Гиа 2013 как найти площадь треугольника

Площадь треугольника

Задача
1.  В
треугольнике одна из сторон равна 27, а опущенная на нее высота – 11. Найдите
площадь треугольника.

Решение: Площадь треугольника = ½
основания*высоту

Пл.треугольника
= ½*27*11=148,5

Ответ:
148,5

Задача
2.  Два
катета прямоугольного треугольника равны 4 и 9. Найдите площадь этого
треугольника.

Решение:
Пл.прямоугольного
треуг. = половине произведения катетов.

Пл.прямоуг.треуг.=(4*9):2=36:2=18

Ответ: 18

Задача
3. Периметр
равнобедренного треугольника равен 144, а основание – 64. Найдите площадь
треугольника.

Решение:

1) Т.к.
Треугольник равнобедренный, из этого следует, что две стороны равны АС=СВ,
найдем длину этих сторон:

АС=СВ=(144-64):2=40.

2)
Формула Герона:

Найдем
полупериметр, т.к. периметр = 144, то полупериметр = 144:2=72.

Ответ: 768

Задача
4. Найдите
площадь треугольника.

Решение: Для формулы нам необходимо
знать основание и высоту

Основание=32+11=43.

Высота
= 60.

S треуг.= ½*60*43=1290

Ответ: 1290

           

                
32+11=43

Задача
5.

                                                                      
6

                                                      
3

Решение:

Задачу
можно решить по формуле Пика, можно по формуле площади треугольника.

Считаем
по клеточкам основание =3, высота = 6.

S=1/2*3*6= 9

Ответ: 9

Задачи
для самостоятельного решения:

1)
В
треугольнике одна из сторон равна 14, а опущенная на нее высота – 31. Найдите
площадь треугольника.

2)
Сторона
треугольника равна 16, а высота, проведённая к этой стороне, равна 19. Найдите
площадь этого треугольника.

 3)
Два катета прямоугольного треугольника равны 7 и 12. Найдите площадь этого
треугольника.

4) Два катета
прямоугольного треугольника равны 18 и 7. Найдите площадь этого треугольника.

5)  Периметр
равнобедренного треугольника равен 162, а основание – 72. Найдите площадь
треугольника.

6) Найдите площадь
треугольника

7) Найдите площадь
треугольника

Найдите площадь треугольника:

9) Найдите площадь треугольника

10)

11)    

12)

13)

14)15)

16)

Проверить решение можно по ссылке:

https://onlinetestpad.com/hnl6ukjjcnpgo

Площадь треугольника требуется уметь находить, чтобы успешно решить модуль “Геометрия” в ОГЭ. Умение находить площадь треугольника является одним из основополагающих умений в геометрии. Для того, чтобы находить площадь треугольника в заданиях ОГЭ – нужно иметь представления о том, по каким формулам вообще находится площадь треугольника. Ниже мы приводим их все, а также даем анализ того, как часто встретятся вам эти формулы при выполнении заданий по геометрии в ОГЭ.

Задачи самые разнообразные, как и треугольники, как и методы их решения. Однако, для того, чтобы решать такие задачи, нам понадобятся формулы и общие сведения.

Площадь треугольника. Формулы. Задачи.

1. Формула нахождения площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Эта формула считается общей, ее очень часто используют, особенно если в треугольнике известен какой-либо угол. Ее кратко называют так “площадь треугольника через синус”. Итак, посмотрите на чертеж – нам дан треугольник ABC, известны две его стороны и угол между ними. Тогда площадь треугольника находится по формуле: 

Задачи на определение площади треугольника при заданных сторонах треугольника и углу между ними.

Задача 1. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 19 и 18, а угол между ними равен 30⁰. Решение. Используем формулу площади треугольника через синус: Ответ: 85,5 Задача 2. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150 ⁰ . Боковая сторона треугольника равна 2. Найдите площадь этого треугольника. Решение. Нарисуем треугольник. Обозначим его вершины – A, B, C.  Значит, нам дано: <ABC=150⁰. AB=BC=2. Тогда для того, чтобы найти площадь треугольника, воспользуемся формулой нахождения площади треугольника по двум сторонам и углу между ними:

В этой задаче мы применили метод приведения для тригонометрических функций.

Ответ: 1.

2. Площадь треугольника через высоту.

Самая любимая школьниками формула определения площади треугольника  – определение площади через высоту. В этой формуле всего нужно знать две величины – основание треугольника и высоту проведенную из вершины треугольника к этому основанию – смотрите рисунок.

Очень удобная формула для определения любого треугольника, если известны любые три его размера.

