Закон сохранения энергии как найти работу

Законы сохранения. Работа и мощность.
(теория и формулы для ЕГЭ)

Законы сохранения

Импульсом тела (материальной точки) называют произведение массы тела на вектор его скорости. Единица модуля импульса тела – 1 кг·м/c.

Импульсом силы называют произведение вектора скорости на интервал времени её действия ∆t. Единица модуля импульса силы – 1 кг·м/c.

                  [F·∆t] = Н·м.

Ударом (или столкновением) принято называть кратковременное взаимодействие тел, в результате которого их скорости испытывают значительные изменения.

Абсолютно упругим ударом  называется столкновение, при котором сохраняется механическая энергия  системы тел.

Абсолютно неупругим ударом называют такое ударное взаимодействие, при котором тела соединяются  друг с другом  и              движутся дальше как одно тело.  Механическая энергия не сохраняется (она частично или полностью переходит во внутреннюю энергию тел).

Закон сохранения импульса.

Замкнутая (изолированная) система – система тел, взаимодействующих только между собой и не взаимодействующих с телами, не входящими в эту систему.

Закон сохранения импульса: векторная сумма импульсов тел, составляющих  замкнутую систему, не изменяется.

Энергия – скалярная физическая величина, являющаяся мерой способности тела (или системы тел) совершить работу. Существует кинетическая и потенциальная энергия.

Закон сохранения энергии в механических процессах – сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой силами тяготения и силами упругости, остается неизменной.

Е = Е_k1 + E_p1 = Е_k2 + E_p2 = const              при F_тр = 0

Если F_тр≠ 0, механическая энергия переходит во внутреннюю (тепловую)  энергию тела:

Q = Е₂ – Е₁,  где Q =А_тр

Понятие потенциальной энергии можно ввести только для сил, работа которых не зависит от траектории движения тела и определяется только начальным и конечным положениями. Такие силы называются консервативными (силы тяжести и силы упругости)

 Работа силы.

Механической  работой A, совершаемой постоянной силой, называется скалярная физическая величина, равная произведению модулей силы и перемещения, умноженному на косинус угла α между векторами силы и перемещения.        

                  А = F∙s∙cos α                     [А] = Дж                                1Дж =1Н∙1м

 Работа зависит от угла α.

Работа силы  тяжести не зависит от формы траектории и равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком.
А_тяж. = mg(h₁ – h₂) =  — ( mgh₁ — mgh₂) = — (Е_р2 – Е_р1)

Работа силы  тяжести по замкнутой траектории равна нулю.

Мощность – скалярная физическая величина, равная отношению совершенной работы к промежутку времени, за который она совершена.

Коэффициент полезного действия механизмов КПД – величина, равная отношению полезной работы к полной работ, выраженная в процентах.

Конспект урока «Законы сохранения. Работа и мощность. Теория и формулы для ЕГЭ».

Еще конспекты для 10-11 классов:

Энергетические характеристики движения вводятся на основе понятия механической работы или работы силы.

Если на тело действует сила и тело под действием этой силы перемещается, то говорят, что сила совершает работу.

Механическая работа – это скалярная величина, равная произведению модуля силы, действующей на тело, на модуль перемещения и на косинус угла между вектором силы  и вектором перемещения (или скорости).

A = Fs cos α

Работа является скалярной величиной. Она может быть как положительна (0° ≤ α < 90°), так и отрицательна (90° < α ≤ 180°). При α = 90° работа, совершаемая силой, равна нулю.

В системе СИ работа измеряется в джоулях (Дж). Джоуль равен работе, совершаемой силой в 1 Н на перемещении 1 м в направлении действия силы.

[1 Дж=1 Н·м]

Работа силы, совершаемая в единицу времени, называется мощностью.

Мощность N – физическая величина, равная отношению работы A к промежутку времени t, в течение которого совершена эта работа:

 N=A/t

В Международной системе (СИ) единица мощности называется ватт (Вт). Ватт равен мощности силы, совершающей работу в 1 Дж за время 1 с.

