Определение.
Сложные проценты — эффект часто встречающийся в экономике и финансах, когда проценты прибыли в конце каждого периода прибавляются к основной сумме и полученная величина в дальнейшем становится исходной для начисления новых процентов.
Формула вычисления сложных процентов
где B — будущая стоимость;
A — текущая стоимость;
P — процентная ставка за расчетный период (день, месяц, год, …);
n — количество расчетных периодов.
Примеры решения задач на вычисление сложных процентов
Пример 1.
Найти прибыль от 30000 рублей положенных на депозит на 3 года под 10% годовых, если в конце каждого года проценты добавлялись к депозитному вкладу.
Решение: Используем формулу для вычисления сложных процентов:
| B = 30000(1 + | 10% | )3 = 30000 · 1.13 = 39930 |
| 100% |
прибыль равна
39930 — 30000 = 9930
Ответ: прибыль 9930 рублей.
Пример 2.
Зная что годовая процентная ставка депозита равна 12%, найти эквивалентную ей месячную процентную ставку.
Решение:
Если положить в банк A рублей, то черех год получим:
Если проценты начислялись каждый месяц с процентной ставкой х, то по формуле сложных процентов через год (12 месяцев)
Приравняв эти величины получим уравнение, решение которого позволит определить месячную процентную ставку
| A(1 + | 12% | ) = A(1 + | x | )12 |
| 100% | 100% |
x = (12√
1.12
— 1)·100% ≈ 0.9488792934583046%
Ответ: месячная процентная ставка равна 0.9488792934583046%.
N.B. Из решения этой задачи можно видеть, что месячная процентная ставка не равна годовой ставке поделенной на 12.
Пример 3.
В банк на депозит на 3 года положили 30000 рублей под 10% годовых. а) Найдите насколько прибыльнее был бы вариант, когда годовой доход добавлять к счету, на который в будут начисляться проценты, чем вариант, когда проценты каждый год забираются клиентом? б) Какая будет разница через 10 лет?
Решение:
а) Для первого случая используем формулу для вычисления сложных процентов:
| 30000(1 + | 10% | )3 = 30000 · 1.13 = 39930 |
| 100% |
прибыль в этом случае равна
39930 — 30000 = 9930
Во втором случае годовой доход будет равен
соответственно прибыль за три года будет равна
3000 · 3 = 9000
Первый метод будет выгоднее второго на
9930 — 9000 = 930 рублей
б) Для первого случая используем формулу для вычисления сложных процентов:
| 30000(1 + | 10% | )10 = 30000 · 1.110 ≈ 77812.27 |
| 100% |
прибыль в этом случае равна
77812.27 — 30000 = 47812.27
Во втором случае годовой доход будет равен
соответственно прибыль за десять лет будет равен
3000 · 10 = 30000
Первый метод будет выгоднее второго на
47812.27 — 30000 = 17812.27 рублей
Ответ: а) 900 рублей; б) 17812.27 рублей.
Задача 1
Через
сколько лет первоначальная сумма увеличится в 1000 раз, если на нее начисляются
сложные годовые проценты по ставке 12% при: а) начислении процентов в конце
года; б) ежемесячном начислении процентов?
Задача 2
Господин
Н поместил в банк 50 тыс. руб. на условиях начисления каждый квартал сложных
процентов по годовой ставке 12%. Через полтора года он снял со счета 20 тыс.
руб., а через 2 года после этого закрыл счет. Определить сумму, полученную им
при закрытии счета.
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Задача 3
Два
денежных взноса, один из которых на 30 000 руб. больше другого, вырастут за 15
лет с процентной ставкой 6% так, что вместе составят 100 000 руб. Капитализация
полугодовая. Чему равны эти два денежных взноса?
Задача 4
Необходимо
инвестировать 350 000 руб. сроком на три года. Есть два варианта: вклад с
простой процентной ставкой 15% и вклад с ежедневным начислением сложных
процентов по годовой ставке 14%. Определите наиболее выгодный для инвестора
вариант расчета процентов и вложения средств.
Задача 5
10 млн.
руб. инвестированы на два года по ставке 30% годовых. Требуется найти
наращенную сумму за два года, если начисление процентов производится: а) по
полугодиям; в) ежеквартально.
Задача 6
11 лет
назад в банк было вложено 34560 руб., а 5 лет назад – 45000 руб. Какой капитал
нужно вложить сегодня, чтобы сумма всех вложений через 16 лет была равна 835000
руб. Процентная ставка равно 10%, а капитализация годовая.
Задача 7
Первоначальный
долг в размере 10000 руб. через 180 дней вырос до 20000 руб. Определить годовую
процентную ставку, по которой начислялись проценты:
а)
простые проценты;
б)
сложные проценты один раз в год;
Задача 8
На вклад
в размере 15000 руб. ежеквартально начисляются проценты по номинальной годовой
процентной ставке 12%. Какой будет величина вклада через 1,5 года?
Задача 9
Определить
ставку начисления сложных процентов, если известно, что по истечении 3 лет было
получено 240 000 руб., при этом начальная сумма вклада составляла 180 000 руб.
Задача 10
Вклад в
размере 20000 руб. под 10% годовых сроком на 2 года предусматривает начисление
и капитализацию процентов по полугодиям. Рассчитать величину вклада в конце
каждого квартала в течение срока вклада. Повторить расчет для случая начисления
простых процентов по той же ставке и сравнить полученные результаты.
Задача 11
На
начальную сумму в 1000$ в течение 4 лет начисляются каждые полгода сложные
проценты по номинальной ставке 5%. На сколько увеличится или уменьшиться
наращённая сумма, если номинальная ставка и число периодов капитализации процентов
возрастут вдвое?
Задача 12
Сумма
18000 руб. выплачивается через 3,8 года. Номинальная ставка процентов – 18,5%
годовых. Определить современную стоимость при ежемесячном начислении процентов.
Задача 13
Остров
Манхэттен был куплен в 1624 г. у индейского вождя за 24$. Стоимость земли этого
острова 350 лет спустя оценивалась в 40 млрд.$. При какой ставке годовых
процентов возможен такой рост?
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Задача 14
Вы
делаете вклад в банк в размере 100 тыс. руб. сроком на 5 лет. Банк начисляет 8
% годовых. Какая сумма будет на счете к концу срока, если начисление процентов
производится по схеме простых и сложных процентов: а) ежегодно б) каждые
полгода?
Задача 15
Кредит в
сумме 2500$ выдан на 8 лет. Сложная ставка годовых процентов менялась от
периода к периоду: на протяжении первых 3 лет действовала ставка 7,5%, в
следующие 3 года – 8%, в последнем периоде – 8,2%. Какую сумму нужно вернуть в
конце восьмого года?
Задача 16
Каково
минимально приемлемое значение годовой ставки сложных процентов, если ссуда
должна быть удвоена в течение 3-х лет.
Задача 17
Первоначальная
сумма ссуды 20,0 тыс. руб. срок ссуды 3 года, проценты начисляются в конце
каждого квартала по номинальной ставке 8 % годовых. Определить множитель
наращения и погашаемую сумму.
Задача 18
Первоначальная
сумма ссуды 50 тыс. руб. выдана на 2 года. Проценты начисляются по годовой
номинальной ставке 12%. Чему равна конечная сумма долга, если:
— проценты начисляются один раз в конце года,
— проценты начисляются четыре раза в год (в конце
каждого квартала).
Результаты
сравнить и сделать выводы.
Задача 19
Какова
ставка сложных процентов, если сумма долга удвоилась за 5 лет?
Задача 20
Вкладчик намерен положить деньги в
банк под 15% годовых. Определить сумму вклада, необходимую для накопления через
2 года 50 тыс. руб. в случае простых и сложных процентов.
Задача 21
На 1 марта 2011 г. принято
обязательство выплатить 1 млн. руб. (с процентами) к сроку 1 марта 2013 г. При
расчетах принять ставку (схема сложных процентов) 15% годовых. Требуется: найти
наращенную сумму долга к сроку выплаты.
Задача 22
За какой период первоначальный
капитал в размере 40000 руб. вырастет до 75000 руб. при простой (сложной)
ставке 15% годовых?
Задача 23
Сравнить сроки удвоения суммы 1000
руб. при начислении сложных процентов:
а) по полугодиям;
б) ежеквартально;
в) непрерывно.
Задача 24
Банк ежегодно начисляет сложные проценты на
вклады по ставке 25% годовых. Определить сумму, которую надо положить в банк,
чтобы через 3 года накопить 100 млн. руб.
Задача 25
Вкладчик закрывает в банке
двухгодичный депозит и получает сумму 124 тыс.р. Какую сумму он внес на депозит
два года назад, если сложная процентная ставка 11% с полугодовым начислением
процентов?
