2 м/с2. Ветер, дующий в западном направлении, действует на лодку с силой 100 Н. Найдите ускорение лодки в северном направлении.
- Решение: так как сила перпендикулярна направлению движения, то она не влияет на движение в этом направлении. Поэтому ускорение лодки в северном направлении не изменится и будет равно 2 м/с2.
-
3
Результирующая сила. Если на тело действуют сразу несколько сил, найдите результирующую силу, а затем приступайте к вычислению ускорения. Рассмотрим следующую задачу (в двумерном пространстве):
Реклама
- Владимир тянет (справа) контейнер массой 400 кг с силой 150 Н. Дмитрий толкает (слева) контейнер с силой 200 Н. Ветер дует справа налево и действует на контейнер с силой 10 Н. Найдите ускорение контейнера.
- Решение: условие этой задачи составлено так, чтобы запутать вас. На самом деле все очень просто. Нарисуйте схему направления сил, так вы увидите, что сила в 150 Н направлена вправо, сила в 200 Н тоже направлена вправо, а вот сила в 10 Н направлена влево. Таким образом, результирующая сила равна: 150 + 200 — 10 = 340 Н. Ускорение равно: a = F/m = 340/400 = 0,85 м/с2.
Об этой статье
Эту страницу просматривали 190 509 раз.
Была ли эта статья полезной?
Три закона Ньютона
Динамика — раздел механики, изучающий причины движения тел и способы определения их ускорения. В нем движение тел описывается с учетом их взаимодействия.
Большой вклад в развитие динамики внес английский ученый Исаак Ньютон. Он первым смог выделить законы движения, которым подчиняются все макроскопические тела. Эти законы называют законами Ньютона, законами механики, законами динамики или законами движения тел.
Внимание! Законы Ньютона нельзя применять к произвольным телам. Они применимы только к точке, обладающей массой — к материальной точке.
Основное утверждение механики
Для описания движения тела можно взять любую систему отсчета. Обычно для этого используется система отсчета, связанная с Землей. Если какое-то тело меняет свою скорость, рядом с ним всегда можно обнаружить другое тело, которое на него действует. Так, если поднять камень и отпустить, он не останется висеть в воздухе, а упадет вниз. Следовательно, на него что-то подействовало. В данном случае сама Земля притянула камень к себе. Отсюда следует основное утверждение механики:
Основное утверждение механики
Изменение скорости (ускорение) тела всегда вызывается воздействием на него других тел.
Согласно утверждению, если на тело не действуют никакие силы, его ускорение будет нулевым, и оно будет либо покоиться, либо двигаться равномерно и прямолинейно (с постоянной скоростью).
Но в нашем мире мы не всегда это наблюдаем. И этому есть объяснение. Если тело покоится, оно действительно не меняет свою скорость. Так, мяч лежит на траве до тех пор, пока его не пнут. После того, как его пнут, он начинает катиться, но затем останавливается. Пока мяч катится, к нему больше не прикасаются. Казалось бы, согласно основному утверждению механики, мяч должен катиться вечно. Но этого не происходит, потому что на мяч действует сила трения, возникающая между его поверхностью и травой.
Основное утверждение механики можно проиллюстрировать в открытом космосе в месте, где сила притяжения космических тел пренебрежимо мала. Если в космосе придать телу скорость и отпустить, оно будет двигаться с такой скоростью по прямой линии до тех пор, пока на него не подействуют другие силы. Ярким примером служат межгалактические звезды, или звезды-изгои. Гравитационно они не связаны ни с одной из галактик, а потому движутся с постоянной скоростью. Так, звезда HE 0437-5439 удаляется от нашей галактики с постоянной скоростью 723 км/с.
Свободное тело — тело, на которое не действуют другие тела. Свободное тело либо покоится, либо движется прямолинейно и равномерно.
Первый закон Ньютона
Исаак Ньютон, изучая движение тел, заметил, что относительно одних систем отсчета свободные тела сохраняют свою скорость, а относительно других — нет. Он разделил их на две большие группы: инерциальные системы отсчета и неинерциальные. В этом кроется первый закон динамики.
Первый закон Ньютона
Существуют такие системы отсчета, называемые инерциальными, относительно которых тела движутся равномерно и прямолинейно или находятся в состоянии покоя, если на них не действуют другие тела или их действие компенсировано.
Примером инерциальной системы отсчета служит система отсчета, связанная с Землей (геоцентрическая). Другой пример — гелиоцентрическая система отсчета (связанная с Солнцем).
Неинерциальная система отсчета — система отсчета, в которой тела могут менять свою скорость при отсутствии на них действия других тел.
