Задачи как найти число по его проценту

Летняя онлайн-школа, задание 8 июля для 6 класса. Повторим как решать задачи на нахождение числа по его процентам.

Чтобы найти число по данному его проценту нужно заменить проценты десятичной или обыкновенной дробью, исходя из того, что 1% = 0, 01 = 1/100, а затем разделить данное число на эту дробь.

Задание 8 июля для 6 класса

Реши задачи, ответы впиши вы форму и отправь на проверку.

1. Сколько нужно взять пшеницы для получения 300 т муки, если при размоле пшеницы получается 80% муки?
2. В первый день туристы преодолели 38,7 км, что составляет 14% всего пути. Сколько километров составляет весь намеченный путь?

форма для заполнения ответов

Как решать задачи на нахождение числа по его процентам

Задача 1

 Тракторная бригада вспахала за день  25%  всего поля, что составляет  60 га. Какова площадь всего поля ?

Решение:

Переводим проценты в десятичную дробь.

25% = 25 : 100 = 0, 25.

60 : 0,25 = 6000 : 25 = 240 (гектаров) — площадь всего поля.

Ответ: 240.

Задача 2

Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

Цена чайника была повышена на 16% и стала в процентах составлять 116%. Так как 100% — это первоначальная цена чайника.

116% = 1,16.

3480 : 1,16 = 348000 : 116 = 3000 (рублей) — первоначальная стоимость чайника.

Ответ: 3000 рублей стоил чайник до повышения цены.

Задача 3

Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?

Решение:

Полностью зарплата составляет 100%.

Подоходный налог — 13%.

После вычета налога: 100% — 13% = 87%.

87% = 0,87.

9570 : 0,87 = 957000 : 87 = 11000(руб) — заработная плата Марии Константиновны.

Ответ: 11000 рублей.

Вернуться к выбору заданий 6 класса

МБОУ
Шахунская СОШ №1

Им.
Д. Комарова.

Задачи на         проценты

Шахунья

2017

 Авторы –
составители: Феоктистова Валерия, Зимина Марина,  Дернова  Ксения, Волкова
Александра , ученицы 6а класса МБОУ Шахунской СОШ № 1 им.

 Д. Комарова, г.Шахуньи
 Нижегородской области.

    Учитель –
консультант: Ветюгова  Наталия Максимовна, учитель математики.

Пособие
предназначено для школьников 5-х – 11-х классов,   учителей математики и для
тех, кому интересна данная тема. Пособие поможет выпускникам  основной и
средней школы при подготовке к экзаменам.

    
Данное пособие содержит основные способы решения задач на проценты, задачи на
проценты, часто встречающиеся в различных жизненных ситуациях, и их решение,
небольшую историческую справку,  интересные факты. В каждом разделе
предлагаются  задачи для самостоятельного решения, в конце пособия имеются
ответы.

                                     Содержание

Введение……………………………………………………	4
История возникновения процентов……………………	5
Основные способы  решения задач  на проценты……………………………………………..	6
1.      Задачи на нахождение процентов от числа……………………………………………………….	12
2.      Задачи на нахождение числа по значению его процентов………………………………………	23
3.      Задачи на нахождение процентного отношения двух чисел………………………………………	32
Интересные факты………………………………………	39
Ответы……………………………………………………	41
Литература………………………………………………	42

                                        Введение

Проценты – одно из
математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, мы
часто читаем или слышим, что например, в выборах приняли участие 52,5%
избирателей, промышленное производство сократилось на 11,3%, уровень инфляции
составил 8% в год, банк начисляет 12% годовых, молоко содержит 3,2% жира,
материал содержит 60% хлопка и 40% полиэстера и т.д.

В
настоящее время понимание процентов и умение производить процентные расчеты,
необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и
затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, экономическую,
социологическую и другие стороны нашей жизни. Современная жизнь делает задачи
на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов
расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение
покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе.
Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки невозможны без
умения производить несложные процентные вычисления. Любой человек должен уметь
свободно решать задачи, предлагаемые самой жизнью, уметь просчитать различные
предложения магазинов, кредитных отделов и различных банков и выбрать наиболее
выгодные.

История возникновения процентов.

Процент
— имеет латинское происхождение: «pro centum» — это
«на сто».  Процентом называется сотая часть числа. Проценты были известны в
Индии ещё в V в. С давних пор счет велся в десятичной системе счисления. Также
проценты были распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами
деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Они  брали с
должника лихву (т. е. деньги сверх того, что дали в долг).От римлян проценты
перешли к другим народам в Европе. В средние
века в Европе в связи с развитием торговли особо обращали внимание на умение
вычислять проценты. Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов Симон
Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды). Это произошло в 1584 году. Употребление термина «процент» в России начинается в конце
XVIII в. Долгое время под процентами понималось исключительно прибыль или
убыток на каждые 100 рублей. Проценты применялись только в торговых и денежных
сделках. До начала 15
символ «%» не использовался. Употреблялся итальянский термин  per cento (на
сотню), в том числе, в сокращённом виде: «per 100», «p 100», «p cento».Есть
несколько версий возникновения знака «%». В Италии слово cento (сто), писалось сокращенно cto. Путем дальнейшего
упрощения из буквы t в наклонную черту произошел современный символ для
обозначения процента — /.Есть  другая версия возникновения знака «%».
Предполагается, что знак произошёл в результате опечатки, которую совершил
наборщик. В 1685 году в Париже была опубликована книга «Руководство по
коммерческой арифметике», где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

Основные
способы решения задач на проценты:

Чтобы найти процент от числа, нужно:

1.Перевести проценты в  десятичную дробь .

