Давайте посчитаем. Выпуклый десятиугольник имеет 10 углов или вершин. Из каждой такой вершины можно провести по семь диагоналей — то есть ко всем остальным вершинам, кроме двух соседних. Тогда если перемножить семь диагоналей от каждой вершины на общее число вершин получим число 70. Однако, при этом подсчете мы учитываем каждую диагональ два раза — от вершины скажем А к В и от вершины В к А в обратном направлении. Значит число 70 следует поделить на 2 и получаем 35. Ответ в выпуклом десятиугольнике 35 диагоналей.
В принципе, в математике есть для такого подсчета специальная формула, но гораздо лучше самому разобраться, что в ней откуда берется.
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Нахождение числа диагоналей является важнейшим навыком, который пригодится при решении геометрических задач. Это не так сложно, как кажется – просто нужно запомнить формулу. Диагональ – это отрезок, соединяющий любые две несмежные вершины многоугольника.[1]
Многоугольник – это любая фигура с как минимум тремя сторонами. При помощи несложной формулы можно найти количество диагоналей в любом многоугольнике, например, с 4 сторонами или с 4000 сторон.
-
1
Запомните названия многоугольников. Сначала нужно найти число сторон многоугольника. Это можно сделать по названию любого многоугольника. Вот названия самых распространенных многоугольников:[2]
- Четырехугольник: 4 стороны
- Пятиугольник: 5 сторон
- Шестиугольник: 6 сторон
- Семиугольник: 7 сторон
- Восьмиугольник: 8 сторон
- Девятиугольник: 9 сторон
- Десятиугольник: 10 сторон
- Обратите внимание, что у треугольника диагоналей нет.[3]
-
2
Нарисуйте многоугольник. Чтобы найти число диагоналей в квадрате, нарисуйте его. Самый простой способ найти число диагоналей – это нарисовать правильный многоугольник (в таком многоугольнике все стороны равны) и посчитать количество диагоналей. Запомните: неправильный многоугольник будет иметь такое же количество диагоналей, что и правильный (при одинаковом числе сторон).[4]
- Чтобы нарисовать многоугольник, воспользуйтесь линейкой; нарисуйте замкнутую фигуру со сторонами одинаковой длины.
- Если вы не знаете, как выглядит многоугольник, поищите картинки в интернете. Например, знак «Стоп» – это восьмиугольник.
-
3
Нарисуйте диагонали. Диагональ – это отрезок, соединяющий любые две несмежные вершины многоугольника.[5]
Из одной (любой) вершины многоугольника проведите диагонали к другим (несмежным) вершинам.- В квадрате проведите одну диагональ из нижнего левого угла в правый верхний угол, а вторую – из нижнего правого угла в левый верхний угол.
- Нарисуйте диагонали разных цветов, чтобы быстрее посчитать их.[6]
- Обратите внимание, что применять этот метод к многоугольникам, у которых больше 10 сторон, довольно сложно.
-
4
Посчитайте диагонали. Можно считать диагонали во время того, как вы рисуете их, или после того, как они нарисованы. Отмечайте диагонали, которые уже посчитаны, чтобы не запутаться (особенно когда диагоналей много и они пересекаются).
- У квадрата всего две диагонали – по одной на каждые две вершины.[7]
- У шестиугольника 9 диагоналей: по три диагонали на каждые три вершины.
- У семиугольника 14 диагоналей. Если у многоугольника больше семи сторон, посчитать диагонали довольно сложно, потому что их слишком много.
- У квадрата всего две диагонали – по одной на каждые две вершины.[7]
-
5
Каждую диагональ считайте только один раз. Из каждой вершины выходит несколько диагоналей, но это не значит, что число диагоналей равно произведению числа вершин на число диагоналей, выходящих из каждой вершины. Поэтому аккуратно считайте диагонали.[8]
- Например, у пятиугольника (5 сторон) только 5 диагоналей. Из каждой вершины выходит 2 диагонали; если умножить число вершин на число диагоналей, выходящих из каждой вершины, получите 10. Это неверный ответ, как если бы вы посчитали каждую диагональ дважды.
-
6
Попрактикуйтесь в определении числа диагоналей на некоторых примерах. Нарисуйте разные многоугольники и посчитайте их диагонали. Этот метод применим и к неправильным многоугольникам. В случае вогнутого многоугольника некоторые диагонали лежат вне границ фигуры.[9]
- У шестиугольника 9 диагоналей.
- У семиугольника 14 диагоналей.
Реклама
-
1
Запишите формулу. Формула для вычисления числа диагоналей многоугольника: d = n(n-3)/2, где d – число диагоналей, n – число сторон многоугольника.[10]
Используя распределительное свойство, эту формулу можно записать так: d = (n2 — 3n)/2. Можно пользоваться любой формой представленной формулы.- Эта формула для вычисления числа диагоналей многоугольника.
- Обратите внимание, что эта формула не применима к треугольникам, потому что у треугольников диагоналей нет.[11]
-
2
Определите число сторон многоугольника. Чтобы использовать приведенную формулу, нужно знать число сторон многоугольника. Число сторон можно выяснить по названию многоугольника. Ниже приведены части названий многоугольников.[12]
- Четырех (4), пяти (5), шести (6), семи (7), восьми (8), девяти (9), десяти (10), одиннадцати (11), двенадцати (12), тринадцати (13 ), четырнадцати (14), пятнадцати (15) и так далее.
