Высота биссектриса медиана треугольника как найти - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы

Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.

Высотой треугольника называется перпендикуляр,
опущенный из вершины треугольника
на противоположную сторону.

В тупоугольном треугольнике высота
опускается на продолжение стороны.

Три высоты треугольника всегда
пересекаются в одной точке.

В случае тупого угла пересекаются
продолжения высот.

Медианой треугольника называют отрезок,
соединяющий вершину треугольника с
серединой противоположной стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в
одной точке и делятся в ней в отношении
2 : 1 , считая от вершины.

Биссектриса треугольника делит
угол треугольника пополам.

Три биссектрисы пересекаются в одной точке,
которая является центром окружности,
вписанной в треугольник.

Напомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Вот как это выглядит в случае остроугольного треугольника.

Попробуйте провести три высоты в тупоугольном треугольнике. Получилось? Да, редкий выпускник справляется с этим заданием. Действительно, мы не можем опустить перпендикуляр из точки A на отрезок BC, зато можем опустить его на прямую BC — то есть на продолжение стороны BC.

В этом случае в одной точке пересекаются не сами высоты, а их продолжения.

В прямоугольном треугольнике каждый катет является высотой к другому катету. Три высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине прямого угла.

Как доказать, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке?
Доказательство здесь: Свойство высот треугольника.

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Доказательство этой теоремы смотрите здесь: Свойства медиан треугольника.

Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.

У биссектрисы угла есть замечательное свойство — точки, принадлежащие ей, равноудалены от сторон угла. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.

Читайте доказательство теоремы о том, что три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке:
Свойства биссектрис треугольника.

Еще одно свойство биссектрисы часто применяется при решении задач.

Теорема. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон:

$displaystyle frac{a}{b}=frac{m}{n}$

Доказательство этой теоремы здесь: Свойство биссектрисы треугольника.

Разберем несколько задач, в которых речь идет о высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Все задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника.
Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть биссектрисы треугольник ABC (в котором угол C равен $90^{circ}$ ) пересекаются в точке M.

Рассмотрим треугольник ABM.

, тогда $angle AM mkern -3mu B=180^{circ} - angle M mkern -3mu AB - angle AB mkern -3mu M = 180^{circ} - 0,5 left( angle ABC + angle B mkern -3mu AC right)$ .

Острый угол между биссектрисами на рисунке обозначен varphi .

Угол varphi смежный с углом AMB , следовательно, .

Поскольку треугольник ABC — прямоугольный, то $angle ABC + angle B mkern -3mu AC = 90^{circ}$ .

Тогда $varphi = 0,5 left( angle ABC + angle B mkern -3mu AC right) = 90^{circ}:2=45^{circ}$ .

Ответ: 45.

Задача 2. Острые углы прямоугольного треугольника равны $29^{circ}$ и $61^{circ}$ . Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть CH — высота, проведенная из вершины прямого угла C, CK — биссектриса угла C.

Тогда $angle AC mkern -3mu H = angle ABC = 61^{circ}$ ;

$angle AC mkern -3mu K = 90^{circ}:2=45^{circ}$ .

Угол между высотой и биссектрисой — это угол .

$angle K mkern -2mu C mkern -2mu H = angle A mkern -1mu C mkern -2mu H - angle AC mkern -3mu K = 61^{circ}-45^{circ}=16^{circ}$ .

Ответ: 16.

Задача 3. Острые углы прямоугольного треугольника равны $24^{circ}$ и $66^{circ}$ . Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим треугольник АВС, в котором угол С – прямой, CD – высота, СМ – медиана.

$angle CAB=24^{circ }, angle ABC=66^{circ }.$ Требуется найти угол МСD.

Треугольник CMB – равнобедренный, т.к. медиана СМ равна половине гипотенузы АВ.

Следовательно, $angle MCB=angle MBC=66^{circ }.$

$angle BCD=angle BAC=24^{circ }.$

Искомый $angle MCD=angle MCB- angle BCD=66^{circ }-24^{circ }=42^{circ }.$

Ответ: 42.

Задача 4. Острые углы прямоугольного треугольника равны $27^{circ}$ и $63^{circ}$ . Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим треугольник АВС, в котором угол С – прямой, CL – биссектриса, СМ – медиана.

$angle CAB=23^{circ }, angle ABC=67^{circ }.$ . Требуется найти угол МСL.

Треугольник CMB – равнобедренный, т.к. медиана СМ равна половине гипотенузы АВ.