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Задача 26
Промышленное предприятие вносит на
счет в банке некоторую сумму, чтобы через пять лет обновить оборудование в
цехе. Сколько денег необходимо внести предприятию, если обновление цеха
обойдется 10.5 млн.р., а сложная ставка процента 10%, при ежеквартальном
начислении процентов.
Задача 27
Сравните скорость наращения суммы в 1000
руб. по простым и сложным процентам, если годовая ставка равна 20%, для сроков
в полгода, год, два года, три года. Сравните результаты, сделайте выводы.
Задача 28
Банк выдает ссуду на 10 лет или под
процент 7 % годовых (сложных), или под простые проценты. Какую ставку простых
процентов должен установить банк, чтобы полученный им доход не изменился?
Задача 29
Банк предоставил ссуду в размере
9000 рублей на 3.5 года под 20% годовых на условиях полугодового начисления
процентов. Определить возвращаемую сумму при различных схемах начисления
процентов: простых и сложных.
Задача 30
Банк начисляет проценты на вклады до
востребования по сложной ставке 9% годовых. Определить сумму вклада для
накопления через 1.5 года 50 тыс. рублей
Задача 31
Рассчитайте, какая сумма будет на
счете, если вклад 10000 руб. положен на 2,5 года по 9 процентов годовых. Решите
задачу для простых и сложных процентов, которые начисляются:
а) раз в год;
б) раз в полугодие;
в) ежеквартально;
г) ежемесячно;
д) ежедневно;
е) непрерывно.
Задача 32
Рассчитайте, какая сумма будет через
4 года на счете, если в конце каждого месяца вносится по 1000 руб. Проценты
сложные, начисление ежемесячное, годовая ставка 9%.
Задача 33
Фермер взял в банке кредит на сумму
5 млн. руб. под 8 % годовых (сложных). Через год он вернул банку 3 млн. руб., а
еще через год взял кредит на сумму 2 млн. руб. Через 2 года после этого фермер
вернул полученные кредиты полностью. Какую сумму он при этом выплатил банку?
Задача 34
Кредит в размере 910 000 руб.
выдан на два года и 80 дней под 16% годовых по сложной ставке. Найти сумму
долга на конец кредита.
Задача 35
За сколько лет долг возрастет с
750 000 руб. до 1 200 000 руб., если ставка сложная годовая 25%.
Задача 36
Кредит в размере 2.350.000 рублей
выдан на 4 года и 30 дней под 21% годовых по сложной ставке. Найти сумму долга
на конец срока кредита.
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Задача 37
За сколько лет долг возрастет с
830.000 рублей до 1.220.000 рублей, если ставка сложная годовая 18%.
Задача 38
Г-н Иванов может вложить деньги в банк, выплачивающий
проценты по ставке j6 = 10%. Какую сумму он должен вложить, чтобы получить
20000 руб. (е) через 3 года 3 месяца?
Задача 39
Банк выплачивает на вложенные в него
деньги 8% годовых (сложных). Какую ставку jm должен установить банк,
чтобы доходы клиентов не изменились, если (е) m = 4?
Задача 40
Определите время, за которое
происходит удвоение первоначальной суммы при начислении простых и сложных
процентов, если процентная ставка равна: а) 5 %; б) 10 %; в) 15 %; г) 25 %; д)
50 %; е) 75 %; ж) 100 %
Задача 41
Сумма выплаченных процентов
составляет 570 тыс. руб. Ссуда выдана сроком на 2 года. Ставка сложных
процентов составляет 10% годовых.
Определить:
1. Первоначальную сумму долга.
2. Величину наращенной суммы.
Задача 42
Банк на денежный вклад начисляет
проценты в размере 20%. Определить число лет, необходимое для увеличения
первоначального капитала в 3 раза при начислении простых и сложных процентов.
Задача 43
Определить число дней, за которое
начальный банковский депозит в 2174.03 руб. рублей достигнет величины 2775,64
руб. при сложной ставке наращения ic=11.43%.
Задача 44
Найдите период времени, за который
сумма, положенная на депозит, возрастет в 2 раза при начислении процентов:
а) По простой ставке 16%;
б) По сложной ставке 18%.
Задача 45
За сколько лет сумма в 1000 у.е.
достигнет 25000 у.е. при начислении % по сложной ставке в 16%:
а) Раз в год;
б) Поквартально
Задача 46
Ссуда в размере $100000 выдана на
пять с половиной лет под 6% годовых. Проценты начисляются в конце каждого
квартала. Найти сумму процентов к выплате.
Задача 47
Облигация стоит 18,75 тысяч рублей,
по ней выплачивается 25 тысяч рублей через 10 лет, какая процентная ставка j2
обеспечит этот рост?
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Задача 48
Депозит
рассчитывается по схеме сложных процентов с годовой процентной ставкой 10%. За
какое время первоначальная сумма увеличивается в 5 раз?
Задача 49
Определить
более выгодный вариант вложения денежных средств в объеме 200 тыс. руб.:
а) сроком
на 1 год, получая доход в виде простой процентной ставки 10% годовых;
б) по
сложной ставке 8% с поквартальной капитализацией.
Задача 50
Вы имеете
10 млн. р. и хотели бы удвоить эту сумму через 5 лет. Каково минимально
приемлемое значение процентной ставки?
Задача 51
На счете
в банке 1,2 млн. р. Банк платит 12,5% годовых. Предлагается войти всем
капиталом в совместное предприятие, при этом прогнозируется удвоение капитала
через 5 лет. Принимать ли это предложение?
Задача 52
Рассчитайте
наращенную сумму с исходной суммы в 2 млн. р. при размещении ее в банке при условиях
начисления: а) простых б) сложных процентов, если годовая ставка 15%, а периоды
начисления 90 дней, 180 дней, 1 год, 5 лет, 10 лет.
Задача 53
Владелец
80 тыс. руб. положил эту сумму в Сбербанк сроком на три года из расчета
процентной ставки, равной 10% годовых. Вычислите размер дохода по этому вкладу
за три года, исходя из того, что владелец денег не снимал проценты по
завершению первого и второго годов.
Задача 54
Рассчитать
сумму начисленных % (сложные %)
Период 5
лет
Годовая
процентная ставка 24%
Капитализация
– ежеквартальная
Вклад –
6000 руб.
Задача 55
Вклад в размере 8 тыс. руб. хранился
2 года под 7% годовых, 1 год – под 8% и 3 года – под 9% с полугодовой
капитализацией процентов. Определить сумму начисленных процентов.
Задача 56
Найти
срок долга, при котором сумма вклада удвоится, если процентная ставка сложных
процентов j=0,22
. Проценты начисляются 4
раза в год.
Задача 57
Клиент
желает накопить 20 000 руб. через три года 5 месяцев. Банк начисляет проценты
по сложной номинально процентной ставки 12 % годовых с ежеквартальным
начисление процентов. Какую сумму должен вложить клиент?
Задача 58
Определить
минимальную годовую ставку сложных процентов, необходимую для удвоения
банковского вклада в течение 4 лет.
Задача 59
Банк
начисляет 20% годовых. Чему должен быть равен первоначальный вклад, чтобы через
3 года иметь на счете 4 млн. р., если проценты начисляются ежеквартально.
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Задача 60
Банк
начисляет 20% годовых. Чему должен быть равен первоначальный вклад, чтобы через
3 года иметь на счете 15 млн. р., если проценты начисляются ежеквартально.
Задача 61
Найдите
период времени, за который сумма, положенная на депозит, возрастет в 2 раза при
начислении процентов:
а) По
простой ставке 17%;
б) По
сложной ставке 18%.
Задача 62
За
сколько лет сумма в 1000 у.е. достигнет 25000 у.е. при начислении % по сложной
ставке в 17%:
а) Раз в
год;
б)
Поквартально
Задача 63
Гражданин
решил купить легковой автомобиль за 595 тыс. руб. Какая годовая ставка сложных
процентов по депозиту в банке обеспечит накопление необходимо суммы через 4
года, если сейчас у гражданина имеется всего 265 тыс. руб.?
Задача 64
Сколько
времени потребуется для того, чтобы начисленные проценты сравнялись с
первоначальной вложенной суммой, если сложная годовая учетная ставка составляет
9,5%? Дробную часть года перевести в дни, используя временную базу в 365 дней.
Задача 65
В долг
предоставлена сумма в 50 тыс. руб. с условием возврата 85 тыс. руб. через 28
месяцев. Найдите доходность данной финансовой операции в виде сложной процентной
ставки. Временная база 360 дней.