3. Площадь равнобедренного треугольника.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Нахождение площади равнобедренного треугольника ничем не отличается от нахождения площади обыкновенного треугольника, разве что формула площади равнобедренного треугольника несколько упрощается. Например, если дана боковая сторона треугольника и угол при вершине, то формула нахождения площади будет выглядеть так: 

Вообще говоря, нет необходимости выводить и тем более запоминать некую мифическую формулу площади равнобедренного треугольника. Нужно просто помнить, что равнобедренный треугольник всего лишь частный случай общего, обыкновенного треугольника и все те формулы, которые применимы для нахождения площади треугольника, будут применимы и для равнобедренного треугольника.

Гораздо важнее не забыть свойства равнобедренного треугольника – высота (перпендикуляр), проведенная к основанию равнобедренного треугольника, есть медиана (делит основание пополам), биссектриса (делит угол напротив основания пополам). Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

 4. Площадь треугольника по координатам вершин

Никакой волшебной формулы тут нет – вы просто, используя координаты вершин, находите длины сторон треугольника, а затем подставляете их в формулу Герона.

5. Формула Герона для нахождения площади треугольника

,
где p – полупериметр треугольника, который находится по формуле:
а, b и c – стороны треугольника.

Таким образом, зная формулы, найти площадь треугольника не составит никакого труда.

Как находить площадь треугольника в заданиях ОГЭ.

В заданиях ОГЭ обычно площадь треугольника просят найти с помощью самой простой формулы – через основание и высоту.
Очень и очень редко встречается задача нахождения площади треугольника через две стороны и синус угла между ними, а уж формула Герона вообще не встречается, разве что вы можете ее использовать, если она вам очень нравится, да и то – в задачах второй части ОГЭ.

Площадь треугольника в заданиях ОГЭ

Площадь треугольника требуется уметь находить, чтобы успешно решить модуль «Геометрия» в ОГЭ. Умение находить площадь треугольника является одним из основополагающих умений в геометрии. Для того, чтобы находить площадь треугольника в заданиях ОГЭ — нужно иметь представления о том, по каким формулам вообще находится площадь треугольника. Ниже мы приводим их все, а также даем анализ того, как часто встретятся вам эти формулы при выполнении заданий по геометрии в ОГЭ.

Задачи самые разнообразные, как и треугольники, как и методы их решения. Однако, для того, чтобы решать такие задачи, нам понадобятся формулы и общие сведения.

Площадь треугольника. Формулы. Задачи.

1. Формула нахождения площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Эта формула считается общей, ее очень часто используют, особенно если в треугольнике известен какой-либо угол. Ее кратко называют так «площадь треугольника через синус». Итак, посмотрите на чертеж — нам дан треугольник ABC, известны две его стороны и угол между ними. Тогда площадь треугольника находится по формуле:

Задачи на определение площади треугольника при заданных сторонах треугольника и углу между ними.

Задача 1. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 19 и 18, а угол между ними равен 30 0 . Решение. Используем формулу площади треугольника через синус: Ответ: 85,5 Задача 2. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150 0 . Боковая сторона треугольника равна 2. Найдите площадь этого треугольника. Решение. Нарисуем треугольник. Обозначим его вершины — A, B, C. Значит, нам дано: 0 . AB=BC=2. Тогда для того, чтобы найти площадь треугольника, воспользуемся формулой нахождения площади треугольника по двум сторонам и углу между ними:

В этой задаче мы применили метод приведения для тригонометрических функций.

2. Площадь треугольника через высоту.

Самая любимая школьниками формула определения площади треугольника — определение площади через высоту. В этой формуле всего нужно знать две величины — основание треугольника и высоту проведенную из вершины треугольника к этому основанию — смотрите рисунок.

Очень удобная формула для определения любого треугольника, если известны любые три его размера.

3. Площадь равнобедренного треугольника.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Нахождение площади равнобедренного треугольника ничем не отличается от нахождения площади обыкновенного треугольника, разве что формула площади равнобедренного треугольника несколько упрощается. Например, если дана боковая сторона треугольника и угол при вершине, то формула нахождения площади будет выглядеть так:

Вообще говоря, нет необходимости выводить и тем более запоминать некую мифическую формулу площади равнобедренного треугольника. Нужно просто помнить, что равнобедренный треугольник всего лишь частный случай общего, обыкновенного треугольника и все те формулы, которые применимы для нахождения площади треугольника, будут применимы и для равнобедренного треугольника.

