Задачи на встречное движение как найти время

Задачи на встречное движение

Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о встречном движении. В таких задачах два каких-нибудь объекта движутся навстречу друг другу. Задачи на встречное движение можно решать двумя способами.

Задачи на движение (скорость, время и расстояние) являются одной из основных типов задач по математике, которые должен уметь решать каждый школьник. В данной статье рассмотрены все типы задач на движение:
— простые задачи на скорость, время и расстояние;
— задачи на встречное и противоположное движение;
— задачи на движение в одном направлении (на сближение и удаление);
— решение задач на движение по реке.

Скорость, время и расстояние: определения, обозначения, формулы

скорость = расстояние: время — формула нахождения скорости;

время = расстояние: скорость — формула нахождения времени;

расстояние = скорость · время — формула нахождения расстояния.

Скорость – это расстояние, пройденное за единицу времени: за 1 секунду, за 1 минуту, за 1 час и так далее.
Пример обозначения: 7 км/ч (читается: семь километров в час).
Если весь путь проходится с одинаковой скоростью, то такое движение называется равномерным.

На сайте представлены калькуляторы онлайн, с помощью которых можно перевести скорость, время и расстояние в другие единицы измерения:

1.Конвертер единиц измерения скорости
2.Конвертер единиц измерения времени
3.Конвертер единиц измерения расстояния (длины)

Примеры простых задач.

Задача 1. 

Автомобиль проехал 180 км за 2 часа. Чему равна скорость автомобиля?
Решение: 180:2=90 (км/ч.)
Ответ: Скорость автомобиля равна 90 км/ч.

Задача 2. 

Автобус проехал путь в 240 км со скоростью 80 км/ч. Сколько времени ехал автобус?
Решение: 240:80=3 (ч.)
Ответ: Автобус проехал 3 часа.

Задача 3. 

Грузовик ехал 5 часов со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние проехал грузовик за это время?
Решение: 70 · 3 = 350 (км)
Ответ: Грузовик за 5 часов проехал 350 км.

Задачи на встречное движение

В таких задачах два объекта движутся навстречу друг другу.
Задачи на встречное движение можно решать двумя способами:
1. Найти значения скорости, времени и расстояния для каждого объекта.
2. Найти скорость сближения объектов (как сумму их скоростей), общие время и расстояние. Скорость сближения — это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени.

Задача 4. 

Из двух пунктов навстречу друг другу одновременно выехали два поезда и встретились через 3 часа. Первый поезд ехал со скоростью 80 км/ч, а второй – со скоростью 70 км/ч. На каком расстоянии друг от друга находятся пункты?
Решение: 
Первый способ. Найти расстояние, которое проехал каждый автобус, и сложить полученные данные:
80*3=240 (км) – проехал 1й автобус, 70*3=210 (км) – проехал 2й поезд,
240+210=450 (км) – проехали два поезда.
Второй способ. Найти скорость сближения поездов, то есть на сколько сокращалось расстояние между ними каждый час; а затем найти расстояние:
80+70=150 (км/ч), 150*3=450 (км).
Ответ: города находятся на расстоянии 450 км.

Задача 5. 

Из двух городов навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса. Первый автобус ехал со скоростью 80 км/ч, а второй – со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа, если расстояние между городами 450 км?
Решение: 
Первый способ. Определить, сколько километров проехал каждый автобус и найти расстояние, которое осталось проехать:
80*2=160 (км)-проехал 1й автобус, 70*2=140 (км)-проехал 2й автобус,
160+140=300 (км)-проехали два автобуса, 450-300=150 (км)-осталось проехать.
Второй способ. Найти скорость сближения автобусов и умножить ее на время в пути.
80*70=150 (км/ч) – скорость сближения; 150*2=300 (км) – проехали два автобуса; 450-300=150 (км) – осталось проехать.
Ответ: Через 2часа расстояние между автобусами будет 150 км.