Задача 66
Годовая ставка сложных процентов
равна 8 %. Через сколько лет начальная сумма удвоится?
Задача 67
Банк
предоставил ссуду в размере 150 тыс. руб. на 39 месяцев под процентную ставку
30% годовых на условиях единовременного возврата основной суммы долга и
начисленных сложных процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку при
различных вариантах начисления сложных процентов: а) годовом; б) полугодовом;
в) ежеквартальном.
Задача 68
Клиенту
требуется через полгода иметь на счете 10 млн. рублей. На какую процентную
ставку рассчитывает вкладчик, если собирается положить в банк 9,8 млн. рублей
(проценты начисляются ежеквартально).
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Задача 69
Стоимость
нового автомобиля составляет 15000 долларов. Если процентная ставка в банке на
вклады сроком более года равна 6%, на какую сумму следует открыть депозит,
чтобы собрать в течение двух лет 15000 долларов? Проценты по вкладу начисляются
ежеквартально.
Задача 70
Рассчитайте,
какая сумма окажется на счете, если 28 тыс. денежных единиц размещены на 33
года под 13,5% годовых. Проценты начисляются каждые полгода.
Задача 71
Господин
Филиппов хочет вложить 5 тыс. руб., чтобы через 2 года получить 7 тыс. руб. Под
какую процентную ставку
он должен вложить свои деньги?
Задача 72
Сумма
размером 5 тысяч рублей инвестирована на 1 год по ставке 15% годовых. Найдите
наращенную за это время сумму и ее приращение при начислении процентов: а)
ежегодно; б) по полугодиям; в) ежеквартально; г) ежемесячно.
Задача 73
В течение
семи лет на первоначальную сумму начислялись сложные проценты по ставке 13%.
Определите современную величину суммы в 330 млн.р., если проценты начислялись:
а) один
раз в год;
б) один
раз в полгода.
Задача 74
Кредит
получен в сумме 5000000 руб. В конце срока долга уплатили 12000000 руб.
Определить срок долга, если начисляются сложные проценты ежемесячно по годовой
процентной ставке 0,13.
Задача 75
За какой срок первоначальный капитал
в 58 млн. д.е. увеличивается до 180 млн. д.е. если:
А) на него будут начисляться сложные
проценты по ставке 24% годовых;
Б) проценты будут начисляться
ежеквартально?
Задача 76
Вкладчик
положил в банк под сложную ставку 18% годовых 3000 руб. Какая сумма будет на
счете вкладчика а) через 3 месяца; б) через год; в) через 3,5 года?
Задача 77
Депозит
рассчитывается по схеме сложных процентов с годовой процентной ставкой 10%. За
какое время первоначальная сумма увеличивается в 5 раз?
Привет всем читателям Блога Вебинвестора! Думаю, каждый из вас сталкивался с начислением процентов на денежную сумму — по депозиту, по кредиту, расчётом доходности инвестиций и так далее. Так вот, если повторить эту процедуру много раз, вложения начинают расти всё быстрее и быстрее благодаря эффекту сложного процента! Воистину, это один из главных секретов, как с помощью инвестирования увеличить количество нулей в сумме на вашем банковском счёте.
Эта статья входит в бесплатное обучение инвестициям с нуля на Блоге Вебинвестора. В комментариях к статье вы можете оставлять любые вопросы по теме и я постараюсь подробно на них ответить.
Приглашаю подписываться на мой Telegram-канал Блог Вебинвестора! Там вы найдёте еженедельные отчёты по инвестициям, аналитические материалы, комментарии по важным новостям и многое другое. Также прошу делиться ссылкой на блог в социальных сетях и мессенджерах:
Что такое простой и сложный процент
и чем они отличаются
Понятие простых и сложных процентов — один из самых важных уроков по финансовой грамотности, которые вы должны знать. Они встречаются в нашей жизни повсюду: от ежедневных покупок (кэшбек, бонусы) до инвестирования (проценты на депозит, дивиденды, комиссии и т.д.) и оказывают незаметное, но существенное влияние на ваш кошелек на длинной дистанции. Чтобы наглядно увидеть различия между простыми и сложными процентами, давайте рассмотрим примеры.
Простой процент — прибыль в % начисляется только на первоначальную сумму вклада и сразу выводится.
Допустим, вы открыли депозит 10000$ под 10% годовых, проценты начисляются раз в год. По схеме простого процента каждые 12 месяцев вы будете получать 1000$ прибыли, но она не остаётся на депозите и сразу же выводится. В итоге прирост прибыли будет выглядеть так:
Всё «просто» — каждый год плюс тысяча в карман. Простой процент используется в случаях, когда база начисления процентов не изменяется. Это могут быть специальные банковские депозиты, проценты по кредиту. Также простой процент используется, когда инвестор регулярно выводит прибыль — в каждый период времени работает первоначальная сумма.
Сложный процент — проценты начисляются на первоначальную сумму вклада плюс всю полученную до этого прибыль. Понятия «реинвестирование» и «капитализация» по сути означают использование сложного процента.
Для сравнения пусть будет тот же депозит 10000$ под 10%, но банк в этот раз разрешает оставить прибыль на счёте. Вот что произойдёт с вкладом за 10 лет:
В первый год разницы нет — всё та же тысяча, но поскольку сумма на депозите теперь растёт, уже на втором году прибыль увеличивается: 2100$ вместо 2000$, за третий год 3310$ вместо 3000$ и так далее. За 10 лет доходность нашего депозита составила 159% вместо 100% когда мы выводили прибыль. Неплохая прибавка, не так ли? А вот что случится еще через несколько десятилетий:
Впечатляет! Чем дольше открыт депозит, тем сильнее работает эффект сложного процента — за 50 лет можно увеличить депозит не в 6, а более чем в 100 раз. Вот как это выглядит на графике:
без капитализации депозит растёт линейно,
а с капитализацией — по экспоненте
Теперь киношные истории про забытые банковские счета, на которых накопились миллионы долларов выглядят вполне реальными 
Конечно, 50 лет это много, но правило сложного процента неплохо работает и на более коротких промежутках времени — всё зависит от доходности вклада. Если хочется заработать больше, стоит использовать более прибыльные способы инвестирования: акции, драгоценные металлы, криптовалюты, валютный рынок и так далее.
Думаю, суть понятна, теперь давайте пройдемся по математической стороне вопроса, а потом рассмотрим несколько типичных примеров задач.
⬆️ К СОДЕРЖАНИЮ ⬆️
Формулы простых и сложных процентов
Поскольку простые и сложные проценты чаще всего используются при расчете прибыли от банковских вкладов, продолжим на их примере. Для решения задач нам понадобится такая информация:
- К0 — начальная сумма вклада;
- К — конечная сумма вклада;
- R — ставка доходности, переводится из процентов в число (10% = 0.1);
- N — количество периодов (лет).
Формула простого процента
По этой формуле мы можем рассчитать конечную сумму вклада без капитализации полученной прибыли. Для этого нужно знать начальную сумму вклада, процентную ставку за 1 период инвестирования и временной интервал. Если конечная сумма задана сразу и нужно найти другую неизвестную переменную, используйте производные формулы простого процента:
Формула сложного процента
По этой формуле мы можем посчитать конечную сумму вклада с учётом капитализации полученной прибыли, зная начальный депозит, процентную ставку и нужный временной интервал. Для решения задач также можно использовать производные формулы сложного процента:
На практике часто дело не заканчивается первоначальным депозитом — многие пользуются регулярными пополнениями, например делают регулярные инвестиции из зарплаты. Для этих случаев формула сложного процента становится длиннее:
где D — сумма регулярных пополнений банковского депозита. Обратите внимание, степень N-1 означает, что доливки начинаются со второго инвестиционного периода (если сумма дополнительных инвестиций вносится сразу, то N-1 меняется на N).
Ну что, удачи на экзаменах всем читающим меня студентам Для закрепления далее мы разберем несколько примеров задач на сложные проценты.
⬆️ К СОДЕРЖАНИЮ ⬆️
Примеры решения задач
по сложным процентам
В этом разделе мы пройдемся по некоторым типичным задачам на сложные проценты. Также вы найдете шаблоны расчётов в Excel, в которых можно поменять вводные данные и получить нужное вам решение.
Задача №1. Рассчитать прибыль по вкладу на 5 лет под 10% годовых, начальная сумма вложений 100000 рублей (с капитализацией).
Находим конечную сумму вклада по формуле сложных процентов:
Вычисляем прибыль:
Результат: инвестор через 5 лет получит 61051 рублей прибыли.
Задача №2. Рассчитать прибыль по вкладу на 10 лет под 10% годовых с капитализацией. Начальная сумма вложений 50000 рублей, дополнительно каждый год начиная с первого счёт пополняется на 10000 рублей.
