Задача как найти углы параллелограмма

24
Июл 2013

Категория: 01 Геометрия

01. Параллелограмм

2013-07-24
2022-09-11

Автор: egeMax |

комментария 2

Решение задач на углы параллелограмма опирается на свойства параллелограмма.

Сумма двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равны 180º (так как они являются внутренними односторонними при параллельных прямых (противолежащих сторонах параллелограмма) и секущей (пересекающей их стороне).

Противоположные углы параллелограмма равны.

Поэтому, если в задаче дана сумма углов параллелограмма (не 180º ), то речь идет  о его противолежащих углах.

Если сказано, что один из углов параллелограмма больше или меньше другого на некоторое количество градусов (или в несколько раз, или углы относятся в некотором отношении), то речь идет об углах, прилежащих к одной стороне параллелограмма.

Если в задаче требуется найти все углы параллелограмма, в начале изучения темы ищут все четыре угла.

В дальнейшем обычно находят только два из них (прилежащие к одной стороне), поскольку другие два им равны.

Рассмотрим некоторые задачи на нахождение углов параллелограмма.

Задача 1.

Найти углы параллелограмма, если один из его углов на 40º больше другого.

Дано: ABCD — параллелограмм,

∠B на 40º  больше ∠A.

Найти: ∠A, ∠B, ∠C,∠D.

Решение:

Пусть ∠A=хº, тогда ∠B=х+40º.

Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, то

∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB).

Имеем уравнение:

х+х+40=180

2х=180-40

2х=140

х=70

Значит, ∠A=70º, тогда ∠B=70+40=110º.

∠C=∠A=70º, ∠D=∠B=110º (как противолежащие углы параллелограмма).

Ответ: 70º, 70º, 110º, 110º.

Задача 2.

Найти углы параллелограмма, если два из них относятся как 2:3.

Дано: ABCD — параллелограмм,

∠A:∠B=2:3.

Найти: ∠A, ∠B, ∠C,∠D.

Решение:

Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда ∠A=2kº, ∠B=3kº.

∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB).

Составим уравнение и решим его:

2k+3k=180

5k=180

k=36

Значит, ∠A=2∙36=72º, ∠B=3∙36=108º.

∠C=∠A=72º, ∠D=∠B=108º (как противолежащие углы параллелограмма).

Ответ: 72º, 72º, 108º, 108º.

Задача 3.

Найти углы параллелограмма, если сумма двух из них равна 150º.

Дано: ABCD — параллелограмм,

∠A+∠C=150º.

Найти: ∠A, ∠B, ∠C,∠D.

Решение:

∠A=∠C=150:2=75º (как противолежащие углы параллелограмма).

∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB).

Следовательно, ∠B=180º-∠A=180-75=105º.

∠D=∠B=105º (как противолежащие углы параллелограмма).

Ответ: 75º, 75º, 105º, 105º.

 Задача 1.

 По данным на рисунке докажите,
четырёхугольник ABCD является параллелограммом.

Решение.

1.      Так
как ÐBСА=ÐCAD и они являются накрест лежащими при секущей АС, то прямые AD
и ВС параллельны.

2.      Имеем
две стороны AD и BC четырёхугольника равны и параллельны, значит
ABCD является параллелограммом.

Задача 2.

Дано: ABCD — параллелограмм; AB : BC = 4 :
5 см; P_ABCD = 10,8 см.  Найти:
AB; BC,CD,AD

Задача 3.

Разность углов, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не
параллелограмма, равна 40°. Най­ди­те мень­ший угол параллелограмма. Ответ
дайте в градусах.

Решение.

Пусть меньший угол параллелограмма равен
х, тогда больший угол  будет равен (х + 40). Поскольку сумма односторонних
углов равна 180 градусов, то составим уравнение:

 x
+ x
+40=180

2x=140

х=70

Таким образом, наименьший угол
параллелограмма равен 70°.

Ответ: 70.

Задача 4.

Дано: ABCD — параллелограмм; AC — диагональ; ∠BAC = 35°; ∠CAD = 25°. Найти: ∠A; ∠B; ∠C; ∠D.

Задача 5.

Дано: ABCD — параллелограмм; P_ABCD =
10 см; P_ABD = 8 см. Найти: BD.

Задача 6.

Дано: ABCD — параллелограмм; AK —
биссектриса ∠A; BK : KC = 2 :
1; P_ABCD = 50 см. Найти: AB; BC; CD; A

Задача 7.

 По данным на рисунке докажите,
четырёхугольник ABCD является параллелограммом.

Решение.

1.      Рассмотрим
треугольники AOD и BOC. В них: ÐОAD=Ð OCB по условию,  ÐAОD=ÐCOB ( как вертикальные) и AO=OC.
Значит треугольники равны по второму признаку. Следовательно, BO=OD.