- Если сторон слишком много, то в название многоугольника включается цифра. Например, если у многоугольника 44 стороны, он называется 44-угольником.
- Если дан рисунок многоугольника, просто посчитайте его стороны.
-
3
Подставьте число сторон в формулу. Сделайте это после того, как найдете число сторон многоугольника. Число сторон подставьте вместо n.[13]
- Например. У двенадцатиугольника 12 сторон.
- Запишите формулу: d = n(n-3)/2
- Подставьте число сторон: d = (12(12 — 3))/2
-
4
Решите уравнение. Для этого не забудьте про определенный порядок выполнения математических операций. Начните с вычитания, затем умножьте, а потом разделите. В итоге вы получите число диагоналей многоугольника.[14]
- Например: (12(12 — 3))/2
- Вычитание: (12*9)/2
- Умножение: (108)/2
- Деление: 54
- У двенадцатиугольника 54 диагонали.
-
5
Попрактикуйтесь на других примерах. Чем больше задач вы решите, тем лучше уясните процесс вычисления. Также вы наверняка запомните формулу для вычисления числа диагоналей, что пригодится на экзамене. Не забывайте, что представленная формула применима к многоугольнику, у которого больше трех сторон.
- Шестиугольник (6 сторон): d = n(n-3)/2 = 6(6-3)/2 = 6*3/2 = 18/2 = 9 диагоналей.
- Десятиугольник (10 сторон): d = n(n-3)/2 = 10(10-3)/2 = 10*7/2 = 70/2 = 35 диагоналей.
- Двадцатиугольник (20 сторон): d = n(n-3)/2 = 20(20-3)/2 = 20*17/2 = 340/2 = 170 диагоналей.
- 96-угольник (96 сторон): 96(96-3)/2 = 96*93/2 = 8928/2 = 4464 диагоналей.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 176 260 раз.
Была ли эта статья полезной?
Итак, от одной вершины проведем диагонали (вершин всего 10, минус одна от которой мы проводим, получаем, что провели к 9 вершинам, НО: мы не можем провести диагонали к двум соседним, соответственно получаем, что и две вершины надо вычесть получаем что проведено диагоналей от одной вершины 7)
Значит мы из числа вершин вычли 3!
Итак теперь умножаем на все вершины этого десятиугольника полученные нам диагонали (а их 7) … Вопрос зачем это? мы же проводим от каждой вершины по семь диагоналей, а вершин у нас всего десять … и таким образом мы умножаем 7 на 10 и получаем 70
Значит потом полученное число диагоналей от одной вершины умножаем на все вершины.
И последний момент … Вершины могут повторяться! То есть проведя от одной вершины к другой, проведенную диагональ от другой вершины к этой первой уже считаться не будет. Значит нам стоит повторы исключить, а именно просто разделит на два, из чего получи 35
Значит произведение диагоналей от одной вершины и всех вершин мы делим на 2
Ответ: 35
- Учебники
- 5 класс
- Математика 👍
- Никольский
- №573
Сколько диагоналей в выпуклом:
а) десятиугольнике;
б) двадцатиугольнике?
reshalka.com
Математика 5 класс Никольский. Номер №573
Решение а
10 * (10 − 3) : 2 = 10 * 7 : 2 = 35 (диагоналей) − в выпуклом десятиугольнике.
Ответ: 35 диагоналей
Решение б
20 * (20 − 3) : 2 = 20 * 17 : 2 = 170 (диагоналей) − в выпуклом двадцатиугольнике.
Ответ: 170 диагоналей
- Предыдущее
- Следующее
Нашли ошибку?
Если Вы нашли ошибку, неточность или просто не согласны с ответом, пожалуйста сообщите нам об этом
$begingroup$
How many diagonals does a decagon have?
I have just learnt permutations, dispositions, combinations. How can I solve it with these concepts? I drew it and it was $35$ diagonals. How can I prove it with this method?
asked May 24, 2016 at 14:26
$endgroup$
$begingroup$
A diagonal joins a vertex to one of the vertices that do not include that vertex itself and the immediately adjacent vertices. So: for each vertex there are seven diagonals. Times 10 equals 70; each diagonal is counted twice, so the final answer is 35.
Now, using combinations and such: There are $binom{10}{2};$(«10 choose 2») pairs of vertices, which equals 45. So there are 45 line segments joining pairs of vertices. Exactly 10 of those are sides of the decagon, the others are diagonals. Answer: 35. (Corrected; original had «10 choose 9» for no reason other than my lack of concentration.)
answered May 24, 2016 at 14:28
$endgroup$
7
$begingroup$
Formula for calculating number of diagonals of any polygon of n sides = n*(n — 3)/2
So here it’s a decagon ,that is a 10 sided polygon,
So n = 10.
Simply plug value of n into the formula , you get:
10*(10-3)/2 = 35. Ans 
(Note : no matter what sided polygon it is, you can find any no of diagonals in any polygon)
answered Apr 15, 2017 at 1:49
$endgroup$
1
$begingroup$
(N-1 choose 2 ) -1
Example,
(10-1 choose 2) -1
= (9 choose 2) -1
= 36-1
= 35 diagonal lines
This will work for any regular shape
Example 2/ 20 sides would be
C19,2 -1
=170
Check: C20,2 — 20 =170
Very easy formula developed by Shawn Covrigaru
answered Mar 2, 2017 at 19:57
$endgroup$
1
You must log in to answer this question.
Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged
.
Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged
.