2 Данное  число умножить на полученную
дробь .

 1)В классе 28 учеников .75%из них
занимаются спортом .Сколько учеников в классе занимаются спортом?

Решение : Так
как 75 % =0,75 ,то умножая число 28 на дробь 0,75 получаем :0,75*28 =21

Получается ,что 21 человек занимается
спортом .

2)Вода
составляет 76% картофеля. Сколько килограммов воды в 35 кг картофеля?        

 Решение.
Вода составляет 76% от 35 кг. По правилу нахождения процентов от данного числа
(чтобы найти проценты от данного числа нужно обратить проценты в десятичную или
обыкновенную дробь, а затем умножить данное число на эту дробь) получаем
0,76∙35=26,6 кг.

 Ответ: в 35 кг
картофеля содержится 26,6 кг воды.

3)  В классе 20
человек. Контрольную работу по математике 25% учащихся написали на «5», 35 %
написали на «4», 10% всех учащихся получили «2». Сколько пятерок, четверок,
троек и двоек получил класс?

Решение.
Количество пятерок составляет 25% от 20. По правилу нахождения процентов от
данного числа это 0,25∙20=5 учащихся. Четверки получили 35% от 20. Это
0,35∙20=7 учащихся. Двоек 10%. Это 1/10 часть от 20 учащихся, т.е. 2 человека.
Остальные учащиеся получили оценку «3». Их 20-5-7-2=6 человек.

Ответ: оценку «5»
получило 5 учащихся; оценку «4» получили 7 учащихся; оценку «3» получило 6
учащихся и оценку «2» получили 2 ученика.

Чтобы найти число по его процентам,
нужно:

1.     
Перевести проценты в  десятичную дробь .

2.     
Известное число в задаче разделить на  эту дробь

1)В школе на
родительском собрании отсутствовало 12 человек, что составляет 7,5% от общего
числа родителей .Сколько всего родителей должно было присутствовать на собрании
?

Решение : Заменим
7,5 % десятичной дробью .Это будет 0,075 . Значит 12 человек ,отсутствовавших
на собрании , составляют 0,075 от общего числа родителей .Таким образом ,в этой
задаче нужно 12: 0,075 =160 . Следовательно ,на родительском собрании было 160
родителей .

2) В школьной библиотеке 5780
учебников, что составляет 85% всех книг, имеющихся в библиотеке. Сколько всего
книг в школьной библиотеке?

 Решение.
Потребуется найти число по его процентам. Применяем правило нахождения числа по
его процентам (чтобы найти число по его процентам нужно обратить проценты в
десятичную дробь, а затем разделить данное число на эту дробь). 1) 85%=0,85; 2)
5780:0,85=578000:85=6800 книг.

 Ответ: всего в
библиотеке 6800 книг.

 3)Фирма платит
рекламным агентам 5% от стоимости заказа. На какую сумму нужно выполнить заказ,
чтобы заработать 2000 рублей?

 Решение.
2000 рублей – это 5% от заказа. Число (все его 100%) по его процентам мы найдем
по правилу нахождения числа по его процентам. Обращаем 5% в десятичную дробь и
делим 2000 на эту дробь. 1) 5%=0,05; 2) 2000:0,05=200000:5=40000.

 Ответ: заказ должен
быть на сумму 40000 рублей.

Чтобы найти процентное отношение двух
чисел ,нужно:

   1. Найти
отношение данных чисел.

2.Результат умножить на 100.

1)Завод должен был за месяц изготовить
1200 изделий , а изготовил 2300 изделий. На сколько процентов завод
перевыполнил план ?

Решение : 1200
изделий –это план завода ,или 100% плана . 2300-1200=1100изделий-на столько
изделий завод перевыполнил план . Найдём  1100 от 1200. 1100 :1200 * 100 = 91
,7%.

2) За 1 час
станок-автомат изготовлял 240 деталей. После реконструкции этого станка он стал
изготовлять в час 288 таких же деталей. На сколько процентов повысилась
производительность станка?        

 Решение.
Производительность станка повысилась на 288-240=48 деталей в час. Нужно узнать,
сколько процентов от 240 деталей составляют 48 деталей. Для того чтобы узнать,
сколько процентов число 48 составляет от числа 240 нужно число 48 разделить на
240 и результат умножить на 100%.

 Ответ:
производительность станка повысилась на 20%.

3) Сколько
процентов число 36 составляет от 48?

 Решение.
По соответствующему правилу: чтобы найти, сколько процентов составляет первое
число от второго нужно первое число разделить на второе и результат умножить на
100% — записываем:

 Ответ: 75%
составляет число 36 от числа 48.