Примером неинерциальной системы отсчета служит автобус. Когда он движется равномерно и прямолинейно, стоящие внутри пассажиры находятся относительно него в состоянии покоя. Но когда автобус останавливается, пассажиры падают вперед, т. е. меняют свою скорость, хотя на них не действуют другие тела.
Второй закон Ньютона
В примере с автобусом видно, что пассажиры стараются сохранить свою скорость относительно Земли — инерциальной системы отсчета. Такое явление называется инерцией.
Инерция — явление, при котором тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.
Инертность — физическое свойство, заключающееся в том, что любое тело оказывает сопротивление изменению его скорости (как по модулю, так и по направлению).
Не все тела одинаково инертны. Вы можете взять мячик и придать ему большое ускорение. Но вы не можете придать такое же ускорение гире, хотя она обладает похожим размером. Но мячик и гиря различаются между собой массой.
Масса — скалярная физическая величина, являющаяся мерой инертности тела. Чем больше масса, тем больше инертность тела.
Масса обозначается буквой m. Единица измерения массы — кг. Прибор для измерения массы — весы.
Чтобы придать одинаковую скорость двум телам с разной инертностью, к телу с большей инертностью придется приложить больше силы. Попробуйте сдвинуть с места стол, а затем — шкаф. Сдвинуть с места стол будет проще.
Если же приложить две одинаковые силы к телам с разной инертностью, будет видно, что тело с меньшей инертностью получает большее ускорение. Если приставить к пружине теннисный шарик, а затем сжать ее и резко отпустить, шарик улетит далеко. Если вместо теннисного шарика взять железный, он лишь откатится на некоторое расстояние.
Описанные выше примеры показывают, что между силой, прикладываемой к телу, и ускорением, которое оно получает в результате прикладывания этой силы, и массой этого тела есть взаимосвязь. Она раскрывается во втором законе Ньютона.
Второй закон Ньютона
Сила, действующая на тело, равна произведению массы этого тела на ускорение, которое сообщает эта сила.
F = ma
где F — сила, которую прикладывают к телу, a — ускорение, которое сообщает эта сила, m — масса тела
Сила — количественная мера действия тел друг на друга, в результате которого тела получают ускорения.
Сила — векторная физическая величина. Обозначается F. Единица измерения — Н (Ньютон). Прибор для измерения силы — динамометр.
Пример №1. Определить, с какой силой действует Земля на яблоко, если, упав с ветки, оно получило ускорение 9,8 м/с2. Масса яблока равна 200 г.
Сначала переведем массу яблока в кг. 200 г = 0,2 кг. Теперь найдем силу, действующую на яблоко со стороны Земли, по второму закону Ньютона:
F = ma = 0,2 ∙ 9,8 = 1,96 (Н)
Равнодействующая сила
Иногда на тело действуют несколько сил. Тогда при описании его движения вводится понятие равнодействующей силы.
Определение
Равнодействующая сила — векторная сумма всех сил, действующих на тело одновременно.
R = F1 + F2 + F3 + …
В этом случае второй закон Ньютона формулируется так:
Второй закон Ньютона через равнодействующие силы
Если на тело действует несколько сил, то их равнодействующая R будет равна произведению массы на ускорение этого тела.
ma = R = F1 + F2 + F3 + …
Правила сложения сил и их проекций
|
Сложение двух сил, направленных вдоль одной прямой в одну сторону |
|
 |
Если F1↑↑F2, то:
R = F1 + F2 Равнодействующая сила сонаправлена с обеими силами. |
|
Сложение двух сил, направленных вдоль одной прямой во взаимно противоположных направлениях |
|
 |
Если F1↑↓F2, то:
R = |F1 – F2| Равнодействующая сила направлена в сторону направления большей по модулю силы. |
|
Сложение двух сил, перпендикулярных друг к другу |
|
 |
Если F1 перпендикулярна F2, то равнодействующая сила вычисляется по теореме Пифагора:
|
|
Сложение двух сил, расположенных под углом α друг к другу |
|
 |
Если F1 и F2 расположены под углом α друг к другу, равнодействующая сила вычисляется по теореме косинусов:
|
|
Сложение трех сил |
|
 |
Способ сложения определяется правилами сложения векторов. В данном случае:
|
|
Сложение проекций сил |
|
 |
Проекция на ось ОХ:
F1x + F2x – F3x = 0 Проекция на ось OY: F1y – F2y = 0 |
Третий закон Ньютона
Когда одно тело действует на другое, начинается взаимодействие этих тел. Это значит, если тело А действует на тело В и сообщает ему ускорение, то и тело В действует на тело А, тоже придавая ему ускорение. К примеру, если сжать пружину руками, то руки будут чувствовать сопротивление, оказываемое силой упругости пружины. Если же, находясь в лодке, начать тянуть за веревку вторую лодку, то обе лодки будут двигаться навстречу друг другу. То есть, вы, находясь в своей лодке, тоже будете двигаться навстречу второй лодке.
