Задачи на как найти длину куба - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде известно, что Найдите длину диагонали

Решение: + показать

Задача 2. Найдите угол прямоугольного параллелепипеда, для которого . Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Задача 3. В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер Найдите синус угла между прямыми и

Решение: + показать

Задача 4. Площадь поверхности куба равна Найдите его диагональ.

Решение: + показать

Задача 5. Объем куба равен Найдите площадь его поверхности.

Решение: + показать

Задача 6. Диагональ куба равна . Найдите его объем.

Решение: + показать

Задача 6. Объем куба равна . Найдите его диагональ.

Решение: + показать

Задача 7. Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в десять раз?

Решение: + показать

Задача 8. Если каждое ребро куба увеличить на , то его площадь поверхности увеличится на Найдите ребро куба.

Решение: + показать

Задача 9. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в раза?

Решение: + показать

Задача 10. Объем одного куба в раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Решение: + показать

Задача 11. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны и Площадь поверхности этого параллелепипеда равна Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Решение: + показать

Задача 12. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны и Найдите ребро равновеликого ему куба.

Решение: + показать

Задача 13. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны и Диагональ параллелепипеда равна Найдите объем параллелепипеда.

Решение: + показать

Задача 14. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна Ребро, перпендикулярное этой грани, равно Найдите объем параллелепипеда.

Решение: + показать

Задача 15. В прямоугольном параллелепипеде известны длины рёбер: Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки и

Решение: + показать

Задача 16. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и образует углы $30^{circ}$ , $30^{circ}$ и $45^{circ}$ с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Решение: + показать

Задача 17. В прямоугольном параллелепипеде ребро , ребро , ребро . Точка — середина ребра Найдите площадь сечения, проходящего через точки .

Решение: + показать

Задача 18. Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна и образует с плоскостью этой грани угол °. Найдите объем параллелепипеда.

Решение: + показать

Задача 19. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки прямоугольного параллелепипеда у которого

Решение: + показать

Задача 20. Найдите объем параллелепипеда , если объем треугольной пирамиды равен

Решение: + показать

Задача 21. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки прямоугольного параллелепипеда у которого

Решение: + показать

Задача 22. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки прямоугольного параллелепипеда у которого

Решение: + показать

Задача 23. Объем параллелепипеда равен Найдите объем треугольной пирамиды

Решение: + показать

Задача 24. В кубе точка — середина ребра , точка — середина ребра , точка — середина ребра Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Вы можете пройти тест

Источник

Нахождение объема куба: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем куба и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Формула вычисления объема куба
Примеры задач

Формула вычисления объема куба

1. Через длину ребра

Объем (V) куба равняется произведению его длины на ширину на высоту. Т.к. данные величины у куба равны, следовательно, его объем равен кубу любого ребра.

V = a ⋅ a ⋅ a = a 3

2. Через длину диагонали грани

Как мы знаем, грани куба равны между собой и являются квадратом, сторона которого может быть найдена через длину диагонали по формуле: a=d/√ 2 .

Следовательно, вычислить объем куба можно так:

Примеры задач

Задание 1
Вычислите объем куба, если его ребро равняется 5 см.

Решение:
Подставляем в формулу заданное значение и получаем:
V = 5 см ⋅ 5 см ⋅ 5 см = 125 см 3 .

Задание 2
Известно, что объем куба равен 512 см 3 . Найдите длину его ребра.

Решение:
Пусть ребро куба – это a. Выведем его длину из формулы расчета объема:

Задание 3
Длина диагонали грани куба составляет 12 см. Найдите объем фигуры.

Решение:
Применим формулу, в которой используется диагональ грани:

Как вычислить объем куба

wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 82 человек(а).

Количество просмотров этой статьи: 562 175.

Куб — трехмерная геометрическая фигура, у которой все ребра равны (длина равна ширине и равна высоте). У куба шесть квадратных граней, которые пересекаются под прямым углом и стороны которых равны. Вычислить объем куба легко — нужно перемножить длину, ширину и высоту. Так как у куба длина равна ширине и равна высоте, то объем куба равен s 3 , где s — длина одного (любого) ребра куба.

Объемы фигур. Объем куба.

Куб — трехмерная геометрическая фигура, у которой все ребра равны (длина равна ширине и равна высоте).

У куба шесть квадратных граней, которые пересекаются под прямым углом и стороны которых равны.