Гораздо важнее не забыть свойства равнобедренного треугольника — высота (перпендикуляр), проведенная к основанию равнобедренного треугольника, есть медиана (делит основание пополам), биссектриса (делит угол напротив основания пополам). Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

4. Площадь треугольника по координатам вершин

Никакой волшебной формулы тут нет — вы просто, используя координаты вершин, находите длины сторон треугольника, а затем подставляете их в формулу Герона.

5. Формула Герона для нахождения площади треугольника

Таким образом, зная формулы, найти площадь треугольника не составит никакого труда.

Как находить площадь треугольника в заданиях ОГЭ.

В заданиях ОГЭ обычно площадь треугольника просят найти с помощью самой простой формулы — через основание и высоту.
Очень и очень редко встречается задача нахождения площади треугольника через две стороны и синус угла между ними, а уж формула Герона вообще не встречается, разве что вы можете ее использовать, если она вам очень нравится, да и то — в задачах второй части ОГЭ.

Найти площадь треугольника гиа

В треугольнике одна из сторон равна 10, а опущенная на нее высота — 5. Найдите площадь треугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание. Таким образом:

В треугольнике одна из сторон равна 10, другая равна , а угол между ними равен 60°. Найдите площадь треугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними. Имеем:

Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

Заметим, что треугольник со сторонами 24, 32 и 40 подобен египетскому треугольнику со сторонами 3, 4, 5 с коэффициентом 8. Следовательно, этот треугольник прямоугольный, а отрезок длины 24 — высота изображенного на рисунке треугольника. Тогда его площадь можно найти как половину произведения основания на высоту:

В треугольнике ABC отрезок DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 97. Найдите площадь треугольника ABC.

Треугольники ABC и DEC подобны по двум углам. Коэффициент подобия k = 2, так как Значит,

На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD = 3, DC = 7. Площадь треугольника ABC равна 20. Найдите площадь треугольника BCD.

Площадь треугольника равняется половине произведения сторон на синус угла между ними: так как значит, поэтому

Выразим через площадь треугольника BCD:

Приведем другое решение.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, следовательно, можно найти высоту треугольника ABC:

тогда

Треугольник BCD имеет такую же высоту, что и треугольник ABC, следовательно,

Приведем еще одно решение.

Треугольники ABC и BCD имеют общую вершину B, а их основания лежат на одной прямой, следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:

тогда

Материал для подготовки к ОГЭ по математике «Площадь треугольника»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Задача 1. В треугольнике одна из сторон равна 27, а опущенная на нее высота – 11. Найдите площадь треугольника.

Решение: Площадь треугольника = ½ основания*высоту

Задача 2. Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 9. Найдите площадь этого треугольника.

Решение: Пл.прямоугольного треуг. = половине произведения катетов.

Задача 3. Периметр равнобедренного треугольника равен 144, а основание – 64. Найдите площадь треугольника.

1) Т.к. Треугольник равнобедренный, из этого следует, что две стороны равны АС=СВ, найдем длину этих сторон:

2) Формула Герона:

Найдем полупериметр, т.к. периметр = 144, то полупериметр = 144:2=72.

Задача 4. Найдите площадь треугольника.

Решение: Для формулы нам необходимо знать основание и высоту

S треуг.= ½*60*43=1290

Задачу можно решить по формуле Пика, можно по формуле площади треугольника.

Считаем по клеточкам основание =3, высота = 6.

Задачи для самостоятельного решения:

1) В треугольнике одна из сторон равна 14, а опущенная на нее высота – 31. Найдите площадь треугольника.

2) Сторона треугольника равна 16, а высота, проведённая к этой стороне, равна 19. Найдите площадь этого треугольника.

3) Два катета прямоугольного треугольника равны 7 и 12. Найдите площадь этого треугольника.

4) Два катета прямоугольного треугольника равны 18 и 7. Найдите площадь этого треугольника.

5) Периметр равнобедренного треугольника равен 162, а основание – 72. Найдите площадь треугольника.

6) Найдите площадь треугольника

7) Найдите площадь треугольника

Найдите площадь треугольника:

9) Найдите площадь треугольника

10)

11)

12)

13)

14)15)

16)

Проверить решение можно по ссылке:

Краткое описание документа:

Цель: систематизировать знания учащихся по ключевым разделам планиметрии; создать содержательные и организационные условия для применения школьниками комплекса знаний для решения задач, включаемых в материалы ОГЭ.

В материале по подготовке к ОГЭ приведены алгоритмы решения задач на тему «Площадь треугольника», основные формулы нахождения площади треугольника, задачи для самостоятельного решения, возможность проверки заданий он-лайн.