       1.  Задачи
на нахождение процентов от  числа

   1.На приготовление ужина у мамы ушло 2
часа. Для приготовления мясных блюд понадобилось 40% времени, десерт занял 20%,
все остальное время было затрачено на приготовление салатов. Сколько времени
понадобилось маме для приготовления каждого из блюд?

   2.Зонт стоил 360
рублей. В ноябре цена зонта была снижена на 15%, а в декабре еще на 10%. Какой
стала стоимость зонта в декабре?

3.Согласно российским законам заработок
человека облагается так называемым подоходным налогом, который равен 13%
зарплаты .Какую сумму в качестве подоходного налога должен заплатить человек,
заработавший 12 000 рублей и сколько он получит  «на руки»?

4.Шариковая ручка
стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить
на 900 рублей после повышения цены на 10%?

    5 .Банк выплачивает
вкладчикам каждый месяц 2% от внесённой суммы.      Клиент сделал вклад в размере
500 рублей. Какая сумма

будет на его счёте через полгода?                                                                                                                  

6.В школе 800 учеников из них 30%
 — ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 20%
изучают немецкий язык. Сколько учеников в школе изучают немецкий язык, если в
начальной школе немецкий язык не изучается?

7.В
банк положили 50000 рублей под 30% (при сложных процентах). Какова величина
вклада через 4 года?

 8.Один
купец заказал у портного 1200 кафтанов. Из них 32% кафтана составляют нового
фасона. Сколько кафтанов нового фасона сшил портной?

9..Из
молока получается 10% творога. Сколько творога получают из 40 кг молока?

10.Средняя
продолжительность жизни россиян составляет 66 лет, причём 10% из этих лет мы
проживаем за счёт медицины. На сколько лет врачи продлевают жизнь?

11.Металлический
конструктор состоит из 300 деталей. 12% этих деталей гайки. Сколько гаек в
металлическом конструкторе?

 12.В городе N живет
100000 жителей. Среди них 15 % детей и подростков. Среди взрослых 45% не
работает (пенсионеры, домохозяйки, безработные). Сколько взрослых
работает? 

13.В
городе 125 тысяч жителей. 40% из них любят биатлон, из них 60% не смогли
посмотреть соревнования по телевизору. Сколько любителей биатлона увидели
соревнования по телевизору? Ответ дайте в тысячах человек.  

14.Магазин
закупает цветочные горшки по оптовой цене 140 рублей за штуку и продает с
наценкой 25%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине
на 1300 рублей? 

15.Средний вес мальчиков того же возраста,
что и Сергей, равен 48 кг. Вес Сергея составляет 120% среднего веса. Сколько
весит Сергей?

16.Из молока
получается 21% сливок, а из сливок – 24% масла. Сколько нужно взять молока,
чтобы получить 630 кг масла?

17.В
свежих абрикосах 90% влаги, а в кураге, которая из них получается, только 5%.
Сколько килограммов абрикосов нужно, чтобы получить 20 килограммов кураги?

18.Стоимость
проезда в электричке составляет 184 рубля. Детям предоставляется скидка 75%.
Сколько рублей будет стоить проезд в этой электричке для четырёх взрослых и
восьми детей?

19. Тетрадь стоит 24 рубля. Сколько
рублей заплатит покупатель за 60 тетрадей, если при покупке больше 50 тетрадей
магазин делает скидку 10% от стоимости всей покупки?

20.Только 94% из 27 500 выпускников
города правильно решили задачу B1. Сколько человек правильно решили задачу В1?

21.Оптовая цена учебника 170 рублей.
Розничная цена на 20% выше оптовой. Какое наибольшее число таких учебников
можно купить по розничной цене на 7000 рублей?

22. Масса сушёных груш составляет
20% массы свежих. Сколько сушёных груш получится из 350 кг свежих? Сколько
процентов массы свежих груш потеряется при сушке?

23. Надо окрасить 60 м2 поверхности
стены. 75% работы уже сделали. Какую площадь осталось окрасить?

24. В школе 400 учащихся, 52% этого
числа составляют девочки. Сколько мальчиков в школе?

25.Туристы выбрали маршрут, который
составляет 300 км. 50% пути они проехали на автобусе и 35% на поезде. Остальную
часть пути они прошли пешком. Сколько км они прошли пешком?

26. Товар стоил 5000 р. Его цена
повысилась на 20%. Какова новая цена товара?

27. В городе N живет 200 000
жителей. Среди них 15% детей и подростков. Среди взрослых жите-лей 45% не
работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т. п.). Сколько взрослых жителей
работает?

28. Что больше 30% от 40 или 40% от
30?

2.Задачи
на нахождение числа по значению его процента.

29.В 2012 году
средняя продолжительность жизни россиян 70 лет, что составляет 25% от возможной
продолжительности жизни человека.  Сколько лет может прожить человек?

 30.Цена
на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько
рублей стоил чайник до повышения цены?

31. В
школе французский язык изучают 124 учащихся, что составляет 25% от числа всех
учащихся школы. Сколько учащихся в школе?

32.Танцевальный кружок при Доме детского
творчества посещают 18 учеников одной из школ города, что составляет 3% всех
учащихся этой школы. Сколько учащихся в этой школе?