Иногда на тело действует сразу несколько сил, но тело продолжает покоиться. В этом случае говорят, что силы друг друга компенсируют, то есть их равнодействующая равна нулю.
Две силы независимо от их природы считаются равными по модулю и противоположно направленными, если их одновременное действие на тело не меняет его скорости.
Примером такого явления служит ситуация, когда при перетягивании каната его никто не может перетянуть в свою сторону. Если взять два каната и присоединить между ними два динамометра, а затем начать игру в перетягивание, выяснится, что показания динамометра всегда будут одинаковыми. Это значит, что независимо от масс и придаваемых ускорений два взаимодействующих тела оказывают друг на друга равные по модулю силы. В этом заключается смысл третьего закона Ньютона.
Третий закон Ньютона
Силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по модулям и направлены по одной прямой в противоположные стороны.
FA = –FB
Используя второй закон Ньютона, третий закон механики можно переписать иначе:
m1a1 = –m2a2
Отсюда следует:
Отношение модулей ускорений a1 и a2 взаимодействующих друг с другом тел определяется обратным отношением их масс и совершенно не зависит от характера действующих между ними сил.
Пример №2. Определить ускорение, с которым движется Земля к падающему на нее яблоку. Масса яблока равна 0,2 кг. Ускорение свободного падения принять равной за 10 м/с2. Массу Земли принять равно 6∙1024 кг.
Согласно третьему закону Ньютона модули сил, с которыми взаимодействуют Земли и яблоко, равны. Поэтому:
F1 = F2
Отсюда:
m1a1 = m2a2
Пусть тело 1 будет яблоко, а тело 2 — Земля. Тогда a1 будет равно g. Отсюда ускорение, с которым движется Земля к падающему на нее яблоку, равна:
Задание EF17993
Скорость тела массой 5 кг, движущегося вдоль оси Ох в инерциальной системе отсчёта, изменяется со временем в соответствии с графиком (см. рисунок). Равнодействующая приложенных к телу сил в момент времени t=2,5 с равна…
а) 2Н
б) 8 Н
в) 10 Н
г) 20 Н
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные.
2.Проанализировать задачу.
3.Записать второй закон Ньютона.
4.Определить ускорение по графику проекции скорости от времени.
5.Подставить найденное ускорение в формулу второго закона Ньютона и произвести вычисления.
Решение
Запишем исходные данные:
Так как графиком скорости является прямая, непараллельная ось времени, тело движется с постоянным ускорением. Если ускорение постоянно, равнодействующая сил тоже будет постоянной в любой момент времени. Поэтому нам достаточно использовать координаты любой, более удобной для их определения точки. К примеру, в точке, соответствующей моменту времени 10 с.
Запишем второй закон Ньютона:
F = ma
Ускорение тела определяется как отношение изменения скорости ко времени, в течение которого эта скорость менялась. Согласно графику, за 10 секунд скорость изменилась на 20 м/с. Следовательно, ускорение равно:
a = 20/10 = 2 (м/с2)
Теперь можем вычислить равнодействующую сил:
F = ma = 5∙2 = 10 (Н)
Ответ: в
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18915
Необходимо собрать экспериментальную установку, с помощью которой можно определить коэффициент трения скольжения стали по дереву. Для этого школьник взял стальной брусок с крючком. Какие два предмета из приведённого ниже перечня оборудования необходимо дополнительно использовать для проведения этого эксперимента?
а) деревянная рейка
б) динамометр
в) мензурка
г) пластмассовая рейка
д) линейка
Алгоритм решения
1.Проанализировать задачу. Выяснить, какие предметы необходимы для проведения опыта.
2.Вывести формулу для коэффициента трения.
3.Определить, какую величину нужно измерить, чтобы рассчитать коэффициент трения, и какой прибор для этого нужен.
Решение
Для определения коэффициента трения стали по дереву, нужен не только стальной груз, но и деревянная поверхность. То есть, понадобится деревянная рейка.
Сила трения определяется формулой:
Отсюда коэффициент трения равен:
Ускорение свободного падения известно. Массу можно измерить на весах, но весов в вариантах ответа нет. Силу трения можно измерить динамометром. Следовательно, для опыта нужны только динамометр и деревянная рейка. Рейка из пластика не понадобится, так как цели расчета коэффициента трения стали по пластику нет. Мензурка используется для определения объема жидкости. В данном опыте она тоже не нужна.
Ответ: аб
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF17589
Система отсчёта, связанная с Землёй, считается инерциальной. В этом случае систему отсчёта, связанную с самолётом, можно считать инерциальной, если самолёт движется:
а) равномерно и прямолинейно, набирая высоту
б) с постоянным ускорением по горизонтали
в) равномерно, выполняя поворот
г) по взлетной полосе при взлете
Алгоритм решения
- Сформулировать первый закон Ньютона об инерциальных системах отсчета.