Сначала находим конечную сумму по формуле сложного процента с регулярными пополнениями:
Учитывая, сколько инвестировано за 10 лет (50000 сразу и еще 9 раз по 10000), вычисляем прибыль:
Результат: инвестор через 10 лет получит 139061 рубль прибыли, инвестировав 140000 рублей.
Задача №3. Рассчитать, сколько времени понадобится инвестору, чтобы увеличить капитал с 500000 до 1000000 рублей. Средняя доходность портфеля — 12% годовых, прибыль реинвестируется.
У нас есть все необходимые данные, используем одну из производных формул сложных процентов:
Решение: инвестору понадобится чуть больше 6 лет.
Задача №4. Посчитать среднюю процентную ставку, которая позволит превратить 100000 рублей в 500000 рублей за 10 лет путём инвестирования. Прибыль реинвестируется.
Используем одну из производных формул сложных процентов:
Решение: инвестору нужно вложить деньги под 17.5% годовых (довольно сложно на практике, кстати).
Думаю, этого достаточно. Если ваша задача не похожа ни на одну из предыдущих, возможно вам поможет информация из следующего раздела статьи.
⬆️ К СОДЕРЖАНИЮ ⬆️
Калькулятор сложных процентов в Excel
Конечно же, задачи на сложные проценты целесообразнее решать в MS Excel по уже известным вам из предыдущих разделов формулам. По ходу статьи вы уже могли скачать некоторые примеры типичных задач, но если этого мало — предлагаю полную подборку калькуляторов по сложным процентам, реализованную в одном Excel-файле. Получить его можно бесплатно, просто заполните форму ниже:
Если письмо не пришло, проверяйте папку «Спам», иногда попадает туда. Если не видите форму подписки, оставьте комментарий к статье и я добавлю ваш электронный адрес вручную.
Вот какие задачи по простым и сложным процентам может решать «Коллекция калькуляторов для инвестора»:
- расчёт конечной суммы вклада;
- расчёт начальной суммы вклада;
- расчёт необходимой процентной ставки;
- расчёт срока инвестирования;
- расчёт конечной суммы вклада с учётом регулярных пополнений и капитализацией;
- ожидаемый пассивный доход в каждом из случаев.
В будущем я планирую добавить много калькуляторов по самым разным темам, оставляйте свои пожелания в комментариях!
Пример одного из калькуляторов для расчёта сложных процентов в Excel:
Дополнительно к каждому калькулятору автоматически строится график доходности вклада с капитализацией и без:
А также уже знакомые вам таблицы:
Думаю, файл будет полезен и для практического использования, и в обучающих целях — в готовом виде есть все формулы, по которым можно считать сложные проценты в Excel.
⬆️ К СОДЕРЖАНИЮ ⬆️
Как использовать сложные проценты
в инвестировании
Как вы уже знаете, получаемая от инвестиций прибыль — это важный инструмент, который на большой дистанции может во много раз увеличить доходность ваших вложений. Метод повторного вложения прибыли называется реинвестированием.
Статья в тему: Как деньги делают еще больше денег или Что такое реинвестирование
Безусловно, использовать эффект сложного процента должен каждый инвестор, однако на практике это не так просто как кажется. Существует несколько проблем, которые мешают теоретически супервыгодное реинвестирование реализовать в реальных условиях. Например, вряд ли вы слышали о людях, ставших миллиардерами через банковские депозиты. Дело в том, что деньги постоянно обесцениваются из-за инфляции — постоянного повышения цен на товары и услуги. На самом деле ставка банковских депозитов обычно примерно равна инфляции или даже ниже, поэтому реальная доходность вкладов не впечатляет:
Источники: statbureau.org
Даже если оставить удачный бескризисный отрезок 2010-2020 годов, доходность банковского вклада с учётом инфляции была в районе 1-2% годовых в рублях. Не говоря уже о доходности в долларах, которая после 2014 года, очевидно, находится в еще большем минусе.
Кроме инфляции сильно повлиять на итоговую доходность инвестиций могут разнообразные комиссии. Если их размер зависит от суммы инвестиций, убытки накапливаются по правилу сложных процентов, но уже с негативным эффектом. Это значит, что за несколько десятков лет инвестор может потерять сотни или даже тысячи процентов прибыли.
Такое часто встречается при инвестициях в ETF, где комиссия за управление достигает несколько процентов от депозита в год. Один из самых старых ETF под тикером SPY (инвестиционная стратегия — следование за индексом S&P 500) работает с 1993 года и берет с клиентов 0.09% в год — немного, по сравнению с другими биржевыми фондами. Эта ставка со временем может меняться, но давайте для эксперимента представим что она всегда была такой — и сравним, как будет отличаться доходность инвестиций при комиссиях от 0 до 2% в год:
Источник: ru.investing.com
Как видите, даже из-за несчастных 0.09% инвестор на дистанции 27 лет потерял 25% прибыли. А вроде бы небольшая комиссия в 2% годовых срезает доходность почти в 3 раза — с 723% до 270%, и это еще не учтена инфляция. По причине скрытых комиссий высокая доходность активов на самом деле может оказаться в разы ниже, поэтому перед принятием решения об инвестировании важно учитывать даже мизерные расходы.
Куда же стоит инвестировать, чтобы использовать эффект сложного процента на максимум и минимизировать влияние инфляции и комиссий? Я бы выделил такие инструменты:
- Акции, в особенности американские. Сейчас это один из немногих активов, которые растут большую часть времени. Кроме того, многие компании платят дивиденды, которые можно реинвестировать и еще сильнее разгонять сложный процент. Плюс, рост цен на сами акции способен перекрыть влияние инфляции, а комиссии зависят от объема торгов, а не от вашего вклада. Взгляните на самых богатых людей планеты — почти все сделали состояние, владея большим количеством акций в своих компаниях.
- Инвестиционные фонды (в т.ч. ETF). Чаще всего это тоже инвестиции в акции, но вам не нужно самостоятельно подбирать портфель — аналитики фонда все сделают за вас. Если в портфеле фонда есть дивидендные акции, вы опять же сможете реинвестировать выплаты. При комиссии за участие ниже 1% в год катастрофического влияния на доходность ваших инвестиций не будет.
- Облигации. Обычно они дают чуть большую доходность, чем банковский депозит и способны практически без рисков приносить небольшую прибыль с учётом инфляции. В любом случае в вашем инвестиционном портфеле должны быть надёжные долгосрочные вложения, и облигации для этих целей подходят неплохо. Расходы при вложении в облигации идут на услуги фондового брокера и не зависят от общей суммы инвестиций.
Оптимальный портфель инвестора предполагает использование всех этих инструментов, поскольку генерируемый ими денежный поток позволяет гибко управлять вложениями: делать ребалансировку, выводить прибыль или реинвестировать. Использовать правило сложных процентов можно в любых инвестициях, но не везде это рекомендуется делать. Чем выше риски вложений, тем выгоднее просто выводить прибыль, поскольку при неудачных раскладах депозит может быть потерян.
⬆️ К СОДЕРЖАНИЮ ⬆️
Использование сложных процентов — теоретически очень выгодное занятие, но как всегда дьявол кроется в деталях. Тем не менее, реинвестирование/капитализация остаётся одним из главных инструментов для накопления большого капитала, грех его игнорировать. И даже вне инвестирования начисление процентов по простому или сложному принципу встречается часто, поэтому полезно знать как это все работает. Надеюсь, подробный разбор формул и решения задач будут вам полезны.
Удачных инвестиций и не болейте!
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ».
( мастер-класс)
Семыкина Л.И.
1-ая
квалификационная категория.
В последние годы на Едином государственном экзамене по
математике (профильный уровень)
выпускникам предлагаются задачи экономического характера. Сегодня мы
рассмотрим один из видов таких задач- задачи на сложные проценты,(задачи на
кредиты,)
Процент- сотая часть числа.
В случае, когда после начисления процента начальный капитал
вместе с наросшим процентом снова кладется на счет в банке, в следующем
периоде времени процент нарастает не только с первоначального капитала, но
также и с процента, наросшего в первом периоде. Такой процент называется
сложным.
Задача.
Вкладчик положил на депозит S долларов под r % годовых на лет. Какую сумму он получит в конце n-го года при годовой капитализации??
Вывод формулы сложных процентов.
где
S – общая сумма («тело» вклада + проценты), причитающаяся
к возврату вкладчику по истечении срока действия вклада;
Р – первоначальная величина вклада;
n — общее количество операций по капитализации процентов
за весь срок привлечения денежных средств (в данном случае оно соответствует
количеству лет);
I – годовая процентная ставка.
