Как решать IQ задачи? Многие IQ задачи подчинены общим закономерностям. Уже само по себе прохождение iq теста раз за разом ведет к улучшению результата. Решая iq-задачи, вы вырабатываете iq навыки и умение правильно распределять время.
Существуют несколько основных типов задач. Попробуем их систематизировать. В большинстве задач на iq надо найти зависимость чисел, даже если это задание на связь букв. Зависимость между числами может быть подчинена не одной, а нескольким закономерностям.
Найти пропущенное число:
1) 2 6 10 … 18
Показать решение
Заменить вопрос числом:
2 3 6 15 42 ?
Показать решение
Определить закономерность и найти число:
2 3 8 27 112 ?
Показать решение
Найти недостающее число:
1) 17; 13; 11; ?; 5; 3; 2
Показать решение
2) 81; 49; 25; ?; 1
Показать решение
Как научить ребенка решать iq задачи? Для начала предложите ему поискать решение самостоятельно. Если найти зависимость между числами ему не удается, обсудите, какая числовая закономерность была использована в каждом конкретном случае. Постарайтесь не просто рассказывать ребенку решение, но, задавая наводящие вопросы, подводите его к самостоятельным выводам. Теперь попросите ребенка придумать для вас подобные задания. Отнеситесь к их разгадке со всей серьезностью. Расскажите ему, что зависимость чисел в каждом тесте может быть самая разная и надо пробовать использовать различные подходы, чтобы найти верное решение.
Регулярная IQ-тренировка — один из действенных способов развития логического мышления.
Если зависимость может быть любая (например, числа фиббоначи) — то никак. Можно поискать последовательность на oeis.org
Если же возможна только зависимость вида +a_0, +a_1, +a_2,…, +a_k, +a_0, +a_1… т.е. повторяющийся фиксированный паттерн приращений, то есть быстрое и простое решение.
Во первых, если вам дано 10 чисел, то всегда можно сказать, что есть паттерн длиной в 9 приращений.
Но можно найти кратчайший паттерн с помощью алгоритма поиска периода в строке. Буквально, по определению, нужный вам кратчайший паттерн (типа {+3, -2} для второго примера) будет периодом строки. Правда, тут не строка, а массив чисел, но это вообще никак не меняет алгоритмы. Просто у вас алфавит нестандартный.
Сначала от массива чисел перейдите к массиву приращений.
Потом можно применить жадное наивное решение — просто перебираете все возможные значения периода от 1 до n/2 и проверяете, что a[i] == a[i+str] для всех i. Как только все совпало — вы нашли период. Это решение за квадрат. Если чисел вам задано много, то можно применить префикс функцию: найдите значение префикс функции (p) для всей строки и, если ее значение больше половины длины строки, то у строки есть период n-p. Это будет линейное решение.
Еще можно применить алгоритм Дюваля. Тоже линейное решение, но более сложное в реализации и понимании.
План урока:
Отношение двух чисел
Определение пропорции
Масштаб
Отношение двух чисел
На уроке математики ребята выполняли самостоятельную работу. На решение самостоятельных заданий Наталья Ивановна выделила 15 минут, после чего попросила сдать тетради на проверку. Подумайте, какую часть урока заняла самостоятельная работа?
Чтобы дать ответ на данное задание, давайте вспомним, какую продолжительность имеет обычный урок? Всем известно, что стандартный урок длится 45 минут. Получается, из 45 минут только 15 дети решали самостоятельную работу. Следовательно, нужно выяснить, какая часть целого урока потрачена на самостоятельную работу. В арифметике для вычисления части от числа или определения во сколько раз одно число больше другого существует специальное понятие «Отношение чисел»:
Исходя из рассмотренного определения, необходимо составить отношение длительности самостоятельной работы к длительности целого урока. Таким образом, ответим на главный вопрос задачи. Запишем отношение (частное) двух чисел:
15/45 – данную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 15.
15/45 = 1/3.
Выходит, что на самостоятельную работу класс потратил 1/3 всего урока.
Важно помнить, что числовое значение отношения чисел останется прежним, если каждый компонент отношения умножить или разделить на одно и то же число.
Например:
Давайте, составляющие отношения 6/7 умножим на 2, то есть на дробь 2/2.
6/7 × 2/2 (числитель умножаем на числитель, знаменатель на знаменатель);
Получаем:
6×2/7×2 = 12/14 – при сокращении на 2, получим исходную дробь.
Следовательно, числовое значение дроби не изменилось – 6/7 = 12/14.
При составлении отношений с использованием различных чисел и величин, важно помнить, что отношение будет верным, если все компоненты отношения выражены в одинаковых единицах измерения.
Разберем на примере.
В вазочке находился один килограмм конфет. Бабушка отсыпала 300 граммов сладостей в пакет. Определите, какую часть всех конфет отсыпала бабушка?
Чтобы ответить на главный вопрос задачи нужно составить отношение массы отсыпанных конфет к общей массе сладостей: 300 граммов/1 килограмм. Сразу определить числовое значение отношения не можем, составляющие имеют разные единицы измерения массы – грамм и килограмм. Выразим один килограмм в граммах:
1кг = 1000 грамм
Теперь определим, какую часть составили отсыпанные сладости:
Бабушка отсыпала 3/10 всех сладостей в пакет.
Запомни!
Если a и b числовые значения или значения, выраженные в одной и той же величине, тогда:
- отношение a/b, будет равно частному a и b;
- при условии, что a>b, отношение a/b говорит, во сколько раз a больше, чем b;
- при условии, что a<b, отношение a/b говорит, какую часть a составляет от b.