2.      В
четырёхугольнике диагонали AC и BD пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, значит  ABCD
является параллелограммом.

Задача 8.

Высота LE параллелограмма KLRS делит
сторону KS на отрезки
KE
и ES.
Найти периметр параллелограмма, если известно, что KL=2
см, ES=4
см и ÐK=60°.

Решение. 1. В прямоугольном треугольнике KLЕ
есть угол в 30° (ÐKLЕ=180°-90°-60°=30°),
значит катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы,
то есть KЕ=2:2=1см

2. KS=
1+4=5см

3. P _KLRS =2+2+5+5=14
см.

Ответ: 14.

Задача 9.

Докажите, что биссектрисы односторонних углов параллелограмма –
перпендикулярны.

Решение.

1.      Пусть
ÐА=2х,
а ÐD=2у. ÐА
и ÐD – односторонние, значит
их сумма равна 180°. Поэтому 2х+2у=180 или х+у =90.  

2.      Так
как АN
и DM – биссектрисы, тоÐNAD=х,
а ÐMDA=у. По свойству суммы
углов треугольника имеем: ÐАOD
= 180-(х+у) =180-90=90. А это значит, что прямые АN
и DM
– перпендикулярны.

Задача 1. Один из углов параллелограмма равен 65°. Найти остальные углы параллелограмма.

Решение.

∠C =∠A = 65° как противоположные углы параллелограмма.

∠А +∠В = 180° как углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма.

∠В = 180° — ∠А = 180° — 65° = 115°.

∠D =∠B = 115° как противолежащие углы параллелограмма.

Ответ: ∠А =∠С = 65°; ∠В =∠D = 115°.

Задача 2. Сумма двух углов параллелограмма равна 220°. Найти углы параллелограмма.

 Решение.

Так как у параллелограмма имеется  2 равных острых угла и 2 равных тупых угла, то нам дана сумма двух тупых углов, т.е. ∠В +∠D = 220°. Тогда ∠В =∠D = 220°: 2 = 110°.

∠А +∠В = 180° как углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма, поэтому ∠А = 180° — ∠В = 180° — 110° = 70°. Тогда  ∠C =∠A = 70°.

Ответ: ∠А =∠С = 70°; ∠В =∠D = 110°.

Задача 3. Один из углов параллелограмма в 3 раза больше другого. Найти углы параллелограмма.

Решение.

Пусть ∠А =х. Тогда ∠В = 3х. Зная, что сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной его стороне равна 180°, составим уравнение.

х + 3х = 180;

4х = 180;

х = 180 : 4;

х = 45.

Получаем: ∠А =х = 45°, а ∠В = 3х = 3 ∙ 45° = 135°.

Противолежащие углы параллелограмма равны, следовательно,

∠А =∠С = 45°; ∠В =∠D = 135°.

Ответ: ∠А =∠С = 45°; ∠В =∠D = 135°.

Задача 4. Докажите, что если у четырехугольника две стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

 Доказательство.

Проведем диагональ BD  и рассмотрим  Δ ADB и Δ CBD.

AD = BC по условию. Сторона BD – общая.  ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие при параллельных (по условию) прямых AD и BC и секущей BD. Следовательно, Δ ADB = Δ CBD по двум сторонам и углу между ними (1-й признак равенства треугольников).  В равных треугольниках соответственные углы равны, значит, ∠3 =∠4. А эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей BD. Отсюда следует параллельность прямых AB и CD. Таким образом, в данном четырехугольнике ABCD противолежащие стороны попарно параллельны, следовательно, по определению ABCD – параллелограмм, что и требовалось доказать.

Задача 5. Две стороны параллелограмма относятся как 2 : 5, а периметр равен 3,5 м. Найти стороны параллелограмма.

Решение.

Периметр параллелограмма P_ABCD= 2 ∙ (AB + AD).

Обозначим одну часть через х. тогда AB = 2x, AD = 5x метров. Зная, что периметр параллелограмма равен 3,5 м, составим уравнение:

2 ∙ (2x + 5x) = 3,5;

2 ∙ 7x = 3,5;

14x = 3,5;

x = 3,5 : 14;

x = 0,25.

Одна часть составляет 0,25 м. Тогда AB = 2 ∙ 0,25 = 0,5 м; AD = 5 ∙ 0,25 = 1,25 м.

Проверка.

Периметр параллелограмма P_ABCD= 2 ∙ (AB + AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1,75 = 3,5 (м).

Так как противоположные стороны параллелограмма равны, то CD = AB = 0,25 м; BC = AD = 1,25 м.

Ответ: CD = AB = 0,25 м; BC = AD = 1,25 м.

Геометрия 8 класс (УМК Атанасян). Решение задач по теме «Параллелограмм» с ответами. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. М.: Просвещение». Урок 7. Решение задач: Параллелограмм

Основные дидактические цели урока: закрепить свойства и признаки параллелограмма в процессе решения задач; совершенствовать навыки решения задач.