Задачи на движение в противоположных направлениях

В таких задачах два объекта движутся в противоположных направлениях, отдаляясь друг от друга. В таком типе задачи используется скорость удаления. Задачи на движение в противоположных направлениях также можно решить двумя способами:
1. Найти значения скорости, времени и расстояния для каждого объекта.
2. Найти скорость удаления объектов (как сумму их скоростей), общие время и расстояние. Скорость удаления — это расстояние, которое увеличивается за единицу времени между двумя объектами, двигающимися в противоположных направлениях.

Задача 6. 

Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в противоположных направлениях. Скорость первого автомобиля 100 км/ч, скорость второго – 70 км/ч. Какое расстояние будет между автомобилями через 4 часа?
Решение: 
Первый способ. Определить расстояние, которое проехал каждый автомобиль и найти сумму полученных результатов:
1) 100 · 4 = 400 (км) – проехал первый автомобиль
2) 70 · 4 = 280 (км) – проехал второй автомобиль
400 + 280 = 680 (км)
Второй способ. Найти скорость удаления, то есть значение увеличения расстояния между автомобилями за каждый час, а затем скорость удаления умножить на время в пути.
100 + 70= 170 км/ч – это скорость удаления автомобилей.
170 · 4 = 680 (км)
Ответ: Через 4 часа между автомобилями будет 680 км.

Задача 7. 

Из двух населённых пунктов, расстояние между которыми 40 км, вышли в противоположных направлениях два туриста. Первый турист шёл со скоростью 4 км/ч, а второй — 5 км/ч. Какое расстояние между туристами будет через 5 часов?
Решение: 
Первый способ. Определить сколько километров прошёл каждый из туристов за 5 часов, сложить полученные результаты, а затем к полученному расстоянию прибавить расстояние между населенными пунктами.
1) 4 · 5 = 20 (км) – прошёл первый турист;
2) 5 · 5 = 25 (км) – прошёл второй турист;
3) 20 + 25 = 45 (км);
4) 45 + 40 = 85 (км).
Второй способ. Найти скорость удаления пешеходов, затем найти пройденное расстояние, к полученному результату прибавить расстоянием между населёнными пунктами.
4 + 5 = 9 (км/ч);
9 · 5 = 45 (км);
45 + 40 = 85 (км);
Ответ: Через 5 часов расстояние между пешеходами будет 85 км.

Задачи на движение в одном направлении

В таких задачах два объекта движутся в одном направлении с разной скоростью, при этом они сближаются друг с другом или отдаляются друг от друга. Соответственно находится скорость сближения или скорость удаления объектов.

Формула нахождения скорости сближения или удаления двух объектов, которые движутся в одном направлении: из большей скорости вычесть меньшую.

Задача 8. 

Из города выехал автомобиль со скоростью 40 км/ч. Через 4 часа вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов второй автомобиль догонит первый?,
Решение: 
Задачу можно решить с помощью уравнения.
В этом случае скорость первого автомобиля 40 км/час, время в пути на 4 часа больше, чем время второго автомобиля (или t+4). Скорость второго автомобиля 60 км/час, время в пути – t. Расстояние оба автомобиля проехали одинаковое. Поэтому можно составить уравнение: 40*(t+4)=60*t. Отсюда получаем t=8 (часов) – время в пути второго автомобиля, за которое он догонит первый.
Решение задачи без использования уравнения.
Так как на момент выезда второго автомобиля из города первый уже был в пути 4 часа, то за это время он успел удалиться от города на: 40 · 4 = 160 (км).
Второй автомобиль движется быстрее первого, значит, каждый час расстояние между автомобилями будет сокращаться на разность их скоростей: 60 — 40 = 20 (км/ч) – это скорость сближения.
Разделив расстояние между автомобилями на скорость их сближения, можно узнать, через сколько часов они встретятся: 160 : 20 = 8 (ч)
Ответ: Второй автомобиль догонит первый через 8 часов.

Задача 9. 