Определение пропорции
Руководитель детского хореографического кружка, для пошива костюмов своим воспитанникам, приобрел в магазине тканей 10 метров шелка, на сумму 420 рублей. Но купленной ткани не хватило. Какую сумму нужно потратить, чтобы купить еще 5 метров такого же материала?
Данную задачу можно решить двумя способами. Рассмотрим каждый из них подробно.
1 способ.
По условию нам известно, что 10 метров материала, стоит 420 рублей. Отсюда можно узнать цену одного метра. Для этого, общую сумму(420) необходимо разделить на количество приобретенной ткани(10):
420 : 10 = 42 рубля стоит один метр ткани.
Зная цену одного метра ткани, можно узнать стоимость пяти метров. Для этого стоимость одного метра (42), умножаем на количество таких метров (5):
42 × 5 = 210 рублей необходимо, для покупки 5 метров материала.
Этот способ известен еще из начальной школы. Но далеко не все задачи такого вида можно решить первым способом.
В этом случае используют второй способ решения задач такого вида.
2 способ.
Вначале, запишем краткое условие.
10м. – 420 р.
5м. – ? р.
Теперь нужно подумать. В нашем случае, количество материала уменьшается, следовательно,уменьшается стоимость покупки. Обозначим цену пяти метров материала – х.
Имеем,
10 – 420.
5 – х.
Для решения задач такого вида в математике существует специальное определение – «Пропорция»
Используя рассмотренное определение, подумаем, как составить пропорцию из чисел? Формировать пропорцию будем, опираясь на краткую запись условия задачи – десять относится к пяти как четыреста двадцать к иксу:
10/5 = 420/х.
Пропорция составлена и возникает вопрос, как вычислить неизвестный компонент?
Для вычисления неизвестной составляющей пропорции существует правило, которое называется «Основное свойство пропорции»:
Определим крайние и средние члены в составленном равенстве:
Крайними членами пропорции будут числа 10, х.
Средними членами пропорции будут числа 5, 420.
Запишем равенство произведений крайних и средних членов в составленной пропорции:
10/5 = 420/х;
10х = 5 × 420 – высчитываем произведение;
10х = 2100 – решаем как обычное уравнение;
х = 2100 : 10;
х = 210.
Выходит, 210 рублей необходимо для приобретения пяти метров материала.
Вот так на примере решения задачи мы разобрали новое определение. Запомните, пожалуйста, все правила и поиск неизвестного компонента в любых отношениях и пропорциях будет для вас только развлечением!
Продолжаем дальше знакомиться с пропорцией.
Прямая и обратная пропорциональная зависимость.
Рассмотрим ситуацию, в которой оказывается каждый, попадая в магазин.
Витя пришел в магазин за покупками. В кошельке ребенка лежало 300 рублей. Витя купил хлеб, молоко, масло, заплатил за товар. Денег у мальчика стало меньше. После посещения кондитерского отдела, где он купил карамель, пирожные, рулет денег стало совсем мало. Делаем вывод: чем больше покупок делает мальчик, тем меньше денег у него остается.
Значит, количество денег в нашем кошельке и количество покупок имеют обратно пропорциональную зависимость и являются обратно пропорциональными величинами.
А если взять ситуацию с оплатой за пользование водой и электроэнергией
Чем больше воды/электроэнергии мы используем, тем больше должны заплатить. В таком случае величины кубы воды/киловатты электроэнергии и денежные единицы называются прямо пропорциональными и имеют прямую пропорциональную зависимость.
Масштаб
Мама с Арсением решили нарисовать путь, который проходит мальчик, идя из дома в школу. Ребенок заволновался: «Как можно на листке бумаги нарисовать 450 метров пути?». Мама успокоила сына и рассказала, что именно для таких случаев и используется определение масштаба карты.
Рассмотрим решение задачи с использованием масштаба.
Расстояние на карте от Москвы до Киева составляет пять сантиметров. Вычислите, сколько километров от Москвы до Киева, если масштаб карты 1:15 000 000.
В первую очередь, нужно понимать, что масштаб 1:15 000 000 показывает, что 1 см карты содержит 15 000 000 сантиметров или 150 километров на местности.
Чтобы ответить на главный вопрос задачи,составим пропорцию. Для этого, расстояние на местности от Москвы до Киева примем за х:
1 : 150 = 5 : х.
Помним, произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Имеем:
х= 150 × 5;
х = 750.
Выходит, 750 километров – расстояние от Москвы до Киева.
Расчеты оказались верными. Вся справочная литература говорит о том, что расстояние Москва – Киев составляет примерно 755 км!
Теперь вы совершенно самостоятельно можете рассчитать абсолютно любое расстояние, имея под рукой линейку и карту!
Интересно!
С пропорциями мы сталкиваемся, ежедневно, ежеминутно. Все в нашем мире пропорционально. Любая вещь, предмет, техника, животные, растения – все имеет свои пропорции! Мы можем любоваться красивой архитектурой – благодаря пропорциям, наслаждаться цветками роз или ромашек – тоже не без участия пропорций. Природа создает все в строгой пропорциональности. В случае, когда пропорции отсутствуют, вещь или предмет нам кажутся неправильными. Ведь даже в нашем теле все имеет свои пропорции:
- длина ладони равна длине четырех пальцев, длина четырех ладошек(без учета пальцев) равна длине стопы, шесть ладоней – длина локтя, а четыре локтя в точности укажут на рост хозяина;
- длина человеческой ладони с пальцами составляет 1/10 роста человека;
- длина расставленных в стороны рук совпадает с длиной человеческого тела;
- стопа составляет 1/7 часть роста;
- длина от корней волос до кончика подбородка равна 1/10 роста.