Вычислить объем куба легко – нужно перемножить длину, ширину и высоту. Так как у куба длина равна

ширине и равна высоте, то объем куба равен s 3 ,

где s – длина одного (любого) ребра куба.

Воспользуйтесь онлайн калькулятором для расчета объема куба: объем куба, онлайн расчет.

Для расчета объемов других тел воспользуйтесь этим калькулятором: калькулятор объемов фигур.

Метод 1 из 3: Возведение в куб ребра куба

Найдите длину одного ребра куба. Как правило, длина ребра куба дана в условии задачи. Если вы

вычисляете объем реального объекта кубической формы, измерьте его ребро линейкой или рулеткой.

Рассмотрим пример. Ребро куба равно 5 см. Найдите объем куба.

Возведите в куб длину ребра куба. Другими словами, умножьте длину ребра куба саму на себя три раза.

Если s — длина ребра куба, то

и, таким образом, вы вычислите объем куба.

Этот процесс аналогичен процессу нахождения площади основания куба (равна произведению длины на

ширину квадрата в основании) и последующему умножению площади основания на высоту куба (то есть,

другими словами, вы умножаете длину на ширину и на высоту). Так как в кубе длина ребра равна ширине и

равна высоте, то это процесс можно заменить возведением ребра куба в третью степень.

В нашем примере объем куба равен:

К ответу припишите единицы измерения объема. Так как объем – это количественная

характеристика пространства, занимаемого телом, то единицами измерения объема являются кубические

В нашем примере размер ребра куба давался в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических

сантиметрах (или в см 3 ). Итак, объем куба равен 125 см 3 .

Если размер ребра куба дается в других единицах, то и объем куба измеряется в соответствующих

Например, если ребро куба равно 5 м (а не 5 см), то его объем равен 125 м 3 .

Метод 2 из 3: Вычисление объема по площади поверхности

В некоторых задачах длина ребра куба не дана, но даны другие величины, с помощью которых вы

можете найти ребро куба и его объем. Например, если вам дана площадь поверхности куба, то разделите

ее на 6, из полученного значения извлеките квадратный корень и вы найдете длину ребра куба. Затем

возведите длину ребра куба в третью степень и вычислите объем куба.

Площадь поверхности куба равна 6s 2 ,

где s – длина ребра куба (то есть вы находите площадь одной грани куба, а затем умножаете ее на 6, так

как у куба 6 равных граней).

Рассмотрим пример. Площадь поверхности куба равна 50 см 2 . Найдите объем куба.

Разделите площадь поверхности куба на 6 (так как у куба 6 равных граней, вы получите площадь

одной грани куба). В свою очередь площадь одной грани куба равна s 2 , где s – длина ребра куба.

В нашем примере: 50/6 = 8,33 см 2 (не забывайте, что площадь измеряется в квадратных единицах — см 2 ,

Так как площадь одной грани куба равна s 2 , то извлеките квадратный корень из значения площади

одной грани и получите длину ребра куба.

В нашем примере, √8,33 = 2,89 см.

Возведите в куб полученное значение, чтобы найти объем куба.

В нашем примере: 2,89 * 2,89 * 2,89 = 2,893 = 24,14 см 3 . К ответу не забудьте приписать кубические

Метод 3 из 3: Вычисление объема по диагонали

Разделите диагональ одной из граней куба на √2, чтобы найти длину ребра куба. Таким образом,

если в задаче дана диагональ грани (любой) куба, то вы можете найти длину ребра куба, разделив

Рассмотрим пример. Диагональ грани куба равна 7 см. Найдите объем куба. В этом случае длина ребра куба

равна 7/√2 = 4,96 см. Объем куба равен 4,963 = 122,36 см 3 .

Запомните: d 2 = 2s 2 ,

где d — диагональ грани куба, s – ребро куба. Эта формула вытекает из теоремы Пифагора, согласно

которой квадрат гипотенузы (в нашем случае диагональ грани куба) прямоугольного треугольника равен

сумме квадратов катетов (в нашем случае ребер), то есть:

d 2 = s 2 + s 2 = 2s 2 .

Разделите диагональ куба на √3, чтобы найти длину ребра куба. Таким образом, если в задаче

дана диагональ куба, то вы можете найти длину ребра куба, разделив диагональ на √3.

Диагональ куба — отрезок, соединяющий две вершины, симметричные относительно центра куба, равный

(где D — диагональ куба, s – ребро куба).