Следовательно, $angle MCB=angle MBC=67^{circ }.$

$angle BCL=angle ACL=90^{circ }:2=45^{circ },$ т.к. CL – биссектриса.

Искомый $angle MCL=angle MCB- angle BCL=67^{circ }-45^{circ }=22^{circ }.$

Ответ: 22.

Задача 5. Два угла треугольника равны $58^{circ}$ и $72^{circ}$ . Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Из треугольника ACH (угол H — прямой) найдем угол CAH. Он равен $18^{circ}$ .

Из треугольника ACK ( K — прямой) найдем угол ACK. Он равен $32^{circ}$ .

В треугольнике AOC известны два угла. Найдем третий, то есть угол AOC, который и является тупым углом между высотами треугольника ABC:

$angle AOC = 180^{circ} - 18^{circ} - 32^{circ} = 130^{circ}$ .

Ответ: 130.

Задача 6. В треугольнике ABC угол С равен $58^{circ}$ , AD и BE — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть в треугольнике ABC угол BAC равен A, угол ABC равен B.

Рассмотрим треугольник AOB.

, тогда $angle AO mkern -2mu B = 180^{circ} - left( angle A + angle B right)$ .

Из треугольника ABC получим, что $angle A + angle B = 180^{circ} - 58^{circ} = 122^{circ}$ .

Тогда $angle AO mkern -2mu B = 180^{circ} - left( angle A + angle B right) = 180^{circ}-61^{circ}= 119^{circ}$ .

Ответ: 119.

Задача 7. В треугольнике ABC угол A равен $60^{circ}$ , угол B равен $82^{circ}$ . AD, BD и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Найдем угол ACB. Он равен $38^{circ}.$

Тогда $angle AC mkern -3mu F = angle AC mkern -3mu B = 19^{circ}.$

Из треугольника ACF найдем угол $angle AF mkern -2mu C = angle AC mkern -3mu B = 19^{circ}$ . Он равен $101^{circ}$ .

Рассмотрим треугольник AOF.

$angle AF mkern -2mu O = 101^{circ}$ , $angle F mkern -3mu AO = angle B mkern -3mu AC = 30^{circ}$ . Значит $angle AO mkern -3mu F = 49^{circ}$ .

Ответ: 49.

Задача 8. В треугольнике ABC, CD — медиана, угол ACB равен $90^{circ}$ , угол B равен $58^{circ}$ . Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы.

Поэтому

Треугольник ADC равнобедренный, следовательно, углы при основании равны:

Поскольку в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусов, получим:

$angle CAD=90^{circ }-angle ABC=90^{circ }-58^{circ }=32^{circ }.$

$angle ACD=angle CAD=32^{circ }.$

Ответ: 32.

Задача 9. В треугольнике АВС АD — биссектриса, угол С равен $50^{circ}$ . Угол САD равен $28^{circ}$ . Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Поскольку AD – биссектриса, то $angle A=2cdot angle CAD=2cdot 28^{circ }=56^{circ }.$

Сумма углов треугольника равна $180^{circ}$ , следовательно,

$angle B=180^{circ }- angle A-angle C=180^{circ }-50^{circ }-56^{circ }=74^{circ }.$

Ответ: 74.

Задача 10. В треугольнике АВС CH – высота, AD – биссектриса, О – точка пересечения прямых CH и AD, угол BAD равен $26^{circ}$ . Найдите угол АОС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол АОС – внешний в треугольнике АНО, следовательно,

$angle AOC=angle OAH+angle AHO=26^{circ }+90^{circ }=116^{circ }.$

Ответ: 116.

Задача 11. В треугольнике АВС проведена биссектриса AD и AB = AD = CD. Найдите меньший угол треугольника АВС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

AD = CD, следовательно, треугольник ADC – равнобедренный и

AD — биссектриса, следовательно,

AB = AD, следовательно, треугольник ABD – равнобедренный и

– внешний в треугольнике ADC, следовательно,

Таким образом, наименьшим углом треугольника АВС является , два других угла – в два раза больше.

Воспользуемся тем, что сумма углов треугольника АВС равна $180^{circ}$ :

$angle A+angle B+angle C=2alpha +2alpha +alpha =5alpha =180^{circ }$ , откуда получаем: $alpha =180^{circ }:5=36^{circ }.$

Наименьший угол треугольника АВС равен $36^{circ}$ .

Ответ: 36.