33.Налог на доходы составляет 13% от
заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна
получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии
Константиновны?

34. При продаже товара за 693 рубля
получено 10% прибыли. Определите себестоимость товара

35.Студентами технических вузов собираются
стать 27 выпускников школы. Они составляют 30% от числа выпускников. Сколько в
школе выпускников?

36. Сколько учеников в
классе, если 1 ученик составляет 4% всех учащихся класса?

37.Бригада рабочих отремонтировала 131,1 м
дороги, что составило 23 % всего объёма работ. Сколько метров дороги должна
отремонтировать бригада?

38.За
зиму медведь Вини Пух съел 16 горшочков меда. Сколько горшочков меда заготовил
Вини Пух, если у него осталось 20% всех его запасов?

39.Товар на распродаже уценили на 20%, при
этом он стал стоить 680 р. Сколько стоил товар до распродажи?

40.У Лены в аквариуме 8 меченосцев, что
составляет 40% всех ее рыбок. Сколько всего рыбок у Лены в аквариуме?

41.На олимпиаде школьная команда набрала
72 очка. Сколько очков можно набрать на олимпиаде, если набранные командой очки
составляют 80% из всех возможных?

42. В городе Мегионе в 2011 году отделом 
здравоохранения  уделялось большое внимание здоровью населения и проведению
диспансеризации, охват которой составил 97%. Сколько человек было охвачено
медицинскими услугами, если в городе проживает 55762 человека?

43.Коля истратил в парке аттракционов 120
рублей, что составило 75% всех его карманных денег. Сколько было карманных
денег у Коли до прихода в парк аттракционов?

44.Призерами городской олимпиады по
математике стало 48 учеников, что составило 12% от числа участников. Сколько
человек участвовало в олимпиаде?

45.Какую сумму следует положить в банк, выплачивающий
25% годовых, чтобы по истечении года получить 1000 рублей?

46.В коробке
лежали лампочки, 4 из них разбились. Разбитые лампочки составили 2% от числа
всех лампочек. Сколько всего лампочек в коробке?

47. Трава при сушке теряет
80% своей массы. Сколько тонн травы надо накосить, чтобы насушить 14 тонн сена?

48. Цена альбома была снижена
на 15%. Новая цена альбома 34 рубля. Определите его первоначальную цену.

49.Задачу №1 правильно решили
13230 человек, что составляет 42% от выпускников города. Сколько всего
выпускников в этом городе?

50. 60% класса пошли в кино,
а остальные 12 человек на выставку. Сколько учащихся в классе?

51.Цена
на электрический чайник была повышена на 17% и составила 2340 рублей. Сколько
рублей стоил товар до повышения цены? 2000

3.Задачи на нахождения процентного отношения двух чисел.

52.Мобильный телефон
стоил 5000 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 3000
рублей. На сколько процентов была снижена цена?

53.Мой дядя
хороший кондитер. Для
приготовления шоколадного пирога
он использовал шоколад, муку, сахар, молоко и
яйца. На покупку продуктов для пирога он потратил 135 крон. Когда он его испёк,
то продал его в своём кафе за 160 крон. На сколько процентов закупочная цена
продуктов для пирога меньше продажной цены
пирога?

54. Ширина
дачного участка прямоугольной формы  20 м, а длина 32 м. Сколько % составляет
ширина от длины? (Длина является основой для сравнения)!

55.Из
25 килограммов  свежих яблок получили 4 килограмма сушёных. На

       сколько
процентов уменьшилась масса яблок при сушке

56..Представители африканского племени ватузи в
среднем имеют рост 210 см.     Россиянин имеет средний рост 170 см. На сколько
процентов рост представителя   африканского племени выше роста россиянина?

57.Петр обычно выпивает 1 чашку чая, а
вечером – 4. Сколько процентов от вечернего объема Утром чашек чая он выпивает
утром?

58.В магазинах «Эльдорадо» проводилась
новогодняя распродажа бытовой техники. Так старая цена телевизора была  40
000 рублей, а новая стала 36 000 рублей. На сколько процентов подешевел
товар?

59.В классе 30 человек, из них девочек –
18. Сколько процентов мальчиков в классе?

60.Даша прочитала 120 страниц, ей осталось
прочитать 130 страниц книги. Сколько процентов всех страниц она прочитала?

 61.В начале года число абонентов телефонной компании «Север» составляло
200 тыс. чел., а в конце года их стало 210 тыс. чел. На сколько процентов
увеличилось за год число абонентов этой компании?

62.Магазин
делает пенсионерам скидку на определенное количество процентов от цены покупки.
Пакет кефира стоит в магазине 40 рублей. Пенсионер заплатил за пакет кефира 38
рублей. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров?

63.Футболка
стоила 1200 рублей. После снижения цены она стала стоить 972 рубля. На
сколько процентов была снижена цена на футболку? 

64. Маша получила 360 смс по телефону. Из них
144 — поздравительные. Сколько процентов поздравительных смс получила Маша?

65.В месяце было 12 пасмурных и 18 солнечных дней. Сколько
процентов месяца составляют солнечные дни? Пасмурные дни?