Прямая и обратная пропорциональность
Математическая зависимость — это соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу одного множества ставится в соответствие элемент из другого множества.
- Прямая зависимость. Чем больше одна величина, тем больше вторая. Чем меньше одна величина, тем меньше вторая величина.
- Обратная зависимость. Чем больше одна величина, тем меньше вторая. Чем меньше одна величина, тем больше вторая.
Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин. Пропорциональными называются две взаимно-зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.
Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз. Проще говоря — это зависимость одного числа от другого.
Есть две разновидности пропорциональностей:
- Прямая пропорциональность. Это зависимость, при которой увеличение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А уменьшение одного числа ведет к уменьшению другого во столько же раз.
- Обратная пропорциональность. Это зависимость, при которой уменьшение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А увеличение числа наоборот ведет к уменьшению другого во столько же раз.
Коэффициент пропорциональности — это неизменное отношение пропорциональных величин. Он показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой. Коэффициент пропорциональности обозначается латинской буквой k.
Прямо пропорциональные величины
Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.
Прямая пропорциональность в виде схемы: «больше — больше» или «меньше — меньше».
a и d называются крайними членами, b и c — средними.
Свойство прямо пропорциональной зависимости:
Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.
Примеры прямо пропорциональной зависимости:
- при постоянной скорости пройденный маршрут прямо-пропорционально зависит от времени;
- периметр квадрата и его сторона — прямо-пропорциональные величины;
- стоимость конфет, купленных по одной цене, прямо-пропорционально зависит от их количества.
Если говорить метафорами, то прямую пропорциональную зависимость можно отличить от обратной по пословице: «Чем дальше в лес, тем больше дров». Что значит, чем дольше ты идешь по лесу, тем больше дров можно собрать.
Формула прямой пропорциональности
y = kx,
где y и x — переменные величины, k — постоянная величина, которую называют коэффициентом прямой пропорциональности.
Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.
Формула коэффициента прямой пропорциональности:
Пример 1.
В одно и то же путешествие поехали два автомобиля. Один двигался со скоростью 70 км/ч и за 2 часа проделал тот же путь, что другой за 7 часов. Найти скорость второго автомобиля.
- Вспомним формулу для определения пути через скорость и время: S = V * t.
- Так как оба автомобиля проделали одинаковый путь, можно составить пропорцию из двух выражений: 70 * 2 = V * 7
- Найдем скорость второго автомобиля: V = 70 * 2/7 = 20
Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
Пример 2.
Блогер за 8 дней может написать 14 постов. Сколько помощников ему понадобится, чтобы написать 420 постов за 12 дней?
Количество человек (блогер и помощники) увеличивается с увеличением объема работы, если ее нужно сделать за то же количество времени.
Если разделить 420 на 14, узнаем, что объем увеличивается в 30 раз.
Но так как по условию задачи на работу дается больше времени, то количество помощников увеличивается не в 30 раз. Таким образом:
- х = 1 (блогер) * 30 (раз) : 12/8 (дней).
- х = 1 * 30 : 12/8
- х = 20
Ответ: 20 человек напишут 420 постов за 12 дней.
Обратно пропорциональные величины
Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз.
Объясним, что значит обратно пропорционально в виде схемы: «больше — меньше» или «меньше — больше».
Свойство обратной пропорциональности величин:
Если две величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.
Примеры обратно пропорциональной зависимости:
- время на маршрут и скорость, с которой путь был пройден — обратно пропорциональные величины;
- при одинаковой продуктивности количество школьников, решающих конкретную задачу, обратно пропорционально времени выполнения этой задачи;
- количество конфет, купленных на определенную сумму денег, обратно пропорционально их цене.
Формула обратной пропорциональности
где y и x — это переменные величины,
k — постоянная величина, которую называют коэффициентом обратной пропорциональности.
Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.
Формула коэффициента обратной пропорциональности:
Потренируемся
Пример 1. 24 человека за 5 дней раскрутили канальчик в ютубе. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?
- В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.
- Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.
- Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:
- Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию: 30 : 24 = 5 : х
- Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член: х = 24 * 5 : 30; х = 4
- Значит, 30 человек раскрутят канал за 4 дня.
Пример 2. Автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?
Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.
Прямая и обратная пропорциональность
Пропорциональность — это зависимость одной величины от другой, при которой изменение одной величины приводит к изменению другой во столько же раз.
Пропорциональность величин может быть прямой и обратной.
Прямая пропорциональность
Прямая пропорциональность — это зависимость двух величин, при которой одна величина зависит от второй величины так, что их отношение остаётся неизменным. Такие величины называются прямо пропорциональными или просто пропорциональными.
Рассмотрим пример прямой пропорциональности на формуле пути:
s = vt,
где s — это путь, v — скорость, а t — время.
При равномерном движении путь пропорционален времени движения. Если взять скорость v равной 5 км/ч, то пройденный путь s будет зависеть только от времени движения t:
| Скорость v = 5 км/ч | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Время t (ч) | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 |
| Путь s (км) | 5 | 10 | 20 | 40 | 80 |
Из примера видно, что во сколько раз увеличивается время движения t, во столько же раз увеличивается пройденное расстояние s. В примере мы увеличивали время каждый раз в 2 раза, так как скорость не менялась, то и расстояние увеличивалось тоже в два раза.