Из двух посёлков между которыми 5 км, одновременно в одном направлении вышли два пешехода. Скорость пешехода, идущего впереди, 4 км/ч, а скорость пешехода, идущего позади 5 км/ч. Через сколько часов после выхода второй пешеход догонит первого?
Решение: Так как второй пешеход движется быстрее первого, то каждый час расстояние между ними будет сокращаться. Значит можно определить скорость сближения пешеходов: 5 — 4 = 1 (км/ч).
Оба пешехода вышли одновременно, значит расстояние между ними равно расстоянию между посёлками (5 км). Разделив расстояние между пешеходами на скорость их сближения, узнаем через сколько второй пешеход догонит первого: 5 : 1 = 5 (ч)
Ответ: Через 5 часов второй пешеход догонит первого.

Задача 10. 

Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в одном направлении. Скорость первого автомобиля 80 км/ч, а скорость второго – 40 км/ч.
1) Чему равна скорость удаления между автомобилями?
2) Какое расстояние будет между автомобилями через 3 часа?
3) Через сколько часов расстояние между ними будет 200 км?
Решение: 
1) 80 — 40 = 40 (км/ч) — скорость удаления автомобилей друг от друга.
2) 40 · 3 = 120 (км) – расстояние между ними через 3 часа./
3) 200 : 40 = 5 (ч) – время, через которое расстояние между автомобилями станет 200 км.
Ответ:
1) Скорость удаления между автомобилями равна 40 км/ч.
2) Через 3 часа между автомобилями будет 120 км.
3) Через 5 часов между автомобилями будет расстояние в 200 км.

Задачи на движение по реке

Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о движении объекта по реке. Скорость любого объекта в стоячей воде называют собственной скоростью этого объекта.

Чтобы узнать скорость объекта, который движется по течению реки, надо к собственной скорости объекта прибавить скорость течения реки. Чтобы узнать скорость объекта, который движется против течения реки, надо из собственной скорости объекта вычесть скорость течения реки.

Задача 11. 

Лодка движется по реке. За сколько часов она преодолеет расстояние 120 км, если ее собственная скорость 27 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?
Решение: 
1) лодка движется по течению реки.
27 + 3 = 30 (км/ч) – скорость лодки по течению реки.
120 : 30 = 4 (ч) – проплывет путь.
2) лодка движется против течения реки.
27 — 3 = 24 (км/ч) — скорость лодки против течения реки
120 : 24 = 5 (ч) – проплывет путь.
Ответ:
1) При движении по течению реки лодка потратит 4 часа на путь.
2) При движении против течения реки лодка потратит 5 часов на путь.

Итак, для решения задач на движение:

1. Основная формула:S=ν*t;
2. Нужно сделать чертеж, который поможет определить тип задачи.
3. Все цифры нужно привести в единые единицы измерения: длина и время

Заключение.

Решая много задач по данной теме, ученик обязательно научится быстро ориентироваться в понятиях «скорость», «время» и «расстояние» и быстро решать задачи всех типов.

Весь курс начальной школы (за 1-4 классы) в краткой форме на сайте edu.intmag24.ru. С помощью курса можно быстро повторить основные моменты и правила по предметам: русский язык, математика, окружающий мир.

Для решения более сложных задач на движение посмотрите, как составлять схемы и таблицы данных для наглядного представления и структурирования данных.

Тип 1

Задача 1. Две девочки вышли одновременно навстречу друг другу из своих домов. Они встретились через 8 мин. Одна шла со скоростью 60 м/мин, а другая – 70 м/мин. Каково расстояние между домами девочек?

Краткая запись:

Решение: 

1. 60х8=480 (м) прошла первая девочка;
2. 70х8=560 (м) прошла вторая девочка;
3. 480+560=1040 (м) прошли обе девочки.

Ответ: 1040 м расстояние между домами девочек.