66. Для приготовления компота купили 2 кг чернослива, 1кг
изюма, 4 кг кураги, 5 кг сушёных яблок, 3 кг сушёных груш. Сколько процентов
всего компота составляют груши?

67. Цена
товара снизилась с 40 рублей до 30 рублей. На сколько процентов снизилась цена?

68.Масса ящика с
товаром 11,5 кг. Масса товара 9,2 кг. Сколько процентов масса пустого ящика
составляет от массы ящика с товаром?

69.В школе 630 учащихся. На олимпиаду по
математике отправили 126 учащихся школы. Сколько процентов учащихся приняло
участие на олимпиаде по математике.

                                           Интересные факты

1. Самый
   большой прирост населения с начала 2010 года зафиксирован в Индии (1,6%),
   самое большое падение — в Японии (-0,088%)
2. Масса
   крови в организме человека составляет около 8% его массы.
3. Самая
   длинная кость в организме человека  — бедренная, ее длина составляет
   обычно 27,5% от роста человека.
4. Общий
   вес мышц у мужчины составляет около 40% от веса тела, а у женщины — около
   30%.
5. Известно,
   что медузы на 98-99% состоят из воды, тем не менее, медуза не растворяется
   в море, ее можно взять в руки.
6. Все 
   животные и растительные существа состоят из воды: животные – на 75%, 
   рыбы – на 75%,  картофель — на 76%, яблоки — на 85%, помидоры — на
   90%, огурцы — на 95%, арбузы — на 96%. Даже человек состоит из воды. 86%
   воды содержится в теле у новорожденного и до 50% у пожилых людей.
7. Если
   человек теряет 2% воды от массы своего тела, то у него возникает сильная
   жажда. Если проценты потерянной воды увеличатся до 10%, то у человека
   начнутся галлюцинации. При потере в 12% человек не сможет восстановиться
   без помощи врача. При потере в 20% человек умирает.
8. Вода
   не только дарит жизнь, но может и отнимать ее. 85% всех заболеваний в мире
   передается с помощью воды.
9. В
   мире всего 9% левшей (ведущая левая рука).
10. Человек
    пользуется лишь 10-ю процентами собственного мозга.
11. Организм
    человека состоит (в массовом отношении): из воды – на 60%, из белка – на
    14%, из жиров – на 10%, из углеводов – на 1%, из золы – на 5% и других
    веществ.

1. Общая
   длина кровеносных сосудов человека — примерно 100000 км.  В покое кровь
   распределена так: 25%  –  в мышцах,  25% –  в почках, 15%  – в сосудах
   стенок кишечника, 10% – в печени, 8% –  в мозгу, 4% – в венечных сосудах
   сердца, 13% – в сосудах легких и других  органах.
2. Страна
   с наибольшим количеством языков: Папуа — Новая Гвинея. Хотя английский
   язык является в этой стране официальным, на самом деле это чистая
   формальность: по-английски здесь говорит не более 2% населения. Жители
   Папуа — Новой Гвинеи используют более 820 различных языков, что составляет
   12% языков мира.
3. Самая
   образованная страна в мире — Канада. 50% населения этой страны имеют
   образование не ниже среднего специального. За Канадой следует

Израиль — 45% и Япония —
44%.

1. Страна
   — крупнейший производитель кислорода в мире: Россия. В Сибири растёт
   примерно 25% мировых лесов, которые охватывают площадь больше, чем
   континентальная часть США, что делает Россию самым мощным в мире
   переработчиком углекислого газа в ценнейший кислород.
2. Страна
   — крупнейший производитель опиума: Афганистан. Здесь производится невероятные
   95% от всего опиума в мире.
3. Самая
   засушливая страна: Ливия. 99% Ливии покрыто пустыней, в некоторых регионах
   дождей не бывает десятилетиями.
4. Страна
   с самым большим количеством озёр: Канада. 60% всех озёр мира находятся на
   территории Канады,  более 3000000 озёр, занимающих 9% канадских земель.
5. Страна
   с самыми толстыми гражданами: Науру. 95% населения этого маленького
   островного государства имеют избыточный вес. Причина? Ничего особенного,
   они просто слишком много едят и мало двигаются.
6. Воздух
   на 78% состоит из азота.

Ответы

1)48,24,48
2)275,4 3)156,11844 4)20 5)550 6)112 7)142805
384 9)4 10)6,6 11)36 12)46750 13)20 14)7
15)57,6 16)12500 17)200 18)1104 19)1296 20)25850

21)34
22)70,80 23)15 24)192 25)45 26)6000 27)93,5
28)= 29)280 30)3000  31)496 32)600 33)11000 34)630
35)90 36)25 37)570 38)20 39)850 40)20
41)90 42)54089  43)160 44)400 45)800 46)200
47)70 48)40 49)31500 50)30 51)2000 52)40
53)16 54)62,5 55)8456 56)19 57)25 58)10
59)40 60)48 61)5 62)5 63)19 64)40 65)60,40
66)20 67)25 68)20 69)20.

Литература

1. Депман И.Я.,
Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. — М.: Просвещение, 1999.-287c.

2. Виленкин Н.Я.,
Жохов В.И. Математика: учебник для 5-6 кл. – М.: Мнемозина, 2005.-280c.