В данном случае скорость (v = 5 км/ч) является коэффициентом прямой пропорциональности, то есть отношением пути ко времени, которое остаётся неизменным:
| 5 | = | 10 | = | 20 | = | 40 | = | 80 | = 5. |
| 1 | 2 | 4 | 8 | 16 |
Если время движения остаётся неизменным, то при равномерном движении расстояние будет пропорционально скорости:
| Время t = 2 ч | ||||
|---|---|---|---|---|
| Скорость v (км/ч) | 5 | 15 | 45 | 90 |
| Расстояние s (км) | 10 | 30 | 90 | 180 |
В этом примере коэффициентом прямой пропорциональности, то есть, отношением пути к скорости, которое остаётся неизменным, является время (t = 2 ч):
| 10 | = | 30 | = | 90 | = | 180 | = 2. |
| 5 | 15 | 45 | 90 |
Из данных примеров следует, что две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.
Формула прямой пропорциональности
Формула прямой пропорциональности:
y = kx,
где y и x — это переменные величины, а k — это постоянная величина, называемая коэффициентом прямой пропорциональности.
Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x равное одному и тому же числу.
Формула коэффициента прямой пропорциональности:
Обратная пропорциональность
Обратная пропорциональность — это зависимость двух величин, при которой увеличение одной величины приводит к пропорциональному уменьшению другой. Такие величины называются обратно пропорциональными.
Рассмотрим пример обратной пропорциональности на формуле пути:
s = vt,
где s — это путь, v — скорость, а t — время.
При прохождении одного и того же пути с разной скоростью движения время будет обратно пропорционально скорости. Если взять путь s равным 120 км, то потраченное на преодоление этого пути время t будет зависеть только от скорости движения v:
| Путь s = 120 км | ||||
|---|---|---|---|---|
| Скорость v (км/ч) | 10 | 20 | 40 | 80 |
| Время t (ч) | 12 | 6 | 3 | 1,5 |
Из примера видно, что во сколько раз увеличивается скорость движения v, во столько же раз уменьшается время t. В примере мы увеличивали скорость движения каждый раз в 2 раза, а так как расстояние, которое нужно преодолеть, не менялось, то количество времени на преодоление данного расстояния сокращалось тоже в два раза.
В данном случае путь (s = 120 км) является коэффициентом обратной пропорциональности, то есть произведением скорости на время:
s = vt,
10 · 12 = 20 · 6 = 40 · 3 = 80 · 1,5 = 120.
Из данного примера следует, что две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.
Формула обратной пропорциональности
Формула обратной пропорциональности:
где y и x — это переменные величины, а k — это постоянная величина, называемая коэффициентом обратной пропорциональности.
Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.
Прямая и обратная пропорциональность
Прямая и обратная пропорциональность – это одна из основ математики и геометрии 6 класса. Причем, это та основа, знания которой пригодятся не только при решении задач, но и в реальной жизни: пропорциональны друг другу бывают физические величины, заработные платы и конфеты, купленные в магазине.
Что такое пропорция?
Пропорция – это взаимосвязь двух величин. То есть, если меняется одна величина, меняется и другая. Если одна величина пропорциональна другой, а друга пропорциональна третьей, то все эти величины связаны между собой. Разделяют прямую и обратную пропорцию. Дадим им определения и приведем наглядные примеры.
Прямая пропорция
Прямая пропорция – это взаимоотношение величин, при котором, увеличивая одну величину, мы автоматически увеличим другую. Самый простой пример это булочки в магазине и цена на них. Булочка в любом случае стоит 30 руб. Покупая одну штуку мы платим 30 руб.
Если увеличим размер покупки, то соразмерно возрастет и цена. Она не может не возрасти, ведь булочник не будет отдавать свой товар просто так. За 2 булочки мы заплатим 60 рублей, за 3 – 90 и так далее.
Если устанавливать зависимость между количеством булочек и ценой на них, то получится следующее отношение:
Цена булочек/количество=30/1=60/2 и так далее. Заметим, что всегда это отношение равно одному и тому же числу. В данном примере это число 30. Оно будет постоянным для любого варианта данной пропорции. Конкретно в данном примере это число является одновременно и ценой одной булочки.
Иными словами, для приведенного примера пропорциональность можно объяснить так: сколько бы булочек мы ни купили, все равно цена одной будет 30 рублей. Вот и все. В рамках математики говорят, что если коэффициент пропорциональности не меняется, то числа пропорциональны.
Для того, чтобы понять, изменяется коэффициент или нет, нужно просто поделить друг на друга числа этой пропорции и сравнить результат. То есть, взять сначала отношение цены одной булочки к ее количеству, а затем цены 30 булочек к их количеству. Коэффициент сохранит свое значение, значит эти числа прямопропорциональны.
Обратная пропорция
Существует также понятие обратной пропорции. Часто бывает так, что одна величина зависит от другой, но не прямопропорционально. Сравним две взаимосвязанные между собой величины. Например, мотоциклист залил в бак бензин. Чем меньше бензина остается в баке мотоциклиста, тем больше проехал водитель. Здесь на лицо обратная зависимость количества бензина и пройденного расстояния.
Как просто запомнить?
Есть 4 простые схемы запоминания темы, по две для каждого вида пропорциональности.
Для прямой пропорции всегда работает схема: «больше-больше» или «меньше-меньше». То есть при увеличении одной величины, увеличится и другая, или при уменьшении одной величины уменьшится другая.
Соответственно, для обратной пропорциональности наоборот: «больше-меньше» или «меньше-больше». То есть, чем больше одна величина, тем меньше другая и наоборот.
Что мы узнали?