Эта формула вытекает из теоремы Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы (в нашем случае

диагональ куба) прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов (в нашем случае один катет –

это ребро, а второй катет – это диагональ грани куба, равная 2s 2 ), то есть

D 2 = s 2 + 2s 2 = 3s 2 .

Рассмотрим пример. Диагональ куба равна 10 м. Найдите объем куба.

Источник

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о кубе). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа «квадратный корень» применяется функция sqrt(), в которой sqrt — символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак «√».

Задача.
Площадь полной поверхности куба равна 24 см2. Найдите его объем.

Решение.
Поскольку куб имеет шесть одинаковых сторон, найдем площадь одной из них.

24 / 6 = 4 см²

Зная площадь стороны (основания) куба, найдем величину ребра

a = √4 = 2 см

Откуда его объем равен
S = a³ = 2³ = 8 см³ .

Ответ: 8 см³ .

Правильная четырехугольная призма |

Описание курса

| Диагональное сечение правильной призмы

Источник

Рассказываем, как решать задачи на нахождение объема прямоугольного параллелепипеда и куба. Приводим алгоритм и примеры решения.

Задачи на нахождение объема прямоугольного параллелепипеда и куба – это геометрические задачи на построение и нахождение неизвестноых параметров прямоугольного параллелепипеда и куба используя формулы объема.

Алгоритм решения задач на нахождение объема прямоугольного параллелепипеда и куба:

Выполняем краткую запись задачи;
Определяем способ и решаем задачу;
Выписываем полный ответ.

Определяем способ решения:

Задача 1. Одно ребро прямоугольного параллелепипеда равно 6 дм, второе — в 2 раза больше первого, а третье — на 4 дм больше первого. Найти объем прямоугольного параллелепипеда, площадь его поверхности и сумму длин всего его ребер.

Краткая запись:

Решение:

(6⋅2=12) (дм) — b;
(6+4=10) (дм) — c;
(V_п =a⋅b⋅c)
(6⋅12⋅10=720) (дм3) — V;
(S_п= 2⋅)((ab+bc+ac))
(2)((6⋅12+6⋅10+12⋅10))(=2)((72+60+120))(=2⋅252=504) (дм²) — S;
(4)((a+b+c)) — сумма длин всех ребер
(4⋅)((6+12+10))(=4⋅28=112) (дм).

Ответ: объем прямоугольного параллелепипеда равен 720 дм³, площадь его поверхности — 504 дм², сумма длин всех ребер — 112 дм.

Источник

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи по теме «Куб»

Куб – это прямоугольный параллелепипед, все грани которого – равные квадраты.

Следовательно:

(blacktriangleright) для объема куба верна следующая формула (где (a) – ребро куба): [{Large{V=a^3}}] (blacktriangleright) диагональ куба ({Large{d^{,2}=3a^2}})
(blacktriangleright) площадь поверхности куба равна сумме площадей шести одинаковых квадратов, т.е. ({Large{S_{text{пов.куб}}=6a^2}})

Задание
1

#1874

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан куб (ABCDA_1B_1C_1D_1). Точка (B_2) лежит на продолжении ребра (BB_1) за точку (B_1), (BB_2 = 2cdot BB_1). Во сколько раз объем куба отличается от объема пирамиды (B_2ABCD)?

Отрезок (BB_2) является высотой пирамиды. Если сторону куба обозначить за (x), то (BB_2 = 2x) (Rightarrow) [displaystyle V_{text{пир.}} = frac{1}{3}cdot BB_2 cdot S_{ABCD} = frac{1}{3}cdot 2x cdot x^2 = frac{2}{3}cdot x^3,,,,, V_{text{куб}} = x^3.] Теперь найдем искомую величину: [displaystyle frac{V_{text{куб}}}{V_{text{пир.}}} = frac{x^3}{frac{2}{3}cdot x^3} = 1,5.]

Ответ: 1,5

Задание
2

#960

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

(ABCDA_1B_1C_1D_1) – куб с длиной ребра равной (sqrt[4]{17}). Точка (M) лежит на ребре (DD_1) так, что (MD_1 = 3MD). Найдите площадь сечения куба, проведённого через точку (M) и ребро (AB).