Курс повышения квалификации

Охрана труда

• Сейчас обучается 98 человек из 44 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе

• Сейчас обучается 349 человек из 64 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Охрана труда

• Сейчас обучается 216 человек из 53 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 536 328 материалов в базе

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 08.08.2019
• 269
• 0

• 08.08.2019
• 396
• 1

• 08.08.2019
• 217
• 0

• 08.08.2019
• 120
• 0

• 08.08.2019
• 212
• 0

• 08.08.2019
• 259
• 4

• 08.08.2019
• 163
• 0

• 08.08.2019
• 2935
• 11

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 08.08.2019 4163
• DOCX 1.1 мбайт
• 300 скачиваний
• Рейтинг: 4 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Бутусина Галина Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 3 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 8752
• Всего материалов: 6

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Госдуме предложили доплачивать учителям за работу в классах, где выявлен ковид

Время чтения: 1 минута

Ученики 5-11 классов Воронежа перейдут на дистанционное обучение с 3 февраля

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

В Самаре и Тольятти часть школьников перевели на дистанционное обучение

Время чтения: 1 минута

Путин поручил обучать педагогов работе с девиантным поведением

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки учредит стипендию для студентов — победителей международных олимпиад

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Задания на нахождение площади треугольника встречаются в основном среди задач с кратким ответом и не требуют подробного решения. Опять же, есть и задачи супер-простые, есть и довольно сложные.

Вспомним, что площадь треугольника можно найти несколькими способами.

1) S = ¹/₂ ah_а, где а — сторона, h_а  — высота к этой стороне. Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону. В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами друг к другу.
2) S = ¹/₂ ab sinγ , a и b — стороны, γ — угол между ними.

Эти формулы будут у вас в справочных материалах на ОГЭ. Но есть такие, которых в справочнике не будет, а через них решать подобные задания проще и быстрее. Поэтому, повторите тему о подобии треугольников (признаки подобия; площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответственных сторон). Еще нужно вспомнить, что если треугольники имеют общую вершину, а их основания лежат на одной прямой, то отношение их площадей равно отношению их оснований.

Открытый банк заданий ФИПИ располагает следующими заданиями, которые могут попасться вам на реальном экзамене в этом году.

Реальные задания по геометрии из банка ФИПИ

На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=3, DC=7. Площадь треугольника ABC равна 20. Найдите площадь треугольника BCD.

Решение:

Для вычисления площади треугольника существует несколько формул. Ни для одной из них у нас не хватает данных. Значит недостающие данные надо получить.

1 способ

Посмотрим, что общее есть у треугольников ABC и BCD:

1. Сторона BC
2. Угол BCD.
Воспользуемся формулой «через две стороны и угол между ними».

Площадь треугольника ABC равняется половине произведения сторон на синус угла между ними:

S_ABC=¹/₂*AC*BC*sinC
Так как АС = АD + DС, то
S_ABC=¹/₂*(AD+DC)*BC*sinC, поэтому
BC*sinC=$frac{S_{ABC}}{displaystylefrac12ast(AD+DC)}=frac{20}{{displaystylefrac12}ast(3+7)}=4$

Выразим площадь треугольника BCD через sinC:

S_BCD=¹/₂*DC*BC*sinC

Подставляем значение BC*sinC, полученное ранее, и значение DC, известное из условия:

S_BCD=¹/₂*7*4
S_BCD=14

Ответ: 14

2 способ

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, следовательно, можно найти высоту треугольника ABC:

S_АВС=¹/₂ АС*h
а так как АС = АD + DС, то
S_АВС=¹/₂ (АD + DС)*h
$h=frac{2S_{АВС}}{АD+DС}=frac{2ast20}{3+7}=4$

Треугольник BCD имеет такую же высоту, что и треугольник ABC, значит,

S_ВСD=¹/₂ DС*h = ¹/₂ * 7 * 4 = 14

Ответ: 14

3 способ (самый короткий)

Треугольники ABC и BCD имеют общую вершину B, а их основания лежат на одной прямой, следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:

S_ВСD /S_АВС = DC/АС, тогда

S_ВСD = S_АВС * DC / АС
АС = 3 + 7 = 10
S_ВСD  = 20 * 7 / 10 = 14

Ответ: 14

4F1471

На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=6, DC=10. Площадь треугольника ABC равна 48. Найдите площадь треугольника BCD.