Существуют
разные схемы выплаты кредита. платежей.
1 схема.
Банк
в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга(т.е.
увеличивает долг на определённое число процентов), затем заёмщик переводит в
банк фиксированную сумму платежей и в результате выплачивает долг равными
платежами(аннуитетные платежи).
Т.е.
аннуитет-начисление равных платежей на весь срок погашения кредита.
2
схема
Сумма долга в конце каждого месяца
увеличивается на определённое число процентов, а затем уменьшается на сумму,
уплаченную заёмщиком . Суммы , выплачиваемые в
конце каждого месяца подбираются так, чтобы , в результате сумма
долга уменьшалась равномерно, т. е. на одну и ту же величину
Это-дифференцированные платежи.
Дифференцированные платежи
характерны тем , что задолженность по кредиту погашается равномерно начиная
с самых первых выплат, а проценты начисляются на фактический остаток, Таким
образом , каждый последующий платёж меньше предыдущего.
3
схема
Буллитный способ погашения отличается
от выше указанных вариантов погашения кредита тем, что сначала погашаются
только проценты по кредиту, а после уже сам кредит.
Схема двух карманов.
Кредит взят в сумме S рублей на n лет под r %
Сумма долга уменьшается равномерно.
|
Срок |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
n |
|
Левый карман (долг) |
|
|
|
|
|
|
|
Остаток, за который начисляют проценты |
S |
S(n-1) n |
S(n-2) n |
S(n-3) n |
|
|
|
Правый карман (Проценты) |
|
|
r S(n-2) 100n |
r S(n—3) 100n |
|
|
|
Платежи |
|
|
|
|
|
Задача
В июле планируется взять кредит в банке на 10млн. руб. на
некоторый срок(целое число лет).
Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению
с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года долг должен быть
на одну и ту же сумму меньше долга на июнь предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если
известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 18 млн.
рублей
Пусть срок выплаты- n лет, S=10млн. руб.
|
Срок |
1 |
2 |
3 |
…. |
n |
|
Левый карман (долг) |
|
|
|
|
|
|
Остаток, за который начисляют проценты |
S |
S(n-1) n |
S(n-2) n |
|
|
|
Правый карман (Проценты) |
0,2S |
|
|
|
Выплаченные проценты равны 18млн.-10млн.=8млн.
Значит,
Имеем,
п=7
Ответ.7
Задача
5-го декабря планируется взять кредит в банке на 11
месяцев Условия его возврата таковы:
-1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по
сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо
выплатить часть долга;
-15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг
должен быть на 80тысяч меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть
полностью погашен.
Какой долг будет 15-го числа 10-го месяца, если
общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1198тысяч рублей?
Решение
Пусть Хтыс.рублей-сумма долга на 15-е число 10-го
месяца.Значит, в кредит было взято (Х+800) тыс. руб.
Решаем по схеме двух карманов.
|
Срок |
1 |
2 |
3 |
… |
10 |
11 |
|
Левый карман (долг) |
80 |
80 |
80 |
80 |
Х |
|
|
Остаток, за который начисляют проценты |
Х+800 |
Х+720 |
Х+640 |
Х+80 |
Х |
|
|
Правый карман (Проценты) |
|
|
|
|
0,03Х |
Сумма всех выплат равна1198тыс. руб. Значит,
Ответ:
200тыс.
Задача.
15 января Сергей планирует взять кредит в банке на
6 месяцев в размере одного миллиона а рублей. Условия его возврата таковы
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается наr процентов по
сравнению с концом предыдущего месяца, гдеr — целое число;
— выплата должна производиться один раз в месяц со
2-гопо 14-е число каждого месяца;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять
некоторую сумму со следующей таблицей:
|
Дата |
15.01 |
15.02 |
15.03 |
15.04 |
15.05 |
15.06 |
15.07 |
|
Долг (в млн. руб.) |
1 |
0,8 |
0,6 |
0,5 |
0,4 |
0,3 |
0 |
Найдите
наименьшее значение r, при котором Сергею в общей сумме придётся
выплатить больше 1,5 млн. рублей
|
Срок |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
Левый карман (долг) |
0,2 |
0,2 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,3 |
|
Остаток, за который начисляют проценты |
1 |
0,8 |
0,6 |
0,5 |
0,4 |
0,3 |
|
Правый карман (Проценты) |
0,01r |
0,008r |
0,006r |
0,005r |
0,004r |
0,003r |
|
Платежи |
0,2+0,01r |
0,2+0,008r |
0,1+0,006r |
0,1+0,005r |
0,1+0,004r |
0,3+0,003r |
( для нахождения слагаемых левого кармана от
остатка, на который начисляют проценты в данном месяце, отнимаем остаток, на
который начисляют проценты в следующем месяце)
Общая сумма выплат равна 0,2+0,2+0,1+0,1+0,1+0,3+0,01r+0,008r+0,006r+
+0,004r+0,004r+0,003r=1+0,036r
1+0,036r> 1,5
0,036 r>0,5
Имеем
Наименьшее
целое число этого неравенства- число 14
Ответ:14
Задача №4. (буллитный кредит)
Планируется выдать льготный кредит на целое число
миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг
заёмщика возрастает на 20%по сравнению началом года. В конце 1-го и 2-го
годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно
равным первоначальному. В конце 3-го и 4-гогодов заёмщик выплачивает одинаковые
суммы. Погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита. при
котором общая сумма выплат заёмщика превысит 8млн. рублей.
Пусть S млн. руб. – размер кредита. Х млн. рублей- размер
выплачиваемой суммы в конце 3-гои 4-го годов.
|
Год |
Долг(млн. руб.) |
Платёж |
Остаток |
|
1 |
S |
0,2 S |
S |
|
2 |
S |
0,2S |
S |
|
3 |
1,2 S |
Х |
1,2S-Х |
|
4 |
1,2(1,2S-Х) |
Х |
— |
Учитывая,
что последняя выплата 1,2(1,2S-Х)=Х
Получим,
2,2Х=1,44
S
Общая
сумма выплат равна
По
условию задачи
S=5 Ответ: 5млн. рублей
Задача.
Алексей
взял кредит в сумме 331000 рублей на три месяца под 10% в месяц.
Существуют две схемы выплаты кредита:
По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму
долга (т.е. увеличивает долг на 10%). затем Алексей переводим в банк
фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг тремя равными
платежами
По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца
увеличивается на 10%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Алексеем.
Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в
результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, т.е. на одну и ту
же величину
Уважаемые
коллеги! Какую схему Вы бы предложили Алексею?
Какую схему выгоднее выбрать? Сколько рублей составит эта выгода?
Аудитория решает на местах по готовым схемам
1 группа Всю
сумму кредита обозначим через S рублей ( S= 331000).
Каждый из трёх равных платежей обозначим через Х рублей.
|
Дата (месяц) |
Долг на 1-е число каждого месяца. руб.) |
Платёж (. руб.) |
Остаток долга на 15 число(Руб.) |
|
1 |
|||
|
2 |
|||
|
3 |
2
группа Всю сумму
кредита обозначим через S рублей
Наша цель –каждый
раз уменьшать долг на треть всей суммы т.е. на S/3
|
Срок |
|||
|
Левый карман (долг) |
|||
|
Остаток, на который |
|||
|
Правый карман (проценты) |
Решение
затем выводится на экран.
1 схема.
. Всю сумму
кредита обозначим черезS рублей(S = 331000).
Каждый из трёх равных платежей обозначим через Х рублей.
|
Дата (месяц) |
Долг (руб.) |
Платёж ( руб.) |
Остаток долга (руб.) |
|
1 |
1,1 S |
Х |
1,1 S-Х |
|
2 |
1,1(1,1 S-Х) |
Х |
1,1(1,1 S-Х) -Х |
|
3 |
1,1(1,1(1,1 S-Х) =Х) |
Х |
— |
1,1(1,1(1,1 S-Х) -Х) –Х=0
S(1,1)3 =Х +1,1Х+ 1,12* Х
S1,13 =Х(1+1,1+1,12
)
1,331S=
3,31Х
Мы платим банку (3Х) рублей и переплатим (3Х—
S) рублей.
3X=3,993S
3,31
3Х—S=68300
Таким образом, мы переплатим банку 68300 рублей
2 схема.
(схема двух карманов).
Всю сумму кредита обозначим через S рублей(S = 331000).