Задача 12. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки 2,8 и 4,2. Периметр треугольника равен 22. Найдите стороны треугольника.

Решение:

Пусть стороны треугольника равны a, b и . Биссектриса делит сторону c на отрезки 2,8 и 4,2.
Значит,

В соответствии со свойством биссектрисы:

$displaystyle frac{a}{b}=frac{2,8}{4,2}=frac{28}{42}=frac{2}{3}.$

Или: $displaystyle a=frac{2}{3}b.$

Одновременно выполнено условие для периметра:

Тогда $displaystyle frac{5}{3}b=15, b=9, a=6.$

Ответ: 9, 6, 7.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Перпендикуляр от точки к прямой

Отрезок (AC) называется перпендикуляром, проведённым из точки (A) прямой (a), если прямые (AC) и (a) перпендикулярны.

Точка (C) называется основанием перпендикуляра.

От точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Докажем, что от точки (A), не лежащей на прямой (BC), можно провести перпендикуляр к этой прямой.

Допустим, что дан угол

∠ABC

Отложим от луча (BC) угол, равный данному, и совместим эти углы накладыванием (представим, что сложим лист бумаги с равными углами по стороне (BC)).

Сторона (BA) совместится со стороной

BA1

При этом точка (A) наложится на некоторую точку

Следовательно, совмещается угол

∠ACB

∠A1CB

Но углы

∠ACB

∠A1CB

— смежные, значит, каждый из них прямой.

Прямая

AA1

перпендикулярна прямой (BC), а отрезок (AC) является перпендикуляром от точки (A) к прямой (BC).

Если допустить, что через точку (A) можно провести ещё один перпендикуляр к прямой (BC), то он бы находился на прямой, пересекающейся с

AA1

. Но две к одной и той же прямой перпендикулярные прямые должны быть параллельны и не могут пересекаться.

Это противоречие, что означает: через данную точку к прямой можно провести только один перпендикуляр.

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Поэтому для построения медианы необходимо выполнить следующие действия:
1) найти середину стороны;
2) соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком — это и будет медиана.

У треугольника три стороны, следовательно, можно построить три медианы.

Все медианы пересекаются в одной точке.

Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.

Поэтому для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия:
1) построить биссектрису какого-либо угла треугольника (биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части);
2) найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной;
3) соединить вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне отрезком — это и будет биссектриса треугольника.

У треугольника три угла и три биссектрисы.

Все биссектрисы пересекаются в одной точке.

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Поэтому для построения высоты необходимо выполнить следующие действия:
1) провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника (в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике);
2) из вершины, лежащей напротив проведённой прямой, опустить перпендикуляр к ней (перпендикуляр — это отрезок, проведённый из точки к прямой, составляющей с ней угол 90°) — это и будет высота.

Так же как медианы и биссектрисы, треугольник имеет три высоты.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Но, как выше упомянуто, для некоторых видов треугольников построение высот и точки их пересечения отличаются.

Если треугольник с прямым углом, то стороны, образующие прямой угол, можно назвать высотами, так как они перпендикулярны одна к другой. Точкой пересечения высот является общая вершина перпендикулярных сторон.

Если треугольник с тупым углом, то высоты, опущенные с вершин острых углов, выходят вне треугольника к продолжениям сторон. Прямые, на которых расположены высоты, пересекаются вне треугольника.

Обрати внимание!

Если из одной и той же вершины провести медиану, биссектрису и высоту, то медиана окажется самым длинным отрезком, а высота — самым коротким отрезком.

Равнобедренный треугольник

Если у треугольника две стороны равны, то такой треугольник называют равнобедренным.

Равные стороны называют боковыми, а третью сторону — основанием.

(AB = BC) — боковые стороны , (AC) — основание.

Если у треугольника все три стороны равны, то такой треугольник является равносторонним.

Равнобедренный треугольник имеет некоторые свойства, которые не имеют треугольники с разными сторонами.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.

4. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является биссектрисой и медианой.

Первое и второе свойство можно доказать, если докажем равенство двух треугольников, которые образуются, если из угла напротив основания провести биссектрису (BD).

Рассмотрим равнобедренный треугольник (ABC) с основанием (AC) и докажем, что

ΔABD=ΔCBD

Пусть (BD) — биссектриса треугольника (ABC).

ΔABD=ΔCBD

по первому признаку равенства треугольников ((AB = BC) по условию, (BD) — общая сторона,

∠ABD=∠CBD

, так как (BD) — биссектриса).