Решение:

Треугольники ABC и BCD имеют общую вершину B, а их основания лежат на одной прямой, следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:

S_ВСD /S_АВС = DC/АС, тогда

S_ВСD = S_АВС * DC / АС
АС = 6 + 10 = 16
S_ВСD  = 48 * 10 / 16 = 30

Ответ: 30

214ED6

На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=4, DC=8. Площадь треугольника ABC равна 36. Найдите площадь треугольника BCD.

Решение:

Треугольники ABC и BCD имеют общую вершину B, а их основания лежат на одной прямой, следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:

S_ВСD /S_АВС = DC/АС, тогда

S_ВСD = S_АВС * DC / АС
АС = 4 + 8 = 12
S_ВСD  = 36 * 8 / 12 = 24

Ответ: 24

E88B4B

На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=2, DC=7. Площадь треугольника ABC равна 27. Найдите площадь треугольника BCD.

Решение:

Треугольники ABC и BCD имеют общую вершину B, а их основания лежат на одной прямой, следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:

S_ВСD /S_АВС = DC/АС, тогда

S_ВСD = S_АВС * DC / АС
АС = 2 + 7 = 9
S_ВСD  = 27 * 7 / 9 = 21

Ответ: 21

972236

На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=5, DC=9. Площадь треугольника ABC равна 56. Найдите площадь треугольника BCD.

Решение:

Треугольники ABC и BCD имеют общую вершину B, а их основания лежат на одной прямой, следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:

S_ВСD /S_АВС = DC/АС, тогда

S_ВСD = S_АВС * DC / АС
АС = 5 + 9 = 14
S_ВСD  = 56 * 9 / 14 = 36

Ответ: 36

BC4593

На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=4, DC=7. Площадь треугольника ABC равна 55. Найдите площадь треугольника ABD.

Решение:

Треугольники ABC и BCD имеют общую вершину B, а их основания лежат на одной прямой, следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:

S_ВСD /S_АВС = DC/АС, тогда

S_ВСD = S_АВС * DC / АС
АС = 4 + 7 = 11
S_ВСD  = 55 * 7 / 11 = 35

Ответ: 35

258E9A

На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=3, DC=10. Площадь треугольника ABC равна 39. Найдите площадь треугольника ABD.

Решение:

Треугольники ABC и BCD имеют общую вершину B, а их основания лежат на одной прямой, следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:

S_ВСD /S_АВС = DC/АС, тогда

S_ВСD = S_АВС * DC / АС
АС = 3 + 10 = 13
S_ВСD  = 39 * 10 / 13 = 30

Ответ: 30

4065B0

На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=6, DC=8. Площадь треугольника ABC равна 42. Найдите площадь треугольника ABD.

Решение:

Треугольники ABC и BCD имеют общую вершину B, а их основания лежат на одной прямой, следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:

S_ВСD /S_АВС = DC/АС, тогда

S_ВСD = S_АВС * DC / АС
АС = 6 + 8 = 14
S_ВСD  = 42 * 8 / 14 = 24

Ответ: 24

B4CAE7

На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=5, DC=7. Площадь треугольника ABC равна 60. Найдите площадь треугольника ABD.

Решение:

Треугольники ABC и BCD имеют общую вершину B, а их основания лежат на одной прямой, следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:

S_ВСD /S_АВС = DC/АС, тогда

S_ВСD = S_АВС * DC / АС
АС = 5 + 7 = 12
S_ВСD  = 60 * 7 / 12 = 35

Ответ: 35

F63DA7

На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=2, DC=13. Площадь треугольника ABC равна 75. Найдите площадь треугольника ABD.

Решение:

Треугольники ABC и BCD имеют общую вершину B, а их основания лежат на одной прямой, следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:

S_ВСD /S_АВС = DC/АС, тогда

S_ВСD = S_АВС * DC / АС
АС = 2 + 13 = 15
S_ВСD  = 75 * 13 / 15 = 65

Ответ: 65

0D7C95

---

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC=18, MN=8. Площадь треугольника ABC равна 81. Найдите площадь треугольника MBN.

Решение:

Рассмотрим треугольники ABC и MBN, углы BMN и BAC равны как соответственные при параллельных прямых, угол B — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответственных сторон:

$frac{S_{MNB}}{S_{ABC}}=left(frac{MN}{AC}right)^2$ , ⇒

$S_{MNB}=left(frac{MN}{AC}right)^2ast S_{ABC}$

S_MNB = (8/18)² * 81 = 64 * 81 /324 = 16

Ответ: 16

8EBCEB

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC=21, MN=14. Площадь треугольника ABC равна 27. Найдите площадь треугольника MBN.