Мы привели объяснение прямой и обратной пропорциональности. Вывели простые схемы для запоминания темы и обговорили понятные примеры.
Прямая и обратная пропорциональность
Математическая зависимость — это соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу одного множества ставится в соответствие элемент из другого множества.
Прямая зависимость. Чем больше одна величина, тем больше вторая. Чем меньше одна величина, тем меньше вторая величина.
Обратная зависимость. Чем больше одна величина, тем меньше вторая. Чем меньше одна величина, тем больше вторая.
Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин. Пропорциональными называются две взаимно-зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.
Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз. Проще говоря — это зависимость одного числа от другого.
Есть две разновидности пропорциональностей:
Прямая пропорциональность. Это зависимость, при которой увеличение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А уменьшение одного числа ведет к уменьшению другого во столько же раз.
Обратная пропорциональность. Это зависимость, при которой уменьшение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А увеличение числа наоборот ведет к уменьшению другого во столько же раз.
Коэффициент пропорциональности — это неизменное отношение пропорциональных величин. Он показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой. Коэффициент пропорциональности обозначается латинской буквой k.
Прямо пропорциональные величины
Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.
Прямая пропорциональность в виде схемы: «больше — больше» или «меньше — меньше».
a и d называются крайними членами, b и c — средними.
Свойство прямо пропорциональной зависимости:
Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.
Примеры прямо пропорциональной зависимости:
при постоянной скорости пройденный маршрут прямо-пропорционально зависит от времени;
периметр квадрата и его сторона — прямо-пропорциональные величины;
стоимость конфет, купленных по одной цене, прямо-пропорционально зависит от их количества.
Если говорить метафорами, то прямую пропорциональную зависимость можно отличить от обратной по пословице: «Чем дальше в лес, тем больше дров». Что значит, чем дольше ты идешь по лесу, тем больше дров можно собрать.
Формула прямой пропорциональности
y = kx,
где y и x — переменные величины, k — постоянная величина, которую называют коэффициентом прямой пропорциональности.
Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.
Формула коэффициента прямой пропорциональности:
Пример 1.
В одно и то же путешествие поехали два автомобиля. Один двигался со скоростью 70 км/ч и за 2 часа проделал тот же путь, что другой за 7 часов. Найти скорость второго автомобиля.
Вспомним формулу для определения пути через скорость и время:
Так как оба автомобиля проделали одинаковый путь, можно составить пропорцию из двух выражений:
Найдем скорость второго автомобиля:
Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
Пример 2.
Блогер за 8 дней может написать 14 постов. Сколько помощников ему понадобится, чтобы написать 420 постов за 12 дней, если они пишут с такой же скоростью?
Количество человек (блогер и помощники) увеличивается с увеличением объема работы, если ее нужно сделать за то же количество времени.
14 (постов) / 8 (дней) × х (блогеров) = 420 (постов) / 12 (дней)
Вспомним основное свойство пропорции, согласно которому:
14x × 12 = 420 × 8
х = (420 × 
/ (14 × 12)
Ответ: 20 человек напишут 420 постов за 12 дней.
Обратно пропорциональные величины
Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз.
Объясним, что значит обратно пропорционально в виде схемы: «больше — меньше» или «меньше — больше».
Свойство обратной пропорциональности величин:
Если две величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.
Примеры обратно пропорциональной зависимости:
время на маршрут и скорость, с которой путь был пройден — обратно пропорциональные величины;
при одинаковой продуктивности количество школьников, решающих конкретную задачу, обратно пропорционально времени выполнения этой задачи;
количество конфет, купленных на определенную сумму денег, обратно пропорционально их цене.
Формула обратной пропорциональности
где y и x — это переменные величины,
k — постоянная величина, которую называют коэффициентом обратной пропорциональности.
Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.
Формула коэффициента обратной пропорциональности:
Потренируемся
Пример 1. 24 человека за 5 дней раскрутили канальчик в ютубе. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?
В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.
Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.
Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:
Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию:
Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член:
Значит, 30 человек раскрутят канал за 4 дня.
Пример 2. Автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?
Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.
Как найти зависимость
- Главная
- Линейная зависимость величин в практическом применении
Линейная зависимость величин в практическом применении
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
В нашей жизни часто встречаются ситуации, в которых значение одной величины зависит от другой. Например, время, за которое будет пройден путь, зависит от скорости; стоимость товара зависит от количества товара. Прирост вклада в сберегательном банке зависит от суммы вклада при одном и том же проценте; производство продукции и расход материала, содержание вещества в предмете зависит от массы предмета и т. д. При этом, значению одной величины по какому-то правилу соответствует определенное значение другой величины. Также мои родители планируют летом поехать отдыхать. И спорят по этому поводу, как выгоднее поехать? Мне стало интересно, можно ли использовать линейную зависимость двух величин в данной ситуации и узнать самый выгодный способ поездки.
Проблема: Как можно использовать понятие линейной зависимости одной величины от другой в реальной ситуации, например для расчёта выгодного способа поездки.
Для решения этой проблемы поставим следующую цель.
Цель: научится определять и задавать линейную зависимость величин по реальным условиям, использовать понятие линейной зависимости и ее графического изображения для решения практических задач.
Чтобы достичь поставленной цели необходимо выполнение следующих задач:
Изучить понятие линейной функции и ее графика.
Привести случаи из реальной жизни с линейной зависимостью величин.
Научиться задавать линейную зависимость формулой вида у = кх+в по реальным условиям.
Изучить способ линейного программирования в задачах экономического содержания.
Научиться применять график линейной зависимости при выборе оптимального значения величины, заданной линейными условиями.