Наша цель- уменьшать каждый раз долг на треть всей суммы, равной S/3
|
Левый карман |
|
|
|
|
Остаток, на который |
S |
|
|
|
Правый карман |
0,1 S |
|
|
Основная сумма лежит в левом кармане, переплата банку — в правом
0,1S+ 
+ 
= 0,2S
т.к. S =331000,то 0,2*331000= 66200
Таким образом, Алексей переплатит банку 66200 рублей
Очевидно, что во втором
случае мы платим меньше на 2100 рублей
Каждая схема погашения кредита имеет свои особенности. Сказать
точно какая схема выгоднее всего можно, лишь рассмотрев конкретный кредитный
договор. Решение о взятии кредита должно быть
взвешенным и продуманным. Заемщик должен реально оценить свои возможности,
просчитать риски по кредиту. Независимо от того, какую схему выберет человек, и
каким образом будут осуществляться платежи, кредитные условия нужно выполнять.
Педагогические технологии служат инструментом
реализации этих трех уровней образования.
Одной из предметно-ориентированных технологий,
построенных на основе дидактического
усовершенствования и реконструирования
учебного материала, является технология
обучения на основе решения задач. Как сказал
известный мыслитель Д.Пойа, “Чтобы научиться
решать задачи, надо их решать”, при всей важности
каждой отдельной задачи целостность
образовательного процесса обеспечивается всем
множеством задач по каждой теме, которые должны
образовать систему.
Системой задач называется совокупность задач к
блоку уроков по изучаемой теме, удовлетворяющая
ряду требований.
- Полнота.
- Наличие задач на все изучаемые понятия, факты,
способы деятельности, включая мотивационные. - Наличие ключевых задач
- Группировка задач в узлы вокруг объединяющих
центров – задач, в которых рассматриваются факты
или способы деятельности, применяемые при
решении других задач и имеющие принципиальное
значение для усвоения предметного содержания. - Возрастание трудности в каждом уровне.
- Система состоит из трех подсистем,
соответствующих минимальному, общему и
продвинутому уровням планируемого результата
обучения. - Для каждой задачи определено ее место и
назначение в блоке уроков. - Достаточно задач для тренажа в классе, дома,
задач для закрепления, задач для индивидуальных,
групповых работ, задач разной направленности,
задач для самостоятельного решения, (в том числе
исследовательского), задач для текущего,
итогового контроля и т. д. - Психологическая комфортность.
Система задач – основной ресурс учителя для
реализации эффективного образовательного
процесса. От качества этого ресурса более чем
наполовину зависит успех ученика при изучении
курса. Остальные составляющие успеха – в
организации деятельности учащихся и управлении
этой деятельностью.
В системе учебных занятий особое значение
имеют нетрадиционно построенные урок – лекция,
уроки решения ключевых задач (вычисление
минимального числа основных задач по теме,
решение задач различными методами, решение
системы задач, проверка решения задач учениками,
самостоятельное составление задач), уроки –
консультации (вопросы учащихся по заранее
заготовленным карточкам, анализ, обобщение,
дополнение карточек); зачетные уроки (выполнение
индивидуального задания, коррекция в паре до
полного понимания, выставление трех оценок – за
ответ по теории, за решение задачи с карточки, за
ведение тетради, мотивация оценок.)
Полезно параллельно рассматривать
классические приёмы решения задач. Тогда у
учащихся формируется целостное представление о
способах решения задач данного типа. На этапе
закрепления темы можно решать задачи по группам.
Класс разбивается на группы: по 4 учащихся за
двумя соседними столами. Они обсуждают решение
задачи, которая записана на карточке. Карточка
выдаётся на каждый стол. Каждая группа получает
карточки с одинаковыми задачами; различных задач
4. Задача считается решённой, если все члены
группы сделали в своих тетрадях схему, записали
исходные данные и решение задачи. Из такой группы
учитель вызывает ученика, который оформляет
решение задачи на доске. Итак, от каждой группы,
где решена задача, отличная от той, что уже
выполняется на доске. Группа, решившая свою
задачу, получают новую карточку, с
дополнительными задачами. А затем подключаются к
решению задач, которые начали делать на доске
представители других групп. Последние 4-5 минуты
урока отводятся для разбора записанных задач.
Учитель может поставить оценки ученикам, которые
решали задачи у доски, и их группам или проверить
тетради у двух-трёх групп по своему выбору.
Правильно подобранные технологии позволяют
реализовать принцип гуманитаризации
образования, дающий необходимые знания для
адаптивного взаимодействия с окружающей
социальной средой и обеспечивают развитие всех
сфер личности, формируют у нее основы
саморазвивающей деятельности.
Предлогаю открытый урок, который можно
провести в 9-11 классах, где изучается тема
“Сложные проценты”, материал урока
соответствует продвинутому уровню планируемого
результата обучения.
Актуальность темы.
Понимание процентов и умение производить
процентные расчеты в настоящее время необходимы
каждому человеку: прикладное значение этой темы
очень велико и затрагивает финансовую,
демографическую, экологическую, социологическую
и другие стороны нашей жизни.
Во многих школьных учебниках можно встретить
задачи на проценты, однако в них отсутствует
компактное и четкое изложение соответствующей
теории вопроса. В IX классе завершается линия
процентных вычислений темой “Простые и сложные
проценты”, включенной в изучение главы
“Арифметическая и геометрическая прогрессии”.
Сведения о простых и сложных процентах, которые
сами по себе имеют большую практическую
значимость, являются достаточно благоприятным
материалом для применения знаний, полученных на
уроках математики. Но в учебнике не водится
формулы простых и сложных процентов и мало задач
на эту тему. Учащиеся должны решать задачи,
опираясь не на формулы, а на понимание, на смысл
понятия “процент”, на умение находить процент
от числа, что обычно вызывает затруднения при
решении задач на сложные проценты. Более
рациональное решение задачи достигается с
помощью формул “сложных процентов”.
Текстовые задачи на проценты включены в
материалы в государственную итоговую аттестацию
за курс основной школы, в КИМы ГИА и ЕГЭ, в
конкурсные экзамены. Однако практика показывает,
что задачи на проценты вызывают затруднения у
учащихся и очень многие окончившие школу не
имеют прочных навыков обращения с процентами в
повседневной жизни.
Предлагаемый урок демонстрируют учащимся
применение математического аппарата к решению
повседневных бытовых проблем каждого человека,
вопросов рыночной экономики и задач технологии
производства; ориентирует учащихся на обучение
по естественно — научному и социально-
экономическому профилю. Можно провести еще
несколько уроков для закрепления темы, решения
текстовых задач на проценты.
Познавательный материал курса будет
способствовать не только выработке умений и
закреплению навыков вычислений сложных
процентов, но и формированию устойчивого
интереса учащихся к процессу и содержанию
деятельности, а также познавательной и
социальной активности.
Цели урока:
- обучение решению задач на проценты с помощью
формул “сложных процентов”, обобщение методов
решения задач проценты; научить переводить
реальные предметные ситуации в различные
математические модели; формирование умений
решать задачи повышенной сложности; - знать широту применения процентных вычислений
в жизни, решать основные задачи на проценты,
применять формулу сложных процентов;
производить прикидку и оценку результатов
вычислений; при вычислениях сочетать устные и
письменные приемы, применять калькулятор,
использовать приемы, рационализирующие
вычисления; - развитие логического мышления, умений работать
в группе, навыков решения экономических задач на
проценты; - воспитание у учащихся потребности в новых
знаниях и творческой деятельности, привитие
любви к процессу обучения.
Тип урока: уроки решения ключевых
задач.
Оборудование: ЦОР “Устный счет по
теме “Проценты”, презентация к теме “Сложные
проценты”, таблица “Процент числа”, карточки с
заданиями, интерактивная доска, компьютер,
калькулятор.
I этап. Организационный момент (1 мин.)
Цель: ознакомить учащихся с темой и задачей
урока, актуальность изучаемого материала,
формирование учебной мотивации.
II этап. Повторение (5 мин)
Цель: повторение прежних знаний и навыков по
теме “Проценты”.
1) Устный опрос.
а) Что называется процентом? (Процентом
называется одна сотая часть какого-либо числа)
б) Как обозначается 1%? (1%? = 0,01)
в) Как называется 1% от центнера? (кг.) Метра? (см.)
Гектара? (ар или сотый)
г) Что называется 1% процентом данного числа а? (Процентом
данного числа а называется число 0,01•а, т.е. 1% (а)
= 0,01*а )
д) Как определить р% от данного числа а? (найти
число 0,01•р•а, т.е. р% = 0,01*р*а )
е) Как перевести десятичную дробь в проценты? (умножить
на 100). А как проценты в десятичную дробь? (разделить
на сто, т.е. умножить на 0,01)
ж) Как найти часть от числа в процентах? (Чтобы
найти часть в от числа х в процентах,
нужно эту часть разделить на число и умножить на
100, т.е. а(%)=(в/х)*100)
д) Как находится число по его проценту ? (Если
известно, что а% числа х равно в, то х можно найти
по формуле х = (в/а)*100)
2) Устный счет.