3. Кузнецова Л.В.,
Бунимович Е.А., Пигарев Б.П., Суворова С.Б. Сборник заданий для проведения
письменного экзамена за курс основной школы. – М.: Дрофа, 2001.-192c.

4. Кузнецова Л.В.,
Суворова С.Б., Булычёв В.А., Бунимович Е.А., Рослова Л.О. Математика: ГИА:
Учебно-справочные материалы для 9 класса. – М.: СПб.: Просвещение, 2012.-279c.

5. Савин А.П.
Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985.-352c.

6. Фридман Л.М.
Изучаем математику: кн.для учащихся 5-6 классов.- М.:Просвещение, 1995.-255c.

7. Ященко И.В.,
Шестаков С.А., Трепалин А.С., Семёнов А.В. ГИА 2014. Математика 9 класс.
Государственная итоговая аттестация. Типовые тестовые задания. – М.:
Издательство «Экзамен», 2014.-78c.

8.Математика: 6
класс: учебник для учащихся общеобразовательных организаций/ А.Г. Мерзляк, В.Б.
Полонский, М.С. Якир.-2-е изд., перераб.-М.: Вентана-Граф, 2016.-304 с.

Интернет
– ресурсы:

1. Большая
энциклопедия Кирилла и Мефодия (CD-диск) www.KM.ru

2. http://school-sector.relarn.ru

3. http://ru.wikipedia.org/wiki/

4. https://sdamgia.ru

5. https://ege.sdamgia.ru

Задачи с процентами часто попадаются в экзаменационных заданиях. Многих они сбивают с толку – как разобраться с условием и как это решить? И совершенно зря, потому что с задачами на проценты каждый часто встречается в обычной жизни.

Пока такие задачки остаются оторванными от реальности строчками в учебнике, их бывает сложно понять и тем более решить. Чтобы стало понятнее, мы вам сейчас покажем примеры из обычной жизни, где вам могут встретиться проценты. А еще просто и доступно объясним, как решать задачи на проценты. И все у вас станет на свои места.

Задачи про проценты вокруг нас

Давайте оглядимся по сторонам: значения в процентах указаны на упаковках с любыми продуктами. Значок процента «%» смотрит на нас с рекламных плакатов скидок и распродаж. В новостях проценты сразу бросаются в глаза, когда речь идет о повышении цен на товары или коммунальные услуги. Разве вы сможете расшифровать все эти послания, если не научитесь решать задачи с процентами? Но вы, конечно, научитесь – мы в вас верим.

А вот такая ситуация: вы купили что-нибудь через интернет и получили извещение от ближайшего почтового отделения. Или сами собираетесь послать подарок другу в другой город. Вам обязательно надо уметь разбираться с процентами, чтобы узнать, сколько денег почта захочет получить за свои услуги по пересылке.

Или возьмем банковские кредиты и ипотеку. Банки в договорах всегда пишут мелкими буквами всякие вещи, которые полезно понимать. Например, какой процент по кредиту придется заплатить банку кроме тех денег, которые вы у него «одолжили» и обязаны вернуть.

А самый близкий школьникам пример связан с ЕГЭ. Каждый год после экзаменов публикуют официальную статистику. В которой немало задействованы и проценты. И эти проценты имеют прямое отношение к будущим выпускникам. Например, процент ребят, сдавших экзамен по математике на «хорошо» и «отлично» косвенно говорит о том, сколько абитуриентов с высокими баллами могли подать документы в вузы на технические специальности. А еще на программирование, прикладную математику и т.п. Чем их больше, тем выше конкурс. Если сравнивать их результаты со своими оценками, можно прикинуть собственные шансы на поступление.

Что такое процент?

Самое очевидное определение: процент – это десятичная дробь. В жизни редко что-то можно сравнивать целиком, чаще приходится сравнивать разные части чего-то целого. Поэтому мы используем такие понятия, как половина (1/2), треть (1/3), четверть (1/4). Ну да, все так привыкли к слову «четверть» в школе, что забывают о его формальном значении – «четвертая часть учебного года». Сравнивать сотые доли удобнее всего – так появился процент (1/100): pro centum – «за сто» на латыни.

Все задачи по математике на проценты вертятся вокруг сравнения частей одного целого, определения, какую долю составляет часть от целого, нахождения целого исходя из величины его части и т.п.

Проценты можно записать со знакомым всем значком процента: 1%. Можно представить в виде десятичной дроби (или натурального числа). Для этого нужно разделить на 100: 0,01. Можно наоборот: выразить число в процентах. Тогда его следует умножить на 100%.

Типы задач на проценты

Раз мы уже договорились, что задачи на проценты – это задачи на дроби, такой тактики будем придерживаться и дальше.

Тип 1: Находим процент (дробь) от числа.

• Задача. За месяц на предприятии изготовили 500 приборов. 20% изготовленных приборов не смогли пройти контроль качества. Сколько приборов не прошло контроль качества?
• Решение. Нужно найти 20% от общего количества изготовленных приборов (500). 20% = 0,2. 500 * 0,2 = 100. 100 из общего количества изготовленных приборов контроль не прошло.

Тип 2: Находим число по его проценту (дроби).