Методы выполнения проекта:
Анализ и синтез
Объект исследования: задачи реальных ситуаций с линейными зависимостями.
Предмет исследования: использование линейной зависимости и графиков линейной функции в реальных ситуациях.
2. Основная часть
2.1 Теоретическая часть.
2.1.1 История появления понятия функции.
В математике зависимость одной величины от другой, при которой каждому допустимому значению одной величины соответствует определенное единственное значение другой величины, называют функцией или функциональной зависимостью. Идея функциональной зависимости восходит из древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5тыс. лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга зависит от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S = 3 r 2 . В данном случаи, говорят об аналитическом задании функции, то есть вычисляют значение площади круга с помощью формулы. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев.
После введения декартовой прямоугольной системы координат — это система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости, стало возможным изображать на ней пары значений взаимосвязанных величин в виде множества точек – графика зависимости. Прямоугольная система координат -наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Её обычно называют декартовой по имени её создателя французского философа, математика, механик, физика и физиолога, Рене Декарта.
Идея изображать числа в виде точек, а точкам давать числовые обозначения зародилась в далекой древности. Первоначальное применение координат связано с астрономией и географией, с потребностью определять положение светил на небе и определенных пунктов на поверхности Земли, при составлении календаря, звездных и географических карт. Следы применения идеи прямоугольных координат в виде квадратной сетки (палетки) изображены на стене одной из погребальных камер Древнего Египта.
Основная заслуга в создании современного метода координат и принадлежит французскому математику Рене Декарту. До наших времён дошла такая история, которая подтолкнула его к открытию. Занимая в театре места, согласно купленным билетам, мы даже не подозреваем, кто и когда предложил ставший обычным в нашей жизни метод нумерации кресел по рядам и местам. Оказывается эта идея осенила знаменитого философа, математика и естествоиспытателя Рене Декарта (1596-1650)– того самого, чьим именем названы прямоугольные координаты. Посещая парижские театры, он не уставал удивляться путанице, перебранкам, а подчас и вызовам на дуэль, вызываемыми отсутствием элементарного порядка распределения публики в зрительном зале. Предложенная им система нумерации, в которой каждое место получало номер ряда и порядковый номер от края, сразу сняла все поводы для раздоров и произвела настоящий фурор в парижском высшем обществе.
Научное описание прямоугольной системы координат Рене Декарт впервые сделал в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат называют также — декартова система координат. Кроме того, в своей работе «Геометрия» (1637), открывшей взаимопроникновение алгебры и геометрии, Декарт ввел впервые понятия переменной величины и функции. «Геометрия» оказала огромное влияние на развитие математики, в частности, понятия функциональной зависимости.
В 1671 году английский физик, математик, механик и астроном, автор фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», создатель многих других математических теорий, Исаа́к Ньютон в своей статье под функцией определял переменную величину, которая изменяется с течением времени.
2.1.2 Понятие функции.
Зависимость одной величины от другой, при которой каждому допустимому значению независимой переменной х соответствует определенное единственное значение зависимой переменной у, называют функцией или функциональной зависимостью. Обозначение y = f ( x ) как раз и выражает такую зависимость одной величины от другой. Величина у зависит от величины x по определенному правилу, обозначаемому f. Другими словами, чтобы вычислить значение величины у, надо по некоторому правилу f выполнить действия со значением величины х. В этом случаи х является независимой переменной или аргументом, а у – зависимой переменной или функцией.
Линейная зависимость или функция — это функция вида y = kx+b, где х- независимая переменная, k и b – любые числа (коэффициенты).
Приведем примеры линейных зависимостей в реальных ситуациях.
Формула F T = g m > – это зависимость силы тяжести FT от массы m , где g-это постоянное значение.
Чем больше глубина, тем больше давление жидкости (воды). Можно сказать, что давление жидкости является функцией от глубины, на которой его измеряют.
При вычислении расходов проезда на машине учитывают расходы на бензин в сумме с затратами на питание.
С = 45х+ 1500, где к =45(цена в рублях литра бензина), х— количество литров, b = 1500 – затраты на питание. Поэтому стоимость проезда на легковом автомобиле –это линейная функция, где х- независимая величина, а С- зависимая переменная.
Рассмотрим линейную функцию, где k =2, b =1, тогда у=2х+1 и каждой паре чисел (х ; у) поставим в соответствие точку с координатами (х ; у) на координатной плоскости. Множество таких точек будет задавать график этой функции.
х=1, то у=2∙1+1=3 (1;3), х=2, то у=2∙2+1=5 (2;5), х=0, то у=2∙0+1=1 (0;1)
Можно заметить, что точки выстраиваются по прямой. Значит график линейной функции y= kx+b – это прямая линия.
Эта прямая(рис.1) графически показывает зависимость между двумя величинами х и у, выражающаяся формулой у=2х+1.
На рисунке 2 закрашенная часть плоскости графически показывает зависимость между двумя величинами х и у, выражающаяся формулой у > 2х+1. То есть, все точки из закрашенной части плоскости имеют значение ординаты у больше, чем значение ординат точек, лежащих на графике прямой для линейной функции у=2х+1.
На рисунке 3 закрашенная часть плоскости графически показывает зависимость между двумя величинами х и у, выражающаяся формулой у< 2х+1. То есть, все точки из закрашенной части плоскости имеют значение ординаты у меньше, чем значение ординат точек, лежащих на графике прямой- линейной функции у=2х+1.
2.1.3 Понятие линейного программирования.