Представьте данные десятичные дроби в
процентах: 1; 0,5; 0,763; 1,7; 256.
б) Представьте проценты десятичными дробями: 2%;
12%; 12,5%; 0,1%; 200%.
Найдите % от числа:
в) 0,1% от числа 1200? (1,2)
г) 15% от числа 2? (0,30)
Найдите число по его проценту:
д) Сколько центнеров весит мешок сахарного
песка, если 13% составляет 6,5 кг.? (50 кг.= 0,5 ц.)
в) Сколько процентов от 10 составляет 9?
Ответы: а) 9%, б) 0,09%, в) 90%; г) 900%?
III этап: Формирование новых знаний и навыков. (15
мин)
Цель: ознакомление с формулами “сложных
процентов” и формирование навыков применения
формул при решении задач.
Тема. Простые и сложные проценты. (Лекция +
Презентация)
Эти термины чаще всего встречаются в
банковских делах, в финансовых задачах. Банки
привлекают средства (вклады) за определенные
процентные ставки. В зависимости от процентной
ставки вычисляется доход.
На практике применяются два подхода к оценке
процентного дохода – простые и сложные проценты.
При применении простых процентов доход
рассчитывается от первоначальной суммы
вложенных средств не зависимо от срока вложения.
В финансовых операциях простые проценты
используются преимущественно при краткосрочных
финансовых сделках.
Пусть некоторая величина подвержена
поэтапному изменению. При этом каждый раз ее
изменение составляет определенное число
процентов от значения, которое эта величина
имела на начальном этапе. Так вычисляются простые
проценты.
При применении сложных процентов накопленная
сумма процентов добавляется во вклад по
окончании очередного периода начислений. При
этом каждый раз ее изменение составляет
определенное число процентов от значения,
которое эта величина имела на предыдущем этапе.
В этом случае имеем дело со “сложными
процентами” (т.е. используются начисления
“процентов на проценты”)
Первоначальная сумма и полученные проценты в
совокупности называются накопленной
(наращенной) суммой.
Так, если банковская ставка равна 10%, а
первоначальная сумма 100 руб., то накопленная
сумма за пять лет при применении простых и
сложных процентов будет иметь вид:
Таблица 1. Накопленная сумма с
использованием простых и сложных процентов.
| На начало | 1-й год | 2-й год | 3-й год | 4-й год | 5-й год | |
| Простые проценты | 100 | 110 | 120 | 130 | 140 | 150 |
| Сложные проценты | 100 | 110 | 121 | 133 | 146 | 161 |
Формулы простых и сложных процентов.
I. Пусть некоторая величина A увеличивается n раз
(n год) и каждый раз на р%.
Вводим обозначения: A0 – первоначальное
значение величины A;
р – постоянное количество процентов;
a процентная ставка; a=р/100 = 0,01*р
An – накопленная сумма за n раз (к концу
n-го года) — по формуле простых процентов;
Sn — накопленная сумма за n раз (к концу
n-го года) — по формуле сложных процентов.
Тогда ее значение A1 для простых процентов
после первого увеличения (к концу первого года)
вычисляется по формуле: A1 = A0 + A0 *
(0,01р) = A0 (1 + (0,01р) = A0 (1 + p)
В конце второго этапа A2= A1 + A0 *
(0,01р) = A0 (1 + a) + A0 * a = A0 (1 + 2a).
В конце третьего этапа A3= A2 + A0 * (0,01р)
= A0 (1 + 2a) + A0 * a = A0 (1 + 3a).
Тогда для простых процентов сумма по годам
равна:
An = A0 (1 + 0.01р*n) или An =
A0 (1 + ?* n) (1)
Для сложных процентов это выглядит иначе:
Пусть некоторая величина S0 увеличивается
n раз (n год) и каждый раз на р%.
Тогда ее значение S1 для сложных
процентов после первого увеличения (к концу
первого года) вычисляется по формуле:
S1 = S0 + S0 (0,01р) = S0 *
(1 + 0,01р) = S0 * (1 + ?).
В конце второго этапа S2= S1 + S1
(0,01р) = S1 * (1 + 0,01р) = S0 (1 + ????р)2 =
S0 (1 + ?)2.
В конце третьего этапа S3= S2 + S2
(0,01р) = S2 * (1 +0,01р) = S0(1 +0,01р)2*(1
+0,01р)=S0(1 +0,01р)3 = S0 (1 + a)3.
Тогда для сложных процентов сумма по годам
равна:
Sn = S0 (1 + 0,01р)n или Sn
= S0 (1 + a)n (2)
Пример 1.
В банке открыт срочный депозит на сумму 50 тыс.
руб. по 12% на 3 года. Рассчитать накопленную сумму
если проценты:
а) простые; б) сложные.
Решение 1.
По формуле простых процентов
Sn=(1+3*0.12)*50 000 = 68000 руб. (отв. 68000 руб.)
По формуле простых процентов
Sn=(1+0.12)3*50 000 = 70246 руб. (отв. 70246 руб.)
Формула сложных процентов связывает четыре
величины: начальный вклад, накопленную сумму
(будущую стоимость вклада), годовую процентную
ставку и время в годах. Поэтому, зная три
величины, всегда можно найти четвертую:
Sn = S0 * (1+0,01р)n
Для определения количество процентов р
необходимо:
р = 100 * ((Sn / S0 )1/n – 1) (2.1)
Операция нахождения первоначального вклада S0,
если известно что через n лет он должен составить
сумму Sn, называется дисконтированием:
S0 = Sn * (1 + 0,01р) –n (2.2)
Сколько лет вклад S0 должен пролежать в
банке под р % годовых, чтобы достигнуть величины Sn.
n = (lnSn – lnS0) / (ln(1 + 0,01р)
(2.3)
В банковской практике проценты могут
начисляться чаще чем 1 раз в год. При этом
банковская ставка обычно устанавливается в
пересчете на год. Формула сложных процентов
будет иметь вид:
Sn = (1 + ?/t )n•t S0 (3)
где t – число реинвестиций процентов в году.
Пример 2.
В банке открыт срочный депозит на сумму 50 тыс.
руб. по 12% на 3 года. Рассчитать начисленную сумму
если проценты начисляются ежеквартально.
Решение 2.
n = 3
t = 4 (в году – 4 квартала)
По формуле сложных процентов
S3 = (1+0.12/4)3*4*50000 = 1.0312*50000 = 71288
руб. Отв. 71288 руб.
Как следует из примеров 1 и 2, накопленная сумма
будет возрастать тем быстрее, чем чаще
начисляются проценты.
Приведем обобщение формулы (2), когда прирост
величины S на каждом этапе свой. Пусть Sо,
первоначальное значение величины S, в конце
первого этапа испытывает изменение на р1%, в
конце второго на р2%, а в конце третьего
этапа на р3% и т.д. В конце n-го этапа значение
величины S определяется формулой
Sn = S0 (1 + 0,01р1 )(1 + 0,01р2
)…(1 + 0,01рn ) (4)
Пример 3.
Торговая база закупила партию товара у
изготовителя и поставила ее в магазин по оптовой
цене, которая на 30% больше цены изготовителя.
Магазин установил розничную цену на товар 20% выше
оптовой. При распродаже магазин снизил эту цену
на 10%. На сколько рублей больше заплатил
покупатель по сравнению с ценой изготовителя,
если на распродаже он приобрел товар за 140 руб. 40
коп.
Решение 3.
Пусть первоначальная цена составляет S руб.,
тогда по формуле (4) имеем:
S0 (1 + 0,01*30)(1 + 0,01*20)***(1 – 0,01*10) = 140,4
S0*1,3*1,2*0,9 = S0*1,404 = 140,4
S0 = 140,4: 1,404 = 100 (руб.)
Находим разность последней и первоначальной
цены
140,4 – 100 = 40,4 Отв. 40,4 руб.
Задание 1.
Составьте задачу, аналогичную примерам 1 и 3.
Объясните ход их решений.
Физкультминутка – 2 мин.
IV этап: Работа в группах из 3-4 учащихся. Решение
практических задач (10-15 мин.)
Цель: Выработка практических навыков по теме.
Каждой группе дается 4 задания на 10 минут. Класс
разбивается на группы: по 4 учащихся за двумя
соседними столами. Они обсуждают решение задачи,
которая записана на карточке. Карточка выдаётся
на каждый стол. Каждая группа получает карточки с
одинаковыми задачами; различных задач 4. Задача
считается решённой, если все члены группы
сделали в своих тетрадях схему, записали
исходные данные и решение задачи. Из такой группы
учитель вызывает ученика, который оформляет
решение задачи на доске. Остальные продолжают
решать другие задачи из карточки. Из второй
группы вызывается ученик для оформления уже
другой задачи из карточки. Таким образом, решение
всех задач рассматриваются на доске. Группа,
решившая все задачи, получают новую карточку, с
дополнительными заданиями.