Тип 2

Задача 2. Два пешехода вышли одновременно из двух деревень навстречу друг другу. Один пешеход шёл со скоростью 5 км/ч, другой – 4 км/ч. Через сколько часов они встретятся, если расстояние между деревнями равно 36 км?

Краткая запись:

Решение: 

1. 5+4=9 (км/ч) скорость сближения;
2. 36:9=4 (ч) идет каждая девочка.

Ответ: через 4 часа девочки встретятся.

Тип 3

Задача 3. Два лыжника вышли одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 66 км. Скорость одного лыжника 12 км/ч. С какой скоростью шёл второй лыжник, если они встретились через 3 ч?

Краткая запись:

Решение: 

1. 12х3=36 (км) прошел первый лыжник;
2. 66-36=30 (км) прошел второй лыжник:
3. 30:3=10 (км/ч) скорость второго лыжника.

Ответ: со скоростью 10 км/ч шёл второй лыжник.

Тип 4

Задача 4. Два лыжника вышли одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 44 км. Первый лыжник шёл со скоростью 12 км/ч и прошёл до встречи 24 км. С какой скоростью шёл второй лыжник?

Краткая запись:

Решение: 

1. 24:12=2 (ч) шел до встречи первый лыжник;
2. 44-24=20 (км) расстояние, которое прошел второй лыжник:
3. 20:2=10 (км/ч) скорость второго лыжника.

Ответ: со скоростью 10 км/ч шёл второй лыжник.

Тип 5

Задача 5. Два пешехода одновременно вышли из двух деревень и пошли навстречу друг другу. Один пешеход шёл со скоростью 5 км/ч и прошёл до встречи 15 км. Другой пешеход шёл со скоростью 4 км/ч. Какое расстояние до встречи прошёл второй пешеход?

Краткая запись:

Решение: 

1. 15:5=3 (ч) шел до встречи первый пешеход;
2. 4х3=12 (км) расстояние, которое прошел второй пешеход.

Ответ: 12 км до встречи прошёл второй пешеход.

Математика, 4 класс

Урок №39. Задачи на встречное движение

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— какие бывают направления движения?

— что такое скорость сближения?

— как узнать скорость сближения?

Глоссарий по теме:

Скорость сближения – расстояние, на которое сближаются движущиеся предметы в единицу времени.

Встречное движение – движение навстречу друг другу.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

1. Моро М.И.,Бантова М.А. и др. Математика 4 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. Ч.2 — М.; Просвещение, 2017. – с.6-8.

2. Моро М. И., Волкова С. И. Математика. Рабочая тетрадь 4 класс. Часть 2. М.; Просвещение, 2016. – с.15.

3. Волкова С. И. Математика. Проверочные работы 4 класс. М.; Просвещение, 2017. – с.54.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим новый вид задач, задачи на встречное движение. Автобус и автомобиль выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов и встретились через 3 ч. Автобус ехал со скоростью 60 км/ч, а автомобиль – 90 км/ч.

Найдите расстояние между городами. Это задача на встречное движение, потому что в ней речь идёт о двух транспортных средствах, которые движутся навстречу друг другу. При этом расстояние между ними сокращается.

После встречи автобус и автомобиль движутся в противоположных направлениях, удаляются друг от друга. Это уже другой вид движения и другой тип задач. Таким образом, существует встречное движение (навстречу друг другу) и движение в противоположных направлениях.

Сделаем чертёж к нашей задаче. На чертеже отрезком обозначают расстояние между городами. Его нужно найти. Записываем под отрезком вопросительный знак. Автобус и автомобиль движутся навстречу друг другу. Покажем это на чертеже стрелками.