Пусть (N) – точка на (CC_1), такая что (NC_1 = 3NC), тогда (MNparallel CDparallel AB), следовательно, сечение, проходящее через точку (M) и ребро (AB) – четырёхугольник (AMNB), причём ((AA_1D_1D) bot MN), следовательно, (AM bot MN). Аналогично (MNbot BNbot AB), то есть (AMNB) – прямоугольник. [S_{AMNB} = AMcdot MN = AMcdot sqrt[4]{17}.] Найдём (AM) по теореме Пифагора: [AM = sqrt{AD^2 + MD^2} = sqrt{AD^2 + (0,25AD)^2} = sqrt{dfrac{17}{16}AD^2} = dfrac{sqrt{17}}{4}AD = dfrac{sqrt[4]{17^3}}{4}.] Тогда (S_{AMNB} = dfrac{sqrt[4]{17^3}}{4} cdot sqrt[4]{17} = dfrac{17}{4} = 4,25).

Ответ: 4,25

Задание
3

#1873

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В кубе (ABCDA_1B_1C_1D_1) точки (A_2) и (B_2) – середины соответственно сторон (AA_1) и (BB_1). Найдите площадь поверхности фигуры (ABCDA_2B_2C_1D_1), если ребро куба равно (sqrt{32 — 4sqrt5}).

Площадь поверхности фигуры (ABCDA_2B_2C_1D_1) состоит из суммы следующих площадей: [S_{text{пов.}} = S_{AA_2D_1D} + S_{BB_2C_1C} + S_{DD_1C_1C} + S_{AA_2B_2B} + S_{ABCD} + S_{A_2B_2C_1D_1}.] Обозначим ребро куба за (2x), тогда (AA_2 = BB_2 = x). (AA_2D_1D) и (BB_2C_1C) – равные прямоугольные трапеции, площадь которых равна [displaystyle S_{AA_2D_1D} = S_{BB_2C_1C} = frac{1}{2}cdot(AA_2 + DD_1)cdot AD = frac{(x + 2x)cdot2x}{2} = 3x^2.] Также найдем площади остальных граней: (S_{DD_1C_1C} = 4x^2), (S_{AA_2B_2B} = 2x^2), (S_{ABCD} = 4x^2); для того чтобы найти площадь грани (A_2B_2C_1D_1) нам понадобится сначала найти сторону (A_2D_1). Найдем ее, используя теорему Пифагора в треугольнике (triangle A_2A_1D_1): [A_2D_1^2 = A_2A_1^2 + A_1D_1^2 = x^2 + 4x^2 = 5x^2] (Rightarrow) (A_2D_1 = sqrt5x). Тогда (S_{A_2B_2C_1D_1} = A_2B_2cdot A_2D_1 = 2sqrt5x^2). Теперь сложим все площади граней искомой фигуры: [S_{text{пов.}} = 3x^2 + 3x^2 + 4x^2 + 2x^2 + 4x^2 + 2sqrt5x^2 = (16 + 2sqrt5)cdot x^2.] По условию задачи имеем: (2x = sqrt{32 — 4sqrt5} = 2cdotsqrt{8 — sqrt5}) (Rightarrow) (x = sqrt{8 — sqrt5}). Подставим в формулу площади и получим окончательный результат: [S_{text{пов.}} = (16 + 2sqrt5)cdotleft(sqrt{8 — sqrt5}right)^2 = 2cdot(8 + sqrt5)cdot(8 — sqrt5) = 2cdot59 = 118.]

Ответ: 118

Задание
4

#961

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Анатолий грабит банк. Слитки золота имеют форму прямоугольных параллелепипедов с измерениями (4times 4times 2). Сумка, которая есть у Анатолия, имеет форму куба с ребром длины (6). Анатолию нужно уложить как можно больше слитков в сумку так, чтобы она закрылась и с ней можно было выйти, не привлекая к ней внимания. Сколько слитков сможет вынести Анатолий, если будет действовать разумно?

Сначала заметим, что ответ не изменится, если уменьшить масштаб в два раза по каждому направлению. При этом сумка станет кубом с ребром (3), а слитки золота станут прямоугольными параллелепипедами с измерениями (2times 2times 1).

Оценим возможное количество слитков сверху: так как объём сумки равен (3^3 = 27), а объём слитка равен (2cdot 2cdot 1 = 4), то более (6) слитков в сумку не войдут. Но могут ли войти в неё 6?