Карточка 1.
Задача 1. Владелец автозаправки
повысил цену на бензин на 10%. Заметив, что
количество клиентов резко сократилось, он
понизил цену на 10 %. Как после этого изменилась
начальная цена на бензин? (повысилась или
понизилась и на сколько % -ов?)
Решение: Пусть S0 – начальная
цена, S2 – конечная цена, х — искомое
число процентов изменения, где х = (1 — S2/S0 )*100%
(*)
Тогда по формуле Sn = S0 (1 + 0,01р1 )(1
+ 0,01р2 )***(1 + 0,01рn ) (4), получим
S2 = S0 (1 + 0,01*10 )(1 — 0,01*10) = S0*1,1*0,9
= 0,99*S0.
S2 = 0,99*S0; 0,99 = 99%, значение S2 составляет
99% первоначальной стоимости, значит ниже на 100% — 99%
= 1%.
Или по формуле (*) получаем: х = (1 – 0,99 )*100% =
1%.
Ответ: понизилась на 1%.
Задача 2. В течении года предприятие
дважды увеличивало выпуск продукции на одно и то
же число процентов. Найдите это число, если
известно, что в начале года предприятие
ежемесячно выпускало 600 изделий, а в конце года
стал выпускать ежемесячно 726 изделий.
Решение: Пусть S0 – начальная
цена, S2 – конечная цена, р – постоянное
количество процентов.
По формуле (2.1) получаем: р = 100 * ((726 / 600 )1/2
– 1) = 10%.
Ответ: 10%
Задача 3. Цена на компьютерную
технику были повышены на 44%. После этого в
результате двух последовательных одинаковых
процентных снижений цена на компьютеры
оказалась на 19% меньше первоначальной. На сколько
процентов каждый раз понижали цену?
Решение: По формуле (4), составляем уравнение
S3 = S0 (1 + 0,01*44)(1 — 0,01р )(1 — 0,01р) = S0
*1,44*(1 — 0,01р )2 = S0 * (1-0,01*19). Решая
уравнение, получаем 2 корня: 175 и 25, где 175 не
подходит условию задачи. Поэтому р = 25%.
Ответ: 25%
Задача 4. Для определения
оптимального режима повышения цен фирма решила с
1 января повышать цену на один и тот же товар в
двух магазинах двумя способами. В одном магазине
– в начале каждого месяца (начиная с февраля) на
2%, в другом – через каждые два месяца, в начале
третьего (начиная с марта) на одно и то же число
процентов, причем такое, чтобы через полгода (1
июля) цены снова стали одинаковыми. На сколько
процентов надо повышать цену товара через каждые
два месяца, во втором магазине?
Решение: Пусть S0 – начальная
цена, р – постоянное количество процентов.
Тогда через 6 месяцев (после шести повышений на
2%) в первом магазине цена на товар станет равна S0
(1 + 0,01*2)6, а во втором магазине (после трех
повышений на р%) цена товара будет равна S0 (1
+ 0,01р)3. Получаем уравнение S0 (1 + 0,01*2)6
= S0 (1 + 0,01р)3. Решая его, получаем
(1 + 0,01*2)2 = (1 + 0,01р); 1,022= (1 + 0,01р); р = 4,04
Ответ: 4,04%
Карточка 2.
Задача 1. Автомобиль ехал по
магистрали с определенной скоростью. Выезжая на
проселочную дорогу, он снизил скорость на 20%, а
затем на участке крутого подъема он уменьшил
скорость на 30%. На сколько процентов эта новая
скорость ниже первоначальной?
Решение: Пусть V0 – начальная
скорость, V – новая скорость, которая
получается после двух разных изменений, р –
искомое количество процента.
Тогда по формуле (4), составляем уравнение V0(1
— 0,01*20)(1 — 0,01*30) = V0(1 — 0,01р). Решая его получаем V0*0,8*0,7
= V0(1 — 0,01р); р = 44
Ответ: 44%
Задача 2. Предположим, что в
комнатной температуре за день вода испаряется на
3%. Сколько литров воды останется через 2 дня от 100
литров? А сколько воды испарится?
Решение: n=2; р=3%; S0= 100л. Тогда по
формуле (2), получаем
S2 = S0 (1 — 0,01р )2 = 100*(1-0,01*3)2 =
100*0,972 = 94,09; S0 – S2= 100 — 94,09 = 5,91
Ответ: 94,09л.; 5,91л.
Задача 3. Вклад, положенный в банк 2
года назад, достиг 11449 рублей. Каков был
первоначальный вклад при 7% годовых? Какова
прибыль?
Решение: n=2; р=7%; S2= 11449; S0= ?
В формулу (2.2) S0 = Sn * (1 + 0,01р) –n подставляем
данные значения, получаем:
S0 = 11449* (1 + 0,01*7) –2 = 11449/ (1,07)2=11449/
1,1449 = 10000.
11449 – 10000 = 1449
Ответ: 10000 руб.; 1449 руб.
Задача 4. Сберкасса начисляет
ежегодно 3% от суммы вклада. Через сколько лет
сумма удвоится?
Решение: р=3%; S0 – начальная сумма; n=?
Составим уравнение: 2*S0 = S0 (1 + 0,01р )n;
2*S0 = S0 (1 + 0,03)n; 2 = 1,03n n=log1,032;
n ?23.
V этап: Дифференцированная самостоятельная
работа (5 мин.)
Цель: Выявление уровня усвоения материала,
типичных ошибок.
1-уровень. После реконструкции завод
увеличил выпуск продукции на 10%, а после замены
оборудования еще на 30%. На сколько процентов
увеличился первоначальный выпуск продукции?
(Ответ: на 43%)
2-уровень. Число 50 трижды увеличили на
одно и то же число процентов, а потом уменьшили на
это же число процентов. В результате получили
число 69,12. На сколько процентов увеличивали, а
потом уменьшали данное число?
(Ответ: на 20%)
3-уровень. Банк начисляет ежегодно 7% от
суммы вклада. Найдите наименьшее число лет, за
которое вклад вырастает более чем на 20%.
(Ответ: 3 года)
VI этап: Домашнее задание. (1 мин)
№1. Сберегательный банк начисляет по вкладам
ежегодно 5,5% годовых. Вкладчик внес в банк 150 тысяч
рублей. Какой станет сумма вклада через 2 года?
(Ответ: 166953,75 руб.)
№2. Составить две задачи на “сложные проценты”
и решить.
№3. Банк предлагает два варианта депозита
1) под 120% с начислением процентов в конце года;
2) под 100% с начислением процентов в конце
каждого квартала.
Определить более выгодный вариант размещения
депозитов на один год.
Решение.
Более выгодным считается тот вариант, при
котором наращенная за год сумма будет больше. Для
оценки вариантов начальную сумму примем равную
100 руб.
По первому варианту накопленная сумма будет
равна (1+1,2)*100 руб. = 220 руб.
По второму варианту проценты начисляются
ежеквартально. По окончании первого квартала
накопленная сумма равна (1+1,0/4)*100 руб. = 125 руб.
По окончании 2-го квартала (1+1,0/4)2*100 руб. = 156
руб.
За год накопленная сумма равна (1+1,0/4)4*100
руб. = 244 руб.
Как следует из расчетов второй вариант
значительно выгоднее (244 > 220). Правда, только при
условии применения сложных процентов.
VII этап: Подведение итогов. (3 мин)
Рефлексия:
— С какими новыми понятиями мы познакомились на
уроке?
— Что такое «сложный процент»? Чем он
отличается от “простого процента”?
— Как найти «сложный процент»?
— Где используется эти проценты?
— Какие трудности вы испытывали при решении
задач?
— Чему научились?
— Оцените свою работу на уроке.
Итоги по решению задач (по карточкам). Выставление
оценок.
Итоги самостоятельной работы. Выставление
оценок.
Релаксация
- Активно на уроке работали …
- Старались …
- Жду большей активности от …
Источники информации.
- По материалам сайта: Инструменты
финансового анализа. - По материалам: Крамор В.С., Лунгу К.М. Повторяем и
систематизируем школьный курс алгебры: пособие
для старшеклассников и абитуриентов. Ч.1. – М.:
АРКТИ, 2001. - По материалам из сайта: Дистанционного
образования MOGALLIM. “Методика преподавания
новых и сложных предметных тем стандарта”.