Решение:

Рассмотрим треугольники ABC и MBN, углы BMN и BAC равны как соответственные при параллельных прямых, угол B — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответственных сторон:

$frac{S_{MNB}}{S_{ABC}}=left(frac{MN}{AC}right)^2$ , поэтому

$S_{MNB}=left(frac{MN}{AC}right)^2ast S_{ABC}$

S_MNB = (14/21)² * 27 = 12

Ответ: 12

DABB4F

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC=24, MN=18. Площадь треугольника ABC равна 48. Найдите площадь треугольника MBN.

Решение:

Рассмотрим треугольники ABC и MBN, углы BMN и BAC равны как соответственные при параллельных прямых, угол B — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответственных сторон:

$frac{S_{MNB}}{S_{ABC}}=left(frac{MN}{AC}right)^2$ , поэтому

$S_{MNB}=left(frac{MN}{AC}right)^2ast S_{ABC}$

S_MNB = (18/24)² * 48 = 27

Ответ: 27

F8DE6C

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC=27, MN=18. Площадь треугольника ABC равна 63. Найдите площадь треугольника MBN.

Решение:

Рассмотрим треугольники ABC и MBN, углы BMN и BAC равны как соответственные при параллельных прямых, угол B — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответственных сторон:

$frac{S_{MNB}}{S_{ABC}}=left(frac{MN}{AC}right)^2$ , поэтому

$S_{MNB}=left(frac{MN}{AC}right)^2ast S_{ABC}$

S_MNB = (18/27)² * 63 = 28

Ответ: 28

BB979E

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC=30, MN=12. Площадь треугольника ABC равна 25. Найдите площадь треугольника MBN.

Решение:

Рассмотрим треугольники ABC и MBN, углы BMN и BAC равны как соответственные при параллельных прямых, угол B — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответственных сторон:

$frac{S_{MNB}}{S_{ABC}}=left(frac{MN}{AC}right)^2$ , поэтому

$S_{MNB}=left(frac{MN}{AC}right)^2ast S_{ABC}$

S_MNB = (12/30)² * 25 = 4

Ответ: 4

4CC815

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC=16, MN=12. Площадь треугольника ABC равна 80. Найдите площадь треугольника MBN.

Решение:

Рассмотрим треугольники ABC и MBN, углы BMN и BAC равны как соответственные при параллельных прямых, угол B — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответственных сторон:

$frac{S_{MNB}}{S_{ABC}}=left(frac{MN}{AC}right)^2$ , поэтому

$S_{MNB}=left(frac{MN}{AC}right)^2ast S_{ABC}$

S_MNB = (12/16)² * 80 = 45

Ответ: 45

9ACF8B

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC=36, MN=27. Площадь треугольника ABC равна 96. Найдите площадь треугольника MBN.

Решение:

Рассмотрим треугольники ABC и MBN, углы BMN и BAC равны как соответственные при параллельных прямых, угол B — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответственных сторон:

$frac{S_{MNB}}{S_{ABC}}=left(frac{MN}{AC}right)^2$ , поэтому

$S_{MNB}=left(frac{MN}{AC}right)^2ast S_{ABC}$

S_MNB = (27/36)² * 96 = 54

Ответ: 54

9C5C4D

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC=48, MN=40. Площадь треугольника ABC равна 72. Найдите площадь треугольника MBN.

Решение:

Рассмотрим треугольники ABC и MBN, углы BMN и BAC равны как соответственные при параллельных прямых, угол B — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответственных сторон:

$frac{S_{MNB}}{S_{ABC}}=left(frac{MN}{AC}right)^2$ , поэтому

$S_{MNB}=left(frac{MN}{AC}right)^2ast S_{ABC}$

S_MNB = (40/48)² * 72 = 50

Ответ: 50

51F110

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC=44, MN=24. Площадь треугольника ABC равна 121. Найдите площадь треугольника MBN.

Решение:

Рассмотрим треугольники ABC и MBN, углы BMN и BAC равны как соответственные при параллельных прямых, угол B — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответственных сторон:

$frac{S_{MNB}}{S_{ABC}}=left(frac{MN}{AC}right)^2$ , поэтому

$S_{MNB}=left(frac{MN}{AC}right)^2ast S_{ABC}$

S_MNB = (24/44)² * 121 = 36

Ответ: 36

A1451C

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC=36, MN=28. Площадь треугольника ABC равна 162. Найдите площадь треугольника MBN.