• Задача. Готовясь к экзамену, школьник решил 38 задач из пособия для самоподготовки. Что составляет 23% числа всех задач в пособии. Сколько всего задач собрано в этом пособии для самоподготовки?
• Решение. Мы не знаем, сколько всего задача в пособии. Но зато нам известно, что 38 задач составляют 25% от общего их количества. Запишем 23% в виде дроби: 0,23. Далее нам следует известную нам часть целого разделить на ту долю, которую она составляет от всего целого: 38/0,25 = 38 * 100/25 = 152. Именно 152 задачи включили в этот сборник.

Тип 3: Находим процентное отношение двух чисел (часть от целого числа).

• Задача. В классе 30 учеников. 14 из них – девочки. Сколько процентов девочек в классе?
• Решение. Чтобы узнать, какой процент составляет одно число от другого, нужно то число, которое требуется найти, разделить на общее количество и умножить на 100%. Значит, 14/30*100% = 7/15*100% = 7*100%/15 = 47%.

Тип 4: Увеличиваем число на процент.

• Задача. На прошлогоднем экзамене по математике 140 старшеклассников получили пятерки. В этом году число отличников выросло на 15%. Сколько человек получили пятерки за экзамен по математике в этом году?
• Решение. Если некое число а увеличено на х%, то оно увеличилось в (1 + х /100) раз. Откуда а * (1 + х /100). Подставим в эту формулу данные нам по условию задачи цифры и получим ответ: 140 * (1 + 15/100) = 161.

Тип 5: Уменьшаем число на процент.

• Задача. Год назад школу закончили 100 ребят. А в это году выпускников на 25 меньше. Сколько выпускников в этом году?
• Решение. Если число а уменьшено на х% и при этом 0 ≤ х ≤ 100, то число уменьшено в (1 – х/100) раз. И нужное нам число находим по формуле а * (1 – х/100). Подставляем цифры из условия задачи и получаем ответ: 100 * (1 – 25/100) = 75.

Тип 6: Задачи на простые проценты.

• Задача. Родители взяли в банке кредит 5000 рублей сроком на год под 15% ежемесячно. Сколько денег они заплатят банку через год?
• Решение. Простые проценты называются так, потому что они начисляются многократно, но всякий раз к исходной сумме. Если обозначить исходную сумму как а, сумму, которая наращивается, как S, процентную ставку как х% и количество периодов начисления процента как у, то формулу можно записать так: S = а * (1 + у * х/100). Теперь подставим сюда цифры из условия задачи и узнаем, сколько денег родители заплатят банку: S = 5000 * (1 + 12 * 15/100) = 14000.

Тип 7: Задачи на сложные проценты.

• Задача. На этот раз сумма кредита 25000 рублей, взятых под те же 15% сроком на 3 месяца. Снова надо узнать, сколько денег придется заплатить банку по истечении срока кредита.
• Решение. Сложные проценты отличаются от простых тем, что процент много раз начисляется не к исходной сумме, а к сумме с уже начисленными раньше процентами. Пускай снова S – наращиваемая сумма, а – исходная, х% — процентная ставка, у – количество периодов начисления процента. В этом случае формула принимает вид: S = а * (1 + х/100)^у. Подставляем цифры из условия: S = 25000 * (1 + 15/100)³ = 38021,875 – искомая сумма.

Кстати, простые задачи на проценты можно очень легко решать с помощью пропорции. Этот метод наглядный и дает такой же результат, так что выбирать можно каждому тот способ решения, который кажется проще. Давайте решим задачу №3 про класс и процент девочек в нем, составив пропорцию.

• Решение. Обозначим искомый процент девочек в классе как х, общее количество учеников примем за 100%. Пропорция выглядит так:

30 – 100%
14 – х%

Перемножим крест накрест левую и правую части пропорции и получим, что 30* х = 14 * 100 («30 относится к х также, как 14 относится к 100»). Откуда найти х уже совсем несложно: х = 14 * 100/30 = 47%.

Задачи на проценты с решением

Давайте решим несколько задач для подготовки к ЕГЭ. Как вы сами видите, решать их совсем несложно. Сейчас просто закрепим материал.

Задача 1. После открытия торгов на бирже в понедельник акции некой компании выросли в цене на неизвестное количество процентов. А во вторник на то же самое количество процентов упали в цене. В итоге они подешевели на 4% по отношению к своей первоначальной стоимости в понедельник. На какой процент акции этой компании поднимались в цене в понедельник?

Решение. Пускай первоначальная стоимость акций это 1. В понедельник акции дорожают на х * 100%. Их стоимость в это время: 1 + х * 1. Во вторник акции дешевеют на х * 100%. Их стоимость после этого: 1 + х – х * (1 + х). После чего они стали дешевле на 4%, т.е. стали стоить 0,96.

Отсюда 1 + х – х * (1 + х) = 0,96 ↔1 – х² = 0,96 ↔ х² = 0,04 ↔ х = 0,2. Т.е. в понедельник акции компании дорожали на 20%.

Задача 2. Четыре пары брюк дешевле одного пальто на 8%. Подсчитайте, на сколько процентов пять пар брюк стоят дороже, чем одно пальто.