Внесистемная единица мощности 1 л.с.=735 Вт

Связь между мощностью и скоростью при равномерном движении:

N=A/t  так как   A=FScosα      тогда   N=(FScosα)/t, но S/t = v   следовательно

N=Fvcos α

В технике используются единицы работы и мощности:

1 Вт·с = 1 Дж;     1Вт·ч = 3,6·10³ Дж;      1кВт·ч = 3,6·10⁶ Дж

Если тело способно совершить работу, то говорят, что оно обладает энергией.

 Механическая энергия тела – это скалярная величина, равная максимальной работе, которая может быть совершена в данных условиях.

Обозначается  Е Единица энергии в СИ  [1Дж = 1Н*м]

Механическая работа есть мера изменения энергии в различных процессах А = ΔЕ.

Различают два вида механической энергии – кинетическая Ек и потенциальная Еp энергия.

Полная механическая энергия тела равна сумме его кинетической и потенциальной энергий

Е = Ек + Еp

Кинетическая энергия – это энергия тела, обусловленная его движением.

Физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости, называется кинетической энергией тела:

Кинетическая энергия – это энергия движения. Кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью  равна работе, которую должна совершить сила, приложенная к покоящемуся телу, чтобы сообщить ему эту скорость:

Если тело движется со скоростью , то для его полной остановки необходимо совершить работу

Наряду с кинетической энергией или энергией движения в физике важную роль играет понятиепотенциальной энергии или энергии взаимодействия тел.

Потенциальная энергия – энергия тела, обусловленная взаимным расположением взаимодействующих между собой тел или частей одного тела. 

Понятие потенциальной энергии можно ввести только для сил, работа которых не зависит от траектории движения тела и определяется только начальным и конечным положениями. Такие силы называются консервативными. Работа консервативных сил на замкнутой траектории равна нулю.

Свойством консервативности обладают сила тяжести и сила упругости. Для этих сил можно ввести понятие потенциальной энергии.

Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести (потенциальная энергия тела, поднятого над землёй):

Ep = mgh

Она равна работе, которую совершает сила тяжести при опускании тела на нулевой уровень.

Понятие потенциальной энергии можно ввести и для упругой силы. Эта сила также обладает свойством консервативности. Растягивая (или сжимая) пружину, мы можем делать это различными способами.

Можно просто удлинить пружину на величину x, или сначала удлинить ее на 2x, а затем уменьшить удлинение до значения x и т. д. Во всех этих случаях упругая сила совершает одну и ту же работу, которая зависит только от удлинения пружины x в конечном состоянии, если первоначально пружина была недеформирована. Эта работа равна работе внешней силы A, взятой с противоположным знаком :

где k – жесткость пружины.

Растянутая (или сжатая) пружина способна привести в движение прикрепленное к ней тело, то есть сообщить этому телу кинетическую энергию. Следовательно, такая пружина обладает запасом энергии. Потенциальной энергией пружины (или любого упруго деформированного тела) называют величину

Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе силы упругости при переходе из данного состояния в состояние с нулевой деформацией.

Если в начальном состоянии пружина уже была деформирована, а ее удлинение было равно x1, тогда при переходе в новое состояние с удлинением x2 сила упругости совершит работу, равную изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:

Потенциальная энергия при упругой деформации – это энергия взаимодействия отдельных частей тела между собой силами упругости.

Если тела, составляющие замкнутую механическую систему, взаимодействуют между собой только силами тяготения и упругости, то работа этих сил равна изменению потенциальной энергии тел, взятому с противоположным знаком:

A = –(Ep2 – Ep1).

По теореме о кинетической энергии эта работа равна изменению кинетической энергии тел:

A = Ek2 – Ek1

Следовательно   Ek2 – Ek1 = –(Ep2 – Ep1)      или        Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2.

Сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой силами тяготения и силами упругости, остается неизменной.

Это утверждение выражает закон сохранения энергии в механических процессах. Он является следствием законов Ньютона.

Сумму E = Ek + Ep называют полной механической энергией.

Полная механическая энергия замкнутой системы тел, взаимодействующих между собой только консервативными силами, при любых движениях этих тел не изменяется. Происходят лишь взаимные превращения потенциальной энергии тел в их кинетическую энергию, и наоборот, или переход энергии от одного тела к другому.

Е = Ек + Еp = const

Закон сохранения механической энергии выполняется только тогда, когда тела в замкнутой системе взаимодействуют между собой консервативными силами, то есть силами, для которых можно ввести понятие потенциальной энергии.

В реальных условиях практически всегда на движущиеся тела наряду с силами тяготения, силами упругости и другими консервативными силами действуют силы трения или силы сопротивления среды.

Сила трения не является консервативной. Работа силы трения зависит от длины пути.

Если между телами, составляющими замкнутую систему, действуют силы трения, то механическая энергия не сохраняется. Часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию тел (нагревание).

4. Закон
сохранения механической энергии и его
связь с однородностью времени. Работа
силы. Понятие консервативных и
неконсервативных сил. Потенциальные
силовые поля. Кинетическая и потенциальная
энергии.

Уравнение движения
материальной точки массы m,
движущейся
под действием сил, результирующая
которых равна
:

.
(Второй закон Ньютона)

Умножим скалярно
правую и левую часть этого равенства
на элементарное перемещение точки
,
тогда

(1)

Так как
,
то
_.
(Здесь V
– модуль скорости)
Используя
последнее равенство и то обстоятельство,
что масса материальной точки постоянная
величина, преобразуем (1) к виду.

Проинтегрировав
части этого равенства вдоль траектории
частицы от точки 1 до точки 2, имеем:

(3)

Работа силы

Если сила перемещает
тело на некоторое расстояние, то она
совершает над телом работу. Работа есть
интеграл от силы по перемещению. То
есть

Единицей работы
в СИ служит работа, совершаемая на пути
в один метр с силой в один ньютон,
действующей в направлении перемещения.
Эта единица называется джоулем (Дж),
т.е. 1 Дж = 1 Н 1 м. Все силы, встречающиеся
в механике, принято разделять на
консервативные и неконсервативные.
Если силовое поле таково, что работа
силы на любом замкнутом контуре, равна
нулю, то есть
,
(4) то такая сила (система) называется
консервативной. Примеры консервативных
сил – сила тяжести, сила упругости. С
физической точки зрения ясно, что при
наличии трения или других диссипативных
сил система не может быть консервативной,
ток как соответствующей этой силе член

будет все время отрицательным, и поэтому
интеграл (4) не может обратиться в нуль.
Согласно теореме Стокса (векторный
анализ) условие консервативности сил
можно записать в виде
.
Такие силы также называются потенциальными.
Так как

всегда равен нулю, то консервативную
силу можно представить в виде в виде
градиента некоторого скаляра, то есть

Величина

называется потенциальной энергией.
Для консервативных сил

Следовательно,
работа консервативных сил равна разности
значений функции W_n
в начальной
и конечной точках пути, т.е. убыли
потенциальной энергии.

Потенциальная
энергия определяется с точностью до
постоянной. Однако, это не имеет
существенного значения, поскольку во
все физические соотношения входит либо
разность значений потенциальной энергии,
либо ее производная по координатам.

Кинетическая
энергия

Согласно формуле
(3) для работы силы, получим также
соотношение:
.

Величина
(5)
называется кинетической энергией
материальной точки.

Таким образом, мы
приходим к формуле
,
(6)

из которой следует,
что работа
результирующей всех
сил,
действующих на материальную точку,
расходуется на приращение кинетической
энергии этой частицы.

Закон сохранения
энергии

Полученный результат
без труда обобщается на случай произвольной
системы материальных точек.