Линейное программирование — это раздел математики, ориентированный на нахождение экстремума (максимума или минимума) в задачах, в которых условия зависимости величин описываются линейными уравнениями или неравенствами.
Издержки при перевозке груза двумя видами транспорта вычисляются по формуламу1=100+40х, у2=200+20х, где х — расстояние перевозок в сотнях километров, а у рублей — транспортные расходы по перевозке груза первым и вторым способом. Найти: на какие расстояния и каким видом транспорта перевозки груза будут более экономичными.
На одной координатной плоскости построим графики транспортных расходов. Известно, что график линейной функции есть прямая линия, а положение прямой определяется двумя точками. Найдем координаты этих точек.
Издержки по перевозке груза на любые расстояния как первым, так и вторым видом транспорта достаточно просто определяются, по величине у из графика функций. Координатами точки пересечения А являются х=5 , у=300. То есть, при перевозке на 500 км издержки одинаковы и составляют 300 рублей.
Ответ: если груз нужно перевести на расстояние менее чем пять сотен километров, то его выгодно будет перевозить первым видом транспорта. А если груз нужно перевести на расстояние больше, чем пять сотен километров, то выгоднее будет перевозить вторым видом транспорта.
2.1.4 Понятие системы уравнений.
Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных. Например, система двух линейных уравнений с двумя переменными х и у.
Решим эту систему графически:
1) -2у=12-3х, у=1,5х-6
Далее начертим графики обоих линейных функций. Координаты точки пересечения двух прямых задают пару значений (х;у), которая является решением данной системы.
Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений обращается в верное равенство.
Решение систем линейных алгебраических уравнений — одна из классических задач линейной алгебры, кроме того, линейные алгебраические уравнения и методы их решения играют важную роль во многих прикладных направлениях, в том числе в линейном программировании.
2.2 Практическая часть
Задача 1: Автомобиль, выехавший из пункта А, в настоящее время находится от него в 10 км. На каком расстоянии S от пункта А будет находиться автомобиль через t часов, если он будет двигаться в том же направлении со скоростью 60 км/ч?
Зависимость будет выражаться линейной функцией вида S=60t+10. Для наглядности можно изобразить график пути в зависимости от времени.
t=1, то S=60х1=10 =70 (1; 70)
t=0, то S=60×0+10 =10 (0;10)
Задача 2: Задать зависимость длины окружности от длины её радиуса.
Опытным путём на уроке математики было установлено, что длина окружности зависит от её радиуса. Эта зависимость выражается формулой C=2πR и является прямопропорциональной зависимостью с угловым коэффициентом к =2 π. Функцией здесь является длина окружности, которая зависит от радиуса окружности.
Задача 3. В контейнере находятся коробки и ящики общим числом более 16. Если вдвое увеличить количество коробок и на 20 увеличить количество ящиков, то ящиков будет больше, чем коробок. Если же, не меняя количества коробок, удвоить количество ящиков, то их будет все — таки меньше, чем коробок. Сколько коробок было в контейнере?
Если взять количество коробок за Х, а количество ящиков в контейнере за У , то условие задачи можно записать системой (т.е. условия должны выполняться одновременно при одних и тех же значениях переменных)
Построим графики по формуле линейной зависимости у = kx+m
На координатной плоскости найдем множество точек (х ; у), удовлетворяющих одновременно этим трем условиям. Точки, лежащие внутри треугольника АВС, будут удовлетворять данным условиям. Только одна точка с натуральными координатами (12;5) находится внутри треугольника, то есть коробок 12 , а ящиков 5.
Ответ: В контейнере было 12 коробок и 5 ящиков.
Лабораторные испытания модели речного глиссера новой конструкции проводятся в испытательном бассейне, причем предусмотрена возможность варьирования, как собственной скорости глиссера, так и скорость течения.
Каковы должны быть эти скорости, чтобы модель глиссера двигалась равномерно, прошла 60м по течению за время, не меньшее 5,4сек., а такое же расстояние против течения – за время, не превышающее 7,2 сек.?
Обозначим абсолютные значения собственной скорости глиссера и скорости течения соотвецтвено через у и х. Таким образом, получим следующую систему неравенств:
Умножим обе части неравенства на (у+х) >0 и получим:
Дальше умножим обе части неравенства на ,и получим:
Теперь построим график линейной зависимости
Умножим обе части неравенства на (у-х) >0 и получим:
Дальше умножим обе части неравенства на и получим:
Теперь построим график линейной зависимости У=30+х
Из всех приведённых выше вычислений системы (1) следует следующий вывод
Числовой пример. Пусть х=2 , тогда 32 или на рисунке точка с координатами (2;38).
Данный рисунок даёт геометрическую интерпретацию решения системы (1). Как видно из этого рисунка, условиям данной задачи удовлетворяют координаты тех точек, которые лежат внутри треугольника, образованного прямыми у=40-х, у=х+30 и осью ординат, причем из точек контура этого треугольника исключаются точки, принадлежащие оси ординат.
Семья из трех человек планирует поездку на море. Они могут поехать двумя способами: первый- это поездка на машине по путёвке в санаторий, а второй — поездка на поезде с самостоятельным заселением и покупкой продуктов. Известно, что если семья едет в санаторий, то стоимость питания и проживания на семью в день составит 6000 руб, а стоимость проезда на машине туда и обратно составит 20000 рублей. А если они едут самостоятельно, то стоимость питания на семью в день составит 4500 руб, а проезд на поезде составит 44000 руб.
Какой из выше перечисленных способов поездки выгодней, и для какого количества дней?
Данный график показывает графически решение данной задачи.