Ход урока

I. Организационный момент. Мотивация к учебной деятельности

(Учитель сообщает тему урока, формулирует цели урока.)

II. Актуализация знаний учащихся

1. Работа у доски.

(Три ученика готовят у доски доказательства признаков параллелограмма.)

2. Проверка домашнего задания.

(Учитель проверяет решение задачи № 373. Один ученик готовит решение задачи на доске. Решение заслушать после проверки задач по готовым чертежам.)

Задача № 373. Периметр параллелограмма ABCD равен 50 см, ∠C = 30°, а перпендикуляр ВН к прямой CD равен 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма.
Решение: В ΔВСН ∠H = 90°, ∠C = 30°, следовательно, ВС = 2 • НВ, т. е. ВС = 13 см (рис. 5.51). P_ABCD = АВ + ВС + CD + DA,   АВ = DC, ВС = DA как противолежащие стороны параллелограмма, значит, 2 • АВ + 13 • 2 = 50. Таким образом, АВ = 12 см, тогда CD = АВ = 12 см, AD = ВС = = 13 см.
Ответ: АВ = CD = 12 см, AD = ВС = 13 см.

Наводящие вопросы.
– Что можно сказать о треугольнике ВСН. Можно ли найти другие его стороны?
– Как найти стороны параллелограмма, если известно, что периметр параллелограмма равен 50 см.

3. Работа по индивидуальным карточкам.

(3–6 учеников работают по карточкам.)

I уровень сложности
1. Точки Е и К – середины сторон АВ и CD параллелограмма ABCD. Докажите, что АЕСК – параллелограмм.
2. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О, причем АС = 2 дм, АО = 10 см, BD = 1,5 дм, ВО = 7 см. Выясните, является ли ABCD параллелограммом?

II уровень сложности
1. В параллелограмме ABCD на сторонах АВ и CD отмечены соответственно точки М и N так, что ∠BMC = ∠AND. Докажите, что AMCN – параллелограмм.
2. Точки А и В делят диагональ МК параллелограмма MNKP на три равные части. Является ли четырехугольник ANBP параллелограммом? Ответ обоснуйте.

III уровень сложности
1. Дано: ABCD – параллелограмм, AM = СК, АР = CN (рис. 5.52). Доказать: MNKP – параллелограмм.
2. Через точку пересечения диагоналей О параллелограмма ABCD проведена прямая MN, пересекающая стороны AD и ВС в точках М и N соответственно. Является ли MBND параллелограммом? Ответ обоснуйте.

4. Решение задач по готовым чертежам.

(Ученики решают задачи с последующей самопроверкой по готовым ответам. В это время учитель может заслушать доказательства признаков параллелограмма и проверить решение дополнительных домашних задач индивидуально у тех учащихся, которые их решали.)

1. Дано: ABCD – параллелограмм (рис. 5.53). Найти: ∠C, ∠D.
2. Дано: MNKP – параллелограмм (рис. 5.54). Найти: МР, РК.
3. Рис. 5.55. Найти: углы параллелограмма ABCD.
4. Дано: ABCD – параллелограмм (рис. 5.56). Найти: Р_ABCD.
5. Дано: ABCD – параллелограмм (рис. 5.57). Найти: AD.
6. Дано: ABCD – параллелограмм (рис. 5.58). Найти: P_ABCD, ∠AED.
7. Дано: NBFD – параллелограмм. AD = 4 см, NB = 5 см (рис. 5.59). Найти: ВС, CD.
8. Дано: ABCD – параллелограмм. P_MNKP = 20 см (рис. 5.60). Найти: MN, МР.
9. Дано: BNDM – параллелограмм. АВ : ВС = 4:5, P_ABCD = 18 см (рис. 5.61). Найти: AD, DC.

(После окончания самостоятельного решения задач и самопроверки по готовым ответам выполняется самооценка.) Критерии оценивания:

• оценка «5» – правильно решены восемь–девять задач;
• оценка «4» – правильно решены шесть–семь задач;
• оценка «3» – правильно решены три–пять задач;
• оценка «2» – правильно решено менее трех задач.

Ответы к задачам по готовым чертежам:

• 1) ∠C= 64°, ∠D = 116°.
• 2) МР = 4 см, РК = 10 см.
• 3) ∠B = ∠D = 115°, ∠A = ∠C = 65°.
• 4) P_ABCD = 16 см.
• 5) AD = 10 см.
• 6) P_ABCD = 30 см, ∠AED = 90°.
• 7) ВС = 4 см, CD = 5 см.
• MN = 3 см, МР = 7 см.
• 9) AD = 5 см, DC = 4 см.

5. Проверка решения дополнительных домашних задач.