В условии задачи даны скорости движения машин. Запишем их на чертеже. Место встречи машин отмечено флажком. Обрати внимание, что автомобиль двигался быстрее автобуса. Он проехал большее расстояние, чем автобус. Поэтому флажок на чертеже располагается ближе к тому месту, откуда выехал автобус. Время в пути автобуса и автомобиля одинаковое, 3 часа. Поэтому отрезки, обозначающие расстояние, пройденное до встречи каждым транспортным средством, поделим на три равные части. Каждая такая часть будет означать расстояние, пройденное за один час. Заметьте, части слева и справа от флажка получились разными, т.к. разными были скорости движения. Каждая часть слева от флажка обозначает 60 км в час. А каждая часть справа от флажка обозначает 90 км, которые проезжает за один час автомобиль.

Теперь приступим к решению задачи. Общее расстояние между городами складывается из расстояния, которое проехал автобус и расстояния, которое проехал автомобиль до их встречи. Каждое из этих расстояний находится умножением скорости на время. После этого полученные величины надо сложить. Мы ответили на вопрос задачи. Запишем ответ.

1) 60 ∙ 3 = 180 (км) – расстояние, которое проехал автобус.

2) 90 ∙ 3 = 270 (км) — расстояние, которое проехал автомобиль.

3) 180 + 270 = 450 (км) – расстояние между городами.

Ответ: расстояние между городами 450 км.

Эту задачу можно решить другим способом. Автобус и автомобиль начали движение одновременно. После первого часа пути автобус проехал 60 км, а автомобиль 90 км. Значит, за один час они сблизились на 150 км. По другому можно сказать, что скорость сближения машин равна 150 км в час. За следующий час пути автобус и автомобиль сблизились ещё на 150 км. За третий час они сблизились ещё на 150 км. И так, до встречи машины сближались три раза по 150 км, т.к. были в пути 3 часа. Значит, чтобы узнать расстояние между ними в самом начале пути, надо 150 умножить на 3. То есть, скорость сближения умножить на время движения до встречи.

1) 60 + 90 = 150 (км/ч) – скорость сближения.

2) 150 ∙ 3 = 450 (км)

Ответ: расстояние между городами 450 км.

Это второй способ решения задачи.

Расстояние, на которое сближаются движущиеся предметы в единицу времени, называют скоростью сближения.

Задания тренировочного модуля:

1. Вставьте в таблицу пропущенные данные.

Два лыжника вышли одновременно навстречу друг другу из двух посёлков и встретились через 3 часа. Первый лыжник шёл со скоростью 12 км/ч, второй – 14 км/ч. Найдите расстояние между посёлками.

Правильный ответ:

2. Распределите решения задач по группам. Перенесите их в соответствующие столбики.

Варианты ответа:

(78 – 12 ∙ 3) : 3

78 : (12 + 14)

Правильный вариант:

3. Расположите величины по возрастанию.

От порта к бухте отправился катер. В то же время навстречу ему от бухты поплыла вёсельная лодка. Через 20 минут они одновременно проплыли мимо одного и того же пляжа.

Варианты ответа: Скорость катера; Скорость сближения катера и лодки; Скорость лодки.

Правильный вариант: Скорость лодки; Скорость катера; Скорость сближения катера и лодки.

–
Вера, привет. Мне очень нужна твоя помощь.

–
Что опять случилось? Наверное, ты не можешь решить задачу по математике?

–
Мне просто надо решить аж две задачи и … и что-то я запутался. Помоги мне,
пожалуйста.

–
Хорошо, я тебе помогу. Только ты внимательно слушай и запоминай. Читай условие
первой задачи.

Из
двух городов, расстояние между которыми 840 км, выехали одновременно навстречу
друг другу Генри на машине и Мари на поезде. Машина Генри двигалась со
скоростью 95 км/ч, а поезд, в котором ехала Мари, двигался со скоростью 115
км/ч. Через сколько часов встретятся Мари и Генри?

Ты
мне прошлый раз объясняла задачи на встречное движение. Её я научился решать.
Но это ведь уже совсем другая задача.

–
Нет, эта задача тоже на встречное движение,
посмотри, в задаче написано «выехали одновременно навстречу друг другу».

Давай
изобразим всё на рисунке.

Итак,
обозначим расстояние между двумя городами отрезком.

Город,
из которого выехал Генри обозначим буквой А, стрелочкой укажем направление,
и укажем его скорость. Второй город обозначим буквой В, так же укажем направление
движения и скорость поезда, в котором едет Мари. Теперь мы хорошо видим,
что движение у нас встречное. Так же мы знаем, что расстояние
между городами 840 км. Надо узнать, через сколько часов встретятся Мари
и Генри?

В
этой задаче известно расстояние между городами и скорости, с
которыми двигались машина и поезд.

Итак,
мы знаем, что за каждый час Генри приближался к месту встречи по 95 км, Мари за
каждый час приближалась по 115 км.

Мы
можем узнать, на сколько они приближались вместе за один час.

Помнишь
ли ты, при разборе таких задач мы говорили о скорости сближения.
А что такое скорость сближения?

–
Это сумма скоростей двух приближающихся друг к другу объектов.

–
В этой задаче нам тоже понадобится скорость сближения, ведь расстояние
преодолевал не каждый по отдельности. Это расстояние преодолено ими совместно.

Значит
и скорость должна быть совместной, т.е. скорость сближения.
Находим её:

1)
95 + 115 = 210 км/ч.

Мы
нашли скорость сближения поезда и машины.

Дальше
они продолжали двигаться до места встречи с той же скоростью сближения.

Мы
знаем, расстояние между городами – 720 км, а теперь и скорость
сближения – 210 км. Так как найти время?

–
Надо расстояние разделить на скорость сближения, и мы узнаем время, через
которое встретились Генри и Мари.

Ответ:
Генри и Мари встретились через 4 часа.

–
Да–а–а, я думал, что задача на встречное движение бывает только одного вида,
оказывается, я ошибался.

–
Нет, Миша, есть ещё один вид задач. Только теперь попробуй решить такую задачу
сам.

Из
двух мест, расстояние между которыми 95 км, вылетели навстречу друг другу Пчёла
и его подруга Скрути. Встретились они через 5 часов. Пчёла летел со скоростью
12 км/ч. С какой скоростью летала Скрути?

–
Итак, мы знаем расстояние между местами, время которое они летели
и скорость Пчёла. Надо узнать скорость Скрути. Чтобы узнать с
какой скоростью летала Скрути, надо знать расстояние, которое она
пролетела и время, которое она была в пути. Так ведь в задаче не
сказано, какое расстояние пролетела Скрути.

–
А ты подумай. Чтобы узнать, какое расстояние пролетела Скрути, надо знать
всё расстояние и какую его часть пролетел Пчёла. А остальное – это будет та
часть, которую пролетала Скрути. Всё расстояние мы знаем, а вот как найти
расстояние, которое пролетел Пчёла?

–
А мы это легко можем найти. Мы ведь знаем его скорость и время, которое он был
в пути. Чтобы узнать расстояние, мы скорость умножаем на время.

1)
12 * 5 = 60 км – пролетел Пчёла.

Скрути
пролетала часть от всего пути. Чтобы узнать какое расстояние пролетала
Скрути, надо от всего расстояния (95) вычесть расстояние, которое пролетел
Пчёла (60 км). Получается 35 км пролетела Скрути.

–
Молодец, правильно. А теперь посмотри, мы знаем расстояние, которое пролетела
Скрути и время, которое она находилась в пути. И теперь, зная расстояние и
время, мы можем узнать скорость Скрути.

–
Та-а-ак, мы знаем расстояние, которое пролетела Скрути и время, которое она
была в пути. Значит, чтобы узнать её скорость мы должны расстояние
разделить на время, т.е.:

3)
35 : 5 = 7 км/ч –скорость движения Скрути.

Ответ:
скорость движения Скрути 7 км/ч.

Ура!
У меня получилось! Спасибо тебе большое.

–
Я рада, что тебе всё понятно. Надеюсь, что теперь ты без труда сможешь решать задачи
на встречное движение. Удачи!