Решение. Исходя из условия задачи, стоимость четырех пар брюк – это 92% от стоимости пальто. Легко подсчитать, что стоимость одной пары брюк – это 23% стоимости пальто (92/4 = 23). Теперь умножим стоимость одной пары брюк на пять и узнаем, что пять пар брюк обойдутся в 115% стоимости пальто (23 * 5 = 115). Т.е. пять пар брюк на 15% дороже, чем одно пальто.

Задача 3. Семья состоит из трех человек: муж, жена и дочь-студентка. Если зарплата мужа вырастет в два раза, общий доход семьи возрастет на 67%. Если дочери в три раза урежут стипендию, общий доход этой семьи уменьшится на 4%. Надо вычислить, какой процент в общий доход семьи приносит заработок жены.

Решение. Из условия следует, что общий доход семьи находится в прямой зависимости от доходов мужа. Не так важно, насколько ему поднимут зарплату. В любом случае общий доход семьи вырастет на 67%. Значит, зарплата мужа составляет как раз эти 67% от общего дохода. Если стипендия дочери уменьшится в три раза (т.е. на 1/3), останется 2/3 – это и есть 4%, на которые уменьшился бы семейных доход. Можно составить простую пропорцию и выяснить, что раз 2/3 стипендии – это 4% дохода, то вся стипендия – это 6%. А теперь отнимем от всего дохода вклад мужа и дочери и узнаем, какой процент составляет заработок жены в общем доходе семьи: 100% – 67%  – 6% = 27%.

Задача 4. В емкости находится 5 литров водного раствора с концентраций вещества, равной 12%. В емкость добавили еще 7 литров воды. Раствор какой концентрации (с каким процентным содержанием вещества) получился после этого?

Решение. Опишем концентрацию вещества в растворе такой формулой: С = Vвещества/ Vраствора * 100%. Изначально в растворе содержится 0,12 * 5 = 0,6 литра вещества. Когда были добавлены 7 литров воды, объем раствора в емкости увеличился. Но концентрация вещества понизилась (его объем остался неизменным). Подставим все известные нам цифры в формулу и получим ответ: 0,6/5 + 7 *100% = 0,6 /12 * 100% = 5%.

Задача 5. В свежих абрикосах 90% влаги, а в кураге, которая из них получается, только 5%. Сколько килограммов абрикосов нужно, чтобы получить 20 килограммов кураги?

Решение. Исходя из условия, в абрикосах 10% питательного вещества, а в кураге оно содержится в концентрированном виде – 95%. Поэтому в 20 килограммах кураги 20 * 0,95 = 19 кг питательного вещества. На вопрос задачи мы ответим, если разделим одинаковое количество питательного вещества, которое содержится в разных объемах свежих абрикосов и кураги, на его процентное содержание в абрикосах. Чтобы получить 20 килограммов кураги, нужно взять 19/0,1 = 190 килограммов свежих абрикосов.

Заключение

Сами видите, решать задачи на проценты не так уж сложно. Если усвоить основные правила и подключить воображение, вы сможете щелкать такие задачки как орешки.

Вы даже можете составить задачу на проценты сами по нашим образцам. Кстати, будет очень хорошо, если вы так и поступите. Можете оставить нам свои задачи в комментариях – пускай другие наши читатели решат ваши задачи. А вы сможете решить те, что придумают они. Чтобы задач для подготовки к экзаменам получилось больше, расскажите про эту статью своим друзьям в социальных сетях.

Вот увидите, задачи на проценты вам придется решать еще много раз даже после того, как вы закончите школу. Они встречаются в физике, химии, биологии. Да и в повседневной жизни умение решать их может не раз пригодится. Не бойтесь сложных задач – мы всегда поможем вам найти к ним ключ.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Рассмотрим три основных типа задач на проценты.

Нахождение процента от числа

Разбор примера

Предприятие изготовило за квартал 500 насосов, из которых
60% имели высшую категорию качества. Сколько насосов высшей категории качества
изготовило предприятие?

Решение:

Ответ: 300 насосов высшей категории качества.

Нахождение числа по его проценту

Так как задачи «процент по числу» и «число по его проценту» очень похожи и часто
не сразу понятно какой тип задачи перед нами, старайтесь внимательно читать
текст. Если вам встречаются слова «который», «что составляет» и «который составляет»,
скорее всего перед вами задача «число по его проценту».

Разбор примера

Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23%
числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?

Решение:

Итак, нам неизвестно сколько всего страниц в книге. Но мы знаем, что часть, которую
прочитал ученик (138 страниц) составляет 23% от общего количества
страниц в книге.

Так как 138 стр. — это всего лишь часть, само количество
страниц, естественно, будет больше 138. Это поможет нам при проверке.

Проверка: 600 > 138 (это означает, что 138 является частью 600).

Ответ: 600 (стр.) — общее количество страниц в книге.

Сколько процентов одно число составляет от другого

Разбор примера

Из 200 арбузов 16 оказались незрелыми.
Сколько процентов всех арбузов составили незрелый арбузы?

Решение:

О чем спрашивают? О незрелых арбузах. Значит, 16
делим на общее количество арбузов и умножаем на 100%.

Ответ: 8% — составляют незрелые арбузы от всех арбузов.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---