I уровень сложности: В выпуклом четырехугольнике ABCD АВ = CD, ∠В = 70°, ∠BCA = 60°, ∠ACD = 50°. Докажите, что ВС = AD.

Решение. (рис. 5.62) ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = 60° + 50° = 110°.
∠ABC и ∠BCD – односторонние углы при прямых CD и АВ и секущей ВС. ∠ABC + ∠BCD = 70° + 110° = 180°, значит, CD || AB.
В четырехугольнике ABCD противолежащие стороны АВ и CD параллельны и равны, следовательно, ABCD – параллелограмм, а это значит, что ВС = AD как противолежащие стороны параллелограмма.

II уровень сложности: Через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведены две прямые. Одна из них пересекает стороны АВ и CD соответственно в точках М и К, вторая – стороны ВС и AD соответственно в точках N и L. Докажите, что четырехугольник MNKL – параллелограмм.

Решение. (рис. 5.63)
а) ΔAOL = ΔCON по стороне и прилежащим к ней углам (АО = СО, так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, ∠AOL = ∠CON как вертикальные, ∠NCO = ∠LAO как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей АС), тогда NO = LO.
б) ΔBOM = ΔDOК по стороне и прилежащим к ней углам (ВО = DO, так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, ∠BOM = ∠DOK как вертикальные, ∠MBO = ∠KDO как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD), тогда МО = КО.
в) В четырехугольнике MNKL диагонали МК и NL точкой пересечения делятся пополам (МО = КО, NO = АО), следовательно, MNKL – параллелограмм.

III. Решение задач

Решить задачи № 374, 377 (выполнить рисунок и записать краткое решение). (Два ученика работают у доски, остальные – в тетрадях. По окончании работы учащиеся слушают решения задач, а затем исправляют ошибки.)

Задача № 374. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма, если ВК = 15 см, КС = 9 см.
Решение: ΔАВК – равнобедренный, АВ = ВК = CD = 15 см, ВС = AD = 15 + 9 = 24 см, P_ABCD = (15 + 24) • 2 = 78 см (рис. 5.64). Ответ: 78 см.

Наводящие вопросы.
– Что можно сказать о ΔАВК, если АК – биссектриса ∠BAD параллелограмма ABCD?
– Чему равны стороны параллелограмма ABCD? Чему равен его периметр?

Задача № 377. В параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр NH к прямой MQ, причём точка Н лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что МН = 3 см, HQ = 5 см, ∠MNH = 30°.
Решение: В ΔMNH ∠H = 90°, ∠N = 30°, MN = 3 см, следовательно, MN = 6 см (рис. 5.65). MNPQ – параллелограмм, следовательно, MN = PQ = 6 см, NP = MQ = 8 см.
Ответ: MN = PQ – 6 см, NP = MQ = 8 см.

Наводящие вопросы.
– Что можно сказать о AMNH? Какую из его сторон можно найти?
– Найдите стороны параллелограмма MNPQ.

IV. Самостоятельная работа № 2 (3 уровня сложности)

Задания I уровня сложности предлагаются менее подготовленным учащимся, задания III уровня сложности – самым подготовленным, задания II уровня сложности – всем остальным, что составляет большинство класса. Учащихся, выполняющих задания I и III уровня, необходимо предупредить о критериях оценивания их работ. Правильное решение всех заданий I уровня может быть оценено максимально в 4 балла, для получения 5 баллов, решающим задания III уровня, необходимо правильно решить или решить с негрубыми ошибками третье задание. Учащиеся сами выбирают уровень сложности.

Самостоятельная работа № 2 с ответами

V. Рефлексия учебной деятельности

1. Сформулируйте признаки параллелограмма.
2. Сформулируйте свойства параллелограмма.

Домашнее задание

1. Решить задачи № 375, 380, 384 (устно).
2. Решить задачу № 14 (рабочая тетрадь).
3. Решить дополнительные задачи.
   I уровень сложности: Дано: ABCD – параллелограмм. AN – биссектриса ∠BAD, ВМ – биссектриса ∠ABC (рис. 5.66). Доказать: ABNM – параллелограмм.
   II уровень сложности: Докажите, что угол между перпендикулярами, проведенными из вершины тупого угла параллелограмма к прямым, содержащим стороны параллелограмма, равен острому углу параллелограмма, а угол между перпендикулярами, проведенными из вершины острого угла, равен тупому углу параллелограмма.

Вы смотрели: Геометрия 8 класс (УМК Атанасян). Урок 7. Решение задач: Параллелограмм с ответами. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7-9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение». В учебных целях использованы цитаты из пособия «Поурочные разработки по геометрии. 8 класс / Гаврилова Н.Ф. — М.: ВАКО».

Вернуться в Поурочное планирование по геометрии для 8 класса (УМК Атанасян).