Назовём слиток горизонтальным, если две его грани параллельны дну сумки так, что его высота равна 1. В противном случае назовём слиток вертикальным. Мысленно “расслоим”( )сумку на 3 одинаковых горизонтальных слоя.

Каждый вертикальный слиток занимает в среднем слое по 2 соседних кубика с ребром 1. Средний слой состоит из 9 таких кубиков, следовательно, вертикальных слитков в сумку входит не более 4. При этом горизонтальных слитков в сумку входит не более 3 (в каждый слой входит не более одного горизонтального слитка).

В случае, когда горизонтальных слитков ровно 3, получим, что в среднем слое 4 кубика из 9 заняты горизонтальным слитком, то есть в среднем слое остаётся (9 — 4 = 5) кубиков, но каждый вертикальный слиток должен занимать в среднем слое по 2 кубика, тогда получаем, что вертикальных слитков при этом не более 2 и всего слитков при трёх горизонтальных (leq 2 + 3 = 5).

Таким образом, последний шанс Анатолия унести 6 слитков – это 4 вертикальных слитка и 2 горизонтальных. Возможно ли это? Понятно, что для этого необходимо, чтобы горизонтальные слитки лежали в нижнем и верхнем слоях, но верхний слиток не должен “полностью нависать”( )над нижним. Тогда остаётся всего 2 принципиально различных способа уложить горизонтальные слитки в верхнем и нижнем слоях относительно друг друга.

При этом один из них позволяет уложить 6 слитков. Чтобы наглядно проиллюстрировать его сначала поместим в сумку только вертикальные слитки и покажем вид сверху:

здесь голубым отмечены все те вертикальные слитки, которые стоят на дне сумки. Тогда на дно можно подложить ещё 1 горизонтальный слиток под те вертикальные, которые не стоят на дне сумки. Аналогично, в верхний слой можно подложить 1 горизонтальный слиток.

Итого: при разумном подходе Анатолий может вынести 6 слитков.

Ответ: 6

Подготовка к сдаче ЕГЭ по математике, как правило, начинается с повторения полной теории и базовых формул, в том числе и тех, с помощью которых можно найти площадь куба. И хотя эта тема достаточно подробно рассматривается преподавателями в рамках школьной программы, многим старшеклассникам требуется освежить в памяти основной материал.

Поняв, как найти объем куба и других параметров и отлично усвоив алгоритм решения таких задач, учащиеся смогут получить достаточно высокие баллы по итогам сдачи ЕГЭ.

Основные моменты

Чтобы вопрос, как вычислить объем куба, не ставил ученика в тупик, рекомендуем вспомнить основные свойства этой фигуры.

Так как куб представляет собой прямоугольный параллелепипед, все шесть граней которого равны между собой, последние являются квадратами.
Все двугранные углы многогранника прямые.
Противоположные грани куба попарно параллельны.
Диагональ грани многогранника в √3 раза больше длины ребра.
Если все линейные размеры сторон куба увеличиваются в k раз, то площадь его поверхности увеличивается в k2 раз.

Готовьтесь к единому госэкзамену качественно и эффективно вместе с образовательным проектом «Школково»

Занимаясь накануне прохождения аттестационного испытания, многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска базовой информации. Далеко не всегда школьный учебник оказывается под рукой. А на поиск подходящих формул для решения задач по теме «Куб» зачастую уходит большое количество времени.

Регулярные занятия на образовательном сайте «Школково» помогут учащимся избежать типовых ошибок при прохождении аттестационного испытания. Мы предлагаем выстроить процесс подготовки к экзамену по-новому, переходя от простого к сложному. Это позволит учащимся определить непонятные для себя темы и ликвидировать пробелы в знаниях.

Весь базовый материал представлен в разделе «Теоретическая справка». Основные понятия и формулы собраны и изложены нашими специалистами в максимально доступной форме.

Для того чтобы лучше усвоить материал, предлагаем также потренироваться в выполнении задач по темам «Куб», ”Прямоугольный параллелепипед”. Большая подборка упражнений различной степени сложности представлена в разделе «Каталог». Все задания содержат подробный алгоритм нахождения правильного ответа. База упражнений на сайте постоянно дополняется и обновляется.

В случае необходимости любое из представленных заданий можно сохранить в «Избранное». Это позволит в дальнейшем быстро его найти и обсудить алгоритм нахождения правильного ответа с преподавателем в школе или репетитором.

УСТАЛ? Просто отдохни

Источник