- На основании закона сделать вывод, при каких условиях система отсчета, связанная с самолетом, может считаться инерциальной.
- Проанализировать все 4 ситуации, приведенные в вариантах ответа.
- Выбрать тот вариант, который описывает ситуацию, не противоречащую условию, выведенному в шаге 2.
Решение
Первый закон Ньютона формулируется так:
«Существуют такие системы отсчета, называемые инерциальными, относительно которых тела движутся равномерно и прямолинейно или находятся в состоянии покоя, если на них не действуют другие тела или их действие компенсировано».
Чтобы система отсчета, связанная с самолетом, была инерциальной, она должна быть неподвижной или двигаться относительно Земли — инерциальной системы отсчета — равномерно и прямолинейно.
Когда самолет движется равномерно и прямолинейно, набирая высоту, самолет движется с собственным ускорением, которое компенсируется ускорением свободного падения. И это единственный верный ответ, так как:
- Самолет, двигаясь с постоянным ускорением по горизонтали, движется неравномерно, что противоречит условию.
- Самолет, двигаясь равномерно во время поворота, движется непрямолинейно (с центростремительным ускорением).
- Самолет, двигаясь по взлетной полосе при взлете, движется прямолинейно, но неравномерно, так как он разгоняется из состояния покоя.
Ответ: а
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF22791
Погрешность прямого измерения силы динамометром, на котором висит груз, равна цене деления. Каков вес груза?
Ответ: ( ± ) Н.
Внимание! Записывать ответ следует последовательностью цифр без запятых.
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные.
2.Определить цену деления шкалы.
3.Записать значение измерения с учетом погрешности.
Решение
Из условий задачи известно, что погрешность равна цене деления шкалы. Цена деления шкалы определяется отношением разности двух ближайших числовых обозначений на шкале и количеству делений между ними. Возьмем ближайшие значения 1,0 и 1,5. Между ними 5 делений. Следовательно, цена деления шкалы динамометра равна:
Так как погрешность равна цене деления, она также равна 0,1 Н.
Стрелка динамометра показывает 1,1 Н. Следовательно, вес груза равен: 1,1±0,1. Но по условию задачи ответ нужно записать без запятых и прочих знаков. Следовательно, верный ответ: 1101.
Ответ: 1101
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF17484
Тело массой m скользит по шероховатой наклонной опоре с углом α к горизонту (см. рисунок). На него действуют 3 силы: сила тяжести mg, сила упругости опоры N и сила трения Fтр. Если скорость тела не меняется, то модуль равнодействующей сил Fтр и mg равен:
а) N cosα
б) N
в) N sinα
г) mg + Fтр
Алгоритм решения
- Запись второго закона Ньютона в векторном виде.
- Вывод формулы равнодействующей силы трения и силы тяжести.
- Нахождение модуля равнодействующей силы трения и силы тяжести.
Решение
Записываем второй закон Ньютона в векторном виде с учетом того, сто скорость тела не меняется (ускорение равно 0):
N + mg + Fтр = 0
Отсюда равнодействующая силы трения и силы тяжести равна:
mg + Fтр = –N
Следовательно, равнодействующая силы трения и силы тяжести направлена противоположно силе реакции опоры, но равна ей по модулю. Отсюда:
|mg + Fтр| = N
Ответ: б
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18548
На тело действуют две силы: F1 и F2. По силе F1 и равнодействующей двух сил F = F1 + F2 найдите модуль второй силы (см. рисунок).
Алгоритм решения
- Изобразить на рисунке второй вектор с учетом правил сложения векторов.
- Записать геометрическую формулу для расчета модуля вектора по его проекциям.
- Выбрать систему координат и построить проекции второй силы на оси ОХ и ОУ.
- По рисунку определить проекции второй силы на оси.
- Используя полученные данные, применить формулу для расчета вектора по его проекциям.
Решение
Построим вектор второй силы. Его начало должно совпадать с концом вектора первой силы, а его конец — с концов равнодействующей этих сил. Этот вывод следует из сложения векторов правилом треугольника.
Модуль вектора равен корню из суммы квадратов его проекций на оси ОХ и ОУ:
Выберем систему координат и построим проекции второй силы на оси ОХ и ОУ:
Согласно рисунку, проекция второй силы на ось ОХ равна: x = 4 (Н). Ее проекция на ось ОУ равна: y = 3 (Н).
Подставим известные данные в формулу и вычислим модуль вектора второй силы:
Ответ: 5
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Алиса Никитина | Просмотров: 16.6k