У равных треугольников равны все соответствующие элементы:

∠A=∠C

— доказано, что прилежащие основанию углы равны.

2. (AD = DC) — доказано, что биссектриса является медианой.

∠ADB=∠CDB

— так как смежные углы, сумма которых

180°

, равны, то каждый из них равен

90°

, то есть медиана является высотой.

Можно очень легко самостоятельно доказать и третье, и четвёртое свойства.

Источник

Найти сторону, высоту, биссектрису, медиану треугольника

Формулы для треугольника

Требуется найти длину стороны, высоты, медианы или биссектрисы в треугольнике ? Все просто, нажимаем на нужную ссылку выше. Если требуется, вывести все формулы на странице, нажимаем на ссылку:

Все формулы раздела

Подробности

Автор: Administrator

Опубликовано: 06 октября 2013

Обновлено: 14 ноября 2017

Источник

Определения

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Теорема

В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).

Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

[{Large{text{Медиана}}}]

Теорема

В любом треугольнике медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1), считая от вершины.

Доказательство

Пусть (AD) и (BE) – медианы в треугольнике (ABC), (O) – точка пересечения (AD) и (BE).

(DE) – средняя линия в треугольнике (ABC), тогда (DEparallel AB), значит (angle ADE = angle BAD), (angle BED = angle ABE), следовательно, треугольники (ABO) и (DOE) подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников (ABO) и (DOE): (dfrac{BO}{OE} =
dfrac{AB}{DE} = dfrac{2}{1}).

Для других медиан треугольника (ABC) требуемое свойство доказывается аналогично.

Теорема

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (равновеликие треугольники – это треугольники, у которых площади равны).

Доказательство

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию: (S_{ABC} = 0,5cdot ACcdot
h).

Пусть (BD) – медиана в треугольнике (ABC), тогда (AD = DC).

(S_{ABD} = 0,5cdot ADcdot h),

(S_{BCD} = 0,5cdot DCcdot h).

Так как (AD = DC), то (S_{ABD} = S_{BCD}), что и требовалось доказать.

Теорема

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Верно и обратное: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то она проведена из вершины прямого угла.

Доказательство

1) Докажем, что если (triangle ABC) – прямоугольный, то (BM=frac12AC), где (M) – середина гипотенузы (AC).

Достроим треугольник (ABC) до прямоугольника (ABCD) и проведем диагональ (BD). Т.к. в прямоугольнике диагонали делятся точкой пересечения пополам и равны, то (ACcap BD=M), причем (AM=MC=BM=MD), чтд.

2) Докажем, что если в треугольнике (ABC) медиана (BM=AM=MC), то (angle B=90^circ).

Треугольники (AMB) и (CMB) – равнобедренные, следовательно, (angle
BAM=angle ABM=alpha, quad angle MBC=angle MCB=beta).

Т.к. сумма углов в треугольнике равна (180^circ), то для (triangle
ABC):

(alpha+(alpha+beta)+beta=180^circ Rightarrow
alpha+beta=90^circ Rightarrow angle B=90^circ), чтд.

[{Large{text{Биссектриса}}}]

Теорема

Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:

Верно и обратное: если отрезок, проведенный из вершины треугольника к стороне, делит эту сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то это биссектриса.

Доказательство

Площади треугольников, у которых есть равные углы, относятся как произведения сторон, образующих эти углы, то есть [dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = dfrac{ACcdot CD}{CBcdot CD} =
dfrac{AC}{CB}]

С другой стороны, (dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = dfrac{0,5cdot
ADcdot h}{0,5cdot DBcdot h}), где (h) – высота, проведённая из точки (C), тогда (dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = dfrac{AD}{DB}).

В итоге (dfrac{AD}{DB} = dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} =
dfrac{AC}{CB}), откуда (dfrac{AD}{AC} = dfrac{DB}{BC}), что и требовалось доказать.

Теорема

Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе.

Верно и обратное: если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от его сторон.

Доказательство

1) Докажем, что если (KA=KB), то (OK) – биссектриса.
Рассмотрим треугольники (AOK) и (BOK): они равны по катету и гипотенузе, следовательно, (angle AOK=angle BOK), чтд.

2) Докажем, что если (OK) – биссектриса, то (KA=KB).
Аналогично треугольники (AOK) и (BOK) равны по гипотенузе и острому углу, следовательно, (KA=KB), чтд.