Решение:

Рассмотрим треугольники ABC и MBN, углы BMN и BAC равны как соответственные при параллельных прямых, угол B — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответственных сторон:

$frac{S_{MNB}}{S_{ABC}}=left(frac{MN}{AC}right)^2$ , поэтому

$S_{MNB}=left(frac{MN}{AC}right)^2ast S_{ABC}$

S_MNB = (28/36)² * 162 = 98

Ответ: 98

22636E

---

Два катета прямоугольного треугольника равны 6 и 7. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
S = ¹/₂ * 6 * 7 = 21

Ответ: 21

F594AC

Два катета прямоугольного треугольника равны 9 и 6. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
S = ¹/₂ * 9 * 6 = 27

Ответ: 27

0DA313

Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 11. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
S = ¹/₂ * 4 * 11 = 22

Ответ: 22

1E12D2

Два катета прямоугольного треугольника равны 14 и 5. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
S = ¹/₂ * 14 * 5 = 35

Ответ: 35

201E89

Два катета прямоугольного треугольника равны 6 и 13. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
S = ¹/₂ * 6 * 13 = 39

Ответ: 39

9C5CE2

Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 9. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
S = ¹/₂ * 4 * 9 = 18

Ответ: 18

916443

Два катета прямоугольного треугольника равны 11 и 6. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
S = ¹/₂ * 11 * 6 = 33

Ответ: 33

1276A8

Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 10. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
S = ¹/₂ * 4 * 10 = 20

Ответ: 20

F6B402

Два катета прямоугольного треугольника равны 13 и 4. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
S = ¹/₂ * 13 * 4 = 26

Ответ: 26

5F6CB3

Два катета прямоугольного треугольника равны 7 и 12. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
S = ¹/₂ * 7 * 12 = 42

Ответ: 42

C10B89

Два катета прямоугольного треугольника равны 12 и 5. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
S = ¹/₂ * 12 * 5 = 30

Ответ: 30

160CE6

Два катета прямоугольного треугольника равны 18 и 7. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
S = ¹/₂ * 18 * 7 = 63

Ответ: 63

5E7907

---

Сторона треугольника равна 14, а высота, проведённая к этой стороне, равна 31. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, проведенную к этой стороне:

S = ¹/₂ аh = ¹/₂ * 14 *31 = 217

Ответ: 217

8582E2

Сторона треугольника равна 24, а высота, проведённая к этой стороне, равна 19. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, проведенную к этой стороне:

S = ¹/₂ аh = ¹/₂ * 24 * 19 = 228

Ответ: 228

43135F

Сторона треугольника равна 18, а высота, проведённая к этой стороне, равна 17. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, проведенную к этой стороне:

S = ¹/₂ аh = ¹/₂ * 18 * 17 = 153

Ответ: 153

33F315

Сторона треугольника равна 16, а высота, проведённая к этой стороне, равна 19. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, проведенную к этой стороне:

S = ¹/₂ аh = ¹/₂ * 16 * 19 = 152

Ответ: 152

7A4858

Сторона треугольника равна 14, а высота, проведённая к этой стороне, равна 23. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, проведенную к этой стороне:

S = ¹/₂ аh = ¹/₂ * 14 * 23 = 161

Ответ: 161

CB2956

Сторона треугольника равна 29, а высота, проведённая к этой стороне, равна 12. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, проведенную к этой стороне:

S = ¹/₂ аh = ¹/₂ * 29 * 12 = 174

Ответ: 174

8993A6

Сторона треугольника равна 16, а высота, проведённая к этой стороне, равна 27. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, проведенную к этой стороне:

S = ¹/₂ аh = ¹/₂ * 16 * 27 = 216

Ответ: 216

DC9E1D

Сторона треугольника равна 12, а высота, проведённая к этой стороне, равна 33. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, проведенную к этой стороне:

S = ¹/₂ аh = ¹/₂ * 12 * 33 = 198

Ответ: 198

22C21A

Сторона треугольника равна 18, а высота, проведённая к этой стороне, равна 22. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, проведенную к этой стороне:

S = ¹/₂ аh = ¹/₂ * 18 * 22 = 198

Ответ: 198

B45622

Сторона треугольника равна 8, а высота, проведённая к этой стороне, равна 31. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, проведенную к этой стороне:

S = ¹/₂ аh = ¹/₂ * 8 * 31 = 124

Ответ: 124

C15599

---

Периметр треугольника равен 50, одна из сторон равна 20, а радиус вписанной в него окружности равен 4. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности:

S = pr = 50/2 * 4 = 100

Длина одной из сторон — лишние данные, игнорируем их.

Ответ: 100

099B7F

Периметр треугольника равен 48, одна из сторон равна 18, а радиус вписанной в него окружности равен 3. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности:

S = pr = 48/2 * 3 = 72

Длина одной из сторон — лишние данные, игнорируем их.