Ответ: если поездка будет длиться менее 16 дней то выгоднее ехать первым способом, а если время поездки больше 16 дней, то выгоднее ехать вторым способом. Также если ехать на 16 дней то оба способа будут одинаково выгодными.
3.Заключение
В заключении можно сказать что, я рассмотрел ситуации, некоторые задачи, встречающиеся в реальной жизни, в том числе рассчитал выгодный способ семейной поездки, используя умения определять и задавать линейную зависимость величин, использовать понятие линейной зависимости и ее графического изображения для решения практических задач. Соответственно цель данного проекта выполнена.
Выбранная мною тема достаточно актуальна для школьников, ведь в школьном курсе алгебры изучаются различные функциональные зависимости, на основании которых строятся математические модели реальных ситуаций. В дальнейшем данные знания помогут мне в алгебре при изучении линейных уравнений с двумя переменными и решении их в целых числах, а также при решении уравнений, неравенств и их систем графическим способом, при решении задач на нахождение оптимального значения. В курсе естественных наук рассматриваются различные реальные процессы, изучение которых основывается также на различных зависимостях, в том числе и линейных.
Также в профессиональной деятельности в задачах производства линейное программирование представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. Например, этим способом решают задачи рационального использования сырья и материалов; составления оптимального плана перевозок, работы транспорта (транспортные задачи); управления производственными запасами; и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.
4. Рефлексия
В ходе выполнения этого проекта я изучил понятие линейной функции и ее графика, научился задавать линейную зависимость формулой вида у=кх+в по реальным условиям, а также применять график линейной зависимости при выборе оптимального значения величины, заданной линейными условиями при решении практических задач с экономическим и физическим содержанием.
5. Список источников информации.
«Прикладная направленность школьного курса математики» Н. А. Терешкин
Прямая и обратная пропорциональность
Пропорциональность — это зависимость одной величины от другой, при которой изменение одной величины приводит к изменению другой во столько же раз.
Пропорциональность величин может быть прямой и обратной.
Прямая пропорциональность
Прямая пропорциональность — это зависимость двух величин, при которой одна величина зависит от второй величины так, что их отношение остаётся неизменным. Такие величины называются прямо пропорциональными или просто пропорциональными.
Рассмотрим пример прямой пропорциональности на формуле пути:
s = vt,
где s — это путь, v — скорость, а t — время.
При равномерном движении путь пропорционален времени движения. Если взять скорость v равной 5 км/ч, то пройденный путь s будет зависеть только от времени движения t:
| Скорость v = 5 км/ч | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Время t (ч) | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 |
| Путь s (км) | 5 | 10 | 20 | 40 | 80 |
Из примера видно, что во сколько раз увеличивается время движения t, во столько же раз увеличивается пройденное расстояние s. В примере мы увеличивали время каждый раз в 2 раза, так как скорость не менялась, то и расстояние увеличивалось тоже в два раза.
В данном случае скорость (v = 5 км/ч) является коэффициентом прямой пропорциональности, то есть отношением пути ко времени, которое остаётся неизменным:
| 5 | = | 10 | = | 20 | = | 40 | = | 80 | = 5. |
| 1 | 2 | 4 | 8 | 16 |
Если время движения остаётся неизменным, то при равномерном движении расстояние будет пропорционально скорости:
| Время t = 2 ч | ||||
|---|---|---|---|---|
| Скорость v (км/ч) | 5 | 15 | 45 | 90 |
| Расстояние s (км) | 10 | 30 | 90 | 180 |
В этом примере коэффициентом прямой пропорциональности, то есть, отношением пути к скорости, которое остаётся неизменным, является время (t = 2 ч):
| 10 | = | 30 | = | 90 | = | 180 | = 2. |
| 5 | 15 | 45 | 90 |
Из данных примеров следует, что две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.
Формула прямой пропорциональности
Формула прямой пропорциональности:
y = kx,
где y и x — это переменные величины, а k — это постоянная величина, называемая коэффициентом прямой пропорциональности.
Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x равное одному и тому же числу.
Формула коэффициента прямой пропорциональности:
Обратная пропорциональность
Обратная пропорциональность — это зависимость двух величин, при которой увеличение одной величины приводит к пропорциональному уменьшению другой. Такие величины называются обратно пропорциональными.
Рассмотрим пример обратной пропорциональности на формуле пути:
s = vt,
где s — это путь, v — скорость, а t — время.
При прохождении одного и того же пути с разной скоростью движения время будет обратно пропорционально скорости. Если взять путь s равным 120 км, то потраченное на преодоление этого пути время t будет зависеть только от скорости движения v:
| Путь s = 120 км | ||||
|---|---|---|---|---|
| Скорость v (км/ч) | 10 | 20 | 40 | 80 |
| Время t (ч) | 12 | 6 | 3 | 1,5 |
Из примера видно, что во сколько раз увеличивается скорость движения v, во столько же раз уменьшается время t. В примере мы увеличивали скорость движения каждый раз в 2 раза, а так как расстояние, которое нужно преодолеть, не менялось, то количество времени на преодоление данного расстояния сокращалось тоже в два раза.
В данном случае путь (s = 120 км) является коэффициентом обратной пропорциональности, то есть произведением скорости на время:
s = vt,
10 · 12 = 20 · 6 = 40 · 3 = 80 · 1,5 = 120.
Из данного примера следует, что две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.
Формула обратной пропорциональности
Формула обратной пропорциональности:
где y и x — это переменные величины, а k — это постоянная величина, называемая коэффициентом обратной пропорциональности.
Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.