Источник

Определение

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек на плоскости, которые не лежат на одной прямой, и трех последовательно соединяющих их отрезков.

Точки называют вершинами треугольника, а отрезки – сторонами. Вершины треугольника обозначают заглавными латинскими буквами.

Виды треугольников по углам

Треугольники классифицируются по углам: остроугольные; тупоугольные; прямоугольные.

Виды треугольников по сторонам

Треугольники классифицируются по сторонам: разносторонний; равнобедренный; равносторонний.

Медиана, биссектриса, высота, средняя линия треугольника

Медиана

Определение

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

В любом треугольнике можно провести три медианы, так как сторон – три. На рисунке показаны медианы треугольника АВС: AF, EC, BD.

По данному рисунку также видно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке – точке О. Это справедливо для любого треугольника.

Биссектриса

Определение

Биссектрисой треугольника называется луч, исходящий из вершины угла треугольника и делящий его пополам.

В любом треугольнике можно провести три биссектрисы, так как углов – три. На рисунке показаны биссектрисы треугольника ЕDC: DD₁, EE₁ и CC₁.

По рисунку также видно, что биссектрисы имеют одну точку пересечения. Это справедливо для любого треугольника.

Высота

Определение

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне.

На рисунке показаны высоты треугольника АВС: АН₁, ВН₂ и СН₃.

По рисунку видно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Это также справедливо для любого треугольника.

Средняя линия

Определение

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. На рисунке показаны три средние линии треугольника АВС: MN, KN и MK.

Средняя линия обладает следующими свойствами: она параллельна противоположной стороне; она равна половине противоположной стороны. Так, на данном рисунке MN параллельна АС, KN параллельна АВ, MK параллельна ВС. Также MN=0,5АС, KN=0,5АВ и MK=0,5ВС. Например, если известно, что сторона АС=20 см, то средняя линия МN равна половине АС, то есть МN=10 см. Или, например, если средняя линия МК=12 см, то сторона ВС будет в два раза больше, то есть ВС=24 см.

Задание 25OM21R

В треугольнике АВС известны длины сторон АВ=36, АС=54, точка О – центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая ВD, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке D. Найдите СD.

Выполним чертеж окружности, описанной около треугольника АВС, покажем на нём все дополнительные элементы.

При построении прямой АО образовалась точка пересечения этой прямой с окружностью, обозначим её буквой Е и соединим с точкой В и с точкой С. Получим вписанные углы АВЕ и АСЕ, опирающиеся на диаметр АЕ, следовательно угол АВЕ и АСЕ равны по 90⁰.

Рассмотрим треугольники АВЕ и АВF: у них углы АВЕ и АFВ прямые, угол ЕАВ – общий, следовательно, эти треугольники подобны.

Составим отношение сторон:

AEAB=ABAF откуда по свойству пропорции АВ²=АЕ∙АF

Рассмотрим треугольники АСЕ и ADF, у которых углы АСЕ и AFD прямые, а угол FAD – общий. Значит, треугольники АСЕ и ADF подобны.

Составим отношение сторон:

AEAD=ACAF ; откуда выразим AD=AE∙AFАC=AE∙AFAC

Теперь рассмотрим наши два полученных равенства: АВ²=АЕ∙АF и AD=AE∙AFAC

Видим, что 36²=АЕ∙АF (подставили вместо АВ значение 36), также у нас известно, что АС=54. Найдем из второго равенства AD=AE∙AFAC=36254=24

Теперь найдем CD=AC-AD=54-24=30

Ответ: 30

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание 18OM21R

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен треугольник АВС. Найти длину его средней линии, параллельной стороне АС.

Для решения задачи надо вспомнить свойство средней линии: она параллельна основанию и равна его половине. Следовательно, чтобы найти длину средней линии, надо сторону треугольника разделить пополам. Найдем сторону треугольника, которой параллельна средняя линия, т.е. АС, сосчитав клетки, получим, что АС равна 8. Значит, средняя линия равна 8:2=4.

Ответ: 4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание 15OM21R

В треугольнике АВС известно, что угол ВАС равен 84⁰, АD – биссектриса. Найдите угол ВАD. Ответ дайте в градусах.

Ключевое слово в данной задаче – биссектриса. Вспоминаем, что она делит угол пополам. Нам надо найти величину угла ВАD, следовательно он равен половине угла ВАС, то есть 84⁰:2=42⁰

Ответ: 42

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Даниил Романович | Просмотров: 7.8k

Источник