Ответ: 72

691110

Периметр треугольника равен 71, одна из сторон равна 21, а радиус вписанной в него окружности равен 6. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности:

S = pr = 71/2 * 6 = 213

Длина одной из сторон — лишние данные, игнорируем их.

Ответ: 213

F93971

Периметр треугольника равен 56, одна из сторон равна 19, а радиус вписанной в него окружности равен 5. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности:

S = pr = 56/2 * 5 = 140

Длина одной из сторон — лишние данные, игнорируем их.

Ответ: 140

2E895A

Периметр треугольника равен 110, одна из сторон равна 38, а радиус вписанной в него окружности равен 10. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности:

S = pr = 110/2 * 10 = 550

Длина одной из сторон — лишние данные, игнорируем их.

Ответ: 550

A70D9B

Периметр треугольника равен 120, одна из сторон равна 40, а радиус вписанной в него окружности равен 7. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности:

S = pr = 120/2 * 7 = 420

Длина одной из сторон — лишние данные, игнорируем их.

Ответ: 420

569EAC

Периметр треугольника равен 140, одна из сторон равна 56, а радиус вписанной в него окружности равен 9. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности:

S = pr = 140/2 * 9 = 630

Длина одной из сторон — лишние данные, игнорируем их.

Ответ: 630

17E9C9

Периметр треугольника равен 60, одна из сторон равна 12, а радиус вписанной в него окружности равен 3. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности:

S = pr = 60/2 * 3 = 90

Длина одной из сторон — лишние данные, игнорируем их.

Ответ: 90

B0D10B

Периметр треугольника равен 33, одна из сторон равна 7, а радиус вписанной в него окружности равен 2. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности:

S = pr = 33/2 * 2 = 33

Длина одной из сторон — лишние данные, игнорируем их.

Ответ: 33

65845E

Периметр треугольника равен 54, одна из сторон равна 15, а радиус вписанной в него окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности:

S = pr = 54/2 * 1 = 27

Длина одной из сторон — лишние данные, игнорируем их.

Ответ: 27

239EF1

---

Площадь параллелограмма ABCD равна 68. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь треугольника CBE.

Решение:

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому

S_ABС = 68/2 = 34 

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому

S_EBC = ¹/₂ S_ABC = 1/2 * 34 = 17

Ответ: 17

795F61

Площадь параллелограмма ABCD равна 44. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь треугольника CBE.

Решение:

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому

S_ABС = 44/2 = 22 

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому

S_EBC = ¹/₂ S_ABC = 1/2 * 22 = 11

Ответ: 11

1ABE2A

Площадь параллелограмма ABCD равна 84. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь треугольника CBE.

Решение:

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому

S_ABС = 84/2 = 42 

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому

S_EBC = ¹/₂ S_ABC = 1/2 * 42 = 21

Ответ: 21

A6BEE2

Площадь параллелограмма ABCD равна 196. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь треугольника CBE.

Решение:

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому

S_ABС = 196/2 = 98 

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому

S_EBC = ¹/₂ S_ABC = 1/2 * 98 = 49

Ответ: 49

ADA977

Площадь параллелограмма ABCD равна 112. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь треугольника CBE.

Решение:

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому

S_ABС = 112/2 = 56 

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому

S_EBC = ¹/₂ S_ABC = 1/2 * 56 = 28

Ответ: 28

4DB6C1

Площадь параллелограмма ABCD равна 104. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь треугольника CBE.

Решение:

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому

S_ABС = 104/2 = 52 

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому

S_EBC = ¹/₂ S_ABC = 1/2 * 52 = 26

Ответ: 26

CDB192

Площадь параллелограмма ABCD равна 148. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь треугольника CBE.

Решение:

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому

S_ABС = 148/2 = 74 

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому

S_EBC = ¹/₂ S_ABC = 1/2 * 74 = 37

Ответ: 37

E2BFC0

Площадь параллелограмма ABCD равна 140. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь треугольника CBE.

Решение:

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому

S_ABС = 140/2 = 70 

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому

S_EBC = ¹/₂ S_ABC = 1/2 * 70 = 35

Ответ: 35

20E710

Площадь параллелограмма ABCD равна 136. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь треугольника CBE.

Решение:

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому

S_ABС = 136/2 = 68 

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, поэтому

S_EBC = ¹/₂ S_ABC = 1/2 * 68 = 34

Ответ: 34

2373D8