Кинетической
энергией системы называется сумма
кинетических энергий материальных
точек, из которых эта система состоит
или на которые ее можно мысленно
разделить:
.

Напишем соотношение
(3) для каждой материальной точки системы,
а затем все такие соотношения сложим.
В результате снова получим формулу,
аналогичную (3), но для системы материальных
точек.

,
(7) где
и
—
кинетические энергии системы, а под
необходимо
понимать сумму работ всех сил, действующих
на материальные точки системы.

Таким образом мы
доказали теорему (7): работа всех сил,
действующих на систему материальных
точек, равна приращению кинетической
энергии этой системы.

Рассмотрим систему
из n материальных
точек, на которые действуют как
консервативные так и неконсервативные
силы. Найдем работу, которую совершают
эти силы при перемещении системы из
одной конфигурации в другую. Работа
консервативных сил может быть представлена
как убыль потенциальной энергии системы
[(см.
4.8)]:
.

Работу неконсервативных
сил обозначим посредством А*.
Согласно (7) суммарная работа всех сил
затрачивается на приращение кинетической
энергии системы
,
следовательно,
или

.

Сумма кинетической
и потенциальной энергии представляет
собой полную механическую энергию Е
системы:

(8) Таким образом

(9)

Очевидно, что если
неконсервативные силы в системе
отсутствуют, т.е.
,
то ее полная механическая энергия
остается постоянной (сохраняется) т.е.
Е = const. Эту
теорему называют законом сохранения
механической энергии, он утверждает:
полная механическая энергия системы
материальных точек в замкнутой системе,
а также в не замкнутой системе, но
находящихся под действием консервативных
сил остается постоянной.

В такой системе
могут происходить лишь превращения
потенциальной энергии в кинетическую
и обратно, но полный запас энергии
системы измениться не может. При наличии
неконсервативных сил (например, сил
трения, сил сопротивления…) механическая
энергия системы не сохраняется, она
уменьшается, что приводит к ее нагреванию.
Такой процесс называется диссипацией
(рассеянием) энергии. Силы, приводящие
к диссипации энергии, называются
диссипативными.

Вывод закона
сохранения энергии.

В основе закона
сохранения энергии лежит такое свойство
времени как однородность, т.е. равнозначность
всех моментов времени, заключающаяся
в том, что замена момента времени t₁
моментом времени t₂,
без изменения значений координат и
скоростей тел не изменяет механических
свойств системы. Поведение системы,
начиная с момента времени t₂
будет таким же,
каким оно
было бы, начиная с момента t₁.

Рассмотрим замкнутую
систему, время однородно значит, состояние
системы не должно явно
зависеть от времени. Состояние системы
определяется функцией Лагранжа. Поэтому
частная производная от функции Лагранжа
по времени равна нулю

Вычислим полную
производную по времени

Поэтому L
зависит от обобщенных координат

обобщенных скоростей

Из уравнения
Лагранжа

Поэтому

Отсюда

Функция Гамильтона:

Физический смысл:

Вычислим функцию
Гамильтона для материальной точки в
декартовой системе координат

(10)

(11)

В классической
механике потенциальная энергия от
скоростей не зависит

Подставив (11) в
(10) получим

более строгое
доказательство, этого выражения
проведено Эйлером.

Функция Гамильтониана
равна энергии. Полная энергия системы
сохраняется, энергия величина постоянная.
Закон сохранения энергии один из
фундаментальных законом, так как является
следствием однородности времени.

4

Соседние файлы в папке ГОС

• #

  22.03.2015180.74 Кб3901.doc

• #
• #

  22.03.2015134.66 Кб5703.doc

• #

  22.03.2015119.81 Кб5304.doc

• #

  22.03.2015100.86 Кб4105.doc

• #
• #

  22.03.2015195.07 Кб5908.doc

• #

  22.03.2015105.47 